2017年河南单招数学模拟测试五（附答案）

考单招上高职单招网---- 根据历年单招考试大纲出题 2017年河南单招数学模拟测试五（附答案）

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）

1．已知集合M＝{y|y＝x2，x∈R}，N＝{y|y2≤2，y∈Z}，则M∩N＝▲ ． 1－i

2．在复平面内，复数对应的点与原点之间的距离是 ▲ ．

1＋i

?1?2

3．已知命题p：函数y＝lgx的定义域是R，命题q：函数y＝??的值域是正实数集，

?3?

给出命题：①p或q；②p且q；③非p；④非q．其中真命题有 ▲ 个． 4．已知数列{an}是等差数列，a4＝7，S9＝45，则过点P(2，a3)，Q(4，a6)的直线的斜率

等于 ▲ ．

5．右边的流程图最后输出的n的值是 ▲ ．

x开始 n←1 ?0≤x≤1，

6．若x，y满足约束条件?0≤y≤2，

?x－2y＋1≤0，

则z＝2x－y＋4的取值范围是 ▲ ． 7．已知正四棱锥的体积是48cm，高为4cm，

3

n←n＋1 2n＞n2 Y 输出n 结束 （第5题图）

N 则该四棱锥的侧面积是 ▲ cm2．

7 9

8．如图是2008年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上， 七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个

8 2 5 6 4

8 9 （第（8）题

图）

考单招上高职单招网---- 根据历年单招考试大纲出题 最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为 ▲ ．

9．当A，B∈{1，2，3}时，在构成的不同直线Ax－By＝0中，任取一条，其倾斜角小于45?的概率是 ▲ ．

1

10．已知定义域为R的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且f()＝0，则不等式

2

f(log2x)＜0的解集为 ▲ ．

x2y2x2y2

11．椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的焦点F1，F2分别在双曲线2－2＝1的左、右准线上，

abba则椭圆的离心率e＝ ▲ ．

????????12．函数y＝tan(x－)的部分图像如图所示,则(OB－OA)?OB＝ ▲ ．

42

y A 13．在△ABC中，D为BC中点，?BAD＝45?，?CAD＝30?，AB＝2，则AD＝ ▲ ．

1 B 14314．已知O x，y都在区间(0，1]内，且xy＝，若关于x，y的方程＋－t＝0A 3x 4－x3－y有两组不同的解(x，y)，则实数t的取值范围是 ▲ ． （第（13）题图）

C D B 二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本题满分14分）

图） （第（12）题2??1

已知0＜?＜＜?＜?，tan＝，cos(?－?)＝．（1）求sin?的值；（2）求

22210

?的值．

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16．（本题满分14分）

在三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形AA1C1C为矩形，四边形BB1C1C为菱形．

AC∶AB∶CC1＝3∶5∶4，D，E分别为A1B1，CC1中点．

求证：（1）DE∥平面AB1C；

（2）BC1?平面AB1C．

B1

B D C1 A1

E

C A

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17．（本题满分14分）

A地产汽油，B地需要汽油．运输工具沿直线AB从A地到B地运油，往返A，B一

1

趟所需的油耗等于从A地运出总油量的．如果在线段AB之间的某地C（不与A，B100重合）建一油库，则可选择C作为中转站，即可由这种运输工具先将油从A地运到C地，然后再由同样的运输工具将油从C地运到B地．设＝x，往返A，C一趟所需的油耗等于从A地运出总油量的．往返C，B一趟所需的油耗等于从C地运出总油量

1001－xB地收到的汽油量的．不计装卸中的损耗，定义：运油率P＝，设从A地直接运油100A地运出的汽油量到B地的运油率为P1，从A地经过C中转再运油到B地的运油率为P2．

（1）比较P1，P2的大小；

（2）当C地选在何处时，运油率P2最大？

ACABx

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18．（本题满分16分）

已知抛物线顶点在原点，准线方程为x＝－1．点P在抛物线上，以P圆心，P到抛物线焦点的距离为半径作圆，圆P存在内接矩形ABCD，满足AB＝2CD，直线AB的斜率为2．

（1）求抛物线的标准方程；

（2）求直线AB在y轴上截距的最大值，并求此时圆P的方程． 1.

