04184自学考试历年线性代数真题

全国2008年1月高等教育自学考试

线性代数(经管类)试题 课程代码：04184

试卷说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵；A*表示A的伴随矩阵；秩（A）表示矩

阵A的秩；|A|表示A的行列式；E表示单位矩阵。

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.设A为三阶方阵且A??2,则3ATA?（ ） A.-108 C.12

B.-12 D.108

?3x1?kx2?x3?0?4x2?x3?0有非零解,则 k=（ ） 2.如果方程组??4x2?kx3?0?A.-2 B.-1

C.1 D.2

3.设A、B为同阶方阵，下列等式中恒正确的是（ ） A.AB=BA C.A?B?A?B

B.?A?B??1?A?1?B?1 D.?A?B?T?AT?BT

4.设A为四阶矩阵，且A?2,则A*?（ ）

A.2 B.4 C.8 D.12

5.设?可由向量α1 =（1，0，0）α2 =（0，0，1）线性表示，则下列向量中?只能是 A.（2，1，1） B.（-3，0，2） C.（1，1，0） D.（0,-1,0）

6.向量组α1 ，α2 ，…，αs 的秩不为s(s?2)的充分必要条件是（ ） A. α1 ，α2 ，…，αs 全是非零向量 B. α1 ，α2， …，αs 全是零向量

C. α1 ，α2， …，αs中至少有一个向量可由其它向量线性表出

D. α1 ，α2， …，αs 中至少有一个零向量

7.设A为m?n矩阵，方程AX=0仅有零解的充分必要条件是（ ） A.A的行向量组线性无关 B.A的行向量组线性相关 C.A的列向量组线性无关 D.A的列向量组线性相关

8.设A与B是两个相似n阶矩阵，则下列说法错误的是（ ） ．．A.A?B

B.秩（A）=秩（B） C.存在可逆阵P，使P-1AP=B

D.?E-A=?E-B

?19.与矩阵A=?00??010??相似的是（ ）

??002???100??110?A.??020?? B.???010?? ?001????002???100??101?C.??110?? D.???020??002???? ?001??

10.设有二次型f(x,x2212,x3)?x21?x2?x3,则f(x1,x2,x3)（ A.正定 B.负定 C.不定 D.半正定

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11.若k112?0,则k=___________.

?12.设A=?32??102?01????,B=?01?,则AB=___________. ?14???0?

?200?13.设A=??010??,则A-1=

___________.

??022??

）

14.设A为3?3矩阵,且方程组A x=0的基础解系含有两个解向量,则秩(A)= ___________.

15.已知A有一个特征值-2,则B=A2+2E必有一个特征值___________.

16.方程组x1?x2?x3?0的通解是___________.

17.向量组α1 =(1,0,0) α2 =(1,1,0), α3 =(-5,2,0)的秩是___________.

?200??18.矩阵A=?020??的全部特征向量是___________.

?002???19.设三阶方阵A的特征值分别为-2,1,1,且B与A相似,则2B=___________.

?121??20.矩阵A=?2?10??所对应的二次型是___________.

?103???

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分） 1021.计算四阶行列式

022100021000的值. 21

?321???122.设A=?111??,求A.

?101???

??110??110????,且A,B,X满足(E-B?1A)TBTX?E.求X,X?1. 23.设A=?002?,B=022????002??????003?

24.求向量组α1 =(1,-1,2,4)α2 =(0,3,1,2), α3 =(3,0,7,14), α4 =(2,1,5,6), α5 =(1,-1,2,0)的一个极大线性无关组.

?x1?x2?x3?x4?x5?7?3x?2x?x?x?3x??2?1234525.求非齐次方程组?的通解.

x?2x?2x?6x?232345???5x1?4x2?3x3?3x4?x5?12

?2?20???1PAP为对角矩阵. 26. 设A=??21?2?,求P使??0?20???

四、证明题（本大题共1小题,6分）

27.设α1，α2，α3 是齐次方程组A x =0的基础解系.

