陈祖德 客房预定的价格和数量问题

客房预定的价格和数量问题

学院：计算机科学与工程学院 姓名：陈祖德

学号：10010501001

摘要：本文根据宾馆的发展及对利润要求的实际情况，探讨客房预订价格和数量的问题。通过分析某宾馆2005年10月至2010年3月期间标准间月平均价格的价格变动规律和超额情况下所面临的问题，建立供求与经济影响价格模型，揭示价格变动的规律，并建立起的价格变动模型估计未来一年内的标准间参考价格，另外综合预定房间的利与弊，给出一个最好的预订方案，以提高该宾馆的利润，从而实现利润的最优化。

模型I 供求与经济影响价格模型。酒店给出了2005年到2010年的标准间月均价格，对于这么多的数据，初看杂乱无章，但目前要进行一个有条理，有逻辑的处理，这是一个非常冗杂的过程。对此，我们借助于MATLAB软件和EXCEL软件进行数据处理，把处理后的数据在进行分析。在这个过程中，我们首先借助EXCEL绘出每一年的月均变化规律，然后观察曲线的走势，把2006-2009年这四年的图像进行比较，初步确立每一年的变化情况，初步假设函数关系。在这之后，再用MATLAB软件，进行描点、绘图、最后拟合函数，把拟合出来的函数和最初假设的进行比较，综合分析，再结合实际经济发展的状况，确立初数学模型。

在分析之后所建立的数学模型中，我们根据实际情况，设中国近几年经济稳步增长，据此，我们在有效数据分析中舍弃了2006年和2007年的数据，然后用具有可比性的2008年和2009年的数据进行函数的求解。在求解过程中，为使函数精确，我们又采取了分段求解的方法，并且对于某些月份价格的突变进行单独的求解。

最后用拟合出来的函数算出预测值，再把这些值和实际2010年的真实值进行比较，求出相对误差。除此之外，为验证预测数据的可靠性，我们求出每年的最高值和最低值之差（每一年的值基本不变），然后与我们预测数据的最高值和最低值经行比较，从而验证模型建立函数求解的可靠。

模型II 利润寻优模型。本文在分析宾馆的经济收益时，主要根据客房入住收入扣除宾馆的总成本和赔偿金后的利润来衡量。信誉风险则用有超出客房数的客户出现限制在一定数量为标准，考虑到预订客房的客户按照预订时间前来住房是随机的，所以经济利益和信誉风险两个指标在平均意义下衡量，在这个双优化问题上将采用Pj(m)不超过某给定值作为约束条件，以S(m)为单目标函数来进行求解。

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1.问题的重述

某著名的旅游景区中的宾馆主要提供举办会议和游客使用。客房通过电话或互联网预定，这种预定具有很大的不确定性，客户很可能由于各种原因取消预定。宾馆为了争取更大的利润，一方面要争取客户，另一方面要降低客户取消预定遭受的损失。为此，宾馆采用一些措施。首先，要求客房提供信用卡号，预付第一天房租作为定金。如果客户在前一天中午以前取消预定，定金将如数退还，否则定金将被没收。其次，宾馆采用变动价格，根据市场需求情况调整价格，一般来说旅游旺季价格比较高，淡季价格略低。

（1）请建立客房预定价格的数学模型，并对以下实例作分析。表1给出了某宾馆2005年10月～2010年3月期间，每月标准间平均价格(单位:元)，用你的模型说明价格变动的规律，并据此估计未来一年内的标准房参考价格。你还可以收集更多的数据来佐证你模型的价值（要求注明出处）。

（2）在旅游旺季，宾馆往往可以预定出超过实际套数的客房数, 以减低客户取消预定时宾馆的损失。当然这样做可能会带来新的风险, 因为万一届时有超出客房数的客户出现, 宾馆要通过升级客房档次或赔款来解决纠纷, 为此宾馆还会承担信誉风险. 某宾馆有总统套房20套，豪华套房100套，标准间500套。试为该宾馆制定合理的预定策略, 并论证你的理由。

