【解析版】2015年浙江省杭州市江干区中考数学二模试卷

2015年浙江省杭州市江干区中考数学二模试卷

一、仔细选一选（本题有10小题，每小题3分，共30分）

1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． 平行四边形 B． 等腰三角形 C． 等边三角形 D． 菱形

2．﹣4.5×10表示（ ）

A． ﹣000045 B． ﹣0.000045 C． ﹣450000 D． ﹣45000

3．下列图形中，∠1与∠2不是同位角的是（ ）

﹣5

A． B． C． D．

4．下列计算正确的是（ ）

A． a×a=a B． （a+b）=a+b C． （a+b）（a﹣b）=a﹣b D． （a）=a

5．下面说法正确的是（ ） A．

6．将分式方程1﹣

=

去分母，整理后得（ ）

2

2

2

3

6

2

2

2

2

2

2

3

5

是无理数 B． 是有理数 C． 是无理数 D． 是有理数

A． 8x+1=0 B． 8x﹣3=0 C． x﹣7x+2=0 D． x﹣7x﹣2=0

7．给定下列图形可以确定一个圆的是（ ） A． 已知圆心 B． 已知半径

C． 已知直径 D． 不在同一直线上的三个点

8．在二次函数y=﹣

（x﹣2）+3的图象上有两点（﹣1，y1），（1，y2），则y1﹣y2的值是

2

（ ）

A． 负数 B． 零 C． 正数 D． 不能确定

9．如图所示是某几何体的三视图，则该几何体的侧面积是（ ）

A．π B． 2

π C． 3π D． 6π

10．如图，△ABC中，CA=CB，AB=6，CD=4，E是高线CD的中点，以CE为半径⊙C．G是⊙C上一动点，P是AG中点，则DP的最大值为（ ）

A． B．

C． 2

D．

二、认真填一填（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11．在 12．函数y=

13．在2，﹣2，0三个整数中，任取一个，恰好使分式

有意义的概率是 ．

的自变量的取值范围是 ．

，

，

，﹣

，

中，是最简二次根式的是 ．

14．根据2009﹣2014年浙江固定资产投资（单位：亿元）及增速统计图所提供的信息，下列判断正确的是 ①2011年增长最快；

②2011、2012两年的年平均增长率为22.15%； ③从2011年开始增速逐年减少；

④各年固定资产投资的中位数是15586.5．

15．如图，?ABCD中，E为AD边上一点，AE=AB，AF⊥AB，交线段BE于点F，G为AE上一点，AG：GE=1：5，连结GF并延长交边BC于点H．若GE：BH=1：2，则tan∠GHB= ．

16．某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系，每盆植入3株时，平均单株盈利3元，以同样的栽培条件，若每盆增加2株，平均单株盈利就减少0.5元，则每盆植 株时能使单盆取得最大盈利；若需要单盆盈利不低于13元，则每盆需要植 株．

三、全面答一答（本题共7个小题，共66分） 17．已知

，求代数式（

﹣

）÷

+1的值．

18．已知：如图，AB=AE，∠B=∠E，BC=ED，AF⊥CD，求证：CF=DF．

19．△ABC的三边长分别为AB=1，BC=

2

，AC=，求∠ACB的正弦值．

20．已知方程：x﹣4x+3=0，解决以下问题： （1）不解方程判断此方程的根的情况；

（2）请按要求分别解这个方程：①配方法；②因式分解法． （3）这些方法都是将解 转化为解 ； （4）尝试解方程：x﹣x=0．

21．如图，一次函数y=kx+b的图象交y轴于点B（0，3），与x轴正半轴交于点A，cos∠BAO= （1）求一次函数的解析式；

（2）OC是△AOB的角平分线，反比例函数y=的图象经过点C，求m的值．

3

22．已知函数y=（n+1）x+mx+1﹣n（m，n为实数）

（1）当m，n取何值时，此函数是我们学过的哪一类函数？它一定与x轴有交点吗？请判断并说明理由；

（2）若它是一个二次函数，假设n＞﹣1，那么：

①当x＜0时，y随x的增大而减小，请判断这个命题的真假并说明理由； ②它一定经过哪个点？请说明理由．

23．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，点P、Q分别在边AC和边BC上，其中CQ=a，CP=b，过点P作AC的垂线l交AB于点R，作△PQR关于直线l对称的图形，得到△PQ′R．

