数学经典例题集锦：数列（含答案）

数列题目精选精编

【典型例题】

（一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质

n?1{a}a?1,a?3?an?1(n?2). n1n例题1. 已知数列满足

（1）求a2,a3；

3n?1an?2. （2）证明：

2解：（1）?a1?1,?a2?3?1?4,a3?3?4?13.

n?1a?a?3nn?1（2）证明：由已知，故an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a2?a1)

?a1?3

n?1?3n?23n?13n?1???3?1?an?2， 所以证得2.

例题2. 数列?an?的前n项和记为Sn,a1?1,an?1?2Sn?1(n?1) （Ⅰ）求?an?的通项公式；

a?1,22b3,a3?b（Ⅱ）等差数列?bn?的各项为正，其前n项和为Tn，且T3?15，又a1?b成等比数列，求Tn.

解：（Ⅰ）由an?1?2Sn?1可得an?2Sn?1?1(n?2)， 两式相减得：an?1?an?2an,an?1?3an(n?2)，

又a2?2S1?1?3∴a2?3a1 故?an?是首项为1，公比为3的等比数列 ∴an?3n?1

（Ⅱ）设?bn?的公比为d，由T3?15得，可得b1?b2?b3?15，可得b2?5

故可设b1?5?d,b3?5?d，又a1?1,a2?3,a3?9，

2由题意可得(5?d?1)(5?d?9)?(5?3)，解得d1?2,d2?10

∵等差数列?bn?的各项为正，∴d?0 ∴d?2 ∴

2例题3. 已知数列?an?的前三项与数列?bn?的前三项对应相同，且a1?2a2?2a3?...

Tn?3n?n(n?1)?2?n2?2n2

?2n?1an?8n对任意的n?N*都成立，数列bn?1?bn是等差数列.

⑴求数列?an?与?bn?的通项公式； ?⑵是否存在k?N，使得bk?ak?(0,1)，请说明理由.

n?12n?12an??a?2a?2a?...?2a?8n23n点拨：（1）1左边相当于是数列前n项和的形式，

??可以联想到已知Sn求an的方法，当n?2时，Sn?Sn?1?an.

- 1 -

（2）把bk?ak看作一个函数，利用函数的思想方法来研究bk?ak的取值情况.

2n?1解：（1）已知a1?2a2?2a3???2an?8n(n?N*）① 2n?2n?2时，a1?2a2?2a3???2an?1?8(n?1)(n?N*）②

4?nn?1a?22a?8nn①－②得，，求得，

在①中令n?1，可得得a1?8?24?n4?1，

所以an?2(n?N*）.

由题意b1?8，b2?4，b3?2，所以b2?b1??4，b3?b2??2， ∴数列{bn?1?bn}的公差为?2?(?4)?2， ∴bn?1?bn??4?(n?1)?2?2n?6，

bn?b1?(b2?b1)?(b3?b2)???(bn?bn?1)

24?k（2）bk?ak?k?7k?14?2，

?(?4)?(?2)???(2n?8)?n2?7n?14(n?N*）.

77f(k)?(k?)2??4?k242单调递增，且f(4)?1， 当k?4时，

所以k?4时，f(k)?k?7k?14?2又f(1)?f(2)?f(3)?0，

24?k?1，

所以，不存在k?N*，使得bk?ak?(0,1).

例题4. 设各项均为正数的数列{an}和{bn}满足：an、bn、an+1成等差数列，bn、an+1、bn+1成等比数列，且a1 = 1， b1 = 2 ， a2 = 3 ，求通项an，bn 解： 依题意得：

2bn+1 = an+1 + an+2 ① a2n+1 = bnbn+1 ②

∵ an、bn为正数， 由②得an?1?bnbn?1,an?2?bn?1bn?2， bn?bn?2 ，

92 ，

代入①并同除以bn?1得： 2bn?1?∴ {bn}为等差数列 ∵ b1 = 2 ， a2 = 3 ，

2a2?b1b2,则b2?92(n?1)2bn?2?(n?1)(?2)?(n?1),?bn?222 ， ∴

n(n?1)an?bnbn?1?2∴当n≥2时，， n(n?1)an?2又a1 = 1，当n = 1时成立， ∴

2. 研究前n项和的性质 例题5.

n已知等比数列{an}的前n项和为Sn?a?2?b，且a1?3.