表１ 某宾馆2005年10月～2010年3月标准间月平均价格(单位:元) 时间 价格 时间 价格 时间 价格 2005.10 328 2007.04 401 2008.10 534 2005.11 263 2007.05 439 2008.11 498 2005.12 251 2007.06 397 2008.12 402 2006.01 241 2007.07 463 2009.01 397 2006.02 249 2007.08 509 2009.02 416 2006.03 316 2007.09 474 2009.03 451 2006.04 344 2007.10 508 2009.04 486 2006.05 360 2007.11 458 2009.05 507 2006.06 320 2007.12 412 2009.06 458 2006.07 344 2008.01 369 2009.07 493 2006.08 384 2008.02 403 2009.08 562 2006.09 368 2008.03 436 2009.09 474 2006.10 401 2008.04 447 2009.10 528 2006.11 363 2008.05 483 2009.11 436 2006.12 336 2008.06 439 2009.12 398 2007.01 366 2008.07 514 2010.01 442 2007.02 331 2008.08 550 2010.02 404 2007.03 390 2008.09 489 2010.03 428 2

2.问题的分析

顾客通过电话或互联网预定客房，预定具有很大的不确定性因数，由于要求一个良好的信用问题和一个高质量的服务态度，不可能对订房顾客进行收费，但如果不收取费用，必然会遇到定了房却又不来的情况，这样便会使得后订房的顾客没有机会订房，而且宾馆住房没有人住，收益下降的问题。一方面要争取客户，另一方面要降低客户取消预定遭受的损失。对此，酒店采取了半收费的方法，即：首先，要求订房客房提供信用卡号，预付一定的房租作为保险定金。如果客户在前一天中午以前取消预定，定金将如数退还，否则定金将被没收，作为取消订房给酒店带来损失的补偿。其次，宾馆采用变动价格，根据市场需求情况调整价格，一般来说旅游旺季价格比较高，淡季价格略低。

针对动态价格这个问题，如果动态定价的话，就需要一个预定动态价格的依据。目前，这个酒店给我们提供了近几年的月份价格走向，我们可以通过对这个价格走向的动态分析。但由于实际情况的偶然性，表中的某些数据需要进行处理，比如2006年和2007年的数据距现在的时间已经比较长了，在这个日新月异的社会中，这两年的数据参考性价值就应该低于2008年和2009年的。用MATLAB和excel等软件对数据进行处理，并得出一定的规律，然后预测出今后一年或几年的价格。对于问题二，从客房利润来考虑，由于客房利润是随机变量，这时就需要用数学期望来考察。从客房盈利状况和被挤掉客人数量的概率来制定合理的预定策略。

2.1 影响客房预订价格因素的分析

随着经济的发展和市场经济的逐步成熟，，旅游行业越来越受到人们的追捧。旅游负责人为了使旅游景区的宾馆入住率更高，必须寻求最合适的价格，从而争取到最好的经济效益，。然而，宾馆在制定价格时，仍然受到许多因素的制约，这些因素需要宾馆决策者在制定客房价格时给予充分的考虑。（因为篇幅问题，部分次要因素分析省略）

(1)外部影响因素

①经济形势与消费水平的影响 旅游经济具有脆弱性，一旦出现负面的影响，就会使旅游行业出现不稳定性和波动性。

②季节性影响

季节性强是旅游业的一大特点，有些地区甚至由于自然气候这一因素的制约，在旅游淡季景区放假休息，直接影响宾馆经营的好坏，宾馆需要提供优惠的房价等措施来维持正常的生存。 ③供求关系影响

宾馆客房的价格随供求关系的变化而不断调整，当供过于求时，宾馆需要考虑降低价格；当供不应求时，宾馆要考虑适当提高价格。 (2)内部影响因素 ①宾馆选址 ②投资成本

③服务质量

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④行业内竞争

由于宾馆数量的不断增加，行业内竞争日益加剧，为了获得高客房出租率，削减房价成为一种常用的竞争定价方法，竞争的后果会导致房价偏低。

客房价格 外部因素 内部因素 经济形势与消费水平供求关系影响 季节性影响 宾馆选址 投资成本 服务质量 行业内竞争

图1 影响客房价格的因素

2.2 对制定客房价格因素分析

某宾馆05年10月至10年3月标准间月平均价格对比图600500价格（单位：元）4002005年2006年2007年2008年2009年2010年3002001000月十份一月十份二月份月份月份月份月份月份月份月份月份八一二三四五六七九月份十月份

