数学分析之微分中值定理的应用

数学分析之微分中值定理的应用

张焕，付桐林

（陇东学院 数学与统计学院，甘肃 庆阳 745000）

【摘要】：微分中值定理是微分学理论的重要组成部分，以Rolle中值定理、Lagrange中

值定理和Cauchy 中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的理论基础，它们建

立了函数值与导数值之间的定量联系，中值定理的主要作用在于理论分析和证明，在导数应用中起着桥梁的作用，也是研究函数变化形态的纽带。本文将专门针对数学分析中出现的各种中值定理进行讨论和研究，讨论罗尔(Rolle)中值定理对于函数与其连续高阶导数间关系的应用以及应用导数判断函数上升、下降、取极值、凹形、凸形和拐点等项的重要性态。

【关键词】：Rolle中值定理；Lagrange中值定理 ；Cauchy中值定理；应用

1. 引言 数学分析中的微分中值定理是研究函数特性的一个有力工具，在微积分领域有

举足轻重的地位，它们广泛地应用于数学中的各个领域，在计算方法以及实变函

数中都用于一些复杂的定理证明。但是关于微分中值定理这方面的知识一直比较离散，尤其在其应用过程中可以发现，如何巧妙应用，也许要很多理论的支持，比如在哪些条件下可以应用哪个微分中值定理，这样的问题也并不是很容易解决，因此把微分中值定理的性质及应用做一整理和归纳就显得尤为重要。本文的目的在于更加详细的归纳和整理本文的目的在于对Rolle中值定理、Lagrange中值定理和Cauchy中值定理的性质及应用。

2. 预备知识：

引理1 （Fermat引理）设

x是f(x)的一个极值点，且f(x)在x处导数存在，

00则f′(

x)=0.

03三种中值定理的具体应用

3.1罗尔(Rolle)中值定理对于函数与其连续高阶导数间关系的应用

（Roll定理） 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，且f(a)=f(b)，

则至少存在一点?∈(a,b)，使得f′(?)=0.

定理1 设f(x)

?C(n)[a,b]，有点

x?[a,b],k=1,2,…,n，满足x?xkkk?1,f(

xk)=0。

那么对于任意x*?[a,b]n?xx，

**k(k=1,…,n)必存在一点??(a,b)，使得

F(

x*f)=

(n)(?)n!??(x?xk)k?1 (1)

证明：构造函数F(x)如下： F(x)= f(x*)

?(x?x)?f(x)?(x?x)k?1kk?1knn* (2)

易知F(x)

?C(n)[a,b]，且有f(

xk)=0,k=1,2,…,n,及F(

x*)=0 。即F(x)在[a,b]

上有n+1个零点

xk (k=1,2,…,n)与

x*，可

y为

ky，

k?yk?1(显然有

j，1?j?n?1 使

x?y*j)。显然F(

yk)=0，

k?1k=1,2,…,n+1。则由罗尔定理，在每个[k=1,2,…,n,使得定理，存在点

yk,yk?1]之间必有点

?(1)k?(y,y)k，

f'(?)?0k(1), k=1,2,…,n。进而对

(1)k?1F'(x)?C(n?1)[a,b]，再依罗尔

?(2)k?[?(1)k,

?]，使得

F(2)(?)?0k(2), k=1,2,…,n-1。根据F(x)

(n?1)?C(n)[a,b]，可重复上述步骤多次，直到最后对

(n?1)kF(x)在[?1(n?1),

?(n?1)2]上

F(?)?0(???1k=1,2，应用罗尔定理得，存在一点

(n?1)?,

(n?1)2)?(a,b)使得

F(n)(?)?0，因此有

dndx {f(

=n! f(x*nx)-

*)

?(x?xk)?f(x)?(x?xk)k?1k?1nn*|}

x??

f(n)(?)?(x?xk)?0k?1n*

*即得 F(x*f)=

(n)(?)n!??(x?xk)k?1n ,

?x?[a,b]* .

◇证毕

依此定理，可直接推得如下结果： 推论 设f(x)

*?C(n)[a,b]，且有点,

x?[a,b]满足x?xkkk?1,f(

xk)=f(

x),k=0,1,…,n-1,

0

?x?[a,b]x?xf(n)*k,(k=1,…,n-1)必存在一点??[a,b]，使得

f(

x*(?)n!)=f(

??(x?xk)k?1n*

事实上，可考虑函数F(x):

F(x)?[f(x)?f(x0)]?(x?xk)?[f(x)?f(x0)]?(x*?xk)*k?0k?0*n?1n?1.

(n)F(x)?C[a,b],F(xk)?0,k?0,1,...,n?1，及F(x）=0。从而应用上述定理，易见

知存在点??(a,b)，使得F*(n)(?)?0，

(?)?(x*?xk)?0k?1n?1n![f(x)?f(x0)]?f即

*(n)，

f(n)(?)n?1*f(x)?f(x0)?(x?xk)?n!k?1于是 .

上述结果可用来讨论具有连续高阶导数的周期函数，本征函数等有关函数与其导数间

关系及性质。

3. 2 Lagrange中值定理及其应用

Lagrange中值定理 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)上可导，则至少存

在一点 ?∈(a,b)，使得f′(?)＝ (f(b)-f(a)) /(b-a) .