- 2 -

（1）求a、b的值及数列{an}的通项公式；

nbn?an，求数列{bn}的前n项和Tn. （2）设

解：（1）n?2时，an?Sn?Sn?1?2n?1n?1?a.而{an}为等比数列，得a1?21?1?a?a，

又a1?3，得a?3，从而an?3?2.又?a1?2a?b?3,?b??3. nn123nbn??T?(1?????)n?1n2n?1a3?2n3222（2），

11123n?1n11111nTn?(?2?3???n?1?nTn?(1??2???n?1?n)2322222） ，得232222， 11?(1?n)22?n]?4(1?1?n)Tn?[31?12n32n2n?12.

1例题6. 数列{an}是首项为1000，公比为10的等比数列，数列{bn}满足

1bk?(lga1?lga2???lgak)*(k?N)， k

（1）求数列{bn}的前n项和的最大值；（2）求数列{|bn|}的前n项和Sn.

的等差数列，

∴

4?na?10解：（1）由题意：n，∴lgan?4?n，∴数列{lgan}是首项为3，公差为?1?lga1?lga2???lgak?3k?k(k?1)1n(n?1)7?nbn?[3n?]?2，∴n22

?bn?021?S?S?672. 由?bn?1?0，得6?n?7，∴数列{bn}的前n项和的最大值为

（2）由（1）当n?7时，bn?0，当n?7时，bn?0，

7?n3?2)n??1n2?13nSn??b1?b2???bn?(244 ∴当n?7时，当n?7时，

2Sn??b1?b2???b7?b8?b9???bn?2S7?(b1?b2???bn)?4n?4n?21

?1213?n?n(n?7)??4Sn???4?1n2?13n?21(n?7)?4?4∴.

113

例题7. 已知递增的等比数列{an}满足a2?a3?a4?28，且a3?2是a2，a4的等差中项. （1）求{an}的通项公式an；（2）若

bn?anlog1an，S?b?b???b求使

n12n2- 3 -

Sn?n?2n?1?30成立的n的最小值.

解：（1）设等比数列的公比为q（q＞1），由

1a1q+a1q2+a1q3=28，a1q+a1q3=2（a1q2+2），得：a1=2，q=2或a1=32，q=2∴an=2·2

（n－1）

（舍）

=2n

2（2） ∵，∴Sn=－（1·2+2·22+3·23+…+n·2n） ∴2Sn=－（1·22+2·23+…+n·2n+1），∴Sn=2+22+23+…+2n－n·2n+1=－（n－1）·2n+1－2， 若Sn+n ·2n+1＞30成立，则2n+1＞32，故n＞4，∴n的最小值为5.

bn?anlog1an??n?2n

*例题8. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且?1,Sn,an?1成等差数列，n?N,a1?1. 函数f(x)?log3x.

（I）求数列{an}的通项公式； （II）设数列{bn}满足

bn?1(n?3)[f(an)?2]，记数列{bn}的前n项和为T，试比较

n

52n?5Tn与?12312的大小.

解：（I）??1,Sn,an?1成等差数列，?2Sn?an?1?1① 当n?2时，2Sn?1?an?1②.

a?n?1?3.①－②得：2(Sn?Sn?1)?an?1?an，?3an?an?1，an 当n=1时，由①得?2S1?2a1?a2?1， 又a1?1,?a2?3,?

a2?3,a1

?{an}是以1为首项3为公比的等比数列，?an?3n?1.

n?1（II）∵f?x??log3x，?f(an)?log3an?log33?n?1，

11111bn???(?)(n?3)[f(an)?2](n?1)(n?3)2n?1n?3，

1111111111111?Tn?(?????????????)224354657nn?2n?1n?3

2n?511111?5??(???)122(n?2)(n?3),223n?2n?3

52n?5Tn与?12312的大小，只需比较2(n?2)(n?3)与312 的大小即可. 比较

又2(n?2)(n?3)?312?2(n2?5n?6?156)?2(n2?5n?150)?2(n?15)(n?10)