图2 各年份间相同月份的对比图

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年平均客房价格5004504003503002502001501005002006年2007年335.5429463.7467.2年平均客房价格2008年2009年

图3 2006—2009年的年平均客房价格图

图4 2005年—2009年国内生产总值

（注：此表来源于 中华人民共和国 2009年国民经济和社会发展统计公报 中华人民共和国国家统计局 2010年2月25日）

由图4可得出从2006年至2009年国内生产总值相对于上一年的增长幅度如下表示：

年份 2006年 2007年 2008年 2009年 增长幅度 10.7% 11.4% 9.0% 8.7%

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则2007年至2009年国内生产总值相对于2006年的增长幅度如下表示：

年份 2007年 2008年 2009年 增长幅度 11.4% 21.43% 31.99%

从图2中的2005年10月至2010年3月各年份间相同月份的标准间价格对比图及图3中的2006年至2009年各年份的标准间平均价格图可直观分析出，在2006年至2010年期间每年的宾馆标准间的平均月价格制定是逐步上升趋势，由图4的2005年至2009年国民生产总值图可知在2005年以来我国的经济发展呈逐步上升，这基本吻合了经济学上价格变化与国民生产总值有关的规律。所以，由图2，图3和图4数据表明宾馆在制定客房价格时与经济形势的影响有很大的关系，说明了经济形势因素属于宾馆在制定客房价格时的主要因素之一。

2.3 对问题所需数据的收集和分析

在处理对未来一年宾馆标准房价格制定时是根据表1中从2005年10月至2010年3月的标准房指定价格（已知）数据进行分析，并做出合理的估计。而对于影响客房预订价格的因素主要有外部因素（经济形势与国民消费水平的影响，季节性影响，供求关系影响）和内部因素（宾馆选址，投资成本，服务质量，行业内竞争）制约，那么在原来的数据基础上进行未来一年的标准房价格估计时，可以把以下因素近似地看作不变因素：

（1） 季节性影响（季节性强是旅游业的一大特点，有些地区甚至由于自然气候这一因素的制约，在旅游淡季景区放假休息，直接影响宾馆经营的好坏，宾馆需要提供优惠的房价等措施来维持正常的生存），因为季节性影响与宾馆的选址（宾馆选址已定）有关，所以每年由季节性的更替给宾馆带来了影响基本上趋向稳定状态；

（2） 内部影响因素包括（宾馆选址，投资成本，服务质量，行业内竞争），因为在本题目中，我们可以假设宾馆属于长期经营企业，那么经过长期的发展过程，宾馆的内部影响因素（宾馆选址，投资成本，服务质量，行业内竞争）基本上趋于稳定状态。

3.模型的假设

(1)假设宾馆的总成本是一个常量值r，且r与客户数无关（实际上关系很小）； (2)假设当入住率为?时，宾馆刚好不亏本；

(3)假设预定标准间客户的数量超过标准间客房的数量，则可以通过升级客房档次来解决，如果通过升级客房档次之后超出客房总数量的，给予赔款来解决问题； (4)假设每位客户没在规定时间内取消客房的预定而又不入住的概率为p。 (5)假设国家法定节假日等影响旅游淡季旺季的因素不变，即每年的旅游淡季旺季不变；

