高二数学导数及其应用单元测试题

导数习题

鄂州市第二中学高二数学《导数及其应用》单元测试

一、选择题：(本大题共10小题,每小题5分, 共50分)

1．设函数f(x)在x0处可导，则lim

x 0

f(x0 x) f(x0)

等于 （ C ）

x

A．

f'(x0) B．f'( x0) C．-f'(x0) D．-f'( x0)

2．若函数f(x)的导数为f′(x)=-sinx，则函数图像在点（4，f（4））处的切 线的倾斜角为（ C ）

A．90° B．0° C．锐角 D．钝角 3．函数y=x－3x在[－1，2]上的最小值为 （ B ）

3

A、2 B、－2 C、0 D、－4

2

4．设函数f x 的导函数为f x ，且f x x 2x f 1 ，则f 0 等于 (B )

A、0 B、 4 C、 2 D、2

32

5．已知f(x)＝x＋ax＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为( D ) A、－1<a<2 B、－3<a<6 C、a<－1或a>2 D、a<－3或a>6

6、设函数f(x)＝kx3＋3(k－1)x2 k2＋1在区间（0，4）上是减函数，则k的取值范围是 （ D ） A、k

1 3

B、0 k

1 3

C、0 k

1 3

D、k

1 3

7、设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如下图所示，则导函数y=f (x) 可能为 （D ）

A C D B 8、对于R上可导的任意函数f（x），且f'(1) 0若满足（x－1）f （x）>0，则必有 （ C ）

A、f（0）＋f（2） 2f（1） B、f（0）＋f（2） 2f（1） C、f（0）＋f（2）>2f（1） D、f（0）＋f（2） 2f（1）

9、已知二次函数f(x) ax2 bx c的导数为f (x)，f (0) 0，对于任意实数x，有

f(x)≥0，则

Ａ．3

f(1)

的最小值为(C ) f(0)

5

2

Ｃ．2

Ｄ．

Ｂ．

3 2

10、f(x)是定义在区间[－c,c]上的奇函数，其图象如图所示：令g（x）=af（x）+b，则下 列关于函数g（x）的叙述正确的是（B ）

A．若a<0,则函数g（x）的图象关于原点对称.

B．若a=－1，－2<b<0,则方程g（x）=0有大于2的实根.

导数习题

C．若a≠0,b=2,则方程g（x）=0有两个实根. D．若a≥1,b<2,则方程g（x）=0有三个实根.

二、填空题(共5小题，每小题5分,共25分) 11.求f x sin3

13121c的导数y 2sinxxx12．曲线S：y=3x-x3的过点A（2，-2）的切线的方程是y=-9x+16或y=-2 。 13. 设P为曲线C：y x2 2x 3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围

为 0 ，则点P横坐标的取值范围为 -1 .

42

1

14．设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y f(x)在x 5 处的切线的斜率为 0

15. 已知直线x+2y－4=0与抛物线y2=4x相交于A、B两点，O是坐标原点，P是抛物线的弧

上求一点P，当△PAB面积最大时，P点坐标为 P(4,－

三、解答题（共6小题，，共75分）

16、（本题满分12分）对于三次函数f(x) ax3 bx2 cx d(a 0)，定义：

设f (x)是函数y f(x)的导函数y f (x)的导数，若f (x) 0有实数解x0，则

称点(x0,f(x0))为函数y f(x)的“拐点”。现已知f(x) x 3x 2x 2,请解答下列问题:

（1）求函数f(x)的“拐点”A的坐标;

（2）求证f(x)的图象关于“拐点”A 对称;并写出对于任意的三次函数都成立的有关“拐点”的一个结论（此结论不要求证明）.

