Galerkin法和点匹配法在求解微分方程中的对比分析

5$$/年"月

第5/卷第5期

天水师范学院学报

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27)085$$/F:’05/@:05

!"#$%&’(法和点匹配法在求解微分方程中

的对比分析

温志贤!赵小龙

!天水师范学院数理与信息科学学院"甘肃天水!"#$$##

摘

要!通过对微分算子方程的理论分析!得到可用于数值计算的%&’()*+,法和点匹配法的矩阵形式"结果表

明!点匹配法比%&’()*+,法有较好的精确性!基函数取幂函数比取三角函数时效果更好"同时!物理问题的数值求解有助于物理基础课程的教学改革"

关键词!%&’()*+,法-点匹配法-数值解

!"#$%&.#!/01’()*+,2’-.%,#3!#4#3/#!5$$/"$54$$#64$5

由此可以看出"近似解!-7的精确性完全由正交基函数-(和权函数!<的选取来决定$选取不同的权函数又有不同的方法"通常使用"<取与-(相同的/"#$%&’(法和使用#<取A’%"B7

电磁场在空间中的传播和散射通常是用偏微分方程或积分方程的形式给出$一些条件下可以使用分离变量法%级数法%积分法%微扰法等得到解析解&即精确解#"但是在大多数情况下只能利用有限差分法%变分法%矩量法%有限元法等得到近似解&即数值解#$这些数值计算方法和计算机的结合使达到一定精度满足工程应用的数值解成为可能"它们不仅可以求解与电磁场有关的物理问题"还可以求解扩散%热传导%声学等物理问题$

)*+

=$#C"函数的点匹配法$

*D*7/"#$%&’(法

/"#$%&’(法是变分法和矩量法中较常使用的数值方法"

取使用的权函数$<和正交基函数-(具有相同的数学形式$利用线性空间中内积的一种定义形式"则公式&@#积分形式可写成349:+’

(%<"8).?7777777777777777777777777777777775E2

将&:#式代入&E#式并利用&4#式可得到’

F

数值计算方法在

物理问题中的应用对促进师范类院校物理基础课程的教学改革%提高学生基本素质也有积极的意义$

!理论分析

对满足一定边界条件的微分方程可用下面的算子方程来表示’

""(&"

(.*

(

<

G-().(’<7H/)H7<.*H6H*"F77777777771I2

&I#式是一个线性方程组"实际计算中<可取与(相同的值$将这一方程组写成矩阵的形式为3:+’

,-./000000000000000000000000000000000001*2

其中",表示微分算符"-0为未知函数"/为已知函数$对空间中的任一函数总可以通过级数展开得到其近似解’

34+

77777777777777773"(+.3#<(+9*3/<+7777777777777777777777777777777777771J2

!-.""0-000000000000000000000000000000000000000562

(

((

其中""(7为展开的系数"-(0是完备正交归一集"如三角函数集%勒让德多项式等$则求解微分方程的问题转换成了求解级数展开式中系数的问题$将公式&6#代入&*#式得’

"",-!/00000000000000000000000000000000000000542

(

(

(

若用表示近似解和精确解之间的误差"即’

$KL*H,-*MDDDNO*H,-*M

%*其中’3#<(+.%%DDDNR*HG-*M&PQ*H,-*M

$"*’%(

000000000000000000000000000003"(+.%(

%"(&()

$NS*H/M’%(3/(+.%

%NTH/M((

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*

*

*

*

’

((()

-9-2.,!-9/000000000000000000000000005:28.,5!

选取适当的权函数使得下面的式子满足’

则近似解&6#式中展开系数的列向量可表示为’

000000000000000000003"(+.3#<(+9*3/<+0000000000000000000000000000005U2*D6点匹配法

A’%"B0=$#C"函数是工程较常使用的一种广义函数"若

#;8=>.?77777777777777777777777777777777775@2

<

/012,6??:9**9?J

3456&温志贤5*UI?92"男H甘肃天水人"天水师范学院数理与信息科学学院讲师$

!"

取权函数!5为67801函数!则此类算法称之为点匹配法"

678019:/;20函数的具体数学形式如下#

’’’’’’"5<=>-?-54<

.3-4

!"#$!"#!"%$!"%!"&$!"&!"!$!

!’’’’’!"&’’’’!"%’’’!"#’’’!"(’’’!"$’’’’!")’’’’!"*’’’!"+’’’!",’’’&

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.$"/-012

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&9999-<-5

!9999-!-5

999999999999999999>&!4

将>&!4式代入>+4式$>,4式即可得到>%4式的展开系数!则问题

>&4式的数值解.也随之解决"

-

*数值计算

%

以微分方程?:.<&@(-%A9.>!4<.>&49<!!为例!分别取幂

图!基函数为幂函数时!"#$%&’()法的数值结果曲线

!"#$!"#!"%$!"%!"&$!"&!"!$!

(,%"-./0%12%"3

:-%

.>-4

.#"’.("’.$

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函数-B?-B?&和三角函数C7B9BD-作为基函数.B9时!E0;/8F7B法和点匹配法得到数值解的曲线来说明两种方法的差异及解的精确性"示例微分方程的精确解为#.3-49<9$-9?9&-%9?

&-("图&$图%$图#中的.9$.$.$.9分别是B取&$

&%#(

%$#$(时的数值解!.$是微分方程的精确解"

由图可以看到#在取相同的B值时!点匹配法要比

图*

-

!’’’’!"&’’’!"%’’!"#’’’!"(’’’!"$’’’!")’’’!"*’’’!"+’’’!",’’&

基函数为幂函数时

!

点匹配法的数值结果曲线

!"#$%"&"’(%)*+(,%"-./0%12%"3

E0;/8F7B法有更好的精确性%而对点匹配法!基函数取幂函

数比取三角函数时效果要好!B值取很小时就可逼近精确解"

.>-4!"#

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+结语

图+

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-

点匹配法和E0;/8F7B法是变分法求解波传播和散射等物理问题中常用的数值计算方法!适当的选择完备正交基函数可以得到最优的数值解"在实际教学中!对物理问题的数学表示强调偏多!而较少强调通过数值解来领会物理问题"对较复杂物理问题的数学形式!如微分方程!可利用变分法$矩量法等多种数值计算方法进行求解"所以说!数值计算方法的思路在普通物理基础课程和数学建模课程的教学中具有积极的借鉴意义"

基函数为三角函数时!点匹配法的数值结果曲线

参考文献"

G&H9999I022J/K9L"M"N0:7FOAPJ"6"’LO5/8710;’Q/1JB7RO/C’7B’S;/128T50EB/?

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G%H’’’’郭立新"波传播和散射中的数值计算方法讲义GIH"西安V西安电

子科技大学"

G#H’’’’王一平A等"数学物理方法GIH"北京V电子工业出版社A&,,#"G(H’’’’程云鹏"矩阵论GIH"西安V西北工业大学出版社A%!!%"

#责任编辑王三福$

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0B0;[C7C9T.9:7../8/B270;9TZ/802T89/RO027TB"9dT89CZ/17.7199/-05Z;/9A2J/9BO5/8710;9CT;O27TB9T.9ZT7B2?5021J7BE95/2JT:97C9

5T8/9011O802/92J/92J029T.9E0;/8F7B95/2JT:"9PTK/89.OB127TB9.T89ZT7B2?5021J7BE95/2JT:97C92J/9Z8TZ/891JT71/9T.9\0C/9

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/oc2j.html