(2)用样本估计总体

第二节用样本估计总体

一、基础知识 二、例题讲解

【1】概念

1.(教材习题改编)在如图所示的茎叶图表示的数据中，众数和中位数分别是( ) A．23与26

B．31与26 C．24与30

D．26与30

1 2 3 4 2 0 0 1 4 3 1 2 5 1 6 2．(教材习题改编)把样本容量为20的数据分组，分组区间与频数如下：[10,20)，2；[20,30)，3；[30,40)，4；[40,50)，5；[50,60)，4；[60,70]，2，则在区间[10,50)上的数据的频率是( ) A．0.05 B．0.25 C．0.5

D．0.7

3．(2012·长春模拟)从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图由图中数据可知身高在[120,130]内的学生人数为( ) A．20

B．25 C．30

D．35

4．(教材习题改编)甲、乙两人比赛射击，两人所得的平均环数相同，其中甲所得环数的方差为5，乙所得环数如下：5、6、9、10、5，那么这两人中成绩较稳定的是________．

5．(2012·山西大同)将容量为n的样本中的数据分为6组，绘制频率分布直方图，若第一组至第六组的数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且前三组数据的频数之和为27，则n＝________.

【2】用样本的频率分布估计总体分布

[例1] (2012·广东高考)某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]． (1)求图中a的值；

(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；

(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数.

在本例条件下估计样本数据的众数．

1．(2012·深圳调研)某中学组织了“迎新杯”知识竞赛，从参加考试的学生中抽出若干名学生，并将其成绩绘制成频率分布直方图(如图)，其中成绩的范围是[50,100]，样本数据分组为[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，已知样本中成绩小于70分的个数是36，则样本中成绩在[60,90)内的学生人数为________．

【3】茎叶图的应用

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分数段 x∶y [50,60) 1∶1 [60,70) 2∶1 [70,80) 3∶4 [80,90) 4∶5 [例2] (2012·陕西高考)从甲、乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示(如图所示)．设甲、乙两组数据的平均数分别为x甲、x乙，中位数分别为m甲、m乙，则( ) A.x甲m乙 C.x甲>x乙，m甲>m乙

B.x甲

D.x甲>x乙，m甲

由茎叶图可以清晰地看到数据的分布情况，这一点同频率分布直方图类似．它优于频率分布直方

图的第一点是从茎叶图中能看到原始数据，没有任何信息损失；第二点是茎叶图便于记录和表示．其缺点是当样本容量较大时，作图较繁．

2．(2012·淮北模考)如图所示的茎叶图记录了一组数据，关于这组数据，其中说法正确的序号是________.

①众数是9；②平均数是10；③中位数是9或10；④标准差是3.4.

【4】样本的数字特征

－－－－[例3] (1)(2012·江西高考)样本(x1，x2，?，xn)的平均数为x，样本(y1，y2，?，ym)的平均数为y(x≠y)．若样1－－－

本(x1，x2，?，xn，y1，y2，?，ym)的平均数z＝αx＋(1－α)y，其中0<α<，则n，m的大小关系为( )

2A．nm C．n＝m

D．不能确定

0 1 7 0 8 1 9 2 9 2 9 3 (2)(2012·山东高考)在某次测量中得到的A样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是( ) A．众数

B．平均数 D．标准差

C．中位数

3．(2012·淄博一检)一农场在同一块稻田中种植一种水稻，其连续8年的产量(单位：kg)如下：450,430,460,440,450,440,470,460，则该组数据的方差为( ) A．120 C．15

B．80 D．150

三、习题训练

A组

1．(2013·豫西五校联考)某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为8,12,10,11,9，估计此人每次上班途中平均花费的时间为( )

A．8分钟 B．9分钟 C．11分钟

D．10分钟

2．(2012·湖北高考)容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：

分组 频数

则样本数据落在区间[10,40)的频率为( )

