云大数学建模实验三

1.有10个同类企业的生产性固定资产年平均值和工业总产值资料如下：

企业编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 合计 (1)说明两变量之间的相关方向； (2)建立直线回归方程； (3)计算估计标准误差；

(4)估计生产性固定资产为1100万元时总产值（因变量）的可能值。

答：(1)利用MATLAB作图：

x=[318 910 200 409 415 502 314 1210 1022 1225]';

y=[524 1019 638 815 913 928 605 1516 1219 1624]';

plot(x,y,'go')

由上MATLAB生成的图形可知，生产性固定资

60018001600生产性固定资产价值（万元） 318 910 200 409 415 502 314 1210 1022 1225 6525 工业总产值（万元） 524 1019 638 815 913 928 605 1516 1219 1624 9801 140012001000800产价值与工业总产值之间的关系是非线性的，但是工业总产值随生产性固定资产价值的增加而增加，由此可知，两变量之间存在正相关。

(2)若设'生产型固定资产价值'为x,'工业总产值'为y,则回归模型为：y=β0+β1x MATLAB的实现程序如下：

x=[318 910 200 409 415 502 314 1210 1022 1225]'; y=[524 1019 638 815 913 928 605 1516 1219 1624]'; x=[ones(10,1),x];

[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x); b,bint,stats,rcoplot(r,rint) 解得：b =395.5670 0.8958 bint =210.4845 580.6495 0.6500 1.1417 stats = 1.0e+04 *

0.0001 0.0071 0.0000 1.6035 则y=395.567+0.8958x

400200400600800100012001400

(3)由于方差d??rn2，利用MATLAB求得d=113.2595

(4)利用（2）求得的回归方程，可以得出当x=1100时，y=1380.9万元 故，当生产型固定资产为1100万元时，总产值可能为1380.9元。

2.设某公司下属10个门市部有关资料如下： 门市部编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (1)确立适宜的回归模型；

职工平均销售额（万元） 6 5 8 1 4 7 6 3 3 7 流通费用水平（%） 2.8 3.3 1.8 7.0 3.9 2.1 2.9 4.1 4.2 2.5 销售利润率（%） 12.6 10.4 18.5 3.0 8.1 16.3 12.3 6.2 6.6 16.8 (2)计算有关指标，判断这三种经济现象之间的相关紧密度。

（1）设销售利润率为y,职工平均销售额为x1,流通费用水平为x2,回归模型为

利用SPSS进行回归

y???b1x1?b2x2

故α=-6.7691 b1=2.9070 b2=0.9578, y=-6.7691+2.9070x1+0.9578x2

(2)有显著性水平可知，流通费用水平的显著性水平为0.131>0.05，对销售利润率影响不大，职工平均销售额的显著性水平为0，对销售利润率影响很大。

3.为比较5种品牌的合成木板的耐久性，对每个品牌取4个样品作摩擦实验测量磨损量，得以下数据： 品牌A 2.2 2.1 2.4 2.5 品牌B 2.2 2.3 2.4 2.6 品牌C 2.2 2.0 1.9 2.1 品牌D 2.4 2.7 2.6 2.7 品牌E 2.3 2.5 2.3 2.4 (1)它们的耐久性有无明显差异？

(2)有选择的作两品牌的比较，能得出什么结果？ （1）利用MATLAB求解：

x=[2.2 2.2 2.2 2.4 2.3;2.1 2.3 2 2.7 2.5;2.4 2.4 1.9 2.6 2.3;2.5 2.6 2.1 2.7 2.4];

p=anova1(x) 解得： p = 0.0019

因为p=0.0019<0.05，则拒绝H0。另一方面经查表得：F（0.05，2，9）= 3.06。由方差分析表知F=7.19 > F（0.05，4，15）, 所以拒绝H0，即认为不同品牌的合成木板对产品的耐久性有显著影响。

（2）每种产品的均值为：

2.3000 2.3750 2.0500 2.6000 2.3750

从五种品牌的平均值可以判断出这种品牌总体耐久性的好坏，利用ttest2做两两比较： A与B：

x=[2.2 2.1 2.4 2.5]; y=[2.2 2.3 2.4 2.6];

[h,sig,ci]=ttest2(x,y,0.05,-1) h = 0 sig =0.2852

ci = -Inf 0.1679 同理得出：

A B C D A 0 0 1 B 0 1 0 C 0 1 1 D 1 0 1 E 0 0 1 1

E 0 0 1 1 可以发现A与B、C、E，B与D、E，无显著差异； A与D，B与C，C与D、E，D与E有显著差异。

4.将土质基本相同的一块耕地分为五块，每块又分成均等的4小块。在每块地内把4个品种的小麦分种4

小块内，每小块的播种量相同，测量收获量如下： B1 B2 B3 B4 A1 32.3 33.2 30.8 29.5 A2 34.0 33.6 34.4 36.2 A3 34.7 36.8 32.3 28.1 A4 36.0 34.3 35.8 28.5 A5 35.5 36.1 32.8 29.4 考察地块和品种对小麦的收获量有无显著影响？并在必要时做进一步比较。

