量子力学练习题

量子力学练习题

本练习题共352道，其中（一）单项选择题 145题，（二）填空题100题，（三） 判断题50题，（四） 名词解释32题，（五）证明题25题，（六）计算题40题。

做题时应注意的几个问题：

1.强调对量子力学概念、知识体系的整体理解。

2.注重量子力学基本原理的理解及其简单的应用，如：无限深势阱、谐振子和氢原子等重要问题的求解及其结论，并与其对应的经典理论进行比较，力争把量子力学理论融汇贯通。 3.数学手段上，应多看示例，尽量避免陷入过多的、繁难的数学计算中。

4.通过完成练习题，使自己加深对理论内容的理解，通过把实际物理过程用数学模型求解，培养自己独立解决实际问题的能力。

（一） 单项选择题 （共145题）

1.能量为100ev的自由电子的De Broglie 波长是 A. 1.2A. B. 1.5A. C. 2.1A. D. 2.5A. 2. 能量为0.1ev的自由中子的De Broglie 波长是 A.1.3A. B. 0.9A. C. 0.5A. D. 1.8A.

3. 能量为0.1ev，质量为1g的质点的De Broglie 波长是 A.1.4A. B.1.9?104.温度T=1k时，具有动能E?000000000000000?12A. C.1.17?10?12A. D. 2.0A.

3kBT(kB 为Boltzeman常数)的氦原子的De Broglie 波长是 20 A.8A. B. 5.6A. C. 10A. D. 12.6A.

5.用Bohr-Sommerfeld的量子化条件得到的一维谐振子的能量为（n?0,1,2,?）

1 A.En?n??. B.En?(n?)??. C.En?(n?1)??. D.En?2n??.

26.在0k附近，钠的价电子的能量为3ev，其De Broglie波长是

A.5.2A. B. 7.1A. C. 8.4A. D. 9.4A.

7.钾的脱出功是2ev，当波长为3500A的紫外线照射到钾金属表面时，光电子的最大能量为 A. 0.25?10?18J. B. 1.25?10?18J. C. 0.25?10?16J. D. 1.25?10?16J.

8.当氢原子放出一个具有频率?的光子，反冲时由于它把能量传递给原子而产生的频率改变为

1

00000

?2?2?A.. B. . C.. D. . 222?c2?c2?c2?c?9.Compton 效应证实了

A.电子具有波动性. B. 光具有波动性. C.光具有粒子性. D. 电子具有粒子性. 10.Davisson 和Germer 的实验证实了

A. 电子具有波动性. B. 光具有波动性. C. 光具有粒子性. D. 电子具有粒子性.

?0,0?x?a?x11.粒子在一维无限深势阱U(x)?? 中运动，设粒子的状态由?(x)?Csin

a??,x?0,x?a描写，其归一化常数C为 A.

1124. B.. C.. D..

2aaaa12. 设?(x)??(x)，在x?x?dx范围内找到粒子的几率为 A.?(x). B.?(x)dx. C.?2(x). D.?2(x)dx.

13. 设粒子的波函数为 ?(x,y,z)，在x?x?dx范围内找到粒子的几率为

A.?(x,y,z)dxdydz. B.?(x,y,z)dx. C.(???(x,y,z)dydz)dx. D.?dx?dy?dz?(x,yz). 14.设?1(x)和?2(x)分别表示粒子的两个可能运动状态，则它们线性迭加的态

c1?1(x)?c2?2(x)的几率分布为

2222 A.c1?1?c2?2. B. c1?1?c2?2+c1c2?1*?2.

**** C. c1?1?c2?2+2c1c2?1*?2. D. c1?1?c2?2+c1c2?1?2?c1c2?1?2.

2222222215.波函数应满足的标准条件是

A.单值、正交、连续. B.归一、正交、完全性. C.连续、有限、完全性. D.单值、连续、有限. 16.有关微观实物粒子的波粒二象性的正确表述是

A.波动性是由于大量的微粒分布于空间而形成的疏密波. B.微粒被看成在三维空间连续分布的某种波包. C.单个微观粒子具有波动性和粒子性. D. A, B, C. 17.已知波函数

?1?u(x)exp(?Et)?u(x)exp(Et), ?2?u1(x)exp?(E1t)?u2(x)exp(E2t),

iiii????iiii?3?u1(x)exp(?Et)?u2(x)exp(?Et), ?4?u1(x)exp?(E1t)?u2(x)exp?(E2t).

????2

其中定态波函数是

A.?2. B.?1和?2. C.?3. D.?3和?4. 18.若波函数?(x,t)归一化，则

A.?(x,t)exp(i?)和?(x,t)exp(?i?)都是归一化的波函数.

