2012年上海高考数学(理科)试卷答案解析

2012年上海高考数学（理科）试卷

一、填空题（本大题共有14题，满分56分）

3 i

1．计算：= （i为虚数单位）.

1 i

2．若集合A {x|2x 1 0}，B {x|x 2}，则A B= .

3．函数f(x)

2cosx

的值域是sinx 1

4．若n ( 2,1)是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为 （结果用反三角

函数值表示）. 5．在(x

26

)的二项展开式中，常数项等于 . x

1 6．有一列正方体，棱长组成以1为首项，为公比的等比数列，体积分别记为

V1,V2,…,Vn,…，则lim(V1 V2 Vn)

n

7．已知函数f(x) e|x a|（a为常数）.若f(x)在区间[1,+ )上是增函数，则a的取值范 围是 .

8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2 的半圆面，则该圆锥的体积为 . 9．已知y f(x) x2是奇函数，且f(1) 1.若g(x) f(x) 2，则g( 1) 10．如图，在极坐标系中，过点M(2,0)的直线l与极轴的夹角

.若将l的极坐标方程写成 f( )的形式，则 f( ) 11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目，则有且仅有 两人选择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）. 12．在平行四边形ABCD中，∠A=3, 边AB、AD的长分别为2、1. 若M、N分别

是边BC、CD

，则 的取值范围是 . 13．已知函数y f(x)的图像是折线段ABC，若中A(0,0)，B(1,5)，C(1,0). 2

函数y xf(x)(0 x 1)的图像与x轴围成的图形的面积为 .

14．如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2.

C B

若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为

常数，则四面体ABCD的体积的最大值是 .

二、选择题（本大题共有4题，满分20分）

15．若1 2i是关于x的实系数方程x bx c 0的一个复数根，则

2

（ ）

（A）b 2,c 3. （B）b 2,c 3. （C）b 2,c 1.（D）b 2,c 1. 16．在 ABC中，若sinA sinB sinC，则 ABC的形状是

2

2

2

（ ）

（A）锐角三角形. （B）直角三角形. （C）钝角三角形. （D）不能确定. 17．设10 x1 x2 x3 x4 104，x5 105. 随机变量 1取值x1、x2、x3、x4、x5的

概率均为0.2，随机变量 2取值

x1 x2、

x2 x3

、

x3 x4

、

x4 x5

、

x5 x1的概率也为0.2.

（ ）

若记D 1、D 2分别为 1、 2的方差，则

（A）D 1＞D 2. （B）D 1＝D 2. （C）D 1＜D 2. （D）D 1与D 2的大小关系与x1、x2、x3、x4的取值有关.

18．设an ，Sn a1 a2 an. 在S1,S2, ,S100中，正数的个数是 （ ） sinn

n25

（A）25. （B）50. （C）75.

三、解答题（本大题共有5题，满分74分）

19．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形， PA⊥底面ABCD，E是PC的中点.已知AB=2， AD=22，PA=2.求：

（1）三角形PCD的面积；（6分）

B

（2）异面直线BC与AE所成的角的大小.（6分）

20．已知函数f(x) lg(x 1).

（D）100. （1）若0 f(1 2x) f(x) 1，求x的取值范围；（6分）

（2）若g(x)是以2为周期的偶函数，且当0 x 1时，有g(x) f(x)，求函数

y g(x)(x [1,2])的反函数.（8分）

21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴 正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海

里A处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线

y

1249

x；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救

2

援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t.

（1）当t 0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时

两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）

（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8

22．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1:2x2 y2 1.

（1）过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成 的三角形的面积；（4分）

（2）设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点，若l与圆x2 y2 1相切，求证： OP⊥OQ；（6分）

（3）设椭圆C2:4x2 y2 1. 若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON， 求证：O到直线MN的距离是定值.（6分）

23．对于数集X { 1,x1,x2, ,xn}，其中0 x1 x2 xn，n 2，定义向量集

Y | (s,t),s X,t X}. 若对于任意a1 Y，存在a2 Y，使得a1 a2 0，则称X

具有性质P. 例如X { 1,1,2}具有性质P.

（1）若x＞2，且{ 1,1,2,x}，求x的值；（4分）

（2）若X具有性质P，求证：1 X，且当xn＞1时，x1=1；（6分）

（3）若X具有性质P，且x1=1，x2=q（q为常数），求有穷数列x1,x2, ,xn的通 项公式.（8分）

2012年上海高考数学（理科）试卷解答

一、填空题（本大题共有14题，满分56分）

3 i

= 1-2i （i为虚数单位）. 1 i

2．若集合A {x|2x 1 0}，B {x|x 2}，则A B=( 1,3) . 2 1．计算： 3．函数f(x)

2cosx

的值域是[ 5, 3] . 22

sinx 1

4．若 ( 2,1)是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为 arctan2 （结果用反三角

函数值表示）. 5．在(x

26

)的二项展开式中，常数项等于x

12

6．有一列正方体，棱长组成以1为首项，

n

为公比的等比数列，体积分别记为

87

V1,V2,…,Vn,…，则lim(V1 V2 Vn)

.

