概率二单元测试答案

网络教育学院 概率统计测试题二答案

概率统计阶段测试题（二）

参考答案及解答

一、填空题： 1.

115

3解：由概率分布的性质有

?P?X?k??1，即C(1?2?3?4?5)?15C?1，k?1故 C?115

2.

13

解：?X~B?2，p?，则P?X?k??Ckk2?k2p?1?p??k?0,1,2?

?P?X?1??1?P?X?0??1??1?p?2?59

故 p?13

3.

12?

解：?X服从正态分布N?0,?2?，?p(0)?12???2? 故 ??12?

4. 1?e?1.5

解：?X服从指数分布e?0.015?,

故 P(X?100)?1?P(X?100)?1??10000.015e?0.015xdx?1?e?1.5

5. 7e?2

解：由于随机变量X服从泊松分布, 则P(X?k)??kk!e??,k?0,1,2,?

?P(X?1)?P(X?2)，P(X?1)???1!e??P(X?2)??2??2!e

???2

4故 P(X?4)??2kk?0k!e?2?7e?2

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二、单项选择题： 1. (C) 解：

由分布函数的性质，知 F1?????F2?????F?????1 则 a?b?1，经验证只有C满足， 故选择(C) 2. (A)

解：由概率密度的性质，有?3?3?????p?x?dx?1，则

?023. (D) 4. (C) 解：?sinxdx??cosx20?1

故选择(A)

y??x是单减函数，其反函数为 x?g?y???y，求导数得 g??y???1

? 由公式，Y??X的密度为pY?y??p??g?y???g??y??p??y?

故选择(C) 5. (B)

三、计算与应用题：

1. 解：设X为抽取的次数，由题意只有3个旧球, 所以X的可能取值为：1，2，3，4

由古典概型，得

?P?X?1??P?X?2??P?X?3??P?X?4??912312312312????34911211211

???944910110

??922099?

1220

故抽取次数X的概率分布为

X 1 2 3 4 第2页，共6页

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P 34 944 9220 1220

2. 解：设X表示同一时刻需用小吊车的人数，则X是一个随机变量，由题意有X服从B?6，?k?1??4?P?X?k??C6?????5??5?k6?k?1??， 5??k?0,1,?,6?，于是

（1）X的最可能值为概率P?X?k?达到最大的k0 ，则

1?? k0??n?1p?7?????????15??即在同一时刻用小吊车的人数的最可能值为1人。

（2）设A表示“耽误工作”，则同一时刻需用小吊车的人数X大于2， 故 P(A)?PP?X?2??1??2 X??22i6?i?1??i?0i?1??4?P?X?i??1??C6?????5??5?i?0?0.0989

即因为小吊车不够而耽误工作的概率是0.0989。

3. 解：（1）由

?????p(x)dx?1，则 ?????Cx2dx?1， 可得 C?100

（2）串联线路正常工作的充要条件是每个元件都能正常工作，而这里三个元件的工作是相互 独立的，因此，若用A表示“线路正常工作”，则

P?A????P?X?150???

3而 P?X?150??3?150??100x2dx?23

8?2?故 P?A?????

327??即串联线路使用150小时正常工作的的概率是

827。

4. 解：因为某种电池的寿命是一个随机变量X，且服从正态分布N?300，352?,

??EX?300，?2?DX?35

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（1）P?X?250??1?P?X?250??1????250?300?? 35???50??50??1????＝?????????X?35??35???1???X??

?50??P?X?250????????1.428?（查正态分布表）?0.9236

?35?即电池寿命在250小时以上的概率是0.9236。

（2）由题意 P?300?a?X?300?a?????300?a?300??300?a?300??????

3535?????a??a??a??2?????????????1?0.9

?35??35??35??a?1?0.9?0.95 查表得 a?57.75 ??2?35?故 ??即使电池寿命在?300?a，300?a?＝(242.25，357.75)内的概率不小于0.9。 5. 解: 设X表示某校一年级学生期末数学成绩

由题意X服从N(75,100),?X?75? ?P??x???(x)?100??X?7585?75? ?P?X?85??P?????(1)?0.8413100??100故P(X?85)?1?P(X?85)?1?0.8413?0.1587得X?75100服从N(0,1)

即数学成绩优秀的学生占全体学生人数的15.87 ％。

0?x?1?1X服从均匀分布U?0,1?，则f?x???

其它?0y6. 解：?而y?2lnx,即x=e2，

y?12y?0?e∴ fY?y???2

其它?0?

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17. 解： 设X的分布参数为λ，由题意知EX?1，可见??，由于设备在无故障的情况下工作两小时

?5便关机，显然 Y = min (X, 2) （即每次开机无故障工作时间取2与X的最小者） 对于y < 0 , 有 F(y) = P (Y ≤ y) = 0

对于y ≥ 2 , 有 F(y) = P (Y ≤ y) = P {min(X, 2) ≤ y} = 1

对于0 ≤ y < 2 , 有 F(y) = P( Y ≤ y) = P (min( X, 2) ≤ y)= P( X ≤ y } = 1?e故每次开机无故障工作时间Y 的分布函数为

0, y ? ??y??5 F(y)??1?e,0?y? 2?1, y ? ??0?y5

2

8. 解：（1）X的可能取值为0，1，2，3且由题意,可得

P?X?0??P?X?1??P?X?2??P?X?3??12121212

??121212???141212

??1818

?故汽车未遇红灯而连续通过的路口数X的概率分布为

X P 0 121 142 183 18 （2）由离散型随机变量函数的数学期望，有

1111?1?E???PX?0??PX?1??PX?2??P?X?3? ???????1?X1?01?11?21?3???12?12?14?13?18?14?18?6796

四、证明题：

?2e?2x,证明：由已知X服从指数分布e?2? 则pX?x????0,x?0x?0

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又由 Y?1?e?2X 得 y?1?e?2x 连续，单调，存在反函数x??且 x?y?12?1?y?12ln?1?y?

当x?0时, ln?1?y??0, 则 0?y?1

?l?2ey??12?1?y?n??1y?故 pY?y??p??g??y????g?X??,0?y?1?1,??0?y?

1即 Y服从(0,1)的均匀分布U?0，?0,其它?0,其它?1?。

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又由 Y?1?e?2X 得 y?1?e?2x 连续，单调，存在反函数x??且 x?y?12?1?y?12ln?1?y?

当x?0时, ln?1?y??0, 则 0?y?1

?l?2ey??12?1?y?n??1y?故 pY?y??p??g??y????g?X??,0?y?1?1,??0?y?

1即 Y服从(0,1)的均匀分布U?0，?0,其它?0,其它?1?。

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