（1）若点Q′恰为AB的中点，则b= ；当a=3，b=4，△PQR与△PQ′R组合而成的轴对称图形的形状是 ． （2）若a=b，则

①当a为何值时，点Q′恰好落在AB上？

②若记△PQR与△PQ′R重叠部分的面积为S（cm），求S与a的函数关系式，并写出a的取值范围．

2

m

2015年浙江省杭州市江干区中考数学二模试卷

参考答案与试题解析

一、仔细选一选（本题有10小题，每小题3分，共30分）

1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． 平行四边形 B． 等腰三角形 C． 等边三角形 D． 菱形

考点： 中心对称图形；轴对称图形．

分析： 根据轴对称图形的概念与中心对称图形的概念可作答． 解答： 解：A、只是中心对称图形； B、C都只是轴对称图形；

D、既是轴对称图形，也是中心对称图形． 故选D．

点评： 掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．

判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

2．﹣4.5×10表示（ ）

A． ﹣000045 B． ﹣0.000045 C． ﹣450000 D． ﹣45000

考点： 科学记数法—原数．

﹣5

分析： 根据将科学记数法a×10表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向左移动n位所得到的数．

解答： 解：﹣4.5×10表示﹣0.000045， 故选：B．

点评：本题考查写出用科学记数法表示的原数，将科学记数法a×10表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向左移动n位所得到的数．

把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法．

3．下列图形中，∠1与∠2不是同位角的是（ ）

﹣n

﹣5

﹣n

A． B． C． D．

考点： 同位角、内错角、同旁内角．

分析： 同位角的定义：在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角．

解答： 解：A图中，∠1与∠2有一边在同一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角，不符合题意；

B图中，∠1与∠2有一条边在同一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角，不符合题意；

考点： 折线统计图；条形统计图．

分析： ①根据折线统计图，可得增长率，根据增长率，可得答案； ②根据平均增长率的计算方法，可得答案； ③根据折线统计图，可得答案； ④根据中位数，可得答案．

解答： 解：①由折线统计图，得

2011年增长率最大，增长速度最快，故①正确；

②2011、2012两年的年平均增长率为22.15%，故②正确； ③由折线统计图，得从2011年开始增速逐年减少，故③正确；

④各年固定资产投资的中位数是（14007+17096）÷2=15551.5，故④错误； 故答案为：①②③．

点评： 本题考查了折线统计图，观察折线统计图得出有效信息是解题关键．

15．如图，?ABCD中，E为AD边上一点，AE=AB，AF⊥AB，交线段BE于点F，G为AE上一点，AG：GE=1：5，连结GF并延长交边BC于点H．若GE：BH=1：2，则tan∠GHB=

．

考点： 平行四边形的性质．

分析： 根据相似三角形对应高的比等于相似比，求得∠NAF=30°，进而求得∠DAB=120°，从而求得∠FBM=30°，根据正切定理求得FM，设GA=a，根据三角形相似求得BH=2EG=10a，根据三角形全等求得MB=AB=6a，从而求得HM=4a，在RT△FHM中根据正切定理即可求得，

