高代试题

高等代数期末复习试题 学校：天水师范学院 班级：11级数应2班 姓名：杨明明

向量空间

一 判断题

(1) 平面上全体向量对于通常的向量加法和数量乘法: k????,k?R, 作成实数域R上

的向量空间. ( ) .

(2) 平面上全体向量对于通常的向量加法和数量乘法: k???0,k?R, 作成实数域R上

的向量空间. ( ).

(3) 一个过原点的平面上所有向量的集合是V3的子空间. ( ). (4) 所有n阶非可逆矩阵的集合为全矩阵空间Mn(R)的子空间. ( ).

nn(5) {(x1,x2,?,xn)|?xi?1,xi?R}为R的子空间. ( ).

i?1(6)所有n阶实反对称矩阵的集合为全矩阵空间Mn(R)的子空间. ( ).

n(7){(x1,0,?,0,xn)|x1,xn?R}为R的子空间. ( ).

(8)若?1,?2,?3,?4是数域F上的4维向量空间V的一组基, 那么?1,?2,?2??3,?3??4

是V的一组基. ( ).

(9)n维向量空间V的任意n个线性无关的向量都可构成V的一个基. ( ). (10)设?1,?2,?,?n是向量空间V中n个向量, 且V中每一个向量都可由?1,?2,?,?n

线性表示, 则?1,?2,?,?n是V的一组基. ( ).

(11) 设?1,?2,?,?n是向量空间V的一个基, 如果?1,?2,?,?n与?1,?2,?,?n等价, 则

?1,?2,?,?n也是V的一个基. ( ).

(12) x关于基x,x?x,x?1,x?1的坐标为(1,1,0,0). ( ). (13)设V1,V2,?,Vs为n维空间V3332的子空间, 且V?V1?V2???Vs.若

dimV1?dimV2???dimVs?n, 则V1?V2???Vs为直和. ( ).

(14)设V1,V2,?,Vs为n维空间V的子空间, 且V?V1?V2???Vs. 若

V1?V2?0,(V1?V2)?V3?0,?,(V1?V2???VS?1)?Vs?0, 则V1?V2???Vs为直和.

( ).

(15) 设V1,V2,?,Vs为n维空间V的子空间, 且V?V1?V2???Vs. 若

Vi?(?Vj)?{0}, 则V1?V2???Vs为直和. ( ).

j?i(16)设V1,V2,?,Vs为n维空间V的子空间, 且V?V1?V2???Vs. 若

Vi?(Vj)?{0},i?j,则V1?V2???Vs为直和. ( ).

(17) 设V1,V2,?,Vs为n维空间V的子空间, 且V?V1?V2???Vs. 零向量表法是唯一

的, 则V1?V2???Vs为直和. ( ).

(18) 设?1,?2,?,?n是向量空间V的一个基, f是V到W的一个同构映射, 则W的一个

基是f(?1),f(?2),?,f(?n). ( ).

(19) 设V是数域F上的n维向量空间, 若向量空间V与W同构, 那么W也是数域F上

的n维向量空间. ( ).

(20) 把同构的子空间算作一类, n维向量空间的子空间能分成n类. ( ).

二 填空题

(1) 全体实对称矩阵, 对矩阵的________________作成实数域R上的向量空间.

(2) 全体正实数的集合R,对加法和纯量乘法a?b?ab,k?a?a,构成R上的向量空间.

?k则此空间的零向量为___.

(3) 全体正实数的集合R,对加法和纯量乘法a?b?ab,k?a?a,构成R上的向量空间.

?k则a?R的负向量为________.

(4) 全体实二元数组对于如下定义的运算:

(a,b)?(c,d?)?a(c?,b?dac),),?

k(k?1)2k?(a,b)?ka(kb,?a2

构成实数域R上的向量空间. 则此空间的零向量为___.

(5) 全体实二元数组对于如下定义的运算:

(a,b)?(c,d?)?a(c?,b?dac),),

k(k?1)2k?(a,b)?ka(kb,?a2

构成实数域R上的向量空间. 则(a,b)的负向量为________.

(6) 数域F上一切次数?n的多项式添加零多项式构成的向量空间Fn[x]维数等于_____. (7) 任一个有限维的向量空间的基________的, 但任两个基所含向量个数是________. (8) 复数域C作为实数域R上的向量空间, 维数等于______, 它的一个基为_______. (9) 复数域C看成它本身上的向量空间, 维数等于______, 它的一个基为_______. (10) 实数域R上的全体n阶上三角形矩阵, 对矩阵的加法和纯量乘法作成向量空间,

它的维数等于_____.

