高二数学导数及其应用单元测试题

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导数习题

鄂州市第二中学高二数学《导数及其应用》单元测试

一、选择题:(本大题共10小题,每小题5分, 共50分)

1.设函数f(x)在x0处可导,则lim

x 0

f(x0 x) f(x0)

等于 ( C )

x

A.

f'(x0) B.f'( x0) C.-f'(x0) D.-f'( x0)

2.若函数f(x)的导数为f′(x)=-sinx,则函数图像在点(4,f(4))处的切 线的倾斜角为( C )

A.90° B.0° C.锐角 D.钝角 3.函数y=x-3x在[-1,2]上的最小值为 ( B )

3

A、2 B、-2 C、0 D、-4

2

4.设函数f x 的导函数为f x ,且f x x 2x f 1 ,则f 0 等于 (B )

A、0 B、 4 C、 2 D、2

32

5.已知f(x)=x+ax+(a+6)x+1有极大值和极小值,则a的取值范围为( D ) A、-1<a<2 B、-3<a<6 C、a<-1或a>2 D、a<-3或a>6

6、设函数f(x)=kx3+3(k-1)x2 k2+1在区间(0,4)上是减函数,则k的取值范围是 ( D ) A、k

1 3

B、0 k

1 3

C、0 k

1 3

D、k

1 3

7、设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如下图所示,则导函数y=f (x) 可能为 (D )

A C D B 8、对于R上可导的任意函数f(x),且f'(1) 0若满足(x-1)f (x)>0,则必有 ( C )

A、f(0)+f(2) 2f(1) B、f(0)+f(2) 2f(1) C、f(0)+f(2)>2f(1) D、f(0)+f(2) 2f(1)

9、已知二次函数f(x) ax2 bx c的导数为f (x),f (0) 0,对于任意实数x,有

f(x)≥0,则

A.3

f(1)

的最小值为(C ) f(0)

5

2

C.2

D.

B.

3 2

10、f(x)是定义在区间[-c,c]上的奇函数,其图象如图所示:令g(x)=af(x)+b,则下 列关于函数g(x)的叙述正确的是(B )

A.若a<0,则函数g(x)的图象关于原点对称.

B.若a=-1,-2<b<0,则方程g(x)=0有大于2的实根.

导数习题

C.若a≠0,b=2,则方程g(x)=0有两个实根. D.若a≥1,b<2,则方程g(x)=0有三个实根.

二、填空题(共5小题,每小题5分,共25分) 11.求f x sin3

13121c的导数y 2sinxxx12.曲线S:y=3x-x3的过点A(2,-2)的切线的方程是y=-9x+16或y=-2 。 13. 设P为曲线C:y x2 2x 3上的点,且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围

为 0 ,则点P横坐标的取值范围为 -1 .

42

1

14.设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数,则曲线y f(x)在x 5 处的切线的斜率为 0

15. 已知直线x+2y-4=0与抛物线y2=4x相交于A、B两点,O是坐标原点,P是抛物线的弧

上求一点P,当△PAB面积最大时,P点坐标为 P(4,-

三、解答题(共6小题,,共75分)

16、(本题满分12分)对于三次函数f(x) ax3 bx2 cx d(a 0),定义:

设f (x)是函数y f(x)的导函数y f (x)的导数,若f (x) 0有实数解x0,则

称点(x0,f(x0))为函数y f(x)的“拐点”。现已知f(x) x 3x 2x 2,请解答下列问题:

(1)求函数f(x)的“拐点”A的坐标;

(2)求证f(x)的图象关于“拐点”A 对称;并写出对于任意的三次函数都成立的有关“拐点”的一个结论(此结论不要求证明).

