浅谈高中数学中最值问题的常用解题方法（数学本科毕业论文）

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题 目： 浅谈高中数学中最值问题的常用解题方法

学习中心： 灌 云 奥 鹏 专 业： 数学及应用数学 年 级（入学批次）： 201103 学 号： 201103896627 学生姓名： 刘 明 导师姓名： 严 晓 明 2013 年 3月 15 日

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浅谈高中数学中最值问题的常用解题方法

201103896627 刘明 指导老师：严晓明

摘要： 最值问题是中学数学的重要题型之一。以最值问题为载体，可以考查中学数学的几乎所有知识点，可以考查分类讨论、数形结合、转化与化归等诸多数学思想和方法，还可以考查学生的思维能力、实践和创新能力。解决最值问题，从方法上来说，它常用到函数的单调性、二次函数的性质、数形结合法、均值不等式法、导数法、换元法等等。本文就高中数学的要求，结合一些典型试题进行分析和探讨，说明其解题的思考方法和一般的技能与技巧。 关键词：高中数学 最值 解题方法

1、引言

在日常生活及科学实验中,常常遇到“最好”、“最省”、“最大”、“最小”、“最低”等问题。例如质量最好,用料最省,效益最高,成本最低,利润最大,投入最小等等,这类问题在数学上常常归结为求函数的最大值或最小值问题，也就是最值问题.最值问题是一类综合性较强的问题，其题型多样，解法灵活，在高中数学中，最值问题涉及面广，像函数（三角函数，二次函数，指对函数，幂函数），不等式，向量，解析几何，立体几何，圆锥曲线中都能找到最值问题，在高考中，常以一些基础题，小综合的中档题或一些难题的形式出现，是历年高考重点考查的知识点之一，几乎每年的高考试题中都有出现。

2、最大（小）值及其几何意义

一般地，设y?f(x)的定义域为A，如果存在x0?A,使得对于任意的x?A，都有

f(x)?f(x0)，那么称f(x0)为y?f(x)的最大值，记为ymax?f(x0)；如果存在x0?A,使得对于

任意的x?A，都有f(x)?f(x0)，那么称f(x0)为y?f(x)的最小值，记为ymin?f(x0).其几何意义是：函数图象上最高（低）点的纵坐标。

3、求最值的常用方法

求解最值问题的方法很多，下面对求最值问题的常用方法进行总结并举例说明，它们是：二次函数的性质法、均值不等式法、导数法、三角函数的有界性法、函数的单调性法、几何法、换元法，利用各类型的典型例题，分析求最值问题的解题思路，以揭示其中的特征和规律。

3.1、利用“二次函数的图象和性质”求最值

b，其性质是：①若a?0,则二次函数所表示的图象开口向上，顶点是最2a2)，化为顶点式即为低点，此二次函数的一般表达式是y?ax?bx?c(a?0,a、b、c为常数其对称轴是直线x??bb24ac?b24ac?b2y?a(x?)?时函数具有最小值，即当x??时，ymin?；②当a?0时，

2a4a2a4a

2

二次函数所表示的图象开口向下，顶点是最高点，此时函数具有最大值，即当x??b时，2a4ac?b2[1]

。 ymax?4a 二次函数的性质主要用于解决求二次函数或可化为二次函数的函数的最值问题，在解题时首先是利用配方法将函数化为二次函数的顶点式，其次要注意自变量的取值范围，注意利用图象来解。下面列举常见的几种求值情况。

3.1.1对称轴在区间内

例1、求函数y?【解】：y?3cosx?2?cos2x的最大值和最小值．

31?cos2x?3cosx?1??2(cosx?)2?

481要使y有意义，必须有?cos2x?3cosx?1?0，即 ?cosx?1．

23112故 当cosx?时，ymax? ；当cosx?(或1)时，ymin?0. ?4284

点评：此题解法关键在于运用配方法，将根号里面表示为二次函数的顶点式，同时要考虑顶点的横坐标

的值是否落在定义域内. 3.1.2对称轴在区间外

例2、若实数x、y满足3x?2y?6x.求x2?y2的最大值和最小值. 【解】：∵3x?2y?6x.∴2y?6x?3x?0，∴0?x?2. 22222232119x??x2?3x??(x?3)2?. 2222由于抛物线对称轴x?3在区间[0,2]的右侧， 2222∴当x?2时，(x?y)max?4；当x?0时，(x?y)min?0. 点评： 此题的对称轴在区间内，不能直接取x?3，要利用函数单调性来解. 故x2?y2=x?3x?23.1.3动轴定区间

例3、求函数f(x)?x2?2ax?1在x?[0,2]上的最大值和最小值。

22【解】：∵函数f(x)?x?2ax?1?(x?a)?1?a.∴对称轴为直线x?a，

2①当a?0时，f(x)min?f(0)??1,f(x)max?f(2)?3?4a. ②当0?a?1时，f(x)min?f(a)??1?a,f(x)max?f(2)?3?4a. ③当1?a?2时，f(x)min?f(a)??1?a,f(x)max?f(0)??1. ④当a?2时，f(x)min?f(2)?3?4a,f(x)max?f(0)??1.