(11) 向量??(0,0,0,1)关于基?1?(1,1,0,1),?2?(2,1,3,1),?3?(1,1,0,0)

?4?(0,1,?1,?1)的坐标为__________.

(12) x?2x?3关于F3[x]的一个基x,x?x,x?1,x?1的坐标为__________. (13) 三维向量空间的基?1?(1,1,0),?2?(1,0,1), 则向量??(2,0,0)

2332在此基下的坐标为 _______.

(14) V和W是数域F上的两个向量空间, V到W的映射f满足条件

__________________________________________, 就叫做一个同构映射.

(15) 数域F上任一n维向量空间V都与向量空间______同构.

(16) 设V的子空间W1,W2,W3,有W1?W2?W1?W3?W2?W3?0, 则W1?W2?W3

________直和. 三 简答题

(1) 设V?Mn(R). 问下列集合是否为V的子空间, 为什么? 1) 所有行列式等于零的实n阶矩阵的集合W1; 2) 所有可逆的实n阶矩阵的集合W2;

(2) 设L(R)是实数域R上所有实函数的集合, 对任意f,g?L(R),??R, 定义

(f?g)(x)?f(x)?g(x),(?f)(x)??f(x),x?R

对于上述运算L(R)构成实数域R上向量空间. 下列子集是否是L(R)的子空间? 为什么?

1) 所有连续函数的集合W1; 2) 所有奇函数的集合W2;

3) W3?{f|f?L(R),f(0)?f(1)};

n(3) 下列集合是否为R的子空间? 为什么? 其中R为实数域.

1) W1?{??(x1,x2,?,xn)|x1?x2???xn?0,xi?R}; 2) W2?{??(x1,x2,?,xn)|x1x2?xn?0,xi?R}; 3) W3?{??(x1,x2,?,xn)|每个分量xi是整数};

(4)设A,X,b分别为数域F上m?n,n?1,m?1矩阵, 问AX?b的所有解向量是F上的

向量空间吗? 说明理由.

(5) 下列子空间的维数是几?

1) L((2,?3,1),(1,4,2),(5,?2,4))?R3; 2)L(x?1,1?x2,x2?x)?F[x]

(6) 实数域R上m?n矩阵所成的向量空间Mm?n(R)的维数等于多少? 写出它的一个基. (7) 实数域R上, 全体n阶对称矩阵构成的向量空间的维数是多少？ (8)

若?1,?2,?,?n是数域F??2?,?3n?上n维向量空间V的一个基，

?1??,2,??1n,?n?? 也是V?的一个基吗？

(9) x?1,x?2,(x?1)(x?2)是向量空间F2[x]的一个基吗？

(10) 取R的两个向量?1?(1,0,1,0),?2?(1,?1,2,0).求R的一个含?1,?2的基.

3(11) 在R中求基?1?(1,0,1),?2?(1,1,?1),?3?(1,?1,1)到基

44?1?(3,0,1),?2?(2,0,0),?3?(0,2,?2)的过渡矩阵.

4(12) 在中F求向量??(1,2,1,1)关于基?1?(1,1,1,1),?2?(1,1,?1,?1),?3?(1,?1,1,?1)

?4?(1,?1,?1,1)的坐标.

(13) 设W1表示几何空间V3中过原点之某平面?1的全体向量所构成的子空间, W2为过原

点之某平面?2上的全体向量所构成的子空间, 则W1?W2与W1?W2是什么? W1?W2能不能是直和?

(14) 设W1?L(?1,?2,?3),W2?L(?1,?2),求W1?W2和W1?W2. 其中

?1?(1,2,?1,?2),?2?(3,1,1,1),?3?(?1,0,1,1); ?1?(2,5,?6,5),?2?(?1,2,?7,3).

(15) 证明 数域F上两个有限维向量空间同构的充分必要条件是它们维数相等. ?a(16)设V?{??bb??|a,b,c?R},W?{(d,e)|d,e?R},都是实数域R的向量空间.问V与c?W是否同构? 说明理由.

(17) 设?1,?2,?,?n为向量空间的一个基, 令?i??1??2????i,i?1,2,?,n且 Wi?L(?i).证明 V?W1?W2???Wn.