证明：作辅助函数 F(x)=f(x)-f(a)- (f(b)-f(a)) (x-a)/(b-a) , x∈[a,b],

由于函数f(x)在 闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)上可导，因此函数F(x)也f(x)在 闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)上可导，并且有F(a)=F(b)=0，于是由Roll

定理，至少存在一点?∈(a,b)使得F(x)=0.对F(x)的表达式求导并令F′(?)=0，整理后便得到

f′(?)＝ (f(b)-f(a)) /(b-a) .

◇ 证毕

3.2.1 用Lagrange中值定理讨论函数性质：

定理2：若f（x）在(a,b)上可导，且f′(x)≡0，则f(x)在(a,b)上恒为常数。 证明：设

x和x是区间（a,b）中任意两点，在[x, x]上应用Lagrange中值定理，

1212即知存在?∈(件

x, x)?(a,b)，使得f(x)-f(x) = f′(?)(x-x), 由条

122121f′(?)=0，便有f(

x)=f(x) ,由x, x的任意性，就得到f(x)=C , x∈(a,b).

2112

◇证毕

这个定理说的是函数在区间中导数为零时的情况，下面来讨论函数在区间中导数保持定号时函数所具有的性质。为了讨论方便，我们用I表示某一区间，它可以是闭区间、开区间、半开办闭区间，而区间长度可以是有限的也可以是无限的。

定理3：（一阶导数与单调性的关系）设函数f(x)在区间I上可导，则f(x)在I上单调增

加的充分必要条件是：对于任意x∈I有f′(x)≥0；特别地，若对于任意x∈I有f′(x)＞0，则f(x)在I上严格单调增加。

证明：充分性：设x1和x2(x1?x2)是区间I中任意两点，在[x1,x2]上应用Lagrange中值

定理，即知存在??(x1,x2)，使得

f(x2)?f(x1)?f'(?)(x2?x1)，

'''x?x?0f(x)?f(x)f(?)f(?)f2121由于，因此与同号。所以，当≥0或(?)

＞0时，相应地分别有f(x2)?f(x1)≥0或f(x2)?f(x1)＞0，由x1和x2在[a，b]中的任意性，即知f(x)在I上单调增加或严格单调增加。

必要性：设x是区间I中任意一点，由于f(x)在I上单调增加，所以对于任意

x'?I(x'?x)成立

f(x')?f(x)?0'x?x

''fx?x令，即得到(x)?0(x?I)。

◇证毕

' 类似地可以得到在I上f(x)?0（或f(x)?0)与f(x)在I上单调减少（或严格单调

减少）之间的关系。

定义：设函数f(x)在区间I上定义，若对I中的任意两点x1和x2，和任意的??(0,1)，

都有

f(?x1?(1??)x2??f(x1)?(1??)f(x2)

则称f(x)是I上的下凸函数。若不等号严格成立，则称f(x)在I上是严格下凸函数。 定理4：（二阶导数与凸性的关系）设函数f(x)在区间I上二阶可导，则f(x)在区间I上

是下凸函数的充分必要条件是：对于任意x?I有f''(x)≥0。 特别地，若对于任意x?I有f''(x)＞0，则f(x)在I上是严格下凸函数。

xn?ynx?yn?()22下面举例用下凸函数的性质证明不等式 ，x,y＞0，n＞1；

n证明：设f(x)=x，则当n＞1时，

f(x)?nx'n?1

n?2f''(x)?n(n?1)x?0,?x?0，

xn?ynx?yn?()f(x)22所以在（0，+∞）上严格下凸，因而，x,y＞0.

3.2.2 一类Lagrange中值定理证明题浅析：

设f(x)在[0，1]上连续（0，1）内可导，f(0)?0，f(1)?1，试分别证明：

''?,?f(?)?f(?)?2. （1） 存在（0，1）内两个不同的点，使得

11??2''f(?)f(?)（2） 存在（0，1）内两个不同的点?,?，使得.

''?,?f(?)f(?)?1. （3） 存在（0，1）内两个不同的点，使得

f'(?)??'（4） 存在（0，1）内两个不同的点?,?及大于零的常数?，使得f(?)

（5） 对于任意的正整数n，存在（0，1）内两个不同的点?,?及常数??0，使得

f'(?)f(?)=n(??1).

分析 要证明存在（0，1）内两个不同的点?,?，使得题中等式成立，关键是在（0，1）

内插入一个分点c，将闭区间[0，1]分成两个子区间[0，c]及[c，1]，然后分别在这两个闭区间上应用中值定理即可。分点c的选取，要根据具体情况而定，有时需要结合闭区间上来连续函数的性质，推断符合要求的c点的存在性，以保证函数在该点处的值满足特殊要求，进而完成证明。

证明：（1）显然，f(x)分别在[0，1/2]及[1/2，1]上满足Lagrange中值定理的条件，故

存在??(0,1/2)，??(0,1/2)，使得

f(1/2)?f(0)?f'(?)1/2?0，

f(1)?f(1/2)?'f(?)，从而 1?1/2f'(?)?f'(?)?2

（2）因为f(x)在（0，1）上连续，f(0)?0，f(1)?1，故根据闭区间上连续函数的介

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