证明α1，α1+α2， α1 +α2 +α3也是Ax =0的基础解系．

全国2008年4月高等教育自学考试

线性代数（经管类）试题

课程代码：04184

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 a11a12a13a115a11?2a12a131．设行列式D=a21a22a23=3，D1=a215a21?2a22a23，则D1的值为（a31a32a33a315a31?2a32a33A．-15 B．-6 C．6 D．15

2．设矩阵??a?b4??2a???0d?=?b???c??，则（ ） ??3?A．a=3,b=-1,c=1,d=3

B．a=-1,b=3,c=1,d=3 C．a=3,b=-1,c=0,d=3 D．a=-1,b=3,c=0,d=3

3．设3阶方阵A的秩为2，则与A等价的矩阵为（

） ?111??111?A．??000?11??? B．??0

? ?000????00

0??

?111?C．???222??

D．?111???222??

?000????333??

4．设A为n阶方阵，n≥2，则?5A=（ ） A．（-5）nA

B．-5A

C．5A

D．5nA

5．设A=??12???，则?34??

A?=

（ ） A．-4

B．-2 C．2 D．4

）

6．向量组α1，α2，…αs，(s＞2)线性无关的充分必要条件是（ ） A．α1，α2，…，αs均不为零向量

B．α1，α2，…，αs中任意两个向量不成比例 C．α1，α2，…，αs中任意s-1个向量线性无关

D．α1，α2，…，αs中任意一个向量均不能由其余s-1个向量线性表示

7.设3元线性方程组Ax=b,A的秩为2，?1，?2，?3为方程组的解，?1+?2=（2，0，4）T，

?1+?3=（1，-2，1）T，则对任意常数k，方程组Ax=b的通解为（ ）

A．(1,0,2)T+k(1,-2,1)T B．(1,-2,1)T+k(2,0,4)T C．(2,0,4)T+k(1,-2,1)T D．(1,0,2)T+k(1,2,3)T

8．设3阶方阵A的特征值为1，-1，2，则下列矩阵中为可逆矩阵的是（ ） A．E-A B．-E-A C．2E-A D．-2E-A

9．设?=2是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵（A2）-1必有一个特征值等于（ A．114 B．2

C．2 D．4

10．二次型f(x1,x2,x3,x4)=x22221+x2+x3+x4+2x3x4的秩为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

a1b1a1b2a1b311.行列式a2b1a2b2a2b3=____________. a3b1a3b2a3b3

12.设矩阵A=??12??34???，P=?11??APT

???01??，则?=____________.

?001?13设矩阵A=??011??，则A-1=____________.

??111??）

?122???14.设矩阵A=?2t3?，若齐次线性方程组Ax=0有非零解，则数t=____________.

?345???

?1??1??t???????15.已知向量组α1=?1?，α2=??2?,α3=?1?的秩为2，则数t=______________.

??2??1??1???????

TT

16.已知向量α=（2，1，0，3），β=（1，-2，1，k），α与β的内积为2，则数k=____________.

17.设向量α=（b,

?0?2?2???2?2?的2重特征值，18.已知?=0为矩阵A=?2则A的另一特征值为______________.

??2?22???12,

12）T为单位向量，则数b=______________.

2219.二次型f(x1,x2,x3)=x1+2x22-5x3-4x1x2+2x2x3的矩阵为______________.

2220.已知二次型f(x1，x2，x3)=(k+1)x1+(k-1)x22+(k-2)x3正定，则数k的取值范围为

______________.

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分） 1121.计算行列式D=

111200103010的值. 04

?101??301?????

22.已知矩阵A=?1?10?，B=?110?，

?012??014?????

（1）求A的逆矩阵A-1； （2）解矩阵方程AX=B.

23.设向量α=（1，-1，-1，1），β=（-1，1，1，-1），求（1）矩阵A=αTβ；（2）A2. 24.设向量组α1=（1，-1，2，4）T，α2=（0，3，1，2）T，α3=（3，0，7，14）T，α4=（1，-1，2，0）T，求向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示.

25.已知线性方程组 ?２x3??1?x1　　???x1?x2?3x3?2 ?2x?x?5x?a3?12（1）求当a为何值时，方程组无解、有解.

（2）当方程组有解时，求出其全部解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）.

?87?

26.设矩阵A=??12??，

??

（1）求矩阵A的特征值与对应的全部特征向量.

（2）判定A是否可以与对角矩阵相似，若可以，求可逆矩阵P和对角矩阵?，使得P-1AP=?.

四、证明题（本题6分）

27.设n阶矩阵A满足A2=A，证明E-2A可逆，且(E-2A)-1=E-2A.

