2022年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷文科) 数学试题及答

2016年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷文科）

数学试题

一、单选题（本大题共10小题，每小题____分，共____分。）

1.设集合，则=（）

A. B. C. D.

2.若复数，其中i为虚数单位，则=（）

A. 1+I

B. 1?I

C. ?1+I

D. ?1?i

3．某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为

.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）

A. 56

B. 60

C. 120

D. 140

4.若变量x，y满足则的最大值是（）

A. 4

B. 9

C. 10

D. 12

5.一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（）

~ 1 ~

A. B. C. D.

6.已知直线a，b分别在两个不同的平面α，内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面相交”的（）

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

7.已知圆M：截直线所得线段的长度是，则圆M与圆N：

的位置关系是（）

A. 内切

B. 相交

C. 外切

D. 相离

8.中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知,则A=（）

A. B. C. D.

9.已知函数f(x)的定义域为R.当x＜0时，f(x)=x3-1；当-1≤x≤1时，f(-x)= —f(x)；当x＞时，f(x+)=f(x—).则f(6)= （）

A. -2

B. -1

C. 0

D. 2

10.若函数y=f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称

y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是（）

A. y=sin x

B. y=ln x

C. y=e x

D. y=x3

二、填空题（本大题共5小题，每小题____分，共____分。）

11.执行右边的程序框图，若输入n的值为3，则输出的S

的值为_______．

12.观察下列等式：

；

；

；

；

……

~ 2 ~

照此规律，_________．

13.已知向量a=(1,–1)，b=(6,–4)．若a⊥(ta+b)，则实数t的值为________．

14.已知双曲线E：–=1（a>0，b>0）．矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是_______．

15.已知函数f(x)=其中m>0．若存在实数b，使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根，则m的取值范围是_______．

三、简答题（综合题）（本大题共6小题，每小题____分，共____分。）

16.某儿童乐园在“六一”儿童节退出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：

①若，则奖励玩具一个；

②若，则奖励水杯一个；

③其余情况奖励饮料一瓶.

假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.

（1）求小亮获得玩具的概率；

（2）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.

17.设.

（1）求得单调递增区间；

（2）把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求的值.

~ 3 ~

18.在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB.

（I）已知AB=BC，AE=EC.求证：AC⊥FB；

（II）已知G,H分别是EC和FB的中点.求证：GH∥平面ABC.

19.已知数列的前n项和，是等差数列，且. （1）求数列的通项公式；

（2）令.求数列的前n项和.

20.设f(x)=x ln x–ax2+(2a–1)x，a∈R.

（1）令g(x)=f'(x)，求g(x)的单调区间；

（2）已知f(x)在x=1处取得极大值.求实数a的取值范围.

21.已知椭圆C:（a>b>0）的长轴长为4，焦距为2.

（2）求椭圆C的方程；

（3）过动点M(0，m)(m>0)的直线交x轴与点N，交C于点A，

P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点.过点P作x轴的垂线

交C于另一点Q，延长线QM交C于点B.

(i)设直线PM、QM的斜率分别为k、k'，证明为定值.

(ii)求直线AB的斜率的最小值.

~ 4 ~

2016年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷文科）

数学试题参考答案

1-5.ABDCC 6-10.ABCDA

11.1 12.13.-5 14.2 15.

16.（Ⅰ）设获得玩具记为事件A，获得水杯记为事件B，获得一瓶饮料记为事件C

转盘转动两次后获得的数据记为,则基本事件空间为

共16种，事件A为，共5种

故小亮获得玩具的概率

(Ⅱ)事件B为共6种

故小亮获得水杯的概率，获得饮料的概率。

因为，所以小亮获得水杯比获得饮料的概率大。

17.（Ⅰ）f(x)=2sin(π-x)sinx-(sinx-cosx)

=2sin x-( sin x+ cos x-2 sinxcosx)

=-cos2x+ sin2x-1

=sin2x-cos2x+-1

=2(sin2x-cos2x) +-1

=2sin(2x-) +-1

-+2kπ≤2x-≤+2kπ()，-+ kπ≤x≤+ kπ()

所以单调递增区间为[-+kπ，+kπ] ()

(Ⅱ)经变换g(x)=2 sinx+-1，g()=

~ 5 ~

~ 6 ~ 18.（Ⅰ）证明：因，所以与确定一个平面，连接，因为为的中点，所以；同理可得，又因为，所以平面

，因为平面，。

（Ⅱ）设的中点为，连，在中，是的中点，所以，又，所以；在中，是的中点，所以，又，所以平面

平面，因为平面，所以平面。

19.（Ⅰ）

得：

也符合

由

解得：

（Ⅱ）

得：

20.(Ⅰ)定义域（0,+∞）

g(x)=f’(x)= lnx+1-2ax+2a-1，g’(x)=-2a

①当a≤0时，g’(x)＞0恒成立，g(x)在（0,+∞）上单调递增

②当a＞0时，令g’(x)=0，得x=

g(x)在（0, ）上单调递增, 在（,+∞）上单调递减

综上所述，当a≤0时，单调递增区间为（0,+∞）

当a＞0时，单调递增区间为（0, ）, 单调递减区间为（,+∞）

(Ⅱ)∵f(x)在x=1处取得极大值，∴g(1)=0

ln1+1-2a+2a-1=0在a取任何值时恒成立

①当a≤0时，g(x)在（0,+∞）上单调递增

即x(0.1)时，g(x)＜0；x(1,+∞)时，g(x) ＞0

此时f(x)在x=1处取得极小值，不符合题意

②当a＞0时，g(x)在（0, ）上单调递增, 在（,+∞）上单调递减只需令＜1，即a＞

综上所述，a的取值范围为(,+∞)

21.（Ⅰ）由题意得，解得

所以椭圆的方程为。

(Ⅱ)（i）设直线

因为点为直线与轴的交点，所以，

因为点为线段的中点，

所以，得

~ 7 ~

所以点，所以

故为定值。

（ii）直线与椭圆方程联立

得：，

所以

，

所以

直线与椭圆方程联立

得，

所以

所以

因为点在椭圆上，所以，得

将②代入①得恒成立，

所以，所以，所以（当且仅当时取“=”）所以当时，的最小值为。

~ 8 ~

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