基与维数的几种求法

线性空间基和维数的求法

方法一 根据线性空间基和维数的定义求空间的基和维数,即：在线性空间V中，如果有

n个向量?1,?,?n满足:

(1)?1,?2?,?n线性无关。

(2)V中任一向量?总可以由?1,?2,?,?n线性表示。

那么称V为n维（有限维）线性空间，n为V的维数，记为dimv?n，并称

?1,?2,?,?n为线性空间V的一组基。

如果在V中可以找到任意多个线性无关的向量，那么就成V为无限维的。

例1 设V?XAX?0，A为数域P上m?n矩阵，X为数域P上n维向量，求V的维数和一组基。

解 设矩阵A的秩为r，则齐次线性方程组AX?0的任一基础解系都是V的基，且V的维数为n?r。

???0a?例2 数域P上全体形如?对矩阵的加法及数与矩阵的乘法所组成?的二阶方阵，

?ab??的线性空间，求此空间的维数和一组基。

解 易证???0a???01??00?为线性空间V?｜a,b?p,???的一组线性无关的向??????10??01????ab???01??00??0a??0a?量组，且对V中任一元素???a??+b?? ?有?ab1001?ab????????按定义??01??00??,??为V的一组基，V的维数为2。 ?10??01?

方法二 在已知线性空间的维数为n时，任意n个向量组成的线性无关向量组均作成线性空间的基。

例3 假定R?x?n是一切次数小于n的实系数多项式添上零多项式所形成的线性空间，证明：1,?x?1?,?x?1?,2,?x?1?n?1构成R?x?n的基。

n?1证明 考察k1?1?k2?x?1??由xn?1?kn?x?1??0

的系数为0得kn?0，并代入上式可得xn?2的系数kn?1?0

依此类推便有kn?kn?1??k1?0，

故1,?x?1?,n,?x?1?n?1线性无关

又R?x?的维数为n,于是1,?x?1?,,?x?1?n?1为R?x?的基。

n

方法三 利用定理：数域p上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数。

例4 设A???0?1??，证明：由实数域上的矩阵A的全体实系数多项式f?A?组成的

?10???0?1??空间V??f?A?｜A????与复数域C作为实数域R上的线性空间

10????V'??a?bi｜a,b?R?同构，并非求它们的维数。

证明 V中任一多项式可记为f?A?=aE?bA,?a,b?R?，建立V到V的如下映射

'?:?1?a1?bi1?f1?A??a1E?b1A?a1,b1?R?

易证?是V到V上的单射，满射即一一映射。 再设?2?a2?b2i, a2,b2?R,K?R，则有

'???1??2??????a1?a2???b1?b2?i????a1?a2?E??b1?b2?A????1?????2?

??k?1????ka1?kbi1??ka1E?ka1A?k??x1?

故?是V到V的同构映射，所以V到V同构 另外，易证V的一个基为1，i，故dimV?2

''''VV'

