二次函数专题讲座

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二次函数专题讲座

思维基础: （一）填空：

1．二次函数y?称轴是

1 (x?3)2?2的图象的开口方向是向 2。

2，顶点从标是 ，对

2．抛物线y?8x?(m?1)x?m?7的顶点在x轴上，则m的值等于 . 3.如果把第一条抛物线向上平移

295，再向左平移个单位，就得到第a个单位（a?0）

42二条抛物线y?ax，已知第一条抛物线过点（0，4），则第一条抛物线的函数关系式是 ________.

（二）选择：

1.如图代13-3-1所示二次函数y?ax?bx?c的图象，则有（ ）

2

图代13-3-1 图代13-3-2

A.a+b+c?0 B.a+b+c=0 C.a+b+c?0 D.a+b+c的符号不定

2.如图1-3-2是抛物线y?ax?bx?c的图象，则下列完全符合条件的是（ ）

2

2

2 A.a?0，b?0，c?0，b?4ac B.a?0，b?0，c?0，b?4ac

22

C.a?0，b?0，c?0，b?4ac D.a?0，b?0，c?0，b?4ac

3．已知抛物线的对称轴为x=1，与x轴、y轴的三个交点构成的三角形的面积为6，且与y轴的交点到原点的距离为3，则此二次函数的解析式为（ ）

A.y??x?2x?3或y?x?2x?3 B.y??x?2x?3或y?x?2x?3 C.y??x?2x?3或y?x?2x?3 D.y??x?3x?3或y?x?2x?3 学法指要：

222222221?3x?nx?2?m的图象与x轴交于A，B两点，24COBO与y轴交于点C，其中点A在点B的左边，若∠ACB=90°，??1.

AOCO例 在直角坐标系中，二次函数y?（1）求点C的坐标及这个二次函数的解析式；

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（2）试设计两种方案，作一条与y轴不平行，与△ABC的两边相交的直线，使截得的 三角形与△ABC相似，并且面积是△AOC面积的四分之一.

【思考】 （第一问）1.坐标轴上点的坐标有何特点？2.如何求抛物线与y轴的交 点坐标？3.如何设出抛物线与x轴的两个交点坐标？4.线段与坐标之间有何种关系？你会用坐标表示线段吗？

【思路分析】 本例必须准确设出A，B两点坐标，再求出C点坐标，并会用它们表 示线段的长，将代数问题转化为几何问题，再由几何问题转化为代数问题，相互转化，水到渠成.

解：（1）依题意，设A(a,0),B(β,0)其中a?0, β?0，则a,β是方程

123x?nx?2?m?0的两个根.24?????2(2?m).?AO?BO?a????a???2(m?2).113?0,抛物线y?x2?nx?2?m与x轴有两个交点, 224?C(0,2?m),其中2?m?0.?a??OC?2?m?m?2.??ACB?90?,CO?AB于点O,∴△AOC∽△COB。

?CO:AO?BO:CO,?CO2?AO?BO.?(m?2)2?2(m?2).解这个方程,得m1?2,m2?4.当m?2时,2?m?0,不合题意.当m?4时,2?m?0,符合题意.?点C的坐标是(0,2).当m?4时,二次函数y????123x?nx?2,24COBOCOBO??1,?,AOOCAOCOCO2??1.AOAO?2?CO?4.

?点A在x轴负半轴上,?点A的坐标是(?4,0).把A（-4，0）代入①，得

0?13?(?4)2??n?(?4)?2. 24解这个方程得n=2.