解答：

解；过F点作MN⊥BC，则MN⊥AD，设AG=a， ∵AG：GE=1：5，GE：BH=1：2， ∴EG=5a，BH=10a，AE=6a， ∵AE=AB，

∴AB=6a，∠AEB=∠ABE， ∵AD∥BC，

∴∠AEB=∠EBC，

∴BE是∠ABE的平分线， ∵FA⊥AB，FM⊥BC， ∴FM=FA，

在RT△ABF与RT△MBF中

∴RT△ABF≌RT△MBF（HL）， ∴BM=AB=6a，

∵∠AEB=∠EBC，∠EFG=∠BFH， ∴△EFG∽△BFH， ∴

=

=，

∵FA=FM，

∴FN：FA=1：2，

在RT△AFN中，∠EAF=30°， ∵∠FAB=90°， ∴∠DAB=120°， ∴∠ABC=60°， ∴∠MBF=30°，

在RT△MBF中，FM=tan30°?BM=∵BH=10a，BM=6a， ∴HM=BH﹣BM=4a， ∴tan∠GHB=

=

=

．

×6a=2

，

点评： 本题考查了三角形全等的判定及性质，三角形相似的判定及性质，角的平分线的性质，在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的角等于30°，作出辅助线是本题的关键．

16．某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系，每盆植入3株时，平均单株盈利3元，以同样的栽培条件，若每盆增加2株，平均单株盈利就减少0.5元，则每盆植 7 株时能使单盆取得最大盈利；若需要单盆盈利不低于13元，则每盆需要植 7 株．

考点： 二次函数的应用．

分析： 根据已知假设每盆花苗（原来花盆中有3株）增加a（a为偶数）株，盈利为y元，则每盆花苗有（a+3）株，得出平均单株盈利为（3﹣0.5×）元，由题意得y=（a+3）（3﹣0.5×），根据二次函数的性质即可求得．

解答： 解：设每盆花苗（假设原来花盆中有3株）增加a（a为偶数）株，盈利为y元， 则根据题意得：y=（3﹣0.5×）（a+3） =﹣（a﹣）+

2

，

∵a为偶数， ∴a=4，

∵当a=2时，y=7.5＜13

当a=4时，y=（2﹣0.5×）+（4+3）=14＞13， 当a=6时，y=（2﹣0.5×）+（6+3）=13.5＞13，

∴每盆植7株时能使单盆取得最大盈利；若需要单盆盈利不低于13元，则每盆需要植7或9株．

故答案为7、7或9． 点评： 此题考查了二次函数的应用，根据每盆花苗株数×平均单株盈利=总盈利得出方程是解题关键．

三、全面答一答（本题共7个小题，共66分） 17．已知

，求代数式（

﹣

）÷

+1的值．

考点： 分式的化简求值；解二元一次方程组． 专题： 计算题．

分析： 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的加法法则计算得到最简结果，求出方程组的解得到x与y的值，代入计算即可求出值． 解答： 解：

，

②﹣①×2得：5y=4，即y=， 把y=代入①得：x=，

则原式=?+1=+1===﹣．

点评： 此题考查了分式的化简求值，以及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

18．已知：如图，AB=AE，∠B=∠E，BC=ED，AF⊥CD，求证：CF=DF．

考点： 全等三角形的判定与性质． 专题： 证明题．

分析： 连接AC，AD，证明三角形全等，得到等腰三角形，由三线合一得到结论．

解答： 证明：连接AC，AD， 在△ABC与△AED中，∴△ABC≌△AED， ∴AC=AD， ∵AF⊥CD， ∴CF=DF．

点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，作辅助线是解题的关键．

19．△ABC的三边长分别为AB=1，BC=，AC=，求∠ACB的正弦值．

考点： 解直角三角形．

分析： 根据勾股定理，可得方程，根据解方程，可得CD的长，再根据勾股定理，可得BD的长，根据三角函数的正弦，可得答案． 解答： 解：如图，过B作BD⊥AC于D． 设CD=x，则AD=﹣x．

2222

∵在Rt△BCD中，BD=BC﹣CD=2﹣x，

2222

在Rt△BAD中，BD=AB﹣AD=1﹣（﹣x），

22

2﹣x=1﹣（﹣x）， 解得x=BD=

，

=

，

sin∠ACB===．

点评： 本题考查了解直角三角形，利用勾股定理得出CD的长是解题关键，由利用了锐角三角形的正弦值．

20．已知方程：x﹣4x+3=0，解决以下问题： （1）不解方程判断此方程的根的情况；

（2）请按要求分别解这个方程：①配方法；②因式分解法．

（3）这些方法都是将解 一元二次方程 转化为解 一元一次方程 ； （4）尝试解方程：x﹣x=0．

32

考点： 根的判别式；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-因式分解法．

分析： （1）把a=1，b=﹣4，c=3代入△=b﹣4ac，然后计算△，最后根据计算结果判断方程根的情况；

（2）①首先把常数项移到方程右边，再将方程两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数，继而求得答案； ②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积，令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程，进而求解即可；