全国2008年10月高等教育自学考试

线性代数(经管类)试题 课程代码：04184

说明:在本卷中, AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|

表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩.

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

111．设A为3阶方阵，且?A?，则|A|?（ ）

33A．-9 C．-1

2．设A、B为n阶方阵，满足A2=B2，则必有（ ） A．A=B C．|A|=|B|

B．A= -B D．|A|2=|B|2 B．-3 D．9

11??10?3．已知矩阵A=??0?1?，B=?11?，则AB-BA=（ ）

????10?A．???2?1?

??10?C．??01? ??

4．设A是2阶可逆矩阵，则下列矩阵中与A等价的矩阵是（ ）

11?B．??0?1?

??00?D．??00? ??00?A．??00?

??11?C．??00? ??

10?B．??00?

??11?D．??01? ??5．设向量α1?(a1,b1,c1),α2?(a2,b2,c2),β1?(a1,b1,c1,d1),β2?(a2,b2,c2,d2)，下列命题中正确的是（ ）

A．若α1,α2线性相关，则必有β1，β2线性相关 B．若α1,α2线性无关，则必有β1，β2线性无关

C．若β1，β2线性相关，则必有α1,α2线性无关 D．若β1，β2线性无关，则必有α1,α2线性相关

?1??2?6．已知?2?,?3?是齐次线性方程组Ax=0的两个解，则矩阵A可为（ ）

??1??1?????A．（5，-3，-1）

5?31?B．??211?

???12?1?D．??12?2?

??531???12?3?C．??2?17?

??

7．设m×n矩阵A的秩r(A)=n-3(n>3)，α，β，γ是齐次线性方程组Ax=0的三个线性无关的解向量，则方程组Ax=0的基础解系为（ ） A．α，β，α+β C．α-β，β-γ，γ-α

0??10?8．已知矩阵A与对角矩阵D=0?10?相似，则A2=（ ） ?00?1???B．β，γ，γ-β D．α，α+β，α+β+γ

A．A C．E

B．D D．-E

?001?9．设矩阵A=?010?，则A的特征值为（ ）

?100???A．1，1，0 C．1，1，1

B．-1，1，1 D．1，-1，-1

10．设A为n(n≥2)阶矩阵，且A2=E，则必有（ ） A．A的行列式等于1 C．A的秩等于n

B．A的逆矩阵等于E D．A的特征值均为1

22226.设3元二次型f(x1,x2,x3)?x1?2x2?x3?2x1x2?2x2x3,求正交变换x=Py,将二次型化为

标准形.

四、证明题（本题6分）

27.已知A是n阶矩阵，且满足方程A2+2A=0,证明A的特征值只能是0或-2.

全国2009年10月高等教育自学考试

线性代数(经管类)试题 课程代码：04184

说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，

A表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩.

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 01?11?101?11．行列式第二行第一列元素的代数余子式A21=（ ）

1?101?11?10A．-2 C．1

B．-1 D．2

2．设A为2阶矩阵，若3A=3，则2A?（ ） A．C．

3．设n阶矩阵A、B、C满足ABC?E，则C?1?（ ） A．AB C．A?1B?1

?ab??14．已知2阶矩阵A???cd??的行列式A??1，则(A*)?（ ）

????a?b?A．???c?d??

????dC．??c?b?? ?a???d?b?B．???ca??

???ab?D．??cd??

??1 24 3B．1 D．2

B．BA D．B?1A?1

5．向量组?1,?2,?,?s(s?2)的秩不为零的充分必要条件是（ ） A．?1,?2,?,?s中没有线性相关的部分组 C．?1,?2,?,?s全是非零向量

B．?1,?2,?,?s中至少有一个非零向量 D．?1,?2,?,?s全是零向量

6．设A为m?n矩阵，则n元齐次线性方程组Ax?0有非零解的充分必要条件是（ ） A．r(A)?n B．r(A)?m C．r(A)?n D．r(A)?m

7．已知3阶矩阵A的特征值为-1，0，1，则下列矩阵中可逆的是（ A．A B．E?A C．?E?A D．2E?A

8．下列矩阵中不是．．初等矩阵的为（ ） ?100??A．??010??

B．?100???010??

?101?????101????100C．?100??020?D．????