(6)假设每年相同时期旅客人数基本相同，每年旅客变化趋势基本相同；

(7)假设国家总体经济环境呈平稳上升趋势，物价水平平稳上升，人民币币值基

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本不变；

(8)假设酒店服务质量与酒店信誉基本不变； (9)假设政府和行业组织的价格约束不变；

(10)假设无社会、政治形势影响客源及经营费用； (11)假设行业竞争不变即当地酒店数量无较大变化；

(12)假设取消预订宾馆的客户在所有预定客户中所占比例基本不变； (13)假设已订票客人按时入住预订客房是相互独立的随机事件；

(14)假设f为酒店客房一天的管理费用，且旅客是否入住对f影响不大； (15)假设房间种类预定之间没有联系。

4.模型建立、求解

问题一 ：

1. 模型建立

做出2005年10月到2010年3月标准间月平均价格统计折线图：

图5 标准间月平均价格统计折线图

为提高所取数据精确度，取各年内两个最高（最低）预定价格的平均

7

值作为相应年份的最高（最低）预定价格，将所有数据输入Excel,并得到最高（最低）预定价格变化曲线图，如下：

图6 最高（最低）预定价格变化曲线图

图7 最高价格平均与最低价格平均之差

观察图5，易得结论：宾馆各年标准间预定价格变化曲线大体相同，即各年内价格变化的规律是基本相同的。

图6、7表明标准间预定价格最大值、最小值成整体上升趋势而各年两者之

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差又基本不变，即价格为随年份稳步上升，这进一步证明了各年价格变化规律相同的结论。

由客观规律知，一年内旅游淡旺季变化走势有较大变化，不同时间段宾馆预定价格变化趋势因淡旺季的变化而大有不同，故此处宜将变化趋势不同的部分独立开来，以求的更加精确的曲线函数。观察2006——2009年标准间定价变化曲线可知，每年1—5月基本呈线性变化，后七个月（去掉九月）呈抛物线走势即曲线函数应为二次函数，对于九月，因其变化与后七个月的整体变化趋势相差较大，故为提高精确度应将其挑出单独研究，现将2006——2009定价趋势图拆分如下：

9

观察以上四图，可知2006、2007两年标准间变化规律基本相同，2008、2009两年标准间变化规律基本相同。而根据客观规律，2010年标准间定价走势应与较近的年份即2008、2009年较接近，故为了使模型更准确，此处应选取2008、2009年的价格走势作为模型建立的根据。

再观察2008、2009年价格走势图，可发现每年前五月呈线性变化；后七个月（去掉九月）呈抛物线走势即曲线函数应为二次函数，对于九月，因其变化与后七个月的整体变化趋势相差较大，故为提高精确度应将其挑出单独研究。

综合以上分析，设：

2008年1—5月定价趋势线为 y20082009年1—5月定价趋势线为 y20082010年1—5月定价趋势线为 y20102008年6—12月定价趋势线为 Y20082009年6—12月定价趋势线为 Y20092010年6—12月定价趋势线为 Y2010?a2008t?b2008

?a2009t?b2009 ?a2010t?b2010

?m2008t?n2008t?q200822

?m2009t?n2009t?q20092

?m2010t?n2010t?q2010

2010年九月的定价为 Z

（其中y、Y表示月份标准间定价，t表示相应月份数）

2. 模型求解

2.1、一到五月份的求解

将2008年和2009年1-5月定价用Matlab分别做出变化曲线，并拟合函数如下：

2008年1-5月：

10

50048046044042040038036011.522.533.544.55

图8 2008年1-5月标准间平均价格曲线图

52050048046044042040038011.522.533.544.55

图9 2009年1-5月标准间平均价格曲线图

把2008年和2009年1-5月图形用MATLAB合在一起，如图：

11

52050048046044042040038036011.522.533.544.55

图10 2008年和2009年1-5月标准间平均价格曲线合图

由图10可知：2008年和2009年1-5月份的价格都近似成一条直线，斜率近似相等，且2009年均比2008年高一个近似相等的常数，这恰好吻合模型假设的经济稳步增长假设。

因为变化趋势相同，可知2010年1-5月的变化曲线斜率应该和前两年相等。

2.2、六到十二月份的求解

将2008年和2009年6至12月定价用Matlab分别做出变化曲线，并拟合函数如下：

5605405205004804604404204006789101112

图11 2008年6-12月标准间平均价格曲线合图

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5805605405205004804604404204003806789101112

图12 2009年6-12月标准间平均价格曲线图

把2008年和2009年6-12月图形用MATLAB合在一起，如图13：

5805605405205004804604404204003806789101112

图13 2008年和2009年6-12月标准间平均价格曲线合图

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由图形可知：同以上分析1-5月的情况相似，两条抛物线的开口方向相同，开口大小相同，走势一样，且2009年的抛物线在横轴和纵轴的截距均大于2008年的抛物线在横轴和纵轴上的截距，2009年每月价格均比2008年每月价格高出一个近似相等的数，这个也完全符合模型假设中提出的经济稳步增长假设。

