第2章 解析函数 1

前情提要

四则运算 共轭, 模 三角形式, 指数形式 乘积(商, 乘幂)的模和辐角, 方根邻域 区域 简单(闭)曲线 单连通域, 多连通域 复变函数 (一元? 二元?)

第一章.掌握概念 基本运算

复平面和二维实平面上的方程(或函数)转换. z与(x,y): f(z) ---- F(x,y)

xoy平面映射到uov平面. (x,y)<==>z --[w=f(z)]-- w<==>uov

作业讲解 p.32.

12(3)

§1解析函数的概念

一、复变函数的导数与微分 1、导数的定义 2、例题： 例1;例2 3、连续、导数、微分 二、解析函数的概念 1、定义 2、例题： 例3;例4 3、定理返回

1、导数的定义：z 设 w f (z) 在D上有定义， 0 D, z0 z D 。若f ( z 0 z ) f ( z 0 ) 存在，则称 f (z ) 在z0处可导。记为 lim z 0 z f ( z 0 z ) f ( z 0 ) dw lim f ( z 0 ) z 0 z dz z z0F ( x0 , y0 ) lim F ( x0 x, y0 y) F ( x0 , y0 ) x2 y 2

( x , y ) (0,0)

注: f为复值函数, F为实值函数

╬

返回

[例1] 设 f ( z) z Re( z),求f (0)f ( z ) f (0) 解： f (0) lim z 0 z 0 zR ( z ) lim z 0 z lim R ( z )z 0

lim x 0x 0 y 0

╬

返回

[例2] 证明 f ( z) x 2 yi 在任意点处不可导。Proof:f ( z z ) f ( z ) z 0 z [(x x) 2( y y)i] ( x 2 yi) lim z 0 x yi lim

x 2 yi lim x 0 x yi y 0 1 y 0, (平行于 x轴) 2 x 0, (平行于 y轴)

所以导数不存在。 ╬返回

3. 连续、可导、可微(1) 可导与连续 可导必定连续，连续不一定可导。 (2) 可微与可导 与一元函数一样 w f (z) 在点z0的微分

dw f ( z0 )dz ,因此可导与可微是等价的。(3) 求导法则 与一元函数一样。 ╬返回

定义1、定义1:若 f (z ) 在 z0 及 z0 的邻域内处处可导，则称

f (z ) 在 z0 处解析。 f (z ) 在 z0 处 解析 可导f (z ) 在 D 内解析可导

可导

解析

2、定义2:若 f (z ) 在D内处处解析，则称f (z ) 是D内的 解析函数(全纯函数、正则函数)。 3、定义3:若 f (z ) 在 z0 处不解析，则称 z0 为 f (z ) 的奇点。 注：使 f (z ) 无意义的点，是奇点。 ╬返回

定理*: 解析函数的和差积商及有限次复合在定义域内是解析的。

[例3]

讨论下列函数的解析性，可导性。

1、 f ( z) x 2 yi

f 解： ( z ) x 2 yi 在复平面上处处不可导,处处不解析2 2、 f ( z) z

解： f ( z) z 2 在复平面上处处可导，处处解析。1 3、 f ( z ) z 1 解： f ( z ) 2 ,除 z 0 外处处可导，处处解析。 z 1 z 4、 f ( z ) ╬ 1 z 2 z 1 外处处可导，处处解析

。 f ( z ) 解： 2 ,除 (1 z ) 返回

[例4] 证明 f ( z) | z |2 在 z 0 处可导，但不解析。f ( z ) f (0) | z |2 z z f (0) lim lim lim lim( x yi ) 0 解(1) z 0 z 0 z 0 z x 0 z 0 z y 0

f ( z0 z ) f ( z0 ) (2)设 z 0 z ( z z )( z 0 z ) z 0 z 0 | z 0 z | 2 | z 0 | 2 lim 0 lim z 0 z 0 z z z0 0, f ( z0 ) lim z z ) z0 z0 lim z 0 z 0 z z z x yi 1 y 0(平行于x轴) lim lim z 0 z z 0 x yi 1 x 0(平行与y轴) lim ( z0 z z0