点评：因为函数的对称轴x?a不确定，故需讨论a与[0,2]的关系，并结合二次函数的单调性来解。

223.1.4 定轴动区间

3

例4、已知函数f(x)?x?2x?3，若x?t，t?2时，求函数f（x）的最值。 【解】：∵函数f(x)?x?2x?3?(x?1)?4.∴对称轴为直线x=1.

（1）当t?2?1，即t??1时

222??f(x)max?f(t)?t2?2t?3，f(x)min?f(t?2)?t2?2t?3.

（2）当

t?t?2?1?t?2， 22即?1?t?0时，f(x)max?f(t)?t?2t?3，f(x)min?f(1)??4 （3）当t?1?t?t?2 22即0时，f(x)max?f(t?2)?t?2t?3，f(x)min?f(1)??4. ??t1（4）当t>1时，f(x)max?f(t?2)?t?2t?3,f(x)min?f(t)?t?2t?3. 设函数最大值记为g(t)，最小值记为?(t)，

2?t?2t?3，(t??1)2?t?2t?3，(t?0)??则有gt，?(t)???4，(?1?t?1) ()??2?t?2t?3，(t?0)??t2?2t?3，(t?1)?22点评：本题由于对称轴x=1是确定的，所以只要根据对称轴x=1与区间[t，t+2]的三种位置关系进

行讨论，就容易求出最值。

3.1.5一般结论总结：

一般来说，在利用二次函数求最值时，不单单像上面的几个例题，往往与其它知识结合在一起，在求出关系式后，再求值， 但是解题方法不外乎上面的几种，下面总结求二次函数

f(x)?ax2?bx?c(a?0)在区间[s,t]内的最小值和最大值的通法：

b24ac?b2当a?0时，对f(x)?a(x?分类讨论， )?2a4ab?f(s)(??s)bs?t??f(t)(??)2a??2a2bbf(x)max???得f(x)min??f(?，)(s???t)bs?t

?f(s)(??)2a2a?2a2?b?f(t)(??t)?2a?

3.2、利用“基本(均值）不等式”求最值

基本不等式：

a?b?ab(a?0，b?0，当且仅当a?b时等号成立）. 2运用基本不等式求最值,必须满足“一正、二定、三相等”这三个条件,缺一不可。“一正”是指各项均为正数；“二定”是指各项的和或积为定值（常数）；“三相等”是指不等式两边的等号是否能取到以及等号能取到的条件是两个项要相等. 变形及推广：（1）a?b?2ab；（2）

a?b?c3?abc（a、b、c?R?）；（3）3 4

a2?b2a?b2?（a、b?R）；（4）a1?a2?...?an?na?a...a.(其中??ab?12n1122n?aba1,a2,...,an?R?,且等号成立的条件是a1?a2?...?an）.

3.2.1基本不等式的直接应用

12?3x的最小值. x1212?3x≥2【解】：∵x?0,∴由基本不等式得f(x)??3x=12. xx12.即x?2时，f(x)min?12. 当且仅当3x?x12点评：解本题时，应注意x?0和?3x?36为定值这两个条件，故可以直接应用；

x 例5、若x?0,求f(x)?3.2.2 变形后应用

12?3x的最大值. x1212【解】：∵x?0,∴?x?0,∴-f(x)?f(?x)??(?3x)≥2?(?3x)=12.

?x?x12.即x??2时，f(x)max??12. 即f(x)??12.当且仅当?3x??x 例6、若x?0,

求f(x)?点评：解本题时，要把x?0先化为?x?0,使各项为正数，再用基本不等式。

[2]

3.2.3凑定和

例7、当0时，求y的最大值 ?x(8?2x)?x?4【解】：由0知，82， ?x?4?x?0112x?8?2x2 )?8222当且仅当2，即x＝2时取等号。 x?8?2x所以当x＝2时，y的最大值为8。 ?x(8?2x)点评：此题注意到2为定值，故凑上一个系数，构造一个“定和”，从而可利用基本不x?(82?x)?8∴y?x(8??2x)[28x·(?2x)]?(等式求。

例8、 求函数y的最大值。 ?2x?1?52?x(??x)1252x?1与5?2x【解】：注意到2的和为定值。

y2?(2x?1?5?2x)2?4?2(2x?1)(5?2x)≤4?(2x?1)?(5?2x)=8.

又y?0，所以0?y?22

x??5?2x当且仅当21，即x?故ymax?22。

3时取等号。 2点评：本题将解析式两边平方构造出“定和”，为利用基本不等式创造了条件。

3.2.4 凑定积

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