52n?52(n?2)(n?3)?312,即Tn??;**n?N,1?n?9且n?N12312 ∵∴当时，

52n?52(n?2)(n?3)?312,即Tn??;n?1012312 当时，

52n?52(n?2)(n?3)?312,即Tn??*12312. 当n?10且n?N时，

3. 研究生成数列的性质

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nn例题9. （I） 已知数列?cn?，其中cn?2?3，且数列?cn?1?pcn?为等比数列，求常数p；

（II） 设?an?、?bn?是公比不相等的两个等比数列，cn?an?bn，证明数列?cn?不是

等比数列.

解：（Ⅰ）因为{cn+1－pcn}是等比数列，故有 （cn+1－pcn）2=（ cn+2－pcn+1）（cn－pcn－1）， 将cn=2n＋3n代入上式，得 ＋＋

[2n1+3n1－p（2n＋3n）]2

＋＋－－=[2n2+3n2－p（2n+1＋3n+1）]·[2n+3n－p（2n1＋3n1）]， 即[（2－p）2n+（3－p）3n]2

－－=[（2－p）2n+1+（3－p）3n+1][ （2－p）2n1+（3－p）3n1]，

1整理得6（2－p）（3－p）·2n·3n=0，

解得p=2或p=3. （Ⅱ）设{an}、{bn}的公比分别为p、q，p≠q，cn=an+bn. 为证{cn}不是等比数列只需证c2≠c1·c3.

事实上，c2=（a1p＋b1q）2=a1p2＋b1q2＋2a1b1pq，

c1·c3=（a1＋b1）（a1 p2＋b1q2）= a1p2＋b1q2＋a1b1（p2＋q2）. 由于p≠q，p2＋q2>2pq，又a1、b1不为零，

2c因此2?c1·c3，故{cn}不是等比数列.

222222

例题10. n2（ n≥4）个正数排成n行n列：其中每一行的数成等差数列，每一列的数成

13a42?,a43?816 等比数列，并且所有公比相等已知a24=1，

求S=a11 + a22 + a33 + ? + ann 解： 设数列{a1k}的公差为d， 数列{aik}（i=1，2，3，?，n）的公比为q

则a1k= a11 + （k－1）d ， akk = [a11 + （k－1）d]qk1 －

??a24?(a11?3d)q?1?1?3?a42?(a11?d)q?8?3?13a?(a?2d)q?11?4316，解得：a11 = d = q = ±2 依题意得：?又n2个数都是正数，

1kk∴a11 = d = q = 2 ， ∴akk = 2 S?1111?2?2?3?3???n?n2222，

11111S?2?2?3?3?4???n?n?122222，

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【模拟试题】

一、填空题

1. 在等差数列｛an｝中，已知a1=2，a2+a3=13，则a4+a5+a6等于= . 2. 已知数列的通项an??5n?2，则其前n项和Sn? .

3. 首项为－24的等差数列，从第10项开始为正，则公差d的取值范围是 .

24. 在等比数列{an}中，a3和 a5 是二次方程 x?kx?5?0 的两个根，则a2a4a6 的值为 .

5. 等差数列{an}中，a1=1，a3+a5=14，其前n项和Sn=100，则n= . 6. 等差数列{an}的前m项和为30，前2m项的和为100，求它的前3m项的和为________

An7n?45a7?{b}B{a}Bn?3，b7= 7. 已知两个等差数列n和n的前n项和分别为An和n，且nan ，若bn为正整数，n的取值个数为___________。

8. 已知数列?an?对于任意p，q?N，有ap?aq?ap?q，若

*a1?19，则a36? .

9. 记数列{an}所有项的和为S(1)，第二项及以后各项的和为S(2)，第三项及以后各项的和为 S(3),?，第n项及以后各项的和为S(n)，若S(1)?2，S(2)1S??1，(3)2,?，

S(n)?12n?2,?，则an等于 .

10. 等差数列{an}共有2n?1项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则其中间项

为_____.