利用MATLAB求解：

x=[32.3 34.0 34.7 36.0 35.5;33.2 33.6 36.8 34.3 36.1; 30.8 34.4 32.3 35.8 32.8;29.5 26.2 28.1 28.5 29.4]; anova2(x,1) ans =

0.2353 0.0001

由于P1=0.2353>0.05，所以地块对小麦的收获量无显著影响；

P2=0.0001<0.05，所以品种对小麦的收获量有非常显著影响。 各品种的均值为：34.5000 34.8000 33.2200 28.3400

所以，B4与其他品种相比有较大差异。进一步的分析可以发现，将B2种在A3地块中小麦的收获量最大。

5.为了研究合成纤维收缩率和拉伸倍数对纤维弹性的影响进行了一些试验。收缩率取0,4,8,12四个水平；拉伸倍数取460，520，580,640四个水平，对二者的每个组合重复做两次实验，所得数据如下：

0 4 8 12 460 71 73 73 75 76 73 75 73 520 72 73 76 74 79 77 73 72 580 75 73 78 77 74 75 70 71 640 77 75 74 74 74 73 69 69 （1）收缩率，拉伸倍数及其交互作用对弹性有无显著影响？ （2）使弹性达到最大的生产条件是什么？ （1）利用MATLAB求解：

x=[71 72 75 77;73 73 73 75;73 76 78 74;75 74 77 74;76 79 74 74;73 77 75 73;75 73 70 69;73 72 71 69]; anova2(x,2) ans =

0.1363 0.0000 0.0006

由于0.1363>0.05，拉伸倍数对弹性无显著影响；0.0000<0.05，收缩水平对弹性有非常显著的影响；0.0006<0.05，收缩率与拉伸倍数交互作用对弹性有显著影响。

（2）弹性达到最大，需将收缩率取到8，拉伸倍数达到520。

6.某地调查居民心理问题的存在状况，资料如下表所示，试绘制线图比较不同性别和年龄组的居民心理问题检出情况。

年龄分组（岁） 心理问题检出率（%） 男性(1) 女性(2) 15— 25— 35— 45— 55— 65— 75— 10.57 11.57 9.57 11.71 13.51 15.02 16.00 19.73 11.98 15.50 13.85 12.91 16.77 21.04

在同一年龄段中，男性的心理问题检出率普遍比女性低，但在55到64年龄段中，女性的心理检出率低于男性的。

男性：在15到24年龄段心理问题稍微有上升，而25到34年龄段稍微有所下降，但是总体波动范围不大，从35岁以后，心理问题比率呈上升一直趋势；

女性：从15 到24年龄段，心理问题比率逐渐下降，且波动范围较大，25到34年龄段略有上升，35到55年龄段略有下降，不过极不明显，从55岁以后出现一直上升的趋势。

7.为研究儿童生长发育的分期，调查1253名1月至7岁儿童的身高(cm)、体重(kg)、胸围(cm)和坐高(cm)

资料。资料作如下整理：先把1月至7岁化成19个月份段，分月份算出各指标的平均值，将第一月的各指标平均值与出生时的各指标平均值比较，求出月平均增长率（％），然后第2月起各月份指标平均值均与前一月比较，亦求出月平均增长率（％），结果见下表。欲将儿童生长发育为四期，故指定聚类的类别数为4，请通过聚类分析确定四个儿童生长发育期的起止区间。

月份 1 2 3 4 6 8 10 月平均增长率（%） 身高 11.03 5.47 3.58 2.01 2.13 2.06 1.63 体重 50.30 19.30 9.85 4.17 5.65 1.74 2.04 胸围 11.81 5.20 3.14 1.47 1.04 0.17 1.04 坐高 11.27 7.18 2.11 1.58 2.11 1.57 1.46

12 15 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 利用SPSS分析:

1.17 1.03 0.69 0.77 0.59 0.65 0.51 0.73 0.53 0.36 0.52 0.34 1.60 2.34 1.33 1.41 1.25 1.19 0.93 1.13 0.82 0.52 1.03 0.49 0.89 0.53 0.48 0.52 0.30 0.49 0.16 0.35 0.16 0.19 0.30 0.18 0.76 0.89 0.58 0.42 0.14 0.38 0.25 0.55 0.34 0.21 0.55 0.16

Initial Cluster Centers

Cluster height weight sittingheight bust 1 11.03 50.30 11.27 11.81 2 5.47 19.30 7.18 5.20

Iteration History(a)

Change in Cluster Centers Iteration 1 2 3 4 3 3.58 9.85 2.11 3.14 4 .34 .49 .16 .18

1 2 .000 .000 .000 .000 2.457 .000 1.269 .000 a Convergence achieved due to no or small change in cluster centers. The maximum absolute coordinate change for any center is .000. The current iteration is 2. The minimum distance between initial

centers is 10.520.

