2015理科二模立体几何分类汇编DOC

2015海淀二模立体几何分类汇编

1（2015海淀）

如图所示，在四棱锥P?ABCD中， AB//CD，AB?AD，AB?AD?AP?2CD?2，

M是棱PB上一点.

（Ⅰ）若BM?2MP，求证：PD//平面MAC； （Ⅱ）若平面PAB?平面ABCD，平面PAD?平面

ABCD，求证：PA?平面ABCD；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若二面角B?AC?M的余弦值为

2．（2015西城）

PM2PM，求的值. 3PBABDC如图1，在边长为4的菱形ABCD中，?BAD?60?， DE?AB于点E，将?ADE沿DE折起到?A1DE的位置，使A1D?DC，如图2.

（Ⅰ）求证：A1E?平面BCDE；

?C（Ⅱ）求二面角E?A的余弦值； 1B（Ⅲ）判断在线段EB上是否存在一点P，使平面A1DP⊥平面A1BC？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

EPPB3（2015东城）

如图，三棱柱ABC?DEF的侧面BEFC是边长为1的正方形，侧面BEFC?侧面

ADEB，AB?4，?DEB?60?，G是DE的中点．

（Ⅰ）求证：CE∥平面AGF； （Ⅱ）求证：GB?平面BEFC；

（Ⅲ）在线段BC上是否存在一点P，使二面角P?GE?B为45，若存在，求BP的长；

若不存在，说明理由．

4．（2015朝阳）

如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD,?DAB?90?，AD?DC?GADBECF?1AB?1．直2角梯形ABEF可以通过直角梯形ABCD以直线AB为轴旋转得到，且平面ABEF⊥平面

ABCD．

（Ⅰ）求证：FA?BC；

（Ⅱ）求直线BD和平面BCE所成角的正弦值；

（Ⅲ）设H为BD的中点，M，N分别为线段FD,AD上的点（都不与点D重合）.若直

线FD^平面MNH,求MH的长.

F E A M N D C H B

5.（2015丰台）

如图所示，在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AA1?底面ABCD，BD?AC于O,且AA1?OC?2OA?4，点M是棱CC1上一点．

（Ⅰ）如果过A1，B1，O的平面与底面ABCD交于直线l，求证：l//AB； （Ⅱ）当M是棱CC1中点时，求证：AO ?DM；1（Ⅲ）设二面角A1?BD?M的平面角为?，当

A1B1D125时，求CM的长． cos??25

C1ABOMD

6. (2015昌平)

C如图，已知等腰梯形ABCD中，AD//BC,AB?AD?1BC?2,E是BC的中点，2AE?BD?M，将?BAE沿着AE翻折成?B1AE，使平面B1AE?平面AECD.

（I） 求证：CD?平面B1DM； （II）求二面角D?AB1?E的余弦值；

（III）在线段B1C上是否存在点P，使得MP//平面B1AD，若存在，求出若不存在，说明理由.

B1P的值；B1C

1（2015海淀）

（Ⅰ）证明：连结BD交AC于点O，连结OM. 因为 AB//CD，AB?2CD，

所以 因为 所以 所以 所以

因为 所以

PMBOAB??2. DOCDBM?2MP， BM?2. PMBMBO?. PMDOOM//PD. ………………2分 OM?平面MAC，PD?平面MAC，

PD//平面MAC. …………4分

AODCB

（Ⅱ）证明：因为 平面PAD?平面ABCD，AD?AB，平面PAD?平面ABCD?AD，

AB?平面ABCD，

所以AB?平面PAD. ……………6分 因为 PA?平面PAD，

所以 AB?PA. ……………7分 同理可证：AD?PA.

因为 AD?平面ABCD，AB?平面ABCD，AD?AB?A，

所以PA?平面ABCD. …………9分

（Ⅲ）解：分别以边AD,AB,AP所在直线为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由

AB?AD?AP?2CD?2得A(0,0,0)，

PzB(0,2,0)，C(2,1,0)，D(2,0,0)，P(0,0,2)，则

uuuruurAC?(2,1,0)，PB?(0,2,?2).

由（Ⅱ）得：PA?平面ABCD.

所以 平面ABCD的一个法向量为

Mrn?(0,0,1). ………………10分

uuuruurPM??(0???1)，即PM??PB.所以 设

AByCDxuuuruuuruurAM?AP??PB?(0,2?,2?2?). ur设平面AMC的法向量为m?(x,y,z)，则

PBuruuur??m?AC?0,?2x?y?0,即? ruuur?u2??y?(2?2?)?z?0.??m?AM?0,?令x???1，则y?2?2?，z??2?.

ur所以 m?(??1,2?2?,?2?). ……………12分

因为 二面角B?AC?M的余弦值为

2， 3所以

|2?|9?2?10??5?12，解得??.