B.?(x,t)exp(i?)是归一化的波函数，而?(x,t)exp(?i?)不是归一化的波函数. C.?(x,t)exp(i?)不是归一化的波函数，而?(x,t)exp(?i?)是归一化的波函数. D.?(x,t)exp(i?)和?(x,t)exp(?i?)都不是归一化的波函数.(其中?,?为任意实数) 19.波函数?1、?2?c?1(c为任意常数)， A.?1与?2?c?1描写粒子的状态不同.

B.?1与?2?c?1所描写的粒子在空间各点出现的几率的比是1: c. C.?1与?2?c?1所描写的粒子在空间各点出现的几率的比是1:c. D.?1与?2?c?1描写粒子的状态相同. 20.波函数?(x,t)?1ic(p,t)exp(px)dp的傅里叶变换式是 ??2??1i*?(x,t)exp(px)dx. ??2??1i*?(x,t)exp(?px)dx. ??2??2 A. c(p,t)?1i?(x,t)exp(px)dx. B. c(p,t)???2??1i?(x,t)exp(?px)dx. D. c(p,t)???2?? C. c(p,t)?21.量子力学运动方程的建立,需满足一定的条件:

(1)方程中仅含有波函数关于时间的一阶导数. (2)方程中仅含有波函数关于时间的二阶以下

的导数.(3)方程中关于波函数对空间坐标的导数应为线性的. (4) 方程中关于波函数对时间坐标的导数应为线性的.(5) 方程中不能含有决定体系状态的具体参量. (6) 方程中可以含有决定体系状态的能量. 则方程应满足的条件是

A. (1)、(3)和(6). B. (2)、(3)、(4)和(5). C. (1)、(3)、(4)和(5). D.(2)、(3)、(4)、(5)和(6). 22.两个粒子的薛定谔方程是

2????????22???i?(r1,r2,t)?U(r1,r2,t)?(r1,r2,t) A.i??(r1,r2,t)???ti?12?2????????22???i?(r1,r2,t)?U(r1,r2,t)?(r1,r2,t) B.??(r1,r2,t)???ti?12? 3

C. ????2?2?t?(r1,r2,t)???2(r????t)?(r??i?1,r2,t)?U(r1,r2,1,r2,t) i?12?iD.i????2?2?t?(r1,r2,t)???2r????)?(r??i?(1,r2,t)?U(r1,r2,t1,r2,t) i?12?i23.几率流密度矢量的表达式为

A.J???2?(?*??????*). B.J??i?2?(?*??????*).

C.J??i?2?(???*??*??). D.J???2?(???*??*??).

24.质量流密度矢量的表达式为 A.J???(?*??????*). B.J??i?(?*??????*).

C.J?22?i?(???*??*??). D.J???(???*??*22??).

25. 电流密度矢量的表达式为

A.J??q?2?(?*??????*). B.J??iq?*2?(???????*).

C.J??iq?2?(???*??*??). D.J??q?2?(???*??*??).

26.下列哪种论述不是定态的特点

A.几率密度和几率流密度矢量都不随时间变化. B.几率流密度矢量不随时间变化.

C.任何力学量的平均值都不随时间变化.

D.定态波函数描述的体系一定具有确定的能量.

27.在一维无限深势阱U(x)???0,x?2a中运动的质量为??,x?2a?的粒子的能级为 A.?2?2n2?2?2n2?2?2n2?2?2n24?a2,B.8?a2,C.16?a2, D.32?a2. 28. 在一维无限深势阱U(x)???0,x?a??,x?a中运动的质量为?的粒子的能级为

A.?2?2n2?2?2n2?2 ?2n2?2?2n22?a2, B.4?a2, C.8?a2, D.16?a2. 29. 在一维无限深势阱U(x)???0,x?b/2中运动的质量为?的粒子的能级为??,x?b/2

4

?2?2n2?2?2n2?2?2n2?2?2n2 A.,B., C., D..

2?b2?b24?b28?b2?0,x?a30. 在一维无限深势阱U(x)??中运动的质量为?的粒子处于基态，其位置几率分

??,x?a布最大处是

A.x?0, B.x?a, C.x??a, D.x?a2.

?0,x?a31. 在一维无限深势阱U(x)??中运动的质量为?的粒子处于第一激发态，其位置

??,x?a几率分布最大处是

A.x??a/2, B.x??a, C.x?0, D.x??a/4. 32.在一维无限深势阱中运动的粒子，其体系的

A.能量是量子化的，而动量是连续变化的. B.能量和动量都是量子化的. C.能量和动量都是连续变化的. D.能量连续变化而动量是量子化的. 33.线性谐振子的能级为 A.(n?1/2)??,(n?12,,3,...). B.(n?1)??,(n?012,,,....). C.(n?1/2)??,(n?012,,,...). D.(n?1)??,(n?12,,3,...).