（3）根据解一元二次方程的基本思想是降次即可作答； （4）利用因式分解法求解即可求得答案． 解答： 解：（1）∵a=1，b=﹣4，c=3， ∴△=b﹣4ac=（﹣4）﹣4×1×3=4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根；

（2）①∵x﹣4x+3=0， 2

∴x﹣4x=﹣3， 2

∴x﹣4x+4=﹣3+4，

2

∴（x﹣2）=1， ∴x﹣2=±1，

解得：x1=3，x2=1；

2

②∵x﹣4x+3=0， ∴（x﹣3）（x﹣1）=0， ∴x﹣3=0或x﹣1=0，

解得：x1=3，x2=1；

（3）这些方法都是将解一元二次方程转化为解一元一次方程；

（4）∵x﹣x=0， ∴x（x+1）（x﹣1）=0， ∴x=0或x+1=0或x﹣1=0，

解得：x1=0，x2=﹣1，x3=1．

故答案为一元二次方程，一元一次方程．

点评： 本题考查了一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了用配方法和因式分解法解一元二次方程．

21．如图，一次函数y=kx+b的图象交y轴于点B（0，3），与x轴正半轴交于点A，cos∠BAO= （1）求一次函数的解析式；

（2）OC是△AOB的角平分线，反比例函数y=的图象经过点C，求m的值．

2

2

3

2

2

2

2

考点： 待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式．

分析： （1）由B的坐标得到OB的长，在直角三角形AOB中，根据sin∠BAO的值及OB的长，利用锐角三角函数定义求出OA的长，确定出A坐标，将A与B坐标代入一次函数解析式求出k与b的值，即可确定出一次函数解析式；

（2）由OC为∠AOB的平分线，且∠AOB为直角，判断得到三角形OCD为等腰直角三角形，即CD=OD=a，表示出C坐标，代入一次函数解析式求出a的值，确定出C坐标，将C坐标代入反比例解析式求出m的值即可． 解答： 解：（1）∵B（0，3）， ∴OB=3，

∵∠AOB=90°，cos∠BAO=， ∴sin∠BAO=

∴AB=5，OA=4，

∴OA=4，即A（4，0），

将A（4，0）和B（0，3）代入y=kx+b得：

，

解得：，

则一次函数解析式为y=﹣x+3；

（2）过C作CD⊥OA，设OD=a， ∵OC平分∠AOB，∠AOB=90°， ∴∠COD=∠AOB=45°， ∵CD⊥OA，

∴△CDO为等腰直角三角形， ∴CD=OD=a，即C（a，a）， ∵C点在直线AB上，

将C坐标代入直线AB得：﹣a+3=a， 解得：a=∴C（

，， ），

将C坐标代入反比例解析式得：m=．

点评： 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质，坐标与图形性质，以及反比例函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．

22．已知函数y=（n+1）x+mx+1﹣n（m，n为实数）

（1）当m，n取何值时，此函数是我们学过的哪一类函数？它一定与x轴有交点吗？请判断并说明理由；

（2）若它是一个二次函数，假设n＞﹣1，那么：

①当x＜0时，y随x的增大而减小，请判断这个命题的真假并说明理由； ②它一定经过哪个点？请说明理由．

考点： 二次函数的性质；一次函数的定义；二次函数的定义；二次函数图象上点的坐标特征．

分析： 认真审题，首先根据我们所学过的三类函数进行分析，并分类讨论，可得出第一题的答案，再根据二次函数的性质，进行分析可得出第二问的答案．

解答： 解：（1）①当m=1，n≠﹣2时，函数y=（n+1）x+mx+1﹣n（m，n为实数）是一次函数，它一定与x轴有一个交点， ∵当y=0时，（n+1）x+mx+1﹣n=0，∴x=