211. 等差数列{an}中，an?0，若m?1且am?1?am?am?1?0，S2m?1?38，则m的值为 .

12. 设Sn为等差数列{an}的前n项和. 已知S6?36,Sn?324,Sn?6?144(n?6)，则n等于 .

13. 已知函数f(x)定义在正整数集上，且对于任意的正整数x，都有f(x?2)?2f(x?1) ?f(x)，且f(1)?2,f(3)?6，则f(2005)?__ __.

14. 三个数a,b,c成等比数列，且a?b?c?m(m?0)，则b的取值范围是 . 15. 等差数列{an}中，前n项和为Sn，首项a1?4,S9?0. （1）若an?Sn??10，求n （2） 设bn?2an，求使不等式b1?b2???bn?2007的最小正整数n的值.

点拨：在等差数列中an,Sn,n,d知道其中三个就可以求出另外一个，由已知可以求出首项a1与公差d，把an,Sn分别用首项a1与公差d，表示即可. 对于求和公式Sn?n(a1?an)，2Sn?na1?n(n?1)d采用哪一个都可以，但是很多题目要视具体情况确定采用哪一个可能更2简单一些. 例如：已知a9?0,a10?0,a9?a10?0,判断S17,S18,S20的正负. 问题2在思考时要注

- 11 -

意加了绝对值时负项变正时，新的数列首项是多少，一共有多少项. 16. 等差数列{an}的前n项和为Sn，a1?1?2，S3?9?32. （I）求数列{an}的通项an与前n项和为Sn； （II）设

bn?Sn*n（n?N），求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.

1(x1,y1),P2(x2,y2)?,Pn(xn,yn)?，对一切正整数n，点Pn位17. 在直角坐标平面上有一点列P于函数

y?3x?513?4的图象上，且Pn的横坐标构成以2为首项，?1为公差的等差数列{xn}.

⑴求点Pn的坐标；

⑵设抛物线列c1,c2,c3,?,cn,?中的每一条的对称轴都垂直于x轴，第n条抛物线cn的

2顶点为Pn，且过点Dn(0,n?1)，设与抛物线cn相切于Dn的直线的斜率为kn，求：111????k1k2k2k3kn?1kn.

xnn,?Nn,?⑶设S??x|x?2?1T,??yy?|yn4n?,?，1等差数列{an}的任一项

an?S?T，其中a1是S?T中的最大数，?265?a10??125，求{an}的通项公式.

*a??a?1,a?2a?1(n?N)， n1n?1n18. 已知数列满足

（1）求数列?an?的通项公式；

b?1bb?1b?1*（2）若数列?an?满足44?4?(an?1)(n?N)（n∈N*），证明：?bn?是等差

12nn数列.

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【试题答案】

1. 42

n(5n?1)22. 8(,3]3. 3 ?4. ?55 5. 10 6. 210 7. 8.5；5个

解法一：点拨 利用等差数列的求和公式

?“若2m?p?q,m,p,q?N，则

Sn?(a1?an)n2及等差数列的性质

”

am?ap?aq2(a1?a13)?13A13172a7(b?b)?13?B?211313b2解析：7=

2aS?an?bn”这个结论，根据条件 nn解法2： 点拨 利用“若{}为等差数列，那么

找出an和bn的通项.

解析：可设An?kn(7n?45)，Bn?kn(n?3)，则an?An?An?1?k(14n?38)，

a7k(14?7?38)17?2 bn?k(2n?2)，则b7=k(2?7?2)ank(14n?38)1212?7?n?1，显然只需使n?1为正整数即可， 由上面的解法2可知bn=k(2n?2)故n?1,2,3,5,11，共5个.

点评：对等差数列的求和公式的几种形式要熟练掌握，根据具体的情况能够灵活应用. 反思：解法2中，若是填空题，比例常数k可以直接设为1. 8. 4

11?2n?22n?12n?1. 9. 解：

?(n?1)an?1?319?a10. 解：依题意，中间项为n?1，于是有?nan?1?290解得an?1?29.

an?S(n)?S(n?1)??2a?am?1?am?1?2am，而am?0，?am?2，又?S2m?1?38，m11. 解：由题设得

1?38?(a1?a2m?1)(2m?1)2am(2m?1)??2(2m?1)22，m?10.