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19．（本题满分16分）

1－x已知函数f(x)＝lnx＋，其中a为大于零的常数．

ax（1）若函数f(x)在区间[1，＋∞)内不是单调函数，求a的取值范围； （2）求函数f(x)在区间[e，e]上的最小值．

2

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20．（本小题满分16分）

3n＋52n已知数列{an}中，a1＝2，a2＝3，an＋2＝an＋1－an，其中n∈N*．设数列

n＋2n＋1{bn}满足bn＝an＋1－

an，n∈N*．

n＋1

n（1）证明：数列{bn}为等比数列，并求数列{bn}的通项公式； （2）求数列{an}的通项公式；

（3）令cn＝，n∈N*，求证：c1＋c2＋…＋cn＜2．

(nbn)(n＋1)bn＋1

21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请．

在答题纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ．．．．．．．．．

A．选修4—1：几何证明选讲

圆的两弦AB、CD交于点F，从F点引BC的平行线和直线AD交于P，再从P引这个圆的切线，切点是Q，求证：PF＝PQ．

(n＋2)bn＋2

Q P A C F B D

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B．选修4—2：矩阵与变换

?1 0??1 2?

已知矩阵M＝??，N＝??，求直线y＝2x＋1在矩阵MN的作用下变换所

?0 －1??0 －3?

得到的直线方程．

C．选修4—4：坐标系与参数方程

22

已知⊙C：?＝cos?＋sin?，直线l：?＝．求⊙C上点到直线l距离的最

?cos(?＋)4小值．

D．选修4—5：不等式选讲

已知关于x的不等式∣x＋1∣＋∣x－1∣≤＋＋对任意正实数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围．

bcaabc

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【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题纸指定区域内作．．．．．．．．．．

答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22．2008年中国北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢

欢、迎迎、妮妮。现有8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表： 福娃名称 数量 贝贝 1 晶晶 2 欢欢 3 迎迎 1 妮妮 1 从中随机地选取5只． （1）求选取的5只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率；

（2）若完整地选取奥运会吉祥物记100分；若选出的5只中仅差一种记80分；差

两种记60分；以此类推．设?表示所得的分数，求?的分布列和期望值．

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23．已知数列{an}的前n项和为Sn，点(an＋2，Sn＋1)在直线y＝4x－5上，其中n∈N*，令bn＝an＋1－2an，且a1＝1． （1）求数列{bn}的通项公式；

（2）若f(x)＝b1x＋b2x2＋b3x3＋…＋bnxn，求f?(1)的表达式，并比较f?(1)与8n2－4n的大小．

参考答案

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）

考单招上高职单招网---- 根据历年单招考试大纲出题 1．{0，1} 2．1 3．2 4．－3 5．5 6．[2，5] 32

7．60 8．4 9． 10．（，2） 11．723＋11259

13． 14．(，]

2524

二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本题满分14分）

2tan

2－2

12．4 2

?2

4

解：（1）tan?＝＝，…………………………………………3分

?3

1－tan2

2

sin?4所以＝，又因为sin2?＋cos2?＝1，

cos?3

4

解得sin?＝．………………………………………………………7分

5（2）因为0＜?＜＜?＜?，所以0＜?－?＜?．

2

因为cos(?－?)＝272，所以sin(?－?)＝．……………………9分 1010

?所以sin?＝sin[(?－?)＋?]

723242

＝sin(?－?)cos?＋cos(?－?)sin?＝×＋×＝，……12分

1051052因为?∈(，?)，

2

3?所以?＝．………………………………………………………14分

4

16．（本题满分14分）

证明：（1）取AB1中点F，连结DF，CF．因为D为A1B1中点，

?