[10,20) 2 [20,30) 3 [30,40) 4 [40,50) 5 [50,60) 4 [60,70) 2 第 2 页 共 2 页

A．0.35 C．0.55

B．0.45 D．0.65

3．某厂10名工人在一个小时内生产零件的个数分别是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设该组数据的平均数为a，中位数为b，众数为c，则有( ) A．a＞b＞c C．c＞a＞b

B．b＞c＞a D．c＞b＞a

4．(2013·济宁模拟)为了解一片大约一万株树木的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长(单位：cm)．根据所得数据画出的样本频率分布直方图如图所示，那么在这片树木中，底部周长小于110 cm的株数大约是( ) A．3 000 C．7 000

B．6 000 D．8 000

5．(2012·江西高考)小波一星期的总开支分布如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为( ) A．30% C．3%

B．10% D．不能确定

6．(2012·江西盟校二联)若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2.现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数为x，方差为s2，则( ) A.x＝5，s2＜2 C.x＞5，s2＜2

B.x＝5，s2＞2 D.x＞5，s2＞2

7．(2012·湖北模拟)下图为150辆汽车通过某路段时速度的频率分布直方图，则速度在[60,70)内的汽车大约有________辆．

8．(2012·湖南高考)如图所示是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数在这五场比赛中得分的方差为________．

的茎叶图，则该运动员

(

1

注：方差s2＝[(x1－x)2＋(x2－x)2＋?＋(xn－x)2]，其中x为x1，x2，?，xn的平均数

n

)

9．(2012·北京海淀)甲和乙两个城市去年上半年每月的平均气温(单位：℃)用茎叶图记录如下，根据茎叶图可知，两城市中平均温度较高的城市是________，气温波动较大的城市是________．

10．(2012·郑州模拟)某中学共有1 000名学生参加了该地区高三第一次质量检测的数学考试，数学成绩如下表所示：

数学成绩分组 人数 [0,30) 60 [30,60) 90 [60,90) 300 [90,120) x [120,150] 160 (1)为了了解同学们前段复习的得失，以便制定下阶段的复习计划，学校将采用分层抽样的方法抽取100名同学进行

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问卷调查，甲同学在本次测试中数学成绩为95分，求他被抽中的概率；

(2)已知本次数学成绩的优秀线为110分，试根据所提供数据估计该中学达到优秀线的人数；

(3)作出频率分布直方图，并估计该学校本次考试的数学平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．

11． (2012·江西重点中学联考)某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：

X 频率

(1)若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a，b，c的值；

(2)在(1)的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1，x2，x3，等级系数为5的2件日用品记为y1，y2，现从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取2件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这2件日用品的等级系数恰好相等的概率．

12．(2012·北京高考)近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：

厨余垃圾 可回收物 其他垃圾

(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率； (2)试估计生活垃圾投放错误的概率；

(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中a>0，a＋b＋c＝600.当数据a，b，c的方差s2最大时，写出a，b，c的值(结论不要求证明)，并求此时s2的值． [(x1－x)2＋(x2－x)2＋?＋(xn－x)2]，其中x为数据x1，x2，?，xn的平均数 ) ( 注：s2＝1n

B组

1．(2013·西宁模拟)已知一组数据：a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7构成公差为d的等差数列，且这组数据的方差等于1，则公差d等于( )

“厨余垃圾” 400 30 20 “可回收物” 100 240 20 “其他垃圾” 100 30 60 1 a 2 0.2 3 0.45 4 b 5 c 第 4 页 共 4 页

111A．± B．± C．±

4228

D．无法求解

2．(2012·安徽高考)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )

A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差

3．(2012·山西山大附中月考)如图是某市有关部门根据该市干部的月收入情况，画出的样本频率分布直方图，已知图中第一组的频数为4 000，请根据该图提供的信息解答下列问题．

(1)求样本中月收入在[2 500,3 500)的人数；

(2)为了分析干部的收入与年龄、职业等方面的关系，必须从样本中按月收入用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[1 500,2 000)的这组中应抽多少人？ (3)试估计样本数据的中位数．

D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差

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