四计算题

,2??(1,3,0?,1)?3,?(1) 设由?1?(1,2,2,?2)?,2?(2?,1,0,3?)3,?从向量组?1?(3,1,0,3)?(?2,?1,2, ,5)R4的子空间W. 试生成(?3,?4,2,1?6),?4(1,7?,4),中找出15W的生成

(1) 解 以?1,?2,?3及?1,?2,?3,?4为列做成矩阵A, 在对A的行施行初等变换.

?1?2?A??2???2??130?12?3?1?1??2?05?3?1?0??0??0?010021?0?334216?0?10?0?1?10?0??1?7???4??15?1/21/2?1/240??1?1??0??21?B00

由于行初等变换不改变列向量间的线性关系. 由矩阵B知, ?1??1??3,?3???2??3,?4?2?1??2从而L(?1,?3,?4)?W.但由B还知?1,?3,?4线性无关, 故?1,?3,?4为W的一组生成元.

4(2) 在向量空间R中, 求由向量?1?(2,1,3,?1),?2?(4,5,3,?1),?3?(?1,1,?3,1)

?4?(1,5,?3,1)生成的子空间的一个基和维数.

(2) 解 对下述矩阵施行行的初等变换

?2?1??3???1??0?1??0??0?03021??515??3?3??3???111?00010??2?.0??3??4?1???????0?10?06?512?43?1?62?9?5???18??6?

此变换保持列向量间的线性关系, 由右方矩阵知?1,?3是一个极大无关组, 因此

L(?1,?2,?3,?4)的维数实是2,而?1,?3是它的一个基.

4(3) 在R中求出向量组?1,?2,?3,?4,?5的一个极大无关组,然后用它表出剩余的向量.

这里?1?(2,1,3,1),?2?(1,2,0,1),?3?(?1,1,?3,0),?4?(1,1,1,1),?5?(0,12,?12,5).

(3) 解 对下述矩阵施行行的初等变换

?2?1??3??1??0??1??0??1?12?110?31000100??112???21?1?15??1????????113101010?0?0100010?1??3?1?12??0?2??6??015??????????5??112??3?1?12?01??5.

01?3?105?00?0?00??210?

由右方矩阵知?2,?3,?4是一个极大无关组, 并且有 ? ?1??2??,3?5?2?2?5?3?3.

(4) 求M3(F)中与矩阵A可交换的矩阵构成的子空间的维数及一个基, 其中

?1? A?0??3?0110??0. ?2??(4) 解 设这个子空间为W, 由于A?I?B, 这里

?0? B?0??3?0010??0 ?1??因此与A可交换的3阶方阵, 就是与B可交换的3阶方阵, 从而 W?{X?M(F)|BX?3X. }B任取C?W,C?(cij). 由BC?CB, 可得c13?c23?0,3c11?c21?c31?3c33,

3c12?c22?c32?c33,于是C?W当且仅当C的元素为齐次线性方程组

c?3c?c21??3c1?131 ?

c?c23233?c22??3c1?的解. 于是我们得到如下矩阵

?1??3??0?0000??0??0,0???0???01?300??0??0,?1???0???10000??0? 0???0? ?0?0?0?110??0??0,3???0???00100??0 ?1??它们构成W的一个基, 故W的维数是5.

(5) 求实数域上关于矩阵A的全体实系数多项式构成的向量空间V的一个基与维数.其中

?1? A??0?0?(5) 解 因??1, 所以

30?00??1?3i?0,??. ?22????1?2 A????2?2??1?3?,A????????1???I ?1??2易证I,A,A线性无关. 于是任何多项式f(A)(f(x)?R[x])皆可由I,A,A线性表示, 故

2I,A,A为的一个基, dimV?3.

(6) 设(x1,x2,x3,x4)为向量?关于基?1?(1,0,0,1),?2?(0,2,1,0),?3?(0,0,1,1),

?4?(0,0,2,1)的坐标; (y1,y2,y3,y4)是?关于基?1,?2,?3,?4的坐标, 其中y1?x1,

y2?x2?x1,y3?x3?x2,y4?x4?x2.求基?1,?2,?3,?4

?x1?x2.(6) 解 因??(?1,?2,?3,?4)??x3??x?4?? ?????y1??y2??y3??y4???1??1??0??0?01?1?1??????(?,?,?,?)?1234????????0010y1??y2?且 y3??y4??0?x1??x1???????x0x2? ????P?2?x3??0?x3????????x??x1???4??4?则

?x1?x2 (?1,?2,?3,?4)??x3??x?4??x1??x??(?,?,?,?)P?21234??x3????x??4(?1,?2,?3,P?4, )即 (?1,?2,?3,P?4 )?1??? ????于是 (?1,?2,?3,?4?) (?1,?2,?3,?4?)故所求的基为?1?(1,2,4,3),?2?(0,2,4,2),?3?(0,0,1,1),?4?(0,0,2,1).