23所以

PM1的值为. ……14分

2PB2．（2015西城）

（Ⅰ）证明：因为DE?BE,BE//DC,

所以DE?DC, ……………… 1分 又因为A1D?DC，A1D?DE?D,

所以DC?平面A1DE， ……………… 2分 所以DC?A1E. 又因为A1E?DE,DC?DE?D, 所以A1E?平面BCDE.

…………… 4分

……………… 3分

（Ⅱ）解：因为A1E?平面BCDE，DE?BE，所以A1E,DE,BE两两垂直，以

EB,ED,EA1分别为x轴、y轴和z轴，如图建立空间直角坐标系， … 5分

易知DE?23, 则A1(0,0,2)，B(2,0,0)，C(4,23,0)，D(0,23,0)，

所以BA1?(?2,0,2),BC?(2,23,0).

平面A1BE的一个法向量为n?， ……… 6分 （0,1,0）设平面A1BC的法向量为m?(x,y,z),

A1 D E

B x ???????????z y C

???????????????2x?2z?0,由BA1?m?0，BC?m?0,得?

??2x?23y?0.??令 y?1, 得m?(?3,1,?3). ………… 8分

???m?n7???所以cos?m,n????.

???|m|?|n|7 由图，得二面角E?A1B?C的为钝二面角， 所以二面角E?A1B?C的余弦值为?77. ………… 10分

（Ⅲ）结论：在线段EB上不存在一点P，使平面A1DP?平面A1BC. ………… 11分 解：假设在线段EB上存在一点P，使平面A1DP?平面A1BC.

设P(t,0,0)（0≤t≤2），则A1P?(t,0,?2),A1D?(0,23,?2)，……… 12分 设平面A1DP的法向量为p?(x1,y1,z1)，

????????????23y1?2z1?0, 由A1D?p?0，A1P?p?0，得?

??tx1?2z1?0. 令 x1?2，得所以p?(2,???????????????t,t). …………… 13分 3 因为平面A1DP?平面A1BC，

所以m?p?0，即23?解得t??3. 因为0≤t≤2，

所以在线段EB上不存在点P，使得平面A1DP?平面A1BC. ………… 14分 3（2015东城）

（Ⅰ）证明：连接CD与AF相交于H，则H为CD的中点，连接HG．

因为G为DE的中点， 所以HG∥CE．

因为CE?平面AGF，HG?平面AGF，

所以CE∥平面AGF． ………4分

????t3?3t?0，

?（Ⅱ）证明：BE?1，GE?2，在△GEB中，?GEB?60，BG?3．

因为BG?BE?GE， 所以GB?BE．

因为侧面BEFC?侧面ADEB，

侧面BEFC?侧面ADEB?BE，

222GB?平面ADEB，

所以GB?平面BEFC． ………8分

（Ⅲ）解：BG,BE,BC两两互相垂直，建立空间直角坐标系B?xyz．

AGHBECPzFyxD?假设在线段BC上存在一点P，使二面角P?GE?B为45． 平面BGE的法向量m?(0,0,1)，设P(0,0,?),??[0,1]．

G(3,0,0),E(0,1,0)．

????????所以GP?(?3,0,?)，GE?(?3,1,0)．

??????n?GP?0,设平面PGE的法向量为n?(x,y,z)，则???? ???n?GE?0.???3x??z?0,所以?

???3x?y?0.令z?1，得y??，x??3，

所以PGE的法向量为n?(因为m?n?1， 所以1??3,?,1)．

?23??2?1?332??0,1?，故BP?． ?1，解得??222?因此在线段BC上存在一点P，使二面角P?GE?B为45，

且BP?

4（2015朝阳）

3. ………14分 2E N 证明：（Ⅰ）由已知得?FAB?90?，

所以FA?AB，

因为平面ABEF⊥平面ABCD，

A 且平面ABEF?平面ABCD?AB， M 所以FA?平面ABCD， 由于BC?平面ABCD， （Ⅱ）由（Ⅰ）知FA?平面ABCD，

所以FA?AB,FA?AD， 由已知DA?AB，

所以AD,AB,AF两两垂直．

以A为原点建立空间直角坐标系（如图）． 因为AD?DC?z F D C B H 所以FA?BC．………………………………………………………………………4分

E 1AB?1， 2A M N D x C H B y 则B(0,2,0),C(1,1,0),D(1,0,0),E(0,1,1)，

????????所以BC?(1,?1,0),BE?(0,?1,1)，

设平面BCE的一个法向量为n=(x,y,z)．

??????n?BC?0,所以???????n?BE?0,即?

?x?y?0,

?y?z?0.?令x?1，则n=(1,1,1)．

设直线BD和平面BCE所成角为?，

????因为BD?(1,?2,0)，

????n?BD????115?所以sin??cos?n,BD??. ?????153?5n?BD所以直线BD和平面BCE所成角的正弦值为(Ⅲ)在A为原点的空间直角坐标系A-xyz中，

15．………………………………9分 151A(0,0,0),D(1,0,0),F(0,0,1)，B(0,2,0)，H(,1,0).