12. 解：S6?(Sn?Sn?6)?6(a1?an)?36?(324?144)?216， a1?an?36，

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Sn?n(a1?an)?3242. ∴n?18。

*13. 解：由f(x?2)?f(x)?2f(x?1)知函数f(x)(x?N)当x从小到大依次取值时对应的一系列函数值组成一个等差数列，f(1),f(3),?,f(2005)形成一个首项为2，公差为4的

等差数列，f(2005)?2?(1003?1)?4?4010.

bb1ma?,c?bq?b?bq?m,?b?0,??q?1?qqb. 14. 解：设，则有qm1m??q?1?3?0?b?3； 当q?0时，bq，而b?0，

m1m??q?1??1??1当q?0时，bq，即b，而m?0，?b?0，则?m?b?0，

mb?[?m,0)?(0,]3. 故

15. 解：（1）由S9?9a1?36d?0，得：d??1,an?5?n，

n(n?1)?(?1)??10. 又由an?Sn??10,4?(n?1)(?1)?4n?2即n2?7n?30?0，得到n?10. （2）由bn?25?n

若n≤5，则b1?b2???bn≤b1?b2???b5?31，不合题意

2(2n?5?1)?2007 故n>5，b1?b2??bn?31?2?1即2n?5?989，所以n≥15，使不等式成立的最小正整数n的值为15

??a1?2?1，??3a1?3d?9?32，?d?2， 16. 解答：（I）由已知得?故an?2n?1?2，Sn?n(n?2). （Ⅱ）由（Ⅰ）得

bn?Sn?n?2n.

2bb,b,b{b}p,q,rqpqrn假设数列中存在三项（互不相等）成等比数列，则?bpbr.

2即(q?2)?(p?2)(r?2).

?(q2?pr)?(2q?p?r)2?0

?p，q，r?N?，

?q2?pr?0，p?r22???()?pr，(p?r)?0，?p?r?2q?p?r?0，2 .

与p?r矛盾.

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53xn???(n?1)?(?1)??n?22 17. 解：（1）

13535?yn?3?xn???3n?,?Pn(?n?,?3n?)4424

（2）?cn的对称轴垂直于x轴，且顶点为Pn. ?设cn的方程为：

y?a(x?2n?3212n?5)?,24

222把Dn(0,n?1)代入上式，得a?1，?cn的方程为：y?x?(2n?3)x?n?1.

11111???(?)kn?y'|x?0?2n?3，kn?1kn(2n?1)(2n?3)22n?12n?3

1111111111?????[(?)?(?)???(?)]k1k2k2k3kn?1kn257792n?12n?3 11111(?)??=252n?3104n?6.

（3）S?{x|x??(2n?3),n?N,n?1}， ?T?{y|y??(12n?5),n?N,n?1}?{y|y??2(6n?1)?3,n?N,n?1} ?S?T?T,T 中最大数a1??17.

设{an}公差为d，则a10??17?9d?(?265,?125)，由此得

?248?d??12,又?an?T?d??12m(m?N*)9

?d??24,?an?7?24n(n?N*)

*18. （1）解：?an?1?2an?1(n?N), ?an?1?1?2(an?1),

??an?1?是以a1?1?2为首项，2为公比的等比数列. ?an?1?2n. 即 an?2n?1(n?N*).

（2）证：?4k1?1k2?14...4kn?1?(an?1)kn. ?4(k1?k2?...?kn)?n?2nkn.

?2[(b1?b2?...?bn)?n]?nbn, ①

2[(b1?b2?...?bn?bn?1)?(n?1)]?(n?1)bn?1. ② ②－①，得2(bn?1?1)?(n?1)bn?1?nbn, 即(n?1)bn?1?nbn?2?0,③ nbn?2?(n?1)bn?1?2?0.④

③－④，得 nbn?2?2nbn?1?nbn?0, 即 bn?2?2bn?1?bn?0,

?bn?2?bn?1?bn?1?bn(n?N*),

??bn?是等差数列.

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ocyr.html