所以在 z 0 处可导；

╬

所以除 z 0 外处处不可导，故处处不解析。

返回

§2 解析函数的充要条件一、预备定理 1、定理1 2、例题：例1 二、解析函数的充要条件 1、定理1 2、定理2 3、例题：例2,例3,例4 返回

1、定理1 (必要条件)设且在点z处可导，则 f ( z ) u( x, y) iv( x, y) 在区域D内有定义， v u u v i ,or , f ( z ) f ( z ) i y y x x 且满足柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)条件： u v u v , 。 x y y x u x v x

u y v y下一页

╬

返回

Proof:f (z ) 在z处可导，则:

f ( z ) lim

z 0

f ( z z ) f ( z ) z

u( x x, y y) iv( x x, y y) u( x, y) iv( x, y) lim x 0 x i y y 0 [u( x x, y y) u( x, y)] i[v( x x, y y) v( x, y)] lim x 0 x i y y 0

注: 可导, 则沿任意方向的导数相同上一页

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下一页

:

沿x轴方向 y 0

f (z ) lim u ( x x, y ) u ( x, y ) i lim v( x x, y ) v( x, y ) x 0 x 0 x x u v i x x

沿y轴方向

x 0

f (z ) lim u ( x, y y) u ( x, y ) i lim v( x, y y ) v( x, y ) y 0 y 0 i y i y 1 u v v u i i y y y y所以： f ( z ) 上一页

╬

u v v u i , f ( z ) i x x y y

u v u v , 且： x y y x返回

2、定理1的逆不一定成立，即f(z)在z处满足C-R条件但不一 定可导。 [例1] 验证 f ( z) | xy | 在 z 0 处满足C-R条件，但不可导。 Proof:令 u | xy |, v 0 u x lim(0 ,0 ) x 0

u ( x ,0 ) u ( 0 ,0 ) x

lim

0 0 x

x 0

0,

v y

0( 0, 0)

所以

u v x ( 0,0) y

, 同理( 0, 0 )

v u x ( 0,0) y

( 0, 0 )

即满足C-R条件；| x y | f (0 z ) f (0) f (0) lim lim z 0 x 0 x i y z

y 0

╬

| ( x) 2 | 1 取 y x lim , x 0 x(1 i ) 1 i

所以不存在。返回

1、定理2设： f ( z) u( x, y) iv( x, y) 在区域D内有定义，则f (z ) 在D内一点z处可导的充要条件是 u ( x, y ), v( x, y)

在 ( x, y ) 处可微，且满足C-R条件。f (z ) 在D内解析的充要条件是 u ( x, y ), v( x, y) 在D内可微，

且满足C-R条件。

[注: D内解析等同于D内可导]

╬

注: 复变函数在某点(区域内)的可微性 等同于 对应的 两个二元实函数在……的可微性 [外加CR]返回

[例2] 用C-R条件判断函数 f ( z) | z | 2 的解析性。解： f ( z) | z | 2 x 2 y 2

u( x, y) x 2 y 2 , v( x, y) 0 u u v v 2 x, 2 y, 0, 0 x y x y

注:上节已有 用定义判 断的相同 例子. ╬

由C-R条件， x 0, y 0

所以处处不解析。

返回

[例3]判断下列函数的可导性，解析性，并求导数。(1) f ( z) x 3 y 3 2ix 2 y 2 解： u( x, y) x3 y 3 , v( x, y) 2 x 2 y 2 u 2 u 2 v 2 v 3x , 3 y , 4 xy , 4 x 2 y x y x y 3 x 2 4 x 2 y x 0 x 3 4 u v v u , 由： , 2 2 x y x y y 0 y 3 4 3 y 4 xy 所以 f (z ) 只在 (0,0), (3 4 , 3 4) 处可导，故处处不解析。 ╬

f ( z) 3x 2 4ixy2 , f (0,0) 0, f (3 4 , 3 4) 27 16 i(27 16)下一页

x y i 2 (2) f ( z ) 2 2 x y x y2解：方法一、

x y f ( z) 2 i 2 2 x y x y2 x iy z 1 2 2 zz z x y 1 f ( z ) 2 z

╬

除(0,0)外处处可导，所以除(0,0)外处处解析。上一页下一页

方法二x y , v( x, y) 2 解： u ( x, y) 2 2 x y x y2 u y2 x2 2 2 2 x x y

由C-R条件有

u 2 xy y x2 y 2

2

v 2 xy x x2 y2

2

v ( x 2 y 2 ) 2 2 2 y x y

除(0,0)外处处可导，所以除(0,0)外处解析。2 y2 x2 2 xy u v x iy i f ( z ) i 2 2 2 2 2 2 x x x y x 2 y 2 2 x y

╬1 z2返回

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