?110???

?001???101??

9．4元二次型f(x1,x2,x3,x4)?2x1x2?2x1x4?2x2x3?2x3x4的秩为（ A．1

B．2 C．3 D．4

?001?10．设矩阵A???010??，则二次型xTAx的规范形为（ ）

??100??A．z2?z2212?z3 B．?z2z221?2?z3 C．z2221?z2?z3 D．z2221?z2?z3

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

） ） 11．已知行列式

a1?b1a2?b2a1?b1a??4，则1a2?b2a2b1b2?______.

12．已知矩阵A?(1,2,?1),B?(2,?1,1)，且C?ATB，则C2=______.

?100??1???1?13．设矩阵A??220?，则?A??______.

?2??333???

?10??1?1???,B?14．已知矩阵方程XA?B，其中A???21??10??，则X?______. ????

15．已知向量组?1?(1,2,3)T,?2?(2,2,2)T,?3?(3,2,a)T线性相关，则数a?______.

16．设向量组?1?(1,0,0)T,?2?(0,1,0)T，且?1??1??2,?2??2，则向量组?1,?2的秩为

______.

21??1?1??01?，若该方程组无解，则a 17．已知3元非齐次线性方程组的增广矩阵为?0a?1?00a?10???的取值为______.

18．已知3阶矩阵A的特征值分别为1，2，3，则|E+A|=______.

19．已知向量α?(3,k,2)T与β?(1,1,k)T正交，则数k?______.

22220．已知3元二次型f(x1,x2,x3)?(1?a)x1正定，则数a的最大取值范围是?x2?(a?3)x3______.

三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分) x?1?11?11x?11?121．计算行列式D?的值.

1?1x?1?11?11x?1

?21?22．设矩阵A????12??，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA?B?E，求|B|.

??

?x1?x2?a1?23．已知线性方程组?x2?x3?a2

?x?x?a13?3(1)讨论常数a1,a2,a3满足什么条件时，方程组有解．

(2)当方程组有无穷多解时，求出其通解(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表

示)．

24．设向量组?1?(1,4,1,0)T,?2?(2,1,?1,?3)T,?3?(1,0,?3,?1)T,?4?(0,2,?6,3)T，

求该向量组的秩及一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示．

?12??50?TT??,B?25．设矩阵A???43??2?1??，存在?1?(1,2),?2?(?1,1)，使得A?1?5?1, ????A?2???2；存在?1?(3,1)T,?2?(0,1)T,使得B?1?5?1,B?2???2.试求可逆矩阵P，

使得P?1AP?B.

26．已知二次型f(x1,x2,x3)?2x1x2?2x1x3?2x2x3，求一正交变换x?Py，将此二次型化

为标准形．

四、证明题(本题6分)

27．设向量组?1,?2,?3线性无关，且??k1?1?k2?2?k3?3．证明：若k1≠0，则向量组

?,?2,?3也线性无关．

全国2010年1月高等教育自学考试

线性代数（经管类）试题

课程代码：04184

说明：本卷中，A表示矩阵A的转置，αT表示向量α的转置，E表示单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，A-1表示方阵A的逆矩阵，r（A）表示矩阵A的秩. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共30分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

T

2x2y2zxyz41.设行列式403?1,则行列式01?（ ）

3111111A.

2 3B.1

C.2

8D. 3

2.设A，B，C为同阶可逆方阵，则（ABC）-1=（ ） A. A-1B-1C-1 B. C-1B-1A-1 C. C-1A-1B-1 D. A-1C-1B-1

3.设α1，α2，α3，α4是4维列向量，矩阵A=（α1，α2，α3，α4）.如果|A|=2，则|-2A|=（ ） A.-32 B.-4 C.4 D.32

4.设α1，α2，α3，α4 是三维实向量，则（ ） A. α1，α2，α3，α4一定线性无关 B. α1一定可由α2，α3，α4线性表出 C. α1，α2，α3，α4一定线性相关 D. α1，α2，α3一定线性无关

5.向量组α1=（1，0，0），α2=（1，1，0），α3=（1，1，1）的秩为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4