7．已知函数f(x) e|x a|（a为常数）.若f(x)在区间[1,+ )上是增函数，则a的取值范

围是 (- , 1] . 8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2 的半圆面，则该圆锥的体积为

33

.

9．已知y f(x) x2是奇函数，且f(1) 1.若g(x) f(x) 2，则g( 1) 10．如图，在极坐标系中，过点M(2,0)的直线l

.若将l的极坐标方程写成 f( )的形式，则 6

f( ) sin(1 ) . 6

11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目，则有且仅有 两人选择的项目完全相同的概率是2（结果用最简分数表示）. 312．在平行四边形ABCD中，∠A=3, 边AB、AD的长分别为2、1. 若M、N分别

是边BC、CD

，则 的取值范围是 [2, 5] . 13．已知函数y f(x)的图像是折线段ABC，若中A(0,0)，B(1,5)，C(1,0). 2

函数y xf(x)(0 x 1)的图像与x轴围成的图形的面积为5. 14．如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2.

若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为

C

A

B

ca2 c2 1 . 常数，则四面体ABCD的体积的最大值是23

二、选择题（本大题共有4题，满分20分）

2

15．若1 2i是关于x的实系数方程x bx c 0的一个复数根，则 （ B ）

（A）b 2,c 3. （B）b 2,c 3. （C）b 2,c 1.（D）b 2,c 1. 16．在 ABC中，若sinA sinB sinC，则 ABC的形状是 （ C ） （A）锐角三角形. （B）直角三角形. （C）钝角三角形. （D）不能确定.

17．设10 x1 x2 x3 x4 10，x5 105. 随机变量 1取值x1、x2、x3、x4、x5的

概率均为0.2，随机变量 2取值

x1 x24

2

2

2

、

x2 x3

、

x3 x4

、

x4 x5

、

x5 x1的概率也为0.2.

（ A ）

若记D 1、D 2分别为 1、 2的方差，则

（A）D 1＞D 2. （B）D 1＝D 2. （C）D 1＜D 2.

（D）D 1与D 2的大小关系与x1、x2、x3、x4的取值有关.

18．设an 1，Sn a1 a2 an. 在S1,S2, ,S100中，正数的个数是 （ D ） sinn

n25

（A）25. （B）50. （C）75. （D）100.

三、解答题（本大题共有5题，满分74分）

19．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形， PA⊥底面ABCD，E

是PC的中点.已知AB=2， AD=22，PA=2.求： （1）三角形

PCD的面积；（6分）

（2）异面直线BC与AE所成的角的大小.（6分）B

[解]（1）因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，又AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD， 从而CD⊥PD. ……3分 因为PD=2 (22) 2，CD=2，

所以三角形PCD的面积为1. 2 23 232

（2）[解法一]如图所示，建立空间直角坐标系， 则B(2, 0, 0)，C(2, 2,0)，E(1, 2, 1)，

(1,2,1)， (0,22,0). ……8 设与的夹角为 ，则

24 cos 2 2， =. 242 由此可知，异面直线BC与AE所成的角的大小是 ……12分 4 [解法二]取PB中点F，连接EF、AF，则 EF∥BC，从而∠AEF（或其补角）是异面直线 BC与AE所成的角 ……8分

在 AEF中，由EF=2、AF=2、AE=2

知 AEF是等腰直角三角形，

所以∠AEF= . 20．已知函数f(x) lg(x 1).

（1）若0 f(1 2x) f(x) 1，求x的取值范围；（6分）

（2）若g(x)是以2为周期的偶函数，且当0 x 1时，有g(x) f(x)，求函数

2

2

y

因此异面直线BC与AE所成的角的大小是 ……12分 y g(x)(x [1,2])的反函数.（8分） 2 2x 0

[解]（1）由 ，得 1 x 1.

x 1 0

2x

由0 lg(2 2x) lg(x 1) lg2 1得1 2 2x 10. ……3分 因为x 1 0，所以x 1 2 2x 10x 10， 2. x 1

1 x 1

由 2得 2. ……6分 x 1

1

x 3 3

（2）当x [1,2]时，2-x [0,1]，因此

y g(x) g(x 2) g(2 x) f(2 x) lg(3 x). ……10分 由单调性可得y [0,lg2].