13y ?x2?x?2.∴所求的二次函数的解析式为

22现在来解答第二问。

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【思考】这第二问所要求作的三角形应具备什么条件？什么样的三角形与△ABC相似？在什么条件下可以讨论两个三角形面积的比？在一个图形上作一和直线，需要确定什么？△ABC是一个什么样的三角形？

【思路分析】①所求的三角形与△ABC相似；②所求的三角形面积=

1S?AOC. 4所求三角形若与△ABC相似，要具备有“两角对应相等”，“两边对应成比例且夹角相等”，“三边对应成比例”等判定两三角形相似的条件。

在两三角形相似的条件下，“两三角形面积的比等于相似的平方”，即找相似比等于1:2. 在一个图形上，截得一个三角形，需要作一条直线，作一条直线应在图形上确定两个点，且这条直线不能与y轴重合。

分析至此问题十分明确，即在△ABC的两边上找出符合上述条件的两点作一条直线。 再来分析△ABC是一个什么样的三角形，猜测它是直角三角形最为理想。 从第一问得知的条件A（-4，0）B（1，0），C（0，-2）可用勾股定理推出，△ABC确是直角三角形。

这样△ABC∽△CAO∽△BCO，且S?BOC?1下S?ABC为作符合条件的直线提供了条件。

4边分述作符合条件直线的方案。

方案1:依据“三角形两边中点的连线，截得的三角形与原三角形相似”，其相似比是1:2，面积的比为1:4。

作法：取AO的中点D，过D作D D?∥OC， ∴D?是AC的中点。 ∴ AD：AO=1：2， 即 △AD?D=

1S?AOC. 4 △AD?D∽△ACO∽△ABC.

图代13-3-3

∴DD?是所求作的直线，AD?D是所求作的三角形。 方案2：利用∠C作一个△BCF △COB。

作法：在CA上截取CE，使CE=CO=2，在CB上截取CF，使CF=BO=1，连结EF，则△BCF即为所求，如图代13-3-4所示。请读者证明。

图13-3-4

图13-3-5

方案3：在AC上截取AG，使AG=CO=2，在AB上截取AH，使AH=BC=5，连结GH，则△AGH为所求，如图代13-3-5所示，请读者去证明。

方案4：在CA上截取CM，使CM=BO=1，在CB上截取CN，使CN=CO=2，连结MN，则△

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CMN为所求，如图代13-3-6所示，请读者去证明。

图13-3-6

图13-3-7

方案5：在BA上截取BP，使BP=BC=5，在BC上截取BQ，使BQ=BO=1，连结PQ，则△BPQ为所示，如图代13-3-7所示。请读者去证明。 思维体操

例 一运动员推铅球，铅球刚出手时离地面12米，铅球落地点距离铅球刚出手时 3相应地面上的点10米，铅球运行中最高点离地面3米，已知铅球走过的路线是抛物线.求这个抛物线的解析式.

图13-3-8

如图，结合题意，知抛物线过A(0,1),B(m,3),C(10,0)，用一般式：y?ax?bx?c 解之，于是有

232?5c?,?3???100a?10b?c?0, ?4ac?b2??3.?4a?解方程组，得

a1??125,b1??,c1?； 300153125a2??,b2?,c2?.

1233∴所求抛物线解析式为

x225125y???x?或y??x2?x?.

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x2251∵y???x???(x?20)2?3，这时，抛物线的最高点（-20，3）不

300153300在运动员与铅球落地之间，不合题意，舍去.

∴所求抛物线解析式为

y??1225x?x?（0≤x≤10）. 1233??5?3?【扩散2】 仿扩散1知抛物线过A?0,?,B(m,3),C(10,0).因B为顶点，所以利用顶点式最宜，于是可设抛物线的解析式为

y?a(x?m)2?3.

又其图象过A，C两点，则

5?2a(0?m)?3?,? 3??a(10?m)2?3?0.?解方程组，得

a1??1,m1??20； 3001a2??,m2?4.

12∵抛物线y??∴舍去.

1(x?20)2?3最高点（-20，3）不在运动员和铅球之间，不合题意，3001(x?4)2?3（0≤x≤10）. 12故所求抛物线的解析式是y??【扩散3】 抛物线与x轴交于两点，即D（x，0），C（10，0），联想截距式解之. 于是设抛物线解析式为y?a(x?x1)(x?10)， 其图象又过A，C两点，则有

a(0?x1)(0?10)?51，∴ax1?. 36又 y?a(x?x1)(x?10)

?ax?(10?x1)ax?10ax1，

24a?10ax1?[?(10?x1)a]2?3. ② ∴

4a①②联立解方程组，得

a??1???50； ,x1300

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