?dimV?2

方法四 利用以下结论确定空间的基： 设?1,?2,,?n与?1,?2,,?n是n维线性空间V中两组向量，已知?1,?2,,?n可由

?1,?2,,?n线性表出：

?an1?n

?1?a11?1?a21?2??2?a12?1?a22?2??n?a1n?1?a2n?2??a11?令A?a21??a?n1如果?1,?2,组基。

?an2?n ?ann?n

a12a22an2a1n??a2n? ann??,?n也是V的一

,?n为V的一组基，那么当且仅当A可逆时，?1,?2,例5 已知1,x,x,x是p?x?4的一组基，证明1,1?x,?1?x?,?1?x?也是p?x?4的一

2323组基。

证明 因为

1?1?1?0?x?0?x2?0?x3 1?x?1?1?1?x?0?x2?0?x3

?1?x??1?x?2?1?1?2?x?1?x2?0?x3 ?1?1?3?x?3?x2?1?x3

11113且A?012300120001?0

所以1,1?x,?1?x?,?1?x?也为p?x?4的一组基。

方法五 如果空间V中一向量组与V中一组基等价，则此向量组一定为此空间的一组基。

例6 设R?x?2表示次数不超过2的一切实系数一元多项式添上零多项式所构成的线性空间的一组基，证明x?x,x?x,x?1为这空间的一组基。

证明 k1x?x?k2x?x?k3?x?1??0

222223????则???k1?k2?k3?0?k3?0?k1?k2?0

解得k3?k2?k1?0

2于是x?x,x?x,x?1线性无关，它们皆可由x,x,1线性表示，因此

22x2?x,x2?x,x?1与x2,x,1等价，从而R?x?2中任意多项式皆可由x2?x,x2?x,x?1线

性表示，故x?x,x?x,x?1为R?x?2的基。

22

方法六 利用下面两个定理：

定理一：对矩阵施行行初等变换和列变换，不改变矩阵列向量间的线性关系。

定理二：任何一个m?n矩阵A，总可以通过行初等变换和列变换它为标准阶梯矩阵：

?Ir??0B??，其中Ir表示r阶单位矩阵。 0?依据这两个定理，我们可以很方便地求出V1V2的一个基，从而确定了维数。

例7 设V1?L??1,?2?,V2?L??1,?2?是数域F上四维线性空间的子空间，且

?1??1,2,1,0?,?2???1,1,1,1?;?1??2,?1,0,1?,?2??1,?1,3,7?.求V1V2的一个基与维

数。

解 若r?V1V2，则存在x1,x2,?y1,?y2?F，使

r?x1?1?x2?2??y1?1?y2?2……（1）

即有x1?1?x2?2?y1?1?y2?2?0……（2）

若?1,?2,?1,?2线性无关，（2）仅当x?x2?y1?y2?0时成立 那么V1V2是零子空间，因而没有基，此时维数为0，V1?V2是直和

V2有可能是非零子空间

若存在不全为零的数x1,x2,y1,y2使（2）成立，则V1若为非零子空间，由（1）便可得到基向量r。

以?1,?2,?1,?2为列向量作矩阵A，经行初等变换将A化为标准阶梯形矩阵A。

?1?121??1???21?1?10???A???????1103?行初等变换?0???0117???000?1??104??A

013??000??2???1?4?2?3?1

?r???1?4?2??3?1??2???5,2,3,4?是V1V2的一个基 dim?V1V2??1

同时知，?1,?2是V1的一个基，dimV1?2

?1,?2是V2的一个基，dimV2?2

?1,?2,?1,?2是V1?V2的一个基，dim?V1?V2??秩?A?=3

方法七 在线性空间V中任取一向量?，将其表成线性空间V一线性无关向量组的线性组合的形式，必要的话需说明向量组是线性无关的。这一线性无关向量组就是我们要找的基。

例8 求V1?L(?1，?2)与V2?L(?1，?2)的交的基和维数。

?1,0,1)??1?(1,2,1,0)??1?(2，设?，?

??(1，?1,3,7)??(?11,1,1)，?2?2解 任取??V1V2，则??V1，??x1?1?x2?2，且??V2，??y1?1?y2?2，

??x1?1?x2?2?y1?1?y2?（注：此时α虽然已表成一线性组合的形式，但它仅仅

是在V1、V2中的表示，并非本题所求，即要在空间V1?V2中将α线性表出）

?x1?1?x2?2?y1?1?y2??0，求x1,x2,y1,y2

?x1?x2?2y1?y2?0?2x?x?y?y?0?1212 ?x?x　　?3y?02?12??　　x2?y1?７y2?0解得(x1,x2,y1,y2)?(k,?4k,?3k,k)

???k(?1?4?2)?k(?3?1??2)?k(5,?2,3,4)

故V1V2是一维的，基是(5,?2,3,4)

易知(5,?2,3,4)是非零向量，是线性无关的。

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