(7) 设?1,?2,?,?n是n维向量空间V的一个基，?1,?1??2,?,?1??2????n也是 V的一个基，又若向量?关于前一个基的坐标为(n,n?1,?,2,1), 求?关于后一个基的

坐标.

(7) 解 基?1,?2,?,?n到后一个基的过渡矩阵为

?1?0? P????0?0?11?00?????11?101??1??. ?1??1?那么

?? ?????0??n??1?1y1????n?101?1?????y2??P?1?????????????200?????0yn???1??000????0??n??0n??????????1??1?????1????2??1???1??1????? ????1??1??故?关于后一个基的坐标为(1,1,?,1).

3(8) 已知R的一个基为?1?(1,1,0),?2?(0,0,2),?3?(0,3,2). 求向量??(5,8,?2)

关于这个基的坐标.

(8) 解 设??x1?1?x2?2?x3?3, 的方程组

x1?5?? ?x1?3x3?8

?2x?2x??23?2 解得x1?5,x2??2,x3?1. 故?关于基?1,?2,?3的坐标(5,?2,1).

4(9) 已知?1?(2,1,?1,1),?2?(0,3,1,0),?3?(5,3,2,1),?4?(6,6,1,3)是R的一个基.

求R4的一个非零向量?, 使它关于这个基的坐标与关于标准基的坐标相同.

(9) 解 由标准基?1,?2,?3,?4到基?1,?2,?3,?4的过渡矩阵为

?2?1? P???1??1?031053216??6? ?1??3?设?关于两个基的坐标为(x1,x2,x3,x4), 则 ?x1?x2 ??x3??x?4??x1????x??P?2?, ??x3?????x????4?即得齐次线性方程组 x1?5x3?6x???x1?2x3?3x3? ???x1?x2?x3??x1?x3?2x?4?00

6x?4x?044?0解得x1?x2?x3??x4, 令x4?k?0,k?R, 则??(?k,?k,?k,k)即为所求.

4(10)已知R的一个基?1?(2,1,?1,1),?2?(0,3,1,0),?3?(5,3,2,1)?4?(6,6,1,3).

求??(x1,x2,x3,x4)关于基?1,?2,?3,?4的坐标.

(10) 解 由标准基到所给基的过渡矩阵为

?2?1 P????1??1?031053216??6? ?1??3?那么

?x1?x2 ??(?1,?2,?3,?4)??x3??x?4??x1??x??(?,?,?,?)P?1?21234??x3????x??4??? ????故?关于基?1,?2,?3,?4的坐标为(y1,y2,y3,y4), 这里 ?? ?????y1????y2?1??P??y3????y4???x1??4/91/3?1???x21/274/9?1/?3???x3??1/300????x4?1/3???7/27?1/9x111???/9???23/x27?. ??2?x3?2/?3????x??726??/24?

五 证明题

(1) 设W1,W2为向量空间V(F)的两个子空间. 1)证明: W1?W2是V的子空间.

2)W1?W2是否构成V的子空间, 说明理由. (1) 证明

1) 显然0?W1?W2, 即W1?W2??, 任取?1,?2?W1?W2,k?F, 易知

?1??2?W1?W2,k?1?W1?W2, 故W1?W2是V的子空间.

2) 不一定. 当W1?W2或W2?W1时, W1?W2是V的子空间. 但当W1与W2互不包含时,

W1?W2不是V的子空间. 因为总存在?1?W1,??W及?2?W2,?2?W1使12

?1,?2?W1?W2, 而?1??2?W1?W2, 因为这时?1??2?W1,?1??2?W2, 否则与选取

矛盾.

(2) 设W1,W2为向量空间V的两个子空间. 证明: W1?W2是V的即含W1又含W2的最小

子空间.

{?(2) 证明 易知W1?W2?W1?W1?W2,W2?W1?W2.