因为x 3 10，所以所求反函数是y 3 10，x [0,lg2]. ……14分

21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴 正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海 里A处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线 122y 49x；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救

y

x

援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为.

（1）当t 0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时 两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）

（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分） [解]（1）t 0.5时，P的横坐标xP=7t 由|AP|=

9492

7，代入抛物线方程y

1249

x2

中，得P的纵坐标yP=3. ……2分

，得救援船速度的大小为海里/时. ……4分

7 由tan∠OAP=3 12 307

，得∠OAP=arctan30，故救援船速度的方向

7

为北偏东arctan30弧度. ……6分

（2）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为(7t,12t2). 由vt 因为t2

2

(7t)2 (12t2 12)2，整理得v2 144(t2 2) 337.……10分

t

1t2

2，当且仅当t=1时等号成立，

2

所以v 144 2 337 25，即v 25.

因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船. ……14分 22．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1:2x2 y2 1.

（1）过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成 的三角形的面积；（4分）

（2）设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点，若l与圆x2 y2 1相切，求证： OP⊥OQ；（6分）

（3）设椭圆C2:4x y 1. 若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON， 求证：O到直线MN的距离是定值.（6分） [解]（1）双曲线C1:

x2

2

22

y2 1，左顶点A(

22

,0)，渐近线方程：y 2x.

2(x

22

过点A与渐近线y 2x平行的直线方程为y )，即y 2x 1.

y 2x x

解方程组 ，得 1

y 2x 1 y 2

4

. ……2分

28

所以所求三角形的面积1为S 1|OA||y| 2 故

|b|2

. ……4分

（2）设直线PQ的方程是y x b.因直线与已知圆相切，

1，即b2 2. ……6分

由

y x b22

x 2bx b 1 0. ，得22

2x y 1

x1 x2 2b

. 2

xx b 1 12

设P(x1, y1)、Q(x2, y2)，则 又2，所以

x1x2 y1y2 2x1x2 b(x1 x2) b2

2( b2 1) b 2b b2 b2 2 0，

故OP⊥OQ. ……10分

（3）当直线ON垂直于x轴时， |ON|=1，|OM|=

22

，则O到直线MN的距离为

23

.

当直线ON不垂直于x轴时，

设直线ON的方程为y kx（显然|k|

），则直线OM的方程为y 1x.

2 y kx x

由 2，得 2

2

4x y 1 y

2同理|OM|

22k2 1

14 k2k24 k2

2

，所以|ON|

1 k24 k2

.

. ……13分

3k2 3k2 1

设O到直线MN的距离为d，因为(|OM|2 |ON|2)d2 |OM|2|ON|2， 所以d12

1|OM|2

1 |ON |2

3，即d=

3

3

.

综上，O到直线MN的距离是定值. ……16分 23．对于数集X { 1,x1,x2, ,xn}，其中0 x1 x2 xn，n 2，定义向量集

Y {| (s,t),s X,t X}. 若对于任意a1 Y，存在a2 Y，使得a1 a2 0，则称X 具有性质P. 例如X { 1,1,2}具有性质P.

（1）若x＞2，且{ 1,1,2,x}，求x的值；（4分）

（2）若X具有性质P，求证：1 X，且当xn＞1时，x1=1；（6分）

（3）若X具有性质P，且x1=1，x2=q（q为常数），求有穷数列x1,x2, ,xn的通 项公式.（8分）

[解]（1）选取a1 (x,2)，Y中与a1垂直的元素必有形式( 1,b). ……2分 所以x=2b，从而x=4. ……4分 （2）证明：取a1 (x1,x1) Y.设a2 (s,t) Y满足1 2 0.

由(s t)x1 0得s t 0，所以s、t异号.

因为-1是X中唯一的负数，所以s、t中之一为-1，另一为1，

故1 X. ……7分 假设xk 1，其中1 k n，则0 x1 1 xn.

选取a1 (x1,xn) Y，并设a2 (s,t) Y满足1 2 0，即sx1 txn 0， 则s、t异号，从而s、t之中恰有一个为-1. 若s=-1，则2，矛盾；

若t=-1，则xn sx1 s xn，矛盾.

所以x1=1. ……10分

（3）[解法一]猜测xi qi 1，i=1, 2, …, n. ……12分 记Ak { 1,1,x2, ,xk}，k=2, 3, …, n. 先证明：若Ak 1具有性质P，则Ak也具有性质P.

任取1 (s,t)，s、t Ak.当s、t中出现-1时，显然有a2满足a1 a2 0； 当s 1且t 1时，s、t≥1.