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所以DF∥=2AA1．

因为E为CC1中点，AA1∥=CC1， 所以CE∥=DF．

所以四边形CFDE为平行四边形．

所以DE∥CF．…………………………………………………4分 因为CF?平面ABC，DE?/平面ABC，

所以DE∥平面ABC．…………………………………………7分 （2） 因为AA1C1C为矩形，所以AC?CC1．

因为BB1C1C为菱形，所以CC1＝CB．B1C?BC1．…………8分 因为AC∶AB∶CC1＝3∶5∶4， 所以AC∶AB∶BC＝3∶5∶4，

所以AC2＋BC2＝AB2．……………………………………10分 所以AC?BC．

所以AC?平面BB1C1C．…………………………………12分 所以AC?BC1．

所以BC1?平面AB1C．……………………………………14分

B1 B D C1 A1

E

F C A

考单招上高职单招网---- 根据历年单招考试大纲出题 17．（本题满分14分）

1

解：（1）设从A地运出的油量为a，根据题设，直接运油到B地，往返油耗等于a，

100

所以B地收到的油量为(1－

1

)a． 100

1(1－)a10099

所以运油率P1＝＝．……………………………………3分

a100而从A地运出的油量为a时，C地收到的油量为(1－

1－xx)(1－)a， 100100

x100

)a，

B地收到的油量(1－1－xx(1－)(1－)a100100

所以运油率P2＝ a1－xx99xx＝(1－)(1－)＝(＋)(1－)．…………………………7分

1001001001001001

所以P2－P1＝x(1－x)，因为0＜x＜1，

10000

所以P2－P1＞0，即P2＞P1．…………………………………………9分

xx?2?99＋＋1－?100100100??199?299xx?＝??． （2）因为P2＝(＋)(1－)≤?

100100100?2??200?

99xx1

当且仅当＋＝1－，即x＝时，取“＝”．

1001001002

所以当C地为AB中点时，运油率P2有最大值．……………………………………14分 18．（本题满分16分）

解：（1）因为抛物线顶点在原点，准线方程为x＝－1，

所以抛物线开口向右，且－＝－1，所以p＝2．

2

p

考单招上高职单招网---- 根据历年单招考试大纲出题 所以所求的抛物线方程为y＝4x．…………………………………………4分

2

（2）设P(x0，y0)，则y02＝4x0，半径r＝PF＝x0＋1，

圆P的方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝(x0＋1)2，……………………………6分 设AB的方程为y＝2x＋b，由AB＝2CD得， 圆心P到直线AB的距离2d＝所以5d2＝r2，即5d＝r．

∣2x0－y0＋b∣

因为r＝|x0＋1|，d＝，

5

代入得∣2x0－y0＋b∣＝∣x0＋1∣．…………………………………8分 即2x0－y0＋b＝x0＋1或2x0－y0＋b＝－x0－1． 所以x0－y0＋b－1＝0或3x0－y0＋b＋1＝0． 1

因为y02＝4x0，所以x0＝y02，

4

1232

代入得y0－y0＋(b－1)＝0或y0－y0＋(b＋1)＝0．……………………10分

441

方程y02－y0＋(b－1)＝0关于y0有解?1－(b－1)≥0，b≤2．

4

32

方程y02－y0＋(b＋1)＝0．关于y0有解?1－3(b＋1)≥0，b≤－．…12分

43综上所述，b的最大值为2．……………………………………………14分 此时，y0＝2，x0＝1，r＝x0＋1＝2，

所以圆P的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝4．……………………………16分 19．（本题满分16分）

r2－d2，……………………………6分

ax－1

解：f?(x)＝(x＞0) 2分

ax2

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（1）由已知，得f?(x)在[1，＋∞)上有解，即a＝在(1，＋∞)上有解，