134.线性谐振子的第一激发态的波函数为?(x)?N1exp(??2x2)2?x,其位置几率分布最大

2处为

A.x?0. B.x?????. C.x????. D.x?????.

35.线性谐振子的

A.能量是量子化的,而动量是连续变化的. B.能量和动量都是量子化的. C.能量和动量都是连续变化的. D.能量连续变化而动量是量子化的. 36.线性谐振子的能量本征方程是

?2d21222?2d2122???x]??E?[????x]??E?. A.[?. B.222?dx22?dx2?2d21?2d2122222???x]???E?. D.[???x]???E?. C.[2?dx222?dx2237.氢原子的能级为

?es?2es?2es?es??? A.?.B..C.. D. . 222222?n22?n2?n2?n224438.在极坐标系下,氢原子体系在不同球壳内找到电子的几率为 A.Rnl(r)r. B.Rnl(r)r2. C.Rnl(r)rdr. D.Rnl(r)r2dr. 39. 在极坐标系下,氢原子体系在不同方向上找到电子的几率为

5

2222

137.一电子处于自旋态??a?1/2(sz)?b??1/2(sz)中,则sz的可测值分别为

????,. D. ,?. 2222??138.接上题,测得sz为,?的几率分别是

22 A.0,?. B. 0,?? .C.

A.a,b. B. a,b. C.a/2,b/2. D. a/(a?b),b/(a?b). 139.接137题, sz的平均值为 A. 0. B.

?222222(a?b). C. ?(a?b)/(2a?2b). D. ?. 22222222222?3/2??,则在该态中sz的可测值分别为 140.在sz表象中,????1/2? A.?,??. B.?/2,?. C.?/2,??/2. D.?,??/2. 141.接上题,测量sz的值为?/2,??/2的几率分别为 A.3/2,1/2. B.1/2,1/2. C.3/4,1/4. D.1/4, 3/4. 142.接140题,sz的平均值为

A.?/2. B.?/4. C.??/4. D.??/2. 143.下列有关全同粒子体系论述正确的是

A.氢原子中的电子与金属中的电子组成的体系是全同粒子体系. B.氢原子中的电子、质子、中子组成的体系是全同粒子体系. C.光子和电子组成的体系是全同粒子体系. D.?粒子和电子组成的体系是全同粒子体系.

144.全同粒子体系中,其哈密顿具有交换对称性,其体系的波函数

A.是对称的. B.是反对称的. C.具有确定的对称性. D.不具有对称性. 145.分别处于p态和d态的两个电子,它们的总角动量的量子数的取值是

A. 0,1,2,3,4. B.1,2,3,4. C. 0,1,2,3. D.1,2,3.

（二） 填空题（共100题）

1.Compton效应证实了 。

2.Bohr提出轨道量子化条件的数学表达式是 。 3.Sommerfeld提出的广义量子化条件是 。 4.一质量为?的粒子的运动速度远小于光速，其动能为Ek，其德布罗意波长为 。

5.黑体辐射和光电效应揭示了 。 6.1924

年,法国物理学家De Broglie提出了微观实物粒子具

16

有 。

7.自由粒子的De Broglie波函数为 。 8.用150伏特电压加速的电子，其De Broglie波的波长是 。 9.玻恩对波函数的统计解释是 。

?10.一粒子用波函数?(r,t)描写,则在某个区域dV内找到粒子的几率为 。 11.描写粒子同一状个 。 12.态迭加原理的内容是 。 13.一粒子由波函数

?(x,t)?12???态的波函数有

???c(p,t)exp(ipx)dp?描写，则

c(p,t)? 。

14.在粒子双狭缝衍射实验中，用?1和?2分别描述通过缝1和缝2的粒子的状态,则粒子在屏上一点P出现的几率密度为 。 15.一维自由粒子的薛定谔方程是 。 16.N个粒子体系的薛定谔方程是 。 17.几率连续性方程是由 导出的。