因为Ak 1具有性质P，所以有a2 (s1,t1)，s1、t1 Ak 1，使得a1 a2 0，

从而s1和t1中有一个是-1，不妨设s1=-1.

假设t1 Ak 1且t1 Ak，则t1 xk 1.由(s,t) ( 1,xk 1) 0，得s txk 1 xk 1，与

s Ak矛盾.所以t1 Ak.从而Ak也具有性质P. ……15分

现用数学归纳法证明：xi qi 1，i=1, 2, …, n. 当n=2时，结论显然成立；

假设n=k时，Ak { 1,1,x2, ,xk}有性质P，则xi qi 1，i=1, 2, …, k； 当n=k+1时，若Ak 1 { 1,1,x2, ,xk,xk 1}有性质P，则Ak { 1,1,x2, ,xk} 也有性质P，所以Ak 1 { 1,1,q, ,qk 1,xk 1}.

取1 (xk 1,q)，并设2 (s,t)满足a1 a2 0，即xk 1s qt 0.由此可得s与t中有且

只有一个为-1.

若t 1，则1，不可能；

所以s 1，xk 1 qt q qk 1 qk，又xk 1 qk 1，所以xk 1 qk. 综上所述，xi qi 1xi qi 1，i=1, 2, …, n. ……18分 [解法二]设1 (s1,t1)，2 (s2,t2)，则a1 a2 0等价于

s11

t2

2

.

记B |s X,t X,|s| |t|}，则数集X具有性质P当且仅当数集B关于 t

原点对称. ……14分

注意到-1是X中的唯一负数，B ( ,0) { x2, x3, , xn}共有n-1个数， 所以B (0, )也只有n-1个数. 由于

xnxn 1

xnxn 2

xnx2

xnx1

，已有n-1个数，对以下三角数阵

xnxn 1

xn 1xn 2x2x1

xnxn 2

xn 1xn 3

xnx2

xn 1x1

xnx1

……

注意到

xnx1

x

，所以

xnxn 1

xn 1x1

x2x1

xn 1xn 2

x2x1

，从而数列的通项公式为

2k 1

) qk 1，k=1, 2, …, n. ……18分 xk x1(x1

2012上海高考数学试题（理科）答案与解析

一．填空题 1．计算：

3-i

=（i为虚数单位）. 1+i

【答案】1-2i 【解析】

3-i(3-i)(1-i)2-4i===1-2i. 1+i(1+i)(1-i)2

【点评】本题着重考查复数的除法运算，首先，将分子、分母同乘以分母的共轭复数，将分母实数化即可.

2．若集合A {x|2x 1 0}，B {x||x 1| 2}，则A B 【答案】

1

,3 2

1

，由x 1 2,得到, 1 x 3，所以 2

【解析】根据集合A 2x 1 0，解得x

1

A B ,3 .

2

【点评】本题考查集合的概念和性质的运用，同时考查了一元一次不等式和绝对值不等式的解法.解决此类问题，首先分清集合的元素的构成，然后，借助于数轴或韦恩图解决.

2　　　cosx

3．函数f(x) 的值域是.

sinx　　 1

【答案】

53 , 22

1

2x 1，所以sin2x 2，因为 1 sin

2

xcosx 2 【解析】根据题目f(x) sin

53

f(x) . 22

【点评】本题主要考查行列式的基本运算、三角函数的范围、二倍角公式，属于容易题，难度较小.考纲中明确要求掌握二阶行列式的运算性质.

4．若 ( 2,1)是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）.

【答案】arctan2

【解析】设直线的倾斜角为 ，则tan 2, arctan2.

【点评】本题主要考查直线的方向向量、直线的倾斜角与斜率的关系、反三角函数的表示.直线的倾斜角的取值情况一定要注意，属于低档题，难度较小. 5．在(x

26

)的二项展开式中，常数项等于x

【答案】 160

【解析】根据所给二项式的构成，构成的常数项只有一项，就是T4 C6x( ) 160 .

【点评】本题主要考查二项式定理.对于二项式的展开式要清楚，特别注意常数项的构成.属于中档题. 6．有一列正方体，棱长组成以1为首项、则lim(V1 V2 Vn) n

33

2x

3

1

为公比的等比数列，体积分别记为V1，V2， ，Vn， ，2

【答案】

8 7

1

为公比的等比数列，可知它们的体积则组成了一个以12

【解析】由正方体的棱长组成以1为首项，

为首项，

1

为公比的等比数列，因此，lim(V1 V2 Vn)

n 8

11 1

8

8 . 7

【点评】本题主要考查无穷递缩等比数列的极限、等比数列的通项公式、等比数列的定义.考查知识较综合.