1??|2?1?W,?1为?W}V2的子空间, 且

设W为V的包含W1与W2的任一子空间, 对任意?1?W1,?2?W2,有?1??2?W, 即W1?W2?W, 故W1?W2是V的即含W1又含W2的最小子空间.

(3) 设W1,W2为向量空间V(F)的两个子空间. ?,?是V的两个向量, 其中??W2, 但

??W1, 又??W2. 证明:

1)对任意k?F,??k??W2;

2)至多有一个k?F,使得??k??W1. (3) 证明

1) 任意k?F,若??k??W2, 则??(??k?)?k??W2矛盾, 故1)成立.

2) 当??W1时, 仅当k?0时, 有??k??W1; 当??W1时, 若存在k1,k2?F,k1?k2使得?1???k1??W1,?2???k2??W1, 则?1??2?(k1?k2)??W1, 因此??W1, 矛盾, 故2)成立.

(4) 设W1,W2为向量空间V的两个子空间. 证明 若W1?W2?W1?W2, 则W1?W2或

W2?W1.

(4) 证明 因W1?W2含W1与W2中所有向量, W1?W2含一切形如

?1??2(?1?W1,?2?W2)的向量, 因为W1?W2?W?1?1??2?W2

W, 所以?1??2?W1或

. 若?1??2?W1, 令?1??2??, 则?2????1, 故W2?W1; 若?1??2?W2, 令

?1??2??, 则?1????2, 故W1?W2.

(5) 证明: n维向量空间V中, 任意n个线性无关的向量都可作为V的一个基.

V?L(?1,?2,?,?n), 且?1,?2,?,?n中每一个可由?1,?2,?,?n线性表示. 由替换定理知

?1,?2,?,?n与?1,?2,?,?n等价, 所以V中每一个向量可由?1,?2,?,?n线性表示, 又 ?1,?2,?,?n线性无关, 故?1,?2,?,?n可作为V的一个基.

(6) 设V为n维向量空间, V中有m组线性无关的向量, 每组含t个向量, 证明: V中存在n?t个向量与其中任一组组成V的一个基.

(6) 证明 设V中m组线性无关的向量分别为?i1,?i2,?,?it(i?1,2,?,m),t?n. 令 Vi?L(?i1,?i2,?,?it), 则dimVi?t?n. 因存在?1?Vi,(i?/1?,2,m, ,使)/?i1,?i2,?,?it,?1线性无关, 若t?1?n,令Vi?L(?i1,?i2,?,?it,?1), 则Vi也为V的非平

凡子空间, 同理存在?2?V?Vi,i?1,2,?,m, 而且?i1,?i2,?,?it,?1,?2线性无关, 如此继续下去, 可找到?1,?2,?,?n?t使得?i1,?i2,?,?it,?1,?2,?,?n?t线性无关, 故对每个i, 它们都是V的一个基.

(7) 设n维向量空间V的向量组?1,?2,?,?n的秩为r, 使得k1?1?k2?2???kn?n?0/全体n维向量(k1,k2,?,kn)的集合为W. 证明W是Fn的n?r维子空间.

(7) 证明 显然dimL(?1,?2,?,?n)?r, 今设每个?i在L(?1,?2,?,?n)的某个基下的坐

标为

?ai1?ai2? [?i]?????a?ir???,i?1,2,?,n ????那么由k1?1?k2?2???kn?n?0可得

k1[?1]?k2[?2]???kn[?n]?0.

它决定了一个含n个未知量k1,k2,?,kn,r个方程的齐次线性方程组, 其系数矩阵

([?1],[?2],?,[?n])的秩为r, 故解空间即W的维数为n?r.

(8) 设a1,a2,?,an是数域F中n个不同的数, 且f(x)?(x?a1)(x?a2)?(x?an). 证明

多项式组fi(x)?f(x)(x?ai)(i?1,2,?,n)是向量空间Fn?1[x]的一个基.

(8) 证明 因dimFn?1[x]?n, 所以只需证f1,f2,?fn线性无关. 设有k1,k2,?,kn?F,

使

k1f?k2f2???knfn?0 (*) 由fj(ai)?0,i?j,fi(ai)?0, 因此将ai带入(*)得kifi(ai)?0, 从而ki?0,(i?1,2,?n)故f1,f2,?fn线性无关, 为Fn?1[x]的一个基.

n(9) 设W是R的一个非零子空间, 而对于W的每一个向量(a1,a2,?,an)来说, 或者

a1?a2???an?0, 或者每一个ai都不等于零. 证明: dimW?1.

