四川中考数学压轴题集锦（有答案） - 图文

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教师：张家利 TEL:18228069368 QQ:173782949

2011年四川中考压轴题集锦

1.（遂宁）如图：抛物线y?ax?4ax?m与x 轴交于A、B两点，点A的坐标是（1，0），与y轴交于点C。

⑴求抛物线的对称轴和点B的坐标；

⑵过点C作CP⊥对称轴于点P，连结BC交对称轴于点D，连结AC、BP，且

2?BPD??BCP，求抛物线的解析式；

⑶在⑵的条件下，设抛物线的顶点为G，连结BG、CG、求?BCG的面积。

⑴对称轴是x=-

b?4a?-?2 …………………2′

2a2a∵点A（1，0）且点A、B关于x=2对称

∴点B(3,0) …………4′ ⑵点A（1,0），B（3,0） ∴ AB=2

∵ CP⊥对称轴于P ∴ CP∥AB

∵ 对称轴是x=2 ∴ AB∥CP且AB=CP

∴ 四边形ABPC是平行四边形 …5′ 设点C（0，x） x<0 在Rt?AOC中，AC=x2?1 ∴ BP=x2?1

在Rt?BOC中，BC=x2?9

BDBE1?? BCBO31 ∴ BD=x2?9

3 ∵

∵ ∠BPD=∠PCB 且∠PBD=∠CBP

∴ ?BPD～?BCP …………………7′

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∴ BP2?BD?BC

即(x2?1)2?13x2?9?x2?9 x2?1?13(x2?9) ∴ x1?3 x2??3

∵ 点C在y轴的负半轴上 ∴ 点C（0，-3）…8′

∴ y?ax2?4ax?3

∵ 过点（1，0） ∴ a?4a?3?0 ?3a?3

a??33 解析式是：y??33x2?433x?3 ⑶ 当x=2时，y?33 顶点坐标G是（2，

33）设CG的解析式是：y?kx?b

（0，?3）（2，

33） ?b??3∴ ??23

??k?3∴y?233x?3 设CG与x轴的交点为H

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…………………9′ …………………10′ …………………11′ 教师：张家利 TEL:18228069368 QQ:173782949 令y=0 则

233x?3?0 得 x? 32 即H（

3，0） …………………12′ 233∴ BH=3?=

22S?BCG?S?BHG?S?BHC

?13313??????3 22322333? 443 …………………13′

? ?

2.（绵阳）已知抛物线y＝x－2x＋m－1与x轴只有一个交点，且于y轴交于A点，如图，设它的顶点为B。

（1）求m的值；

（2）过A作x轴的平行线，交抛物线于点C，求证△ABC是等腰直角三角形；

（3）将此抛物线向下平移4个单位后，得到抛物线C′，且与x轴的左半轴交于E点，与y轴交于F点。如图，请在抛物线C′上求点P，使得△EFP是以EF为直角边得直角三角形。

（1）∵ 抛物线y = x2－2x + m－1与x轴只有一个交点，∴ △=（－2）2－4×1×（m－1）= 0，解得 m = 2．

（2）由（1）知抛物线的解析式为 y = x2－2x + 1，易得顶点B（1，0），当 x = 0时，y = 1，得A（0，1）．

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由 1 = x2－2x + 1 解得 x = 0（舍），或 x = 2，所以C（2，1）．过C作x轴的垂线，垂足为D，则 CD = 1，BD = xD－xB = 1． ∴ 在Rt△CDB中，∠CBD = 45?，BC =2．

同理，在Rt△AOB中，AO = OB = 1，于是 ∠ABO = 45?，AB =2．

∴ ∠ABC = 180?－∠CBD－∠ABO = 90?，AB = BC，因此△ABC是等腰直角三角形．（3）由题知，抛物线C′ 的解析式为y = x2－2x －3，当 x = 0时，y =－3；当y = 0时，x =－1，或x = 3，

∴ E（－1，0），F（0，－3），即 OE = 1，OF = 3．

① 若以E点为直角顶点，设此时满足条件的点为P1（x1，y1），作P1M⊥x轴于M． ∵ ∠P1EM +∠OEF =∠EFO +∠OEF = 90?，

POE11M即EM = 3 P1M． ??，EMOF3∵ EM = x1 + 1，P1M = y1，∴ x1 + 1 = 3 y1．（*）

由于P1（x1，y1）在抛物线C′ 上，有 3（x12－2x1－3）= x1 + 1， ∴ ∠P1EM =∠EFO，得 Rt△EFO∽Rt△P1EM，于是整理得 3x12－7x1－10 = 0，解得 x1 =－1（舍），或x1?把x1?10． 310131019代人（*）中可解得y1?． ∴ P1（，）．

3333② 若以F点为直角顶点，设此时满足条件的点为P2（x2，y2），作P2N⊥与y轴于N．

FNOE1同①，易知 Rt△EFO∽Rt△FP2N，得 ??，即P2N = 3 FN．

P2NOF3∵ P2N = x2，FN = 3 + y2，∴ x2 = 3（3 + y2）．（**）由于P2（x2，y2）在抛物线C′ 上，有 x2 = 3（3 + x22－2x2－3），整理得 3x22－7x2 = 0，解得 x2 = 0（舍），或x2?把x2?7． 3202077代人（**）中可解得y2??． ∴ P2（，?）．

33992010137，）或（，?）． 3339综上所述，满足条件的P点的坐标为（

（绵阳）已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，D是腰AC上的一个动点，过C作CE垂直于BD或BD的延长线，垂足为E，如图1。

（1）若BD是AC的中线，如图2，求的值；

CEBD

（2）若BD是∠ABC的平分线，如图3，求的值；

（3）结合（1）、（2），请你推断的值的取值范围（直接写出结论，不必证明），并探

CEBD4

究的能值小于吗？若能，求出满足条件的D点的位置；若不能，请说明理由。 CE3

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解法1 设AB = AC = 1，CD = x，则0＜x＜1，BC =2，AD = 1－x．在Rt△ABD中，BD2 = AB2 + AD2 = 1 +（1－x）2 = x2－2x + 2．由已知可得 Rt△ABD∽Rt△ECD， ∴

CECECD，即 ??1ABBDxx?2x?22，从而 CE?xx?2x?22，