2.3、九月份突变价格的求解

2006年--2009年9月的价格折线图如下：

图14 2006年--2009年9月标准间平均价格曲线

从图14中可以看出九月的价格随时间趋于不变，尤其是最三年基本上是一条直线，把近三年较有可靠性的数据取平均值，可近似得出2010年9月份的价格。

即2010年9月份的价格为：

474?489?4743=479

3、结果分析

年份价格年份价格2010.1420.92010.8638.22010.1420.92010.8638.22010.22010.32010.42010.5429457.1495.2523.32010.92010.102010.112010.12479620.8569.3489.32010.22010.32010.42010.5429457.1495.2523.32010.92010.102010.112010.12479620.8569.3489.32010.6541.462010.7604.1 2010.6541.462010.7604.1

年份价格年份价格 与2010年1-3月份的真实数据相比较，算出相对误差1-3月平均为：

△= （

420.9?442442?429?404404?457.1?428428）/3 =5.9%

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2010年中最高价格平均:

H=

638.2?620.82=629.8

2010年中最低价格平均:

L =

420.9?4292=424.95

2006-2009最高价格平均与最低价格平均之差的平均数:

S=

147.5?175?156.5?1474=156.4

2010年最高价格平均与最低价格平均之差的相对误差：

α=

S?(H?L)S=7.1%

综上所述，误差均较小，在允许范围之内，故所设的数学模型较为合理。

问题二：

我们在讨论宾馆预定客房数量时，因为在宾馆客房中，以标准间数量居多（标准间占宾馆客房总数的80.64%），为了简化计算，且误差控制在一定的范围内，则我们在考虑计算宾馆的利润收入时，规定总统套房与豪华套房的预定数量不能超过实际的客房数量。而且若标准间入住满后，则预订标准间的客户将被安排入住豪华套房； 若标准间与豪华套房都入住满后，则预订标准间的客户将被安排入住总统套房；若标准间，豪华套房与总统套房都入住满，则预订标准间的客户将会接受宾馆的赔款。 由于时间有限，后面的没有做完，请见谅。

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5.模型检验

2005年10月~2010年3月该宾馆标准间实际价格同预测价格比较图如下：

图15 2005年10月~2010年3月该宾馆标准间实际价格同预测价格比较图

6.模型优缺点

6.1模型优点

（1）通过对数据的分段分析，可以得出更为可靠地函数图形和表达式，消除了

旺季和淡季价格的不一致性，继而较好的预测今后的价格变化；

（2）用MATLAB软件拟合函数图形及函数表达式，而合理的舍取，降低数据之间

的偶然性；

（3）对于突变的月份价格，我们提出来单独分析，以消除它在整个整数中的不

一致性，这样提高了数据分析的准确性，有效抑制了突变的情形；

（4）用概率的方法科学的计算订房的比例情况，即方便又精准，非常具有参考

价值。

（5）模型建立的合理性，模型的建立是在对已经提供的数据，以及网上收集的

权威机构资料进行充分的挖掘的基础上，通过数据之间的关系提炼出各个变量之间的关系，建立起模型；

（6）对一些未量化的变量进行合理的量化，例如，我们在考虑宾馆的入住率时

将其量化成一个常量等等,从而建立利润寻优模型；

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（7）该模型可应用的范围很广； （8）该模型在前人的基础上对模型进行了改进使得该模型更好的反映客观现象。

6.2模型缺点

（1）本文没有对宾馆的客房进行分级，还有待改进；

（2）文中并没有过多地考虑影响模型中不是很重要的因素的因子

7. 参考文献

【1】姜启源、谢金星、叶俊，数学模型，北京：高等教育出版社，2003； 【2】韩中庚，数学建模竞赛，北京：科学出版社，2007；

【3】宋兆基、徐流美，MATLAB在科学计算中的应用，北京，清华大学出版社，

2005；

【4】陈家鼎、刘婉如， 概率统计讲义［M］ 北京：高等教育出版； 【5】袁震东、 数学建模［J］，数学教学，2005，（1）：6—9。

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/oc23.html