高二数学选修4-4教案08直线的参数方程

直线的参数方程

教学目的：使学生理解直线的参数方程的形式，了解其参数t的几何意义；会用直线的参数方程解决一些问题。 一、问题情景

上节我们学习了曲线的参数方程，今天学习的直线的参数方程。 二、数学构建 【引例】求经过点M（x0,y0)，倾斜角为?的直线l的参数方程。

分析：实际上是求直线上动点M的轨迹方程。

解：设M（x,y)是直线上任意一点，过点M作y轴的平

行线，过点M0作x轴的平行线，两直线相交于点Q，规．定直线 ．．．l向上方向为正方向。．．．．．．．．．

当MM0与l同方向或M与M0重合时，因

MM0=MM0，由三角函数的定义，有M0Q=M0Mcos?，QM=M0Msin?

当MM0与l反方向时，因MM0、M0Q、QM同时改变符号上式仍然成立。即有

M0Q=M0Mcos?，QM=M0Msin?

设M0M=t，取t为参数，?M0Q=（x?x0) QM=(y?y0)

yMoM x

?x?x0?tcos?,y?y0?tsin?

即??x?x0?tcos?(t为参数） ①

?y?y0?tsin?这就是所求的直线的参数方程。

注意：t表示定点M（X0，Y0）到相应动点Q（X，Y）有向线段MQ的数量。t表示M、Q两点间的距离。 三、知识运用 直线参数方程的应用：

1、t可以解决有关弦长问题

?x?x0?at?a2?b2?1且b?0时参数t才有意义。

?y?y?bt3、当??(0,?)时，P在P0上方时，t?0，P在P0下方时，t?0， P与P0重合时，t?0；

当?=0时pp0方向与x轴正向相同时，t?0；pp0方向与x轴正向相反时，

t?0，P与P0重合时，t?0；

?x?x0?tcos?当?=90°时?(t为参数）可化为x?x0因此在使用时，不必

y?y?tsin?0?2、另?研究直线斜率不存在时的情况。

4、??x?x0?tcos??x?3?tcos200?如?(t为参数）(t?不一定为直线的倾斜角，

?y?1?tsin200??y?y0?tsin?为参数），倾斜角应为20°。

5、同一直线方程有多种表示方式，如：

??x?1????y?2???2t?x?1?t2(t为参数）和?(t为参数）

y?2??t2?t2表示同一条直线，但后者参数t没有几何意义。

a?,x?x?t0?a2?b2?5、对于?(t为参数）若a,b同号，?在第一象限；

b?y?y?t,0?a2?b2?若a,b异号，?在第二象限。b为正数

【例1】 设直线的参数参数方程为??x?5?3t，（1）求直线的直角坐标方程；（2）

?y?10?4t化上述参数方程为标准的参数方程 ①，指出两个方程中的参变量t的关系。

【例2】求直线l:3x?2y?1?0分连结A（2，1）、B（3，2）所成的线段AB所成的比?？

2?3??x???1??(?是参数，且不等于-1） 解：设AB的两点式参数方程是??y?1?2??1???2?3?1?2?7?2?1?0所以??? 把它代入3x?2y?1?0有31??1??127由?的几何意义知，直线l分线段AB的比是?

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3?x?2?t??5【例3】已知直线l:?(t为参数），求直线上的点到点M（2，-1）R的距

4?y??1?t?5?分析：利用t的几何性质可解即（

离是2的点的坐标。

16?1343)。 ,)或(,5555【例4】直线过点A(1,3)，且与向量(2,?4)共线，（1）写出该直线的参数方程；（2）

求点P(?2,?1)到此直线的距离。

设直线l1过点A(2,?4)，倾角为

5?，（1）求l1的参数方程；（2）设直线l2：6x?y?1?0与l1的交点为B，求B与A的距离，

四、课堂小结

1、直线方程的几种形式；2、参数的作用即求距离

（1）直线的参数方程

<1>标准形式： 过点M0(x0,y0),且倾角为?的直线的参数方程的标准形式为:

?x?x0?tcos?(t为参数)?y?y?tsin?0?

<2>一般形式：

?x?x0?at'(t'为参数且a2?b2?1)??y?y0?bt'

（2）参数t的几何意义及其应用 标准形式：

?x?x0?tcos?(t为参数)中,t的几何意义是表示定点M0(x0,y0)?y?y?tsin?0?到直线上动点M(x,y)的有向线段M0M的数量， 即M0M?t,故: <1>直线与圆锥曲

线相交，交点对应的参数分别为t1,t2，则弦长|AB|=|t1-t2| <2>定点M0是弦M1、M2

tM?t1?t22 改

的中点?t1+t2=0 <3>设弦M1，M2中点为M；则点M相应的参数

?x?2?3tl:?(ty??1?4t变：此题条件?参数）如何求解？

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