18.几率连续性方程的数学表达式为 。 19.几率流密度矢量的定义式是 。

?20.空间V的边界曲面是S，w和J分别是粒子的几率密度和几率流密度矢量，则

???w?V?tdV???SJ?dS的物理意义是 。 21.量子力学中的质量守恒定律是 。

22.量子力学中的电荷守恒定律是 。 23.波函数应满足的三个标准条件是 。 24.定态波函数的定义式是 。

?25.粒子在势场U(r)中运动，则粒子的哈密顿算符为 。 26.束缚态的定义是 。 27.线性谐振子的零点能为 。 28.线性谐振子的两相邻能级间距为 。

?的本征态时,力学量F有确定值，这个值就是相应该态29.当体系处于力学量算符F的 。

30.表示力学量的算符都是 。

31.厄密算符的本征值必为 。

17

?*??(r)??(r)d?? 。 32.??p'p33.角动量平方算符的本征值为 。

34.角动量平方算符的本征值的简并度为 。 35.氢原子能级n?5的简并度为 。

36.氢原子的能级对角量子数l简并，这是 场所特有的。

37.一般来说，碱金属原子的价电子的能级的简并度是 。 38.氢原子基态的电离能为 。 39.氢原子体系n?2的能量是 。

40.处于?200(r,?,?)态的氢原子,其电子的角向几率分布是 。

41.厄密算符本征函数的正交归一性的数学表达式是 。 42.厄密算符属于不同本征值的本征函数 。

?的本征函数系为{?(x)}，则本征函数系{?(x)}的完全性43.力学量算符Fnn是 。

?的本征函数系，在?(x)态中测量44.当体系处于?(x)??cn?n(x)态时，其中{?n(x)}为Fn力学量F为其本征值?n的几率是 。

?既有分立谱又有连续谱，则F?在任意态?(x)的平均值45.一力学量算符F为 。

46.如果两个力学量算符有组成完全系的共同本征函数，则这两个算符 。

47.完全确定三维空间的自由粒子状态需要三个力学量，它们是 。

48.测不准关系反映了微观粒子的 。 49.若对易关系

?,B?]?ic?[A成立，则

?,B?A的不确定关系

是 。

50.如果两个力学量算符对易，则在 中它们可同时具有确定值。 51.电子处于

13Y10(?,?)?Y1?1(?,?)态中，则电子角动量的z分量的平均值22为 。

52.角动量平方算符与角动量x分量算符的对易关系等于 。

18

53. 角动量x分量算符与动量的z分量算符的对易关系等于 。 54. 角动量y分量算符与坐标的z分量算符的对易关系等于 。

?,p?y]? 。 55.[y56.粒子的状态由?(x)?coskx描写，则粒子动量的平均值是 。 57.一维自由粒子的动量本征函数是 。 58.角动量平方算符的本征值方程为 。

59.若不考虑电子的自旋，描写氢原子状态所需要的力学量的完全集合是 。

60.氢原子能量是考虑了 得到的。 61.量子力学中， 称为表象。 62.动量算符在坐标表象的表达式是 。 63.角动量算符在坐标表象中的表示是 。 64.角动量y分量的算符在是 。 65.角动量z分量的算符在是 。

坐坐

标标

表表

象象

中中

的的

表表

示示

66.波函数?(x,t)在动量表象中的表示是 。 67.在动量表象中，具有确定动量p'的粒子，其动量算符的本征方程是 。

?具有分立的本征值{Q}，68.已知Q其相应本征函数为{un(x)}，则任意归一化波函数?(x,t)n可写为

?(x,t)??an(t)un(x)n，则?(x,t)在Q表象中的表示

是 。

?的本征函数为{u(x)}(n=1,2,3,...)有无限多, 称为69.量子力学中QnHilbert空间。

?(x,??)在Q表象中的矩阵元的数学表达式70.接68题，力学量算符Fi?x为 。

71.量子力学中，表示力学量算符的矩阵是 矩阵。

?(x,??)在自身表象中的表示72.接68题,力学量算符Qi?x是 。

73.力学量算符在自身表象中的矩阵是 矩阵。

?(x,??)在坐标表象中的矩阵元74.力学量算符Fi?x

19

为 。

75.幺正矩阵满足的条件是 。 76.幺正变换不改变力学量算符的 。 77.幺正变换不改变矩阵F的 。

?在动量表象中的微分形式是 。 78.力学量算符x?????2279.坐标表象中的薛定谔方程是i??(r,t)?[???U(r)]?(r,t)，它在动量表象中的表