(9) 证明 由W非零, 我们总可以取??(b1,b2,?,bn)?W, 且??0, 那么每个bi?0且

?线性无关. 今对任意??(a1,a2,?,an)?W, 若??0当然?可由?线性表示; 若??0而??a1b1??W, 由于其第一个分量为0, 由题设知??a1b1?. 故?可作为W的一个基,

且dimW?1.

(10) 证明: x?x,x?x,x?1是F2[x]的一个基, 并求2x?7x?3关于这个基的坐标. (10) 证明: dimF2[x]?3,x?x,x?x,x?1由基1,x,x表示的演化矩阵为

222222?0? A??1?1?220?111??1 ??0?但A可逆, 故x?x,x?x,x?1是F2[x]的一个基.

2x?7x?3关于这个基的坐标(3,?1,3),

2因为

?3??3?????1?A7??1.

?????2??3?????(11) 若W1,W2,W3都是V的子空间, 求证:

W1?((W1?W2)?W3)?(W1?W2)?(W1?W3).

(11) 证明: 任意??W1?((W1?W2)?W3), 则??W1, 且??(W1?W2)?W3, 因此

???1??3,?1?W1?W2,?3?W3, 但??W1, 知?3?W1?W3, 故 ??(W1?W2)?(W1?W3).

反之, 任意??(W1?W2)?(W1?W3, )???1??2,?1?W1?W2,?2?W1?W3, 则

??W1, 且??(W1?W2)?W3,

(12) 设W1,W2,?,Ws是n维向量空间V的子空间. 如果W1?W2???Ws为直和.

证明:

(12) 证明: 由

W1?W2???Ws为直和, 有

Wi?(?Wj)?{0},i?j,i,j?1,2,?,s, 而

i?j(?W)j?{0i}?,jij,?, Wi?Wj?W?ii?j?1,s2. ,故

Wi?Wj?{0},i?j,i,j?1,2,?,s.

(13) 设W1,W2分别是齐次线性方程组x1?x2???xn?0与x1?x2???xn的解空间.

证明: F?W1?W2.

(13) 证明 因x1?x2???xn?0的解空间的维数为n?1, 且一个基为

n?1?(?1,1,0,?,0),?2?(?1,0,1,0,?,0),?,?n?1?(?1,0,?,0,1), 又x1?x2???xn

即方程组

?x1?x2?0??x2?x3?0 ?

?????xn?1?xn?0?的系数矩阵的秩为n?1, 其解空间的维数为1, 且一个基为??(1,1?,,, 1但

?1,?2,??n?1,?线性无关, 它是Fn的一个基, 且dimFn?dimW1?dimW2, 故

Fn?W1?W2.

(14) 证明 每一个n维向量空间都可以表成n个一维子空间的直和.

(14) 证明: 设?1,?2,?,?n是n维向量空间V的一个基, 那么L(?1),L(?2),?,L(?n)

都是一维子空间.

显然 V?L(?1)?L(?2)???L(?n) 于是由V中向量在此基下表示唯一, 立得结论.

(15) 证明n维向量空间V的任意一个真子空间都是若干个n?1维子空间的交.

(15) 证明: 设W是V的任一子空间, 且设?1,?2,?,?s为W的一个基, 将其扩充为V的

一个基?1,?2,?,?s,?s?1,?,?n, 那么令

Wi?L(?1,?2?,?,s?,?s1?,??,s?i?,??,1??si1 ,n)于是这些Wi,i?1,2,?n?s, 均为n?1维子空间, 且W?W1?W2???Wn?s.

(16)设f:V?W是数域F上向量空间V到W的一个同构映射, V1是V的一个子空间.

证明: f(V1)是W的一个子空间.

(16) 证明: 因f(0)?f(V1), 所以f(V1)非空. 对任意?,??f(V1), 由于f是V1到

//f(V1)的满射, 因此存在?,??V1, 使f(?)??,f(?)??, 对任意a,b?F, 有 a??b??V1, 于是f(a??b?)?af(?)?bf(?)?a??b??f(V1), 故f(V1)是W////的一个子空间.

(17) 证明: 向量空间F[x]可以与它的一个真子空间同构.

(17) 证明: 记数域F上所有常数项为零的多项式构成的向量空间V, 显然V?f[x], 且V中有形式xf(x), 这里f(x)?F[x].