6.设A是4×6矩阵，r（A）=2，则齐次线性方程组Ax=0的基础解系中所含向量的个数是

（ ）

A.1 B.2 C.3 D.4

7.设A是m×n矩阵，已知Ax=0只有零解，则以下结论正确的是（ ） A.m≥n B.Ax=b（其中b是m维实向量）必有唯一解 C.r（A）=m D.Ax=0存在基础解系

?4?52??，则以下向量中是A的特征向量的是（ ） 5?738.设矩阵A=?????6?94??A.（1，1，1）T

C.（1，1，0）T

B.（1，1，3）T D.（1，0，-3）T

?1?11??13?19.设矩阵A=???的三个特征值分别为λ1，λ2，λ3，则λ1+λ2+λ

3 = （ ）

??111??A.4

B.5 C.6 D.7

10.三元二次型f （x1，x2，x3）=x2?4x2211x2?6x1x3?4x2?12x2x3?9x3的矩阵为（ ?123??143?A.??246?B.???

?046??

?369????369???126??123?C.??246??

D.???240??

?069????3129??

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

12311.行列式459=_________.

6713

??5200?12.设A=?2100???-1?0021?，则A=_________. ?0011??

13.设方阵A满足A3-2A+E=0，则（A2-2E）-1=_________.

14.实数向量空间V={（x1,x2,x3）|x1+x2+x3=0}的维数是_________.

15.设α1，α2是非齐次线性方程组Ax=b的解.则A（5α2-4α1）=_________.

） 16.设A是m×n实矩阵，若r（ATA）=5，则r（A）=_________.

?a11??x1??1???x???1?1a117.设线性方程组????2???有无穷多个解，则a=_________.

??11a????x3?????2??

18.设n阶矩阵A有一个特征值3，则|-3E+A|=_________.

19.设向量α=（1，2，-2），β=（2，a，3），且α与β正交，则a=_________.

2220.二次型f(x1,x2,x3)?4x2?3x3?4x1x2?4x1x3?8x2x3的秩为_________.

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分） 2321．计算4阶行列式D=

453456456756. 78

?2?31??-1

4?5222.设A=?，判断A是否可逆，若可逆，求其逆矩阵A. ????5?73??

23.设向量α=（3，2），求（αTα）101.

24.设向量组α1=（1，2，3，6），α2=（1，-1，2，4），α3=（-1，1，-2，-8），α4=（1，2，3，2）. （1）求该向量组的一个极大线性无关组；

（2）将其余向量表示为该极大线性无关组的线性组合.

?x1?x2?2x4?0?25.求齐次线性方程组?4x1?x2?x3?x4?0的基础解系及其通解.

?3x?x?x?0123?

?32?2??-1

0?1026.设矩阵A=?，求可逆方阵P，使PAP为对角矩阵. ????42?3??

四、证明题（本大题6分）

27.已知向量组α1,α2，α3，α4线性无关，证明：α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4-α1线性无关.

全国2010年4月高等教育自学考试

线性代数（经管类）试题

课程代码：04184

一、单项选择题（本大题共20小题，每小题1分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.已知2阶行列式

a1a2b22b=（ ）

1b=m ,

b12c1c=n ,则

b1b2a1?c1a2?c2A.m-n B.n-m C.m+n D.-（m+n）

2.设A , B , C均为n阶方阵，AB=BA，AC=CA，则ABC=（ ） A.ACB B.CAB C.CBA D.BCA

3.设A为3阶方阵，B为4阶方阵,且行列式|A|=1，|B|=-2，则行列式||B|A|之值为（ A.-8 B.-2 C.2 D.8

?a11a12a13??a113a12a13???100????100?4.已知A=??a?B=??a??21a22a23?，213a22a23?，P=?030?，Q=?310?，则B=（ ?????）?a31a32a33????a313a32a33????001????001??A.PA B.AP C.QA D.AQ

5.已知A是一个3×4矩阵，下列命题中正确的是（ ） A.若矩阵A中所有3阶子式都为0，则秩（A）=2 B.若A中存在2阶子式不为0，则秩（A）=2 C.若秩（A）=2，则A中所有3阶子式都为0 D.若秩（A）=2，则A中所有2阶子式都不为0