m

m

m

m

，

∴函数y=（n+1）x+mx+1﹣n（m，n为实数）与x轴有交点；

m

②当m=2，n≠﹣1时，函数y=（n+1）x+mx+1﹣n（m，n为实数）是二次函数，

m

当y=0时，y=（n+1）x+mx+1﹣n=0，

2

即：（n+1）x+2x+1﹣n=0，

22

△=2﹣4（1+n）（1﹣n）=n≥0；

（2）①假命题，若它是一个二次函数， 则m=2，函数y=（n+1）x+2x+1﹣n， ∵n＞﹣1，∴n+1＞0， 抛物线开口向上， 对称轴：﹣

=

=﹣

＜0，

2

∴对称轴在y轴左侧，当x＜0时，y有可能随x的增大而增大，也可能随x的增大而减小， ②当x=1时，y=n+1+2+1﹣n=4． 当x=﹣1时，y=0．

∴它一定经过点（1，4）和（﹣1，0）．

点评： 本题主要考查了一次函数、二次函数、反比例函数的定义，以及二次函数的性质，是一道综合题目，在草纸上画出草图，根据数形结合的思想进行解答是解题的关键，注意总结．

23．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，点P、Q分别在边AC和边BC上，其中CQ=a，CP=b，过点P作AC的垂线l交AB于点R，作△PQR关于直线l对称的图形，得到△PQ′R．

（1）若点Q′恰为AB的中点，则b= 2 ；当a=3，b=4，△PQR与△PQ′R组合而成的轴对称图形的形状是 等腰三角形 ． （2）若a=b，则

①当a为何值时，点Q′恰好落在AB上？

②若记△PQR与△PQ′R重叠部分的面积为S（cm），求S与a的函数关系式，并写出a的取值范围．

2

考点： 几何变换综合题． 分析：（1）根据Q′是AB的中点，证得D是AC的中点，然后根据对折的性质得出PC的长；根据三角形中位线的性质即可求得结论；

（2）①过Q′作QD⊥AC，由于△PQR与△PQ′R关于直线l对称，a=b，得出PC=PD=a，AD=8﹣2a，然后解直角三角函数即可求得；

②△PQ′R与△PAR重叠部分有两种情况分别讨论求得． 解答： 解：（1）b=2，等腰三角形； 如图1，过Q′作QD⊥AC，

∵Q′是AB的中点，Q′D∥BC， ∴D是AC的中点， ∴CD=AC=4，

根据对折的性质：PC=PD=CD=2；

如图2，∵a=3，b=4，

∴Q、P分别是BC、AC的中点， ∵PR⊥AC， ∴PR∥BC，

∴R是AB的中点， ∴QR∥AC， ∴QR⊥PR，

∴Q、R、Q′在一条直线上，

∴△PQR与△PQ′R组合而成的轴对称图形的形状是等腰三角形； 故答案是：2；等腰三角形；

（2）①过Q′作QD⊥AC，如图1，

∵△PQR与△PQ′R关于直线l对称，a=b， ∴PC=PD=a， ∴AD=8﹣2a， ∴tan∠A=即解得：a=

②（i）当0≤a≤∵tan∠A=∴∴S=

=

时，重叠部分为△PQ′R，如图3，

=，

=

，

，

=，即RP=（8﹣a）， （8﹣a）?a，

2

即S=﹣a+3a （0≤a≤（ii）当

）

＜a≤6时，重叠部分为△PER，如图4，

∵∠C=90°，a=b，

∴∠QPC=45°， ∴∠Q′PA=45°， ∴PF=EF，

设EF=m，则PF=m，AF=m， 又∵CP+PF+AF=8，

∴a+m+m=8，解得：m=（8﹣a）， ∴S=×（8﹣a）?即 S=

2

（8﹣a），

＜a≤6）．

（8﹣a） （

综上所述，S=．

点评： 此题考查了对折的性质、菱形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定、直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题综合性很强，难度很大，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ocd3.html