3

2

16、[解析]（1）f (x) 3x2 6x 2，f (x) 6x 6.令f (x) 6x 6 0得

3

x 1， f(1) 1 3 2 2 2. 拐点A(1, 2)

32

（2）设P(x0,y0)是y f(x)图象上任意一点，则y0 x0 3x0 2x0 2，因为

P(x0,y0)关于A(1, 2)的对称点为P (2 x0, 4 y0)，把P 代入y f(x)得

32左边 4 y0 x0 3x0 2x0 2,

32右边 (2 x0)3 3(2 x0)2 2(2 x0) 2 x0 3x0 2x0 2

右边=右边 P (2 x0, 4 y0)在y f(x)图象上 y f(x)关于A对称

导数习题

猜想：所有的三次函数图象都关于它的拐点对称。

17. （本题满分12分）已知函数f(x)是(0, )上的可导函数，若xf (x) f(x)在x 0时恒成立.

（1）求证：函数g(x)

f(x)

在(0, )上是增函数； x

（2）求证：当x1 0,x2 0时，有f(x1 x2) f(x1) f(x2).

f(x)xf (x) f(x)

,因为xf (x) f(x)， 得g (x) 2

xx

f(x)

所以g (x) 0在x 0时恒成立，所以函数g(x) 在(0, )上是增函数.

x

f(x)

（2）由（1）知函数g(x) 在(0, )上是增函数，所以当x1 0,x2 0时，

x

17. （1）由g(x) 有

f(x1 x2)f(x1)f(x1 x2)f(x2)

成立， ,

x1 x2x1x1 x2x2

x1x2

f(x1 x2),f(x2) f(x1 x2)

x1 x2x1 x2

从而f(x1)

两式相加得f(x1 x2) f(x1) f(x2) 18. （本题满分12分）已知函数f(x) xlnx. （Ⅰ）求f(x)的最小值；

（Ⅱ）若对所有x 1都有f(x) ax 1，求实数a的取值范围.

18. 解析：f(x)的定义域为(0，+ )， 1分 f(x)的导数f (x) 1 lnx. 3分

11；令f (x) 0，解得0 x . ee

1 1

从而f(x)在 0 单调递减，在 ，+ 单调递增. 5分

e e 11

所以，当x 时，f(x)取得最小值 . 6分

ee

（Ⅱ）解法一：令g(x) f(x) (ax 1)，则

g (x) f (x) a 1 a lnx， 8分 ① 若a 1，当x 1时，g (x) 1 a lnx 1 a 0，

，+ )上为增函数， 故g(x)在(1

所以，x 1时，g(x) g(1) 1 a 0，即f(x) ax 1. 10分 ② 若a 1，方程g (x) 0的根为 x0 ea 1，

令f (x) 0，解得x

导数习题

此时，若x (1，x0)，则g (x) 0，故g(x)在该区间为减函数. 所以x (1，x0)时，g(x) g(1) 1 a 0，

即f(x) ax 1，与题设f(x) ax 1相矛盾. 13分 综上，满足条件的a的取值范围是( ，1]. 14分 解法二：依题意，得f(x) ax 1在[1， )上恒成立，

1

对于x [1， )恒成立 . 8分 x11111

令g(x) lnx ， 则g (x) 2 1 . 10分

xxxx x

1 1

当x 1时，因为g (x) 1 0，

x x

)上的增函数， 所以 g(x)的最小值是g(1) 1， 13故g(x)是(1，

即不等式a lnx

分

1]. 14分 所以a的取值范围是( ，

19、（本题满分12分）请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心o1的距离为多少时，帐篷的体积最大？

【注：V柱体 S底 h, V锥体 S底 h】

13

19、解：设正六棱锥的高为x m,

m）。

2分 于是底面正六边形的面积为（单位：m2）

：S 6帐篷的体积为（单位：m3）：

2 x2)。 42

4分

V(x)

1

x2) x 1 x2)(3 x) x3 3x2 9x 27)(1 x 3) 3 8分

求导数，得V (x)

2

x 2x 3)； 2

令V (x) 0解得x=-3(不合题意，舍去),x=1。 10分 当0<x<1时，V (x) 0,V(x)为增函数；当1<x<3时，V (x) 0,V(x)为减函数。 所以当x=1时,V(x)最大。即当OO1为2m时，帐篷的体积最大。 12分

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20. （本题满分13分）已知函数f(x)=ax+bx－3x在x=±1处取得极值.