3

2

16、[解析](1)f (x) 3x2 6x 2,f (x) 6x 6.令f (x) 6x 6 0得

3

x 1, f(1) 1 3 2 2 2. 拐点A(1, 2)

32

(2)设P(x0,y0)是y f(x)图象上任意一点,则y0 x0 3x0 2x0 2,因为

P(x0,y0)关于A(1, 2)的对称点为P (2 x0, 4 y0),把P 代入y f(x)得

32左边 4 y0 x0 3x0 2x0 2,

32右边 (2 x0)3 3(2 x0)2 2(2 x0) 2 x0 3x0 2x0 2

右边=右边 P (2 x0, 4 y0)在y f(x)图象上 y f(x)关于A对称

导数习题

猜想:所有的三次函数图象都关于它的拐点对称。

17. (本题满分12分)已知函数f(x)是(0, )上的可导函数,若xf (x) f(x)在x 0时恒成立.

(1)求证:函数g(x)

f(x)

在(0, )上是增函数; x

(2)求证:当x1 0,x2 0时,有f(x1 x2) f(x1) f(x2).

f(x)xf (x) f(x)

,因为xf (x) f(x), 得g (x) 2

xx

f(x)

所以g (x) 0在x 0时恒成立,所以函数g(x) 在(0, )上是增函数.

x

f(x)

(2)由(1)知函数g(x) 在(0, )上是增函数,所以当x1 0,x2 0时,

x

17. (1)由g(x) 有

f(x1 x2)f(x1)f(x1 x2)f(x2)

成立, ,

x1 x2x1x1 x2x2

x1x2

f(x1 x2),f(x2) f(x1 x2)

x1 x2x1 x2

从而f(x1)

两式相加得f(x1 x2) f(x1) f(x2) 18. (本题满分12分)已知函数f(x) xlnx. (Ⅰ)求f(x)的最小值;

(Ⅱ)若对所有x 1都有f(x) ax 1,求实数a的取值范围.

18. 解析:f(x)的定义域为(0,+ ), 1分 f(x)的导数f (x) 1 lnx. 3分

11;令f (x) 0,解得0 x . ee

1 1

从而f(x)在 0 单调递减,在 ,+ 单调递增. 5分

e e 11

所以,当x 时,f(x)取得最小值 . 6分

ee

(Ⅱ)解法一:令g(x) f(x) (ax 1),则

g (x) f (x) a 1 a lnx, 8分 ① 若a 1,当x 1时,g (x) 1 a lnx 1 a 0,

,+ )上为增函数, 故g(x)在(1

所以,x 1时,g(x) g(1) 1 a 0,即f(x) ax 1. 10分 ② 若a 1,方程g (x) 0的根为 x0 ea 1,

令f (x) 0,解得x

导数习题

此时,若x (1,x0),则g (x) 0,故g(x)在该区间为减函数. 所以x (1,x0)时,g(x) g(1) 1 a 0,

即f(x) ax 1,与题设f(x) ax 1相矛盾. 13分 综上,满足条件的a的取值范围是( ,1]. 14分 解法二:依题意,得f(x) ax 1在[1, )上恒成立,

1

对于x [1, )恒成立 . 8分 x11111

令g(x) lnx , 则g (x) 2 1 . 10分

xxxx x

1 1

当x 1时,因为g (x) 1 0,

x x

)上的增函数, 所以 g(x)的最小值是g(1) 1, 13故g(x)是(1,

即不等式a lnx

1]. 14分 所以a的取值范围是( ,

19、(本题满分12分)请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如右图所示)。试问当帐篷的顶点O到底面中心o1的距离为多少时,帐篷的体积最大?

【注:V柱体 S底 h, V锥体 S底 h】

13

19、解:设正六棱锥的高为x m,

m)。

2分 于是底面正六边形的面积为(单位:m2)

:S 6帐篷的体积为(单位:m3):

2 x2)。 42

4分

V(x)

1

x2) x 1 x2)(3 x) x3 3x2 9x 27)(1 x 3) 3 8分

求导数,得V (x)

2

x 2x 3); 2

令V (x) 0解得x=-3(不合题意,舍去),x=1。 10分 当0<x<1时,V (x) 0,V(x)为增函数;当1<x<3时,V (x) 0,V(x)为减函数。 所以当x=1时,V(x)最大。即当OO1为2m时,帐篷的体积最大。 12分

导数习题

20. (本题满分13分)已知函数f(x)=ax+bx-3x在x=±1处取得极值.