?t2?示是 。

80.线性谐振子的哈密顿算符在动量表象中的微分形式是 。

81.非简并定态微扰理论中，能量二级近似值为 。

82.非简并定态微扰理论中，波函数的一级近似表示为 。

83.非简并定态微扰理论的适用条件是 。 84.Stark效应是 。

?85.氢原子处于弱电场?中，其体系的微扰哈密顿是 。 86.在微扰作用下，t时刻由?k是 。

?87.1925年，Ulenbeck和Goudsmit提出每个电子具有自旋角动量S，它在空间任何方向的

态到?m态的跃迁几率

投影只能取两个数值，即是 。 88.Stern-Gerlach实验证实了 。

?x,??z的反对易关系式是 。 89.Pauli算符?90.自旋角动量算符的定义式为 。

?在S表象中的矩阵表示是 。 91.自旋角动量算符Sxz?在S表象中的矩阵表示是 。 92.自旋角动量算符Syz?属于本征值??的本征函数 93.自旋角动量算符Sz2在Sz表象中的矩阵表示是 。 94.Pauli

算符

?x,??z?的积算符在

?z表象中的矩阵表示

是 。

95.全同性原理的内容是 。 96.全同粒子体系的哈密顿具有 对称性。

97.全同粒子体系的波函数具有确定对称性，这种对称性不随

20

能。

16.线性谐振子处于

?(x)??0(x)?1221?2(x)??4(x)，其中?n(x)为线性谐振子的能量本征函数，试求能量22的可测及平均值。

17.氢原子处于基态?(r,?,?)?1rexp(?)，求径向坐标和势能的平均值。 3a0?a01rexp(?)，求最可几半径和动能平均值。 3a0?a018. 氢原子处于基态?(r,?,?)?19.一粒子的状态由??Asin2kx描写，求动量的平均值。

?的本征态下，角动量沿与z轴成?角的方向上的分量的平均值。 20.求在Lz??1(L?2?L?2)?1L?2，21.一量子体系的哈密顿算符为H其中I1,I2为常量，试计算该体系xyz2I12I2的能级。

?2?B?2?1,AB???BA???0,求：(1)在A表象中，求A?与B?与B?的矩阵表?，满足A22.厄密算符A?与B?的本征值?的本征值和本征函数。(2)在A表象中，求A?的矩阵表示，并求A示，并求B和本征函数。

??LM??,LM???ML???1，?为K?????，?为本征值，则U?L?的本征函数，即K??与23.设K??也是K?的本征函数，并求其本征值。 V?M??24.转动惯量为I，电耦极矩为D的平面转子处在均匀电场?中，电场在转动平面内，若电场较小，试用微扰法求转子能量的二级近似值。

?25.设体系的哈密顿在H(0)?E1(0)?b表象中的表示为H????aaE2(0)?(0)为H(0)?，其中E1(0),E2?b?的能级，a,b为小实数量。试用微扰公式计算体系能量的二级近似值。

??1??H'??0??000??a1??0???b???3??0ba2c0??c?，?a3??(0)表象中的表示为H?H(0)26. 设体系的哈密顿在H?20试用微扰公式计算体系能量的二级近似值。

?(0)的能级为E(0),E(0),E(0)各不相等，?(0)表象中27. 设体系的哈密顿在H并且微扰哈密顿在H123

26

???的表示为H' ??????2????0??2?????，其中?为小实参量，试用微扰公式计算体系能量的二级?/2??近似值。

?28.一电荷为e的线性谐振子受恒定弱电场?的作用，电场沿正x的方向，试求其定态能量的精确值。

?29.一电荷为q的线性谐振子受恒定弱电场?的作用，电场沿正x的方向，试用微扰理论计算其能量级到二级近似值。

30.粒子处于宽为a的一维无限深势阱中，若微扰为

??b,0?x?a/2,H'??试求粒子能量和波函数的一级修正。

b,a/2?x?a,?31. 粒子处于宽为L（0?x?L）的一维无限深势阱中，若受到微扰H'?ax（a为常数）的作用，试求粒子能量和波函数的一级修正。

?表象中，试计算??y的矩阵表示。 ?x和?32.在Sz?的矩阵表示。 ?表象中，试计算S33. 在Syz01???????34.求S的本征值和所属本征函数。 x??2?10???0?i??35.求Sy???的本征值和所属本征函数。

2?i0???S?cos??S?cos??S?cos?的本征值36.求自旋角动量在(cos?,cos?,cos?)方向的投影Snxyz和所属本征函数。

?属于??的本征态中，测量S有哪些可能取值，这些可能值出现的几率及37.接上题，在Snz2Sz的平均值。

?1?R(r)Y(?,?)??21112?和S?的平均值。 ?的状态，求L38.设氢原子处于???zz??3R(r)Y(?,?)?10?221?39.一体系有三个全同的玻色子组成，玻色子之间无作用，玻色子只有两个可能的单粒子态，

则体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子态表示？

40. 一体系有三个全同的玻色子组成，玻色子之间无作用，玻色子有三个可能的单粒子态，则体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子态表示？

27

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