3

2

（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；

（Ⅱ）求证：对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤4； （Ⅲ）若过点A（1，m）（m≠－2）可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围. 20. 解：（I）f′(x)=3ax+2bx－3，依题意，f′(1)=f′(－1)=0，

2

即

3a 2b 3 0

, 解得a=1，b=0. ∴f(x)=x3－3x.

3a 2b 3 0

3

2

（II）∵f(x)=x－3x,∴f′(x)=3x－3=3(x+1)(x－1)，

当－1<x<1时，f′(x)<0，故f(x)在区间[－1，1]上为减函数， fmax(x)=f(－1)=2，fmin(x)=f(1)=－2 6分 ∵对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x1，x2， 都有|f(x1)－f(x2)|≤|fmax(x) －fmin(x)|

|f(x1)－f(x2)|≤|fmax(x)－fmin(x)|=2－(－2)=4 8分

（III）f′(x)=3x－3=3(x+1)(x－1)，

∵曲线方程为y=x－3x，∴点A（1，m）不在曲线上.

3

设切点为M（x0，y0），则点M的坐标满足y0 x0 3x0.

3

2

3

x0 3x0 m

因f (x0) 3(x 1)，故切线的斜率为3(x 1) ，

x0 1

20

20

32

整理得2x0 3x0 m 3 0.∵过点A（1，m）可作曲线的三条切线， 32∴关于x0方程2x0 3x0 m 3=0有三个实根. 10分 322设g(x0)= 2x0 3x0 m 3，则g′(x0)=6x0 6x0，

由g′(x0)=0，得x0=0或x0=1.

∴g(x0)在（－∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减.

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32

∴函数g(x0)= 2x0 3x0 m 3的极值点为x0=0，x0=1 12分 32∴关于x0方程2x0 3x0 m 3=0有三个实根的充要条件是

g(0) 0

，解得－3<m<－2.故所求的实数a的取值范围是－3<m<－2.

g(1) 0

21. （本题满分14分）已知f(x) ax lnx,x (0,e],g(x)

lnx

，其中e是自然常数，x

a R.

（Ⅰ）讨论a 1时, f(x)的单调性、极值； （Ⅱ）求证：在（Ⅰ）的条件下，f(x) g(x)

1; 2

（Ⅲ）是否存在实数a，使f(x)的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.

21.解：（Ⅰ） f(x) x lnx，f (x) 1

1x 1

1分 xx

∴当0 x 1时，f/(x) 0，此时f(x)单调递减

/

当1 x e时，f(x) 0，此时f(x)单调递增 3分

∴f(x)的极小值为f(1) 1 4分 （Ⅱ） f(x)的极小值为1，即f(x)在(0,e]上的最小值为1， ∴ f(x) 0，f(x)min 1 5分 令h(x) g(x)

1lnx11 lnx ，h (x) ， 6分 2x2x

当0 x e时，h (x) 0，h(x)在(0,e]上单调递增 7分 ∴h(x)max h(e)

1111

1 |f(x)|min e222

∴在（1）的条件下，f(x) g(x)

1

9分 2

（Ⅲ）假设存在实数a，使f(x) ax lnx（x (0,e]）有最小值3，

f/(x) a

1ax 1 9分

xx

4

（舍去），e

① 当a 0时，f(x)在(0,e]上单调递减，f(x)min f(e) ae 1 3，a 所以，此时f(x)无最小值. 10分

导数习题

②当0

111

e时，f(x)在(0,)上单调递减，在(,e]上单调递增

aaa

1

f(x)min f() 1 lna 3，a e2，满足条件. 11分

a

③ 当

14

e时，f(x)在(0,e]上单调递减，f(x)min f(e) ae 1 3，a （舍去），ae

2

所以，此时f(x)无最小值.综上，存在实数a e，使得当x (0,e]时f(x)有最小值3.

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