x

1

又?当x∈(1，＋∞)时，＜1，

x所以a＜1．又a＞0，所以a的取值范围是(0，1)．………………………………6分 1

（2）①当a≥时，

e

因为f?(x)＞0在(e，e2)上恒成立，这时f(x)在[e，e2]上为增函数，

1－e

所以当x＝e时，f(x)min＝f(e)＝1＋……………………………………………… 8分

ae

1

②当0＜a≤2时，

e

因为f?(x)＜0在(e，e2)上恒成立， 这时f(x)在[e，e2]上为减函数，

1－e2

所以，当x＝e时，f(x)min＝f(e)＝2－2，…………………………………………10分

ae

2

2

1112

③当2＜a＜时，令f?(x)＝0得，x＝∈(e，e)，

eea1

又因为对于x∈(e，)有f?(x)＜0，

a1

对于x∈(，e2)有f?(x)＞0，

a1111

所以当x＝时，f(x)min＝f()＝ln＋1－．………………………………………14分

aaaa

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综上，f(x)在[e，e]上的最小值为

2

f(x)min??＝?

1－e1?2－，当0＜a＜时．?aee

22

2

1－e11＋，当a≥时，aee1111

ln＋1－，当2＜a＜时，………………………………………16分 aaee

20．（本题满分16分） 解：（1）由条件得an＋2＝(2＋

n＋1

2n)an＋1－an， n＋2n＋1

所以an＋2－

n＋1nan＋1＝2(an＋1－an)， n＋2n＋1

1

即bn＋1＝2bn，又b1＝a2－a1＝2，所以bn≠0，

2

bn＋1

从而＝2对n∈N*成立，

bn所以数列{bn}是首项为b1＝2，公比q＝2的等比数列， 所以bn＝2．…………………………………………………6分

n（2）由（1）得an＋1—所以2a2－a1＝2?21，

3a3－2a2＝3?22， 4a4－3a3＝4?23， …………，

nn＋1

an＝2n．所以(n＋1)an＋1－nan＝(n＋1)?2n，………………8分

nan－(n－1)an－1＝n?2n－1，

相加得nan－a1＝2?21＋3?22＋4?23＋…＋n?2n－1，

考单招上高职单招网---- 根据历年单招考试大纲出题 所以2(nan－a1)＝ 2?2＋3?2＋…＋(n－1)?2－＋n?2．

2

3

n1n两式相减得：－（nan－a1)＝2(21＋22＋…＋2n－1)－n?2n＝2n＋1－4－n?2n，所以 2＋＋6(n－2)2＋6nan＝2－＝．…………………………………………………………11分

n1

nnn11（3）因为cn＝＝＝4[－]，…………13nn?2(n＋1)?2n＋1(nbn)(n＋1)bn＋1(n?2n)?(n＋1)?2n＋1分

所以Sn＝c1＋c2＋…＋cn 11111111

＝4[1－2＋2－3＋3－4＋…＋n－]

1?22?22?23?23?24?2n?2(n＋1)?2n＋1

112＝4[－]＝2－＜2．…………………………………………………16分

2(n＋1)?2n＋1(n＋2)?2n

1．（几何证明选讲）（本题满分10分）

证明：证明：因为A，B，C，D四点共圆，所以?ADF＝?ABC．

因为PF∥BC，所以?AFP＝?ABC．所以?AFP＝?FQP．

因为?APF＝?FPA，所以△APF∽△FPQ．所以＝．………………5分 所以PF2＝PA?PD．因为PQ与圆相切，所以PQ2＝PA?PD．

所以PF2＝PQ2．所以PF＝PQ．……………………………………………10分

2．（矩阵与变换）（本题满分10分）

(n＋2)bn＋2(n＋2)?2n＋2

PFPDPAPF?1 0??1 2??1 2?

解：∵MN＝????＝??，

0 30 －10 －3??????

设直线y＝2x＋1上一点(x0，y0)在MN作用下变为(x?，y?)，则

考单招上高职单招网---- 根据历年单招考试大纲出题 ?x?＝x0＋2y0，?x0＋2y0??x???1 2??x0??x??

????＝??，即??＝??，即?

y?y?＝3y．?0 3??y0??y????0? 3y0??