6.下列命题中错误．．的是（ ） A.只含有一个零向量的向量组线性相关

）

B.由3个2维向量组成的向量组线性相关 C.由一个非零向量组成的向量组线性相关 D.两个成比例的向量组成的向量组线性相关

7.已知向量组α1,α2,α3线性无关，α1,α2,α3，β线性相关，则（ ） A.α1必能由α2,α3，β线性表出 C.α3必能由α1,α2，β线性表出

8.设A为m×n矩阵，m≠n,则齐次线性方程组Ax=0只有零解的充分必要条件是A的秩（ ） A.小于m C.小于n

9.设A为可逆矩阵，则与A必有相同特征值的矩阵为（ ） A.AT C.A-1

22210.二次型f（x1,x2,x3）=x1?x2?x3?2x1x2的正惯性指数为（ ）

B.α2必能由α1,α3，β线性表出 D.β必能由α1,α2,α3线性表出

B.等于m D.等于n

B.A2 D.A

*

A.0 C.2

B.1 D.3

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11.行列式

?1?13?20??,B=???,则ATB=____________________________. 12.设矩阵A=??201??01?????2007200820092010的值为_________________________.

TT

13.设4维向量??（3,-1,0,2）,β=（3,1,-1,4），若向量γ满足2??γ=3β，则γ=__________.

14.设A为n阶可逆矩阵，且|A|=?

1,则|A-1|=___________________________. n

15.设A为n阶矩阵，B为n阶非零矩阵，若B的每一个列向量都是齐次线性方程组Ax=0的解，则|A|=__________________.

?x?x?x3?016.齐次线性方程组?12的基础解系所含解向量的个数为________________.

2x?x?3x?03?12

?1?17.设n阶可逆矩阵A的一个特征值是-3，则矩阵?A2?必有一个特征值为_____________.

?3??1

???1?2?2???18.设矩阵A=??2x0?的特征值为4，1，-2，则数x=________________________.

??????200???

??a??119.已知A=??2??0???0?2??b0?是正交矩阵，则a+b=_______________________________。

??01???1

20.二次型f（x1, x2, x3）=-4x1x2+2x1x3+6x2x3的矩阵是_______________________________。

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

abb2b?b3cc2的值。 c?c321.计算行列式D=a2a?a3

22.已知矩阵B=（2，1，3），C=（1，2，3），求（1）A=BTC；（2）A2。

23.设向量组?1?(2,1,3,1)T,?2?(1,2,0,1)T,?3?(-1,1,-3,0)T,?4?(1,1,1,1)T,求向量组的秩及一个极大线性无关组，并用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量。

??1??24.已知矩阵A=?0??0??210???3???14???????（2）解矩阵方程AX=B。 2?，B=?25?.（1）求A-1；

???1?3??1???????

?x1?2x2?3x3?4??25.问a为何值时，线性方程组?2x2?ax3?2有惟一解？有无穷多解？并在有解时求出

??2x?2x?3x?623?1其解（在有无穷多解时，要求用一个特解和导出组的基础解系表示全部解）。

??2?26.设矩阵A=?0???0???1?-1

使PAP=?0???0?003a?0??a?的三个特征值分别为1，2，5，求正的常数a的值及可逆矩阵P，??3???0??0?。 ??5??20

四、证明题（本题6分）

27.设A，B，A+B均为n阶正交矩阵，证明（A+B）-1=A-1+B-1。

全国2010年7月高等教育自学考试

线性代数（经管类）试题

课程代码：04184

试卷说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵；A*表示A的伴随矩阵；r(A)表示矩阵A

的秩；| A |表示A的行列式；E表示单位矩阵。

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.设3阶方阵A=（α1，α2，α3），其中αi（i=1,2,3）为A的列向量，若| B |=|（α1+2α2，α2，α3）|=6，则| A |=( ) A.-12 C.6

3 0 ?2 0 2 10 5 02.计算行列式=( )

0 0 ?2 0?2 3 ?2 3B.-6 D.12

A.-180 C.120

B.-120 D.180

3.若A为3阶方阵且| A-1 |=2，则| 2A |=( ) 1A. B.2 2C.4

4.设α1，α2，α3，α4都是3维向量，则必有( ) A.α1，α2，α3，α4线性无关 C.α1可由α2，α3，α4线性表示

5.若A为6阶方阵，齐次线性方程组Ax=0的基础解系中解向量的个数为2，则r(A)=( ) A.2 C.4

6.设A、B为同阶方阵，且r(A)=r(B)，则( )