Final Cluster Centers

Cluster height weight sittingheight bust 1 11.03 50.30 11.27 11.81 2 5.47 19.30 7.18 5.20 3 2.86 7.75 2.11 2.09 4 .91 1.47 .66 .48 ANOVA

Cluster height weight sittingheight bust Mean Square 37.581 817.116 46.099 45.409 df 3 3 3 3 Error Mean Square .369 1.355 .236 .282 df 15 15 15 15 F 101.785 603.259 195.493 161.115 Sig. .000 .000 .000 .000 The F tests should be used only for descriptive purposes because the clusters have been chosen to maximize the differences among cases in different clusters. The observed significance levels are not corrected for this and thus cannot be interpreted as tests of the hypothesis that the cluster means are equal.

Initial Centers(初始聚类）给出了四个类中心的初始位置，对照原始数据可以知道四个类别分别是使用了第1、2、3、72月作为其初始位置。

Iteration History(迭代记录）可以看到迭代两次后收敛。

Final Cluster Centers(最终聚心间的距离）为最终的类中心的位置；ANOVA（方差分析表）可以看出：四种变量的显著水平sig均小于0.05，说明在0.05的显著水平下，各类的均值有显著差异，并且在四种变量中，体重在儿童生长发育期中的作用最大。

8.你到海边度假，听到当地气象台的天气预报每天下雨的机会是40%，用蒙特卡罗方法模拟你的假期中有4天连续下雨的概率。

由题意可以知道，每天下雨的机会是40%，不妨假设该地的天气为一条长为5的线段，在2:3处划分成两个部分，则长为2的线段代表下雨。利用蒲丰投针的方法，当投针次数足够大时，连续4次投到长为2的线段的概率即为4天连续下雨的概率。 利用MATLAB实现：

function [ p ] = rain(N) c=0;s=0;

x=unifrnd(0,5,1,N);

for n=1:

if x(n)<=2;

c=c+1; %c为连续落到小于2的次数 else c=0; end

if c>=4;

s=s+1; %s为连续4次落到小于2的次数 c=c-1; end end p=s/N; end

>> rain(10000) ans = 0.0271 >> rain(10000000) ans =

0.0256

所以，假期中有4天连续下雨的概率约为0.0256。

9.一个带有船只卸货的港口，任何时间仅能为一艘船只卸货。船只进港是为了卸货，相邻两艘船到达的时间间隔在15分钟到145分钟之间变化。一艘船只卸货的时间由所卸货物的类型决定，在45分钟到90分钟之间变化，请回答以下问题：

（1）每艘船只在港口的平均时间和最长时间是多少？

（2）若一艘船只的等待时间是从到达到开始卸货的时间，每艘船只得平均等待时间和最长等待时间是多少？

（3）卸货设备空闲时间的百分比是多少？ （4）船只排队最长的长度是多少？

问题假设

1.来往的船只是无穷的； 2.等待的船只数量没有限制；

3.到达港口的船只按先后顺序依次进行卸货， 即“先到先卸货”；

4.船只到来间隔时间为均匀分布U[15,145]，每艘船卸货时间为均匀分布U[45,90]。 符号说明

w：总等待时间；

Xi：第i艘船的到达时刻；

ti：相邻两艘船到达的时间间隔(ti=Xi+1 - Xi )； Si：第i艘船接受服务的时间； Di：第i艘船的排队等待时间；

Ci：第i个艘船接受服务后离开的时刻（Ci =Xi+Si+Di)。 利用MATLAB实现：

n = input('n='); m=0;

x = zeros(1,n);y = zeros(1,n); D = zeros(1,n); leng = zeros(1,n);

t = unifrnd(15,145,1,n); s = unifrnd(45,90,1,n); x(1)=t(1);

for i=2:n

y(i) = x(i-1) + t(i); j=i-1;

c(j) = x(j) + s(j)+ D(j); if c(j) < y(i) D(i) = 0;

T2(i) = y(i)-c(j); %T2用来计算空闲的时间 else

D(i) = c(j) - y(i); T2(i) = 0; end

x(i) = y(i);

T1(i) = D(i)+s(i); %T1从到达到离开的时间 for k = 2:n

if c(j) > y(k) m = m+1; end

leng(j) = m; %计算每艘船在卸货的时候，等待的船只个数 end m = 0; end

average1=mean(T1) max1=max(T1) average2=mean(D) max2=max(D)

rate= sum(T2(i))/(sum(T2(i))+sum(s(i-1)))

模拟结果： n=100 average1 = 100.0019 average2 = 33.2211 rate =

0.1087

所以，当有100艘船驶入港口时

（1）每艘船只在港口的平均时间和最长时间是100.0019和226.6395分种。

若一艘船只的等待时间是从到达到开始卸货的时间，每艘船只的平均等待时间和最长等待时间是33.2211和148.5664分种。

（2）卸货设备空闲时间的百分比是10.87%。

（4）船只排队最长的长度是同一时间有99艘船在等待卸货。

max1 = 226.6395 max2 = 148.5664 n= 99

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ocpf.html