【优教通,同步备课】高中数学(北师大版)选修2-2教案：第2章 简单复合函数的求导法则 参考教案

§5 简单复合函数的求导法则

一、教学目标：1、了解简单复合函数的求导法则；2、会运用上述法则，求简单复合函数的导数。

二、教学重点：简单复合函数的求导法则的应用

教学难点：简单复合函数的求导法则的应用

三、教学方法：探析归纳，讲练结合

四、教学过程

（一）、复习：两个函数的和、差、积、商的求导公式。

1. 常见函数的导数公式：

C' 0；(xn)' nxn 1；(sinx)' cosx；(cosx)' sin2.法则1 [u(x) v(x)]' u'(x) v'(x)．

法则2 [u(x)v(x)] u'(x)v(x) u(x)v'(x), [Cu(x)] Cu'(x u u'v uv'法则3 (v 0) 2v v '

（二）、引入新课

海上一艘油轮发生了泄漏事故。泄出的原油在海面上形成一个圆形油膜，油膜的面积S(单位：m2)是油膜半径r(单位：m)的函数：S f(r) r2。

油膜的半径r随着时间t（单位：s）的增加而扩大，假设r关于t的函数为r (t) 2t 1。

油膜的面积S关于时间t的瞬时变化率是多少？

分析：由题意可得S关于t的新的函数：S f( (t)) (2t 1)2。

油膜的面积S关于时间t的瞬时变化率就是函数S f( (t))的导函数。 ∵ f( (t)) (2t 1)2 (4t2 4t 1)，

∴ [f( (t))] (8t 4) 4 (2t 1)。

又 f (r) 2 r， (t) 2，

可以观察到 4 (2t 1) 2 r 2，

即 [f( (t))] f(r) (t) 。

一般地，对于两个函数y f(u)和u (x) ax b，给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，这样y可以表示成x的函数，我们称这个函数为函数y f(u)和u (x)的复合函数，记作y f( (x))。其中u为中间变量。 复合函数y f( (x))的导数为：

y x [f( (x))] f(u) (x) (yx表示y对x的导数)

复合函数的求导法则

复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数 复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．

例1、试说明下列函数是怎样复合而成的？

⑴y (2 x2)3； ⑵y sinx2；⑶y cos(

4 x)； ⑷y lnsin(3x 1)．

解：⑴函数y (2 x2)3由函数y u3和u 2 x2复合而成；

⑵函数y sinx2由函数y sinu和u x2复合而成； ⑶函数y cos(

4 x)由函数y cosu和u

4 x复合而成；

⑷函数y lnsin(3x 1)由函数y lnu、u sinv和v 3x 1复合而成．

说明：讨论复合函数的构成时，“内层”、“外层”函数一般应是基本初等函数，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等．

例2、求函数y x 1的导数。

解：引入中间变量u (x) 3x 1，则函数y x 1是由函数f(u) u u与u (x) 3x 1复合而成的。 12

根据复合函数求导法则可得：

133x 1 f (u) (x) 3 22x 1

例3、求函数y (2x 1)3的导数。

解：引入中间变量u (x) 2x 1，则函数y (2x 1)3是由函数f(u) u3与u (x) 2x 1复合而成的。

根据复合函数求导法则可得：

2x 1 f (u) (x) 3u32 2 6(2x 1)2

注意：在利用复合函数的求导法则求导数后，要把中间变量换成自变量的函数.有时复合函数可以由几个基本初等函数组成，所以在求复合函数的导数时，先要弄清复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的，特别要注意将哪一部分看作一个整体，然后按照复合次序从外向内逐层求导.

例4、一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度y（单位：cm）。关于时间t（单位：s）的函数为y h(t)

它的实际意义。

解：函数y h(t)

x是中间变量。 ∴yt h (t) f (x) (t)

将t=3代入h (t)得：

h (3) 200（cm/s）。 49

200 cm/s。 49100，求函数在t=3时的导数，并解释2t 1100100是由函数f(x) 与x (t) 2t 1复合而成的，其中2t 1x100200。 2 x2(2t 1)2它表示当t=3时，水面高度下降的速度为

（三）、小结 ：⑴复合函数的求导，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成为较简单的函数，然后再用复合函数的求导法则求导；⑵复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——

（四）、练习：课本P51练习.

（五）、作业：课本P51习题2-5： 2、3、5

五、教后反思：

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