B.3 D.5

B.α1，α2，α3，α4线性相关 D.α1不可由α2，α3，α4线性表示 D.8

A.A与B相似 C.A与B等价

B.| A |=| B | D.A与B合同

7.设A为3阶方阵，其特征值分别为2,1,0则| A+2E |=( ) A.0 C.3

8.若A、B相似，则下列说法错误的是( ) ．．A.A与B等价 C.| A |=| B |

9.若向量α=（1，-2,1）与β=(2，3，t)正交，则t=( ) A.-2 C.2

10.设3阶实对称矩阵A的特征值分别为2,1,0，则( ) A.A正定 C.A负定

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 ?3 ?2????2 1 ?1?11.设A=?0 1?,B=??，则AB=_________________. 0 ?1 0???2 4???B.2 D.24

B.A与B合同

D.A与B有相同特征值

B.0 D.4

B.A半正定 D.A半负定

12.设A为3阶方阵，且| A |=3，则| 3A-1 |=______________.

13.三元方程x1+x2+x3=1的通解是_______________.

14.设α=（-1，2，2），则与α反方向的单位向量是_________________.

15.设A为5阶方阵，且r(A)=3，则线性空间W={x | Ax=0}的维数是______________.

16.设A为3阶方阵，特征值分别为-2，

17.若A、B为5阶方阵，且Ax=0只有零解，且r(B)=3，则r(AB)=_________________.

? 2 ?1 0???18.实对称矩阵??1 0 1 ?所对应的二次型f (x1, x2, x3)=________________.

? 0 1 1???1，1，则| 5A-1 |=______________. 2

?1???1?????219.设3元非齐次线性方程组Ax=b有解α1=??，α2=? 2?且r(A)=2，则Ax=b的通解是?3?? 3?????_______________.

?1???20.设α=?2?，则A=ααT的非零特征值是_______________.

?3???

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

200010200021.计算5阶行列式D=00200

0002010002

22.设矩阵X满足方程

?2 0 0??1 0 0??1 ?4 3??????? ?0 ?1 0?X?0 0 1?=?2 0 ?1? ?0 0 2??0 1 0??1 ?2 0???????求X.

23.求非齐次线性方程组

?x1?x2?3x3?x4?1??3x1?x2?3x3?4x4?4的通. ?x?5x?9x?8x?0234?1

24.求向量组α1=（1,2，-1,4），α2=(9,100,10,4)，α3=（-2，-4,2，-8）的秩和一个极大无关组.

? 2 ?1 2???25.已知A=? 5 a 3?的一个特征向量ξ=（1,1，-1）T，求a，b及ξ所对应的特征值，

??1 b ?2???并写出对应于这个特征值的全部特征向量.

??2 1 1 ?2???26.设A=? 1 ?2 1 a?，试确定a使r(A)=2.

? 1 1 ?2 2???

四、证明题（本大题共1小题，6分）

27.若α1，α2，α3是Ax=b(b≠0)的线性无关解，证明α2-αl，α3-αl是对应齐次线性方程组Ax=0的线性无关解.

全国2010年10月高等教育自学考试

线性代数(经管类)试题 课程代码：04184

说明:在本卷中,AT表示矩阵A的转置矩阵,A*表示矩阵A的伴随矩阵,E是单位矩阵,|A|表示方阵A的行列式,r(A)表示矩A的秩.

一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分,共20分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设A为3阶矩阵,|A|=1,则|-2AT|=( ) A.-8 B.-2 C.2 D.8

2.设矩阵A=??1????1???,B=(1,1),则AB=( )

A.0 B.(1,-1) C. ??1???1?D. ??11????

???1?1???

3.设A为n阶对称矩阵,B为n阶反对称矩阵,则下列矩阵中为反对称矩阵的是( A.AB-BA B.AB+BA C.AB D.BA

4.设矩阵A的伴随矩阵A*=??12??-1

?34???

,则A= ( )

A.?1 ??4?3?2???21??? B. ?1?2 ?1?2????34??? C. ?1?122 ??D. ???42??1?34???

2 ?31????

5.下列矩阵中不是．．初等矩阵的是( ) ?101??001?

A.??010?B. ??? ?010??000????

?100????1C. ?100??030??

D. ?00???010??

?001??

??201??

)

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