3

2

(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;

(Ⅱ)求证:对于区间[-1,1]上任意两个自变量的值x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤4; (Ⅲ)若过点A(1,m)(m≠-2)可作曲线y=f(x)的三条切线,求实数m的取值范围. 20. 解:(I)f′(x)=3ax+2bx-3,依题意,f′(1)=f′(-1)=0,

2

3a 2b 3 0

, 解得a=1,b=0. ∴f(x)=x3-3x.

3a 2b 3 0

3

2

(II)∵f(x)=x-3x,∴f′(x)=3x-3=3(x+1)(x-1),

当-1<x<1时,f′(x)<0,故f(x)在区间[-1,1]上为减函数, fmax(x)=f(-1)=2,fmin(x)=f(1)=-2 6分 ∵对于区间[-1,1]上任意两个自变量的值x1,x2, 都有|f(x1)-f(x2)|≤|fmax(x) -fmin(x)|

|f(x1)-f(x2)|≤|fmax(x)-fmin(x)|=2-(-2)=4 8分

(III)f′(x)=3x-3=3(x+1)(x-1),

∵曲线方程为y=x-3x,∴点A(1,m)不在曲线上.

3

设切点为M(x0,y0),则点M的坐标满足y0 x0 3x0.

3

2

3

x0 3x0 m

因f (x0) 3(x 1),故切线的斜率为3(x 1) ,

x0 1

20

20

32

整理得2x0 3x0 m 3 0.∵过点A(1,m)可作曲线的三条切线, 32∴关于x0方程2x0 3x0 m 3=0有三个实根. 10分 322设g(x0)= 2x0 3x0 m 3,则g′(x0)=6x0 6x0,

由g′(x0)=0,得x0=0或x0=1.

∴g(x0)在(-∞,0),(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减.

导数习题

32

∴函数g(x0)= 2x0 3x0 m 3的极值点为x0=0,x0=1 12分 32∴关于x0方程2x0 3x0 m 3=0有三个实根的充要条件是

g(0) 0

,解得-3<m<-2.故所求的实数a的取值范围是-3<m<-2.

g(1) 0

21. (本题满分14分)已知f(x) ax lnx,x (0,e],g(x)

lnx

,其中e是自然常数,x

a R.

(Ⅰ)讨论a 1时, f(x)的单调性、极值; (Ⅱ)求证:在(Ⅰ)的条件下,f(x) g(x)

1; 2

(Ⅲ)是否存在实数a,使f(x)的最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.

21.解:(Ⅰ) f(x) x lnx,f (x) 1

1x 1

1分 xx

∴当0 x 1时,f/(x) 0,此时f(x)单调递减

/

当1 x e时,f(x) 0,此时f(x)单调递增 3分

∴f(x)的极小值为f(1) 1 4分 (Ⅱ) f(x)的极小值为1,即f(x)在(0,e]上的最小值为1, ∴ f(x) 0,f(x)min 1 5分 令h(x) g(x)

1lnx11 lnx ,h (x) , 6分 2x2x

当0 x e时,h (x) 0,h(x)在(0,e]上单调递增 7分 ∴h(x)max h(e)

1111

1 |f(x)|min e222

∴在(1)的条件下,f(x) g(x)

1

9分 2

(Ⅲ)假设存在实数a,使f(x) ax lnx(x (0,e])有最小值3,

f/(x) a

1ax 1 9分

xx

4

(舍去),e

① 当a 0时,f(x)在(0,e]上单调递减,f(x)min f(e) ae 1 3,a 所以,此时f(x)无最小值. 10分

导数习题

②当0

111

e时,f(x)在(0,)上单调递减,在(,e]上单调递增

aaa

1

f(x)min f() 1 lna 3,a e2,满足条件. 11分

a

③ 当

14

e时,f(x)在(0,e]上单调递减,f(x)min f(e) ae 1 3,a (舍去),ae

2

所以,此时f(x)无最小值.综上,存在实数a e,使得当x (0,e]时f(x)有最小值3.

本文来源:https://www.bwwdw.com/article/oemm.html

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