7．已知函数f(x) e

|x a|

（a为常数）.若f(x)在区间[1, )上是增函数，则a的取值范围是

【答案】 ,1

【解析】根据函数f(x) e

x a

x a e,x a x a看出当x a时函数增函数，而已知函数f(x)在区间

,x a e

1, 上为增函数，所以a的取值范围为： ,1 .

【点评】本题主要考查指数函数单调性，复合函数的单调性的判断，分类讨论在求解数学问题中的运用.本题容易产生增根，要注意取舍，切勿随意处理，导致不必要的错误.本题属于中低档题目，难度适中.

8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2 的半圆面，则该圆锥的体积为【答案】

3 3

12

2

【解析】根据该圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，根据条件得到 l 2 ，解得母线长l 2，

1132 r l 2 ,r 1所以该圆锥的体积为：V圆锥 Sh 22 12 .

333

【点评】本题主要考查空间几何体的体积公式和侧面展开图.审清题意，所求的为体积，不是其他的量，分清图形在展开前后的变化；其次，对空间几何体的体积公式要记准记牢，属于中低档题. 9．已知y f(x) x2是奇函数，且f(1) 1，若g(x) f(x) 2，则g( 1) 【答案】 1

【解析】因为函数y f(x) x2为奇函数，所以g(1) f(1) 2,又f(1) 1,所以，g(1) 3,

f( 1) 3,g( 1) f( 1) 2 3 2 1 .f( 1) f(1).

【点评】本题主要考查函数的奇偶性.在运用此性质解题时要注意：函数y f(x)为奇函数，所以有

f( x) f(x)这个条件的运用，平时要加强这方面的训练，本题属于中档题，难度适中.

10．如图，在极坐标系中，过点M(2,0)的直线l与极轴的夹角

6

，

若将l的极坐标方程写成 f( )的形式，则f( ) .

【答案】

1sin(

6

)

1

(x 2)，将此化成极坐2

【解析】根据该直线过点M(2,0)，可以直接写出代数形式的方程为：y

标系下的参数方程即可 ，化简得f( )

1sin(

6

.

)

【点评】本题主要考查极坐标系，本部分为选学内容，几乎年年都有所涉及，题目类型以小题为主，复习时，注意掌握基本规律和基础知识即可.对于不常见的曲线的参数方程不作要求.本题属于中档题，难度适中.

11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）. 【答案】

2 3

2. 3

【解析】一共有27种取法，其中有且只有两个人选择相同的项目的取法共有18种，所以根据古典概型得到此种情况下的概率为

【点评】本题主要考查排列组合概率问题、古典概型.要分清基本事件数和基本事件总数.本题属于中档题.

12．在平行四边形ABCD中， A

3

，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、

CD【答案】 2,5

AM AN的取值范围是.

【解析】以向量AB所在直线为x轴，以向量AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，因

51

A(0,0),B(2,0),C(,1)D(,1). 设

22

1515515151 N(x,1)( x ),则BM CN , CN -x , BM -x , M(2 x,( x)sin).

22224284423

为

AB 2,AD 1

，所以

根据题意，有AN (x,1),AM (

21x53 2x

,). 848

21x53 2x 15

所以AM AN x( ) x ，所以2 AM AN 5.

8482 2

【点评】本题主要考查平面向量的基本运算、概念、平面向量的数量积的运算律.做题时，要切实注意条件的运用.本题属于中档题，难度适中.

13．已知函数y f(x)的图象是折线段ABC，其中A(0,0)、B(,5)、C(1,0)， 函数y xf(x)（0 x 1）的图象与x轴围成的图形的面积为 . 【答案】

12

5 4

11 2

10x,0 x 10x,0 x 22

【解析】根据题意得到，f(x) 从而得到y xf(x)

10x 10,1 x 1 10x2 10x,1 x 1 2 2

所以围成的面积为S

1

20

10xdx 1( 10x2 10x)dx

2

1

55

，所以围成的图形的面积为 .

44

【点评】本题主要考查函数的图象与性质，函数的解析式的求解方法、定积分在求解平面图形中的运用.突出体现数形结合思想，本题综合性较强，需要较强的分析问题和解决问题的能力，在以后的练习中加强这方面的训练，本题属于中高档试题，难度较大.

14．如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC 2，若AD 2c， 且AB BD AC CD 2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最 大值是 . 【答案】

2

ca2 c2 1 3

【解析】据题AB BD AC CD 2a，也就是说，线段AB BD与线段AC CD的长度是定值，因为棱AD与棱