2

x＝x?－y?，??3

从而可得?……………………………………5分

1??y＝3y?．

00

12

∵y0＝2x0＋1，代入得y?＝2(x?－y?)＋1，

335

化简得2x?－y?＋1＝0，即6x?－5y?＋3＝0．

3

即变换后的直线方程是6x－5y＋3＝0．…………………………10分

3．（坐标系与参数方程）（本题满分10分） 解：⊙O的直角坐标方程是x2＋y2－x－y＝0，

111

即(x－)2＋(y－)2＝．………………………………………………3分

222直线l的极坐标方程为?(cos?－sin?)＝4，

直线l的直角坐标方程为x－y－4＝0．………………………………6分 1212

设M(＋cos?，＋sin?)为⊙C上任意一点，M点到直线l的距离

22221212?∣＋cos?－(＋sin?)－4∣4－cos(?＋)22224d＝＝，

223?当?＝时，dmin＝．…………………………………………………10分

424．（不等式选讲）（本题满分10分）

bca解：因为＋＋≥3

abc3

bca??＝3，………………………………………4分 abc

考单招上高职单招网---- 根据历年单招考试大纲出题 所以∣x＋1∣＋∣x－1∣≤3，

x∈[－，]．…………………………………………………………10分

5．（本题满分10分）

解：解：（1）选取的5只恰好组成完整“奥运会吉祥物”的概率

11C2?C363………………………………………………3分 P???55628C833

22

（2）ξ的取值为100，80，60，40.…………………………………4分

11C2?C33P(??100)??28C85

2132C32(C2?C32?C2?C32)?C3?(C2?C32)31P(??80)?? 556C812133C3(C2?C32?C2?C3)?C32?C3189P(??60)???55628C8

23C2?C31……………………………………………………8分 P(??40)??556C8ξ的分布列为

ξ P 100 80 60 40 3 2831 569 281 56 ……………………………………………………………………………………9分 Eξ=

300248054040????75…………………………………………10分 285628566．（本题满分10分）

解：（1）∵Sn?1?4(an?2)?5，∴Sn?1?4an?3.

考单招上高职单招网---- 根据历年单招考试大纲出题 ∴Sn?4an?1?3（n?2）. ∴an?1?4an?4an?1（n?2）. ∴an?1?2an?2(an?2an?1)（n?2）. ∴

bna?2an?n?1?2（n?2）. bn?1an?2an?1∴数列?bn?为等比数列，其公比为q?2，首项b1?a2?2a1， 而a1?a2?4a1?3，且a1?1，∴a2?6. ∴b1?6?2?4.

n?1n?1∴bn?4?2?2.…………………………………………………………4分．

（2）∵

f(x)?b1x?b2x2?b3x3???bnxn，

2n?1∴f?(x)?b1x?2b2x?3b3x???nbnx.

∴f?(1)?b1?2b2?3b3???nbn.

234n?1∴f?(1)?2?2?2?3?2???n?2，①

345n?2∴2f?(1)?2?2?2?3?2???n?2. ② 234n?1n?2①-②得 -f?(1)?2?2?2???2?n?2，

4(1?2n)??n?2n?2

1?2??4(1?2n)?n?2n?2，

∴f?(1)?4?(n?1)?2n?2.…………………………………………………6分．

2∴f?(1)?（8n?4n）=4(n?1)?2n?4(2n2?n?1)=4(n?1)2n?(2n?1). 2当n?1时，f'(1)=8n?4n；

22当n?2时，f'(1)-（8n?4n）=4（4-5）=-4?0，f'(1)?8n?4n；

??当n?3时，4(n?1)?0，

考单招上高职单招网---- 根据历年单招考试大纲出题 nn01n?1n且2?(1?1)?Cn?Cn??Cn?Cn?2n?2?2n?1，

n∴n?3时，总有2?2n?1.…………………………………………………10分． 2∴n?3时，总有f'(1)?8n?4n．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/oca7.html