定义 ?:F[x], ?V;f(x)?xf(x)显然?是F[x]到V的双射, 且对于任意 f(x),g(x?)F[x],a,?b ,Fbg(x))b(

?(af(x)??axf(x)?bg(x)?)x(af?(x)(f?)x)?bx(g?)x?a(

(g)x)故?是F[x]到V的同构映射. 从而V是F[x]的一个真子空间, F[x]?V.

(18) 设?,?是复数, V?{f(x)?R[x]|f(?)?0},W?{g(x)?R[x]|g?()?, 0}证明: V,W是R上的向量空间, 并且V?W.

(18) 证明: 易证V,W是R上的向量空间,

设V中次数最低的多项式为h(x), 则对任意f(x)?V, 都有s(x)?R[x], 使

f(x)?h(x)s(x), 因此V?{h(x)s(x)|s(x)?R[x]}

同理, 设W中次数最低的多项式为k(x), 则W?{k(x)s(x)|s(x)?R[x]}. 定义?:h(x)s(x)?k(x)s(x)

易证?是V到W的同构映射, 故V?W.

?(19) 证明 实数域R作为它自身上的向量空间与全体正实数集R对加法: a?b?ab, 与

纯量乘法: k?a?ak构成R上的向量空间同构.

(19) 证明: 定义?:x?a(a?1)

x显然?是R到R?的映射.

1)x,y?R, 若x?y, 则a?a, 所以?为单射;

xy任意b?R, 因b?a?logab,loga?R, 则?(loga)?b, 即?为满射.从而?为双射.

x?ybb2) 任x,y?R,?(x?y)?a3) 任k?R,?(kx)?akx?aa?a?a??(x)??(y).

kxxyxy?(a)?k?a?k??(x),

x于是?是R到R?的同构映射. 故R?R?.

(20) 设V是数域F上无限序列(a1,a2,?)的集合, 其中ai?F, 并且只有有限ai不是零. V的加法及F中的数与V中元的纯量乘法同Fn, 则V构成F上的向量空间. 证明: V与

F[x]同构.

(20) 证明: 取F[x]的一个基1,x,x,?, 则F[x]中任一多项式

n f(x)?a0?a1x???anx

2关于这个基有唯一确定的坐标(a0,a1,?,an,0,?)?V.

定义?:f(x)?(a0,a1,?,an,0,?)

则?是F[x]到V的一个同构映射, 故F[x]?V.

判断题答案

错误 (6正)确 (7)正确 (8)(1)错误 (2)错误 (3)正确 (4)错误 (5)正确 (9)正确 (10)错误 (11)正确 (12)错误 (13)正确 (14)正确 (15)正确 (16)错误

(17)正确

(20错误 (18)正确 (19正确))填空题答案

) (3)(1)加法和数量乘法 (21

1a (4)(0,0) (5)(?a,a2?b) (6)n?1 (7)不唯一, 相

(11)(1,0,?1,0) (12)(0,0,1, 2(13)(1,1?, 1 )等 (8)2;1i, (9) (10)1;1

n(n?1)2(14)f是V到W的双射; 对任意?,??V,f(???)?f(?)?f(?); 对任意a?F,??V,f(?a)?n a?(f (15))F (16不一定是

简答题答案

(1)1)W1不是V的子空间. 若A,B?W1,|A?B|若未必等于零, W1对加法不封闭. 2)W2不是V的子空间. 因为A?W3,|A|?0, 则|?A|?0, 但|A?(?A)|?0, 对加法不封

闭.

(2)1) W1是L(R)的子空间. 因为两个连续函数的和及数乘连续函数仍为连续函数. 2) W2是L(R)的子空间. 因为两个奇函数的和及数乘奇函数仍为奇函数. 3) W3是L(R)的子空间. 因为W3非空, 且对任意f,g?W3,??R,有 (f?g)(0)?f(0)?g(0)?f(1)?g(1)?(f?g)(1);?f(0)??(f(0))??(f(1))?(?f)(1),故f?g,?f?W3.

(3)1) 是. 因W1是齐次方程组x1?x2???xn?0的全体解向量. 2) W2不是R的子空间. 因W2对加法不封闭.

n3) W3不是子空间. 因对数乘运算不封闭.