2DM=k(0

uuuurDM=(-k,0,k),则M(1-k,0,k)，

uuuruuur1MH=(k-,1,-k)，FD=(1,0,-1).

2 若FD^平面MNH，则FD^MH.

uuuruuur即FD?MH0. k-11+k=0,解得k=. 24uuur11uuur32则MH=(-,1,-),MH=.…………………………………………………14分

4445.（2015丰台）

证明：（Ⅰ）因为ABCD?A1B1C1D1是棱柱，所以A1B1BA是平行四边形．

所以A1B1//AB．

因为A1B1?平面ABCD，AB?平面ABCD，

所以A1B1//平面ABCD．

zA1因为平面A1B1O?平面ABCD?l， B1D1所以l//A1B1． 所以l//AB．………………4分 （Ⅱ）因为DB?AC于O，如图建立空间直角坐标系．

因为AA1?4，且OC?2AO?4，

BAOC1MDy所以O(0,0,0)，C(4,0,0)，A(?2,0,0)，

CA1(?2,0,4)．

因为M是棱CC1中点，所以M(4,0,2)．

x?????????设D(0,b,0)，所以DM?(4,?b,2)，OA1?(?2,0,4)．

所以DM?OA1??8?0?8?0．

所以AO?DM． ……………………8分 1（Ⅲ）设D(0,b,0)，B(0,c,0)，平面A1BD的法向量为m?(x,y,z)，

?????????又因为AD?(2,b,?4)，AB11?(2,c,?4)，

?????????m?A1D?0?2x?by?4z?0所以???????． ??2x?cy?4z?0??m?A1B?0???因为b?c，所以y?0，令z?1，则x?2，所以m?(2,0,1)． ?????????设M(4,0,h)，所以MD?(?4,b,?h)，MB?(?4,c,?h)．

?设平面MBD的法向量为n?(x1,y1,z1)，

????????n?MD?0??4x1?by1?hz1?0??所以 ??????．

?4x?cy?hz?0111??n?MB?0??hh因为b?c，所以y1?0，令z1?1，则x1??，所以n?(?,0,1)．

4425又因为cos??，

25h???1????2525m?n2所以cos?m,n??，即． ?????22525nmh5??1167解得h?3或h?．

67所以点M(4,0,3)或M(4,0,)．

67所以CM?3或CM?． ……………………14分

6

6. (2015昌平)

( I ) 由题意可知四边形ABED是平行四边形，所以AM?ME，故B1M?AE. 又因为AB?BE,M为AE的中点,所以BM?AE, 即DM?AE.

又因为AD//BC,AD?CE?2.

所以四边形ADCE是平行四边形. 所以AE//CD. 故CD?DM.

因为平面B1AE?平面AECD, 平面B1AE?平面AECD?AE,B1M?平面

AECD

所以B1M?平面AECD.B1M?AE. 因为CD?平面AECD, 所以B1M?CD.

因为MD?B1M?M, MD、B1M?平面B1MD,

所以CD?平面B1MD. ……………5分

(II) 以ME为x轴, MD为y轴, MB1为z轴建立空间直角坐标系，则C(2,3,0),

B1(0,0,3), A(?1,0,0), D(0,3,0).

z平面AB1E的法向量为MD?(0,3,0). 设平面DB1A的法向量为m?(x,y,z), 因为

??B1AB1?(1,0,3)，AD?(1,3,0),

???x?3z?0 ? , 令z?1得, m?(?3,1,1).

??x?3y?0??AMExDyC 所以cos?m,MD????5, 因为二面角D?AB1?E为锐角, 55. ……………10分 5所以二面角D?AB1?E的余弦值为

(III) 存在点P,使得MP//平面B1AD. ……………11分 法一: 取线段B1C中点P，B1D中点Q，连结MP,PQ,AQ.

则PQ//CD，且PQ=1CD. 2又因为四边形AECD是平行四边形，所以AE//CD. 因为M为AE的中点，则AM//PQ.

所以四边形AMPQ是平行四边形，则MP//AQ. 又因为AQ?平面AB1D,所以MP//平面AB1D. 所以在线段B1C上存在点P，使得MP//平面B1AD，

B1P1?. ……………14分 B1C2法二：设在线段B1C上存在点P，使得MP//平面B1AD, 设B1P??B1C,(0???1),C(2,3,0)，因为MP?MB1?B1P. 所以MP?(2?,3?,3?3?).

????????????????????????????????因为MP//平面B1AD, 所以MP?m?0,

所以?23??3??3?3??0, 解得??1, 又因为MP?平面B1AD, 2所以在线段B1C上存在点P，使得MP//平面B1AD，

B1P1?．……………14分 B1C2

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