(4)当b?0时, AX?b的所有解向量不能构成F上的向量空间. 因n维零向量不是 AX?b的解向量. 当b?0时,AX?0的所有解向量能构成F上的向量空间.

(5)

1) 维数是2. 因(2,?3,1),(1,4,2)线性无关, 而(5,?2,4)?2(2,?3,1)?(1,4,2). 2) 维数是2. 因易证x?1,1?x线性无关, 但(x?1)?(1?x)?(x?x)?0.

(6) 解 令Eij表示i行j列位置元素是1其余是零的m?n矩阵. 那么易证Eij这m?n个矩

222阵是线性无关的. 它们作成Mm?n(R)的一个基, 故Mm?n(R)的维数是m?n.

(7) Eii,Eij?Eji,i,j?1,2,3,?,n,i?j, 为全体n阶对称矩阵构成的向量空间的一个基,

其中共有n?1?2???(n?1)个向量, 故此向量空间的维数

(8) 解 由

??,???)?(?,??, (?1??2,?,?n?1nn112,A?. )n(n?1)2.

n得|A|?1?(?1)n?1. 当n为偶数时, |A|?0, 故?1??2,?2??3,?n??1线性相关, 它不构成基. 当n为奇数时, |A|?0, 故?1??2,?2??3,?n??1线性无关, 它构成一个基.

(9) 解 在基1,x,x之下有

2 (x?1,x?2,x?(1?x)(??12??2))x(x1,,??0?2?2??)1. 1?01??1因上式右方的3阶矩阵为可逆, 所以x?1,x?2,(x?1)(x?2)线性无关, 它是F2[x]的一个基.

(10) 解 取向量?3?(0,0,1,0),?4?(0,0,0,1),由于

11?120001000??1?0 ,014

010因此?1,?2,?3,?4线性无关, 所以向量组是R的一个基.

(11) 解 由

(?1,?2?,推出 (?1,?23?)?(1?,?,A)?,?(1?,2?,3?)?233?(B, ,12)?,?)?(?,?,A)B 123?1因此所求过渡矩阵为 ????1 AB????????1???31???02???1?1????2?0121210?12000??10?0???2?111. ??????2???11?1?4(12) 解 取F的标准基?1,?2,?3,?4. 由?1,?2,?3,?4到?1,?2,?3,?4的过渡矩阵为

?1?1 A???1??1?1??1?1?1?

?11??1???1?11?11于是??(1,2,1,1)关于基?1,?2,?3,?4的坐标为

?5?4??1??1??2?4 A?1?????1?1????1?????4?1???4??????. ?????(13) 解 由于W1,W2皆过原点, 它们必相交, 因此或重合, 或不重合. 若W1与W2重合, 则

W1?W2?W1,W1?W2?W1. 若W1与W2不重合, 则W1?W2为一条过原点的直线, 而 W1?W2?V, 但W1?W2不能是直和.

(14) 解 设??k1?1?k2?2?k3?3?t1?1?t2?2?W1?W2为交空间的任意向量.由 ?k?3?3t?1?t1??0,2 k1?1?k?222得齐次线性方程组

?k1?3k2?k3?2t1?t2?0??2k1?k2?5t1?2t2?0 ???k1?k2?k3?6t1?7t2?0??2k1?k2?k3?5t1?3t2?0?由行初等变换知方程组的系数矩阵的秩为4, 解空间的维数为1, 且求得方程组的一般解为

k1??47t2,k2??87t2,k3??97t2,k4??67t2因此维(W1?W2)?1, 维(W1?W2)?4.

取t2?7,令???6?1?7?2便有W1?W2?L(?), 另外显然W1?W2?L(?1,?2,?3,?1).

(15) 证明 设数域F上两个有限维向量空间V与W的维数均为n, 因V?F,W?F所

nn以V?W.

反之, 若V?W, 设dimV?n?0, 且f是V到W的同构映射. 取V的一个基 ?1,?2,?,?n, 易证f(?1),f(?2),?,f(?n)是W的一个基, 故dimW?n.

(16) V与W不同构. 因dimV?3,dimW?2, V与W的维数不相等. (17) 证明 任取??V, 若??a1?1?a2?2???an?n, 那么

??(a1?a2???an)?1?(a2?a3???an)?2?(an?1?an)?n?1??n?n

因此V?W1?W2???Wn, 并且V中向量依诸Wi表示唯一, 故 V?W1?W2???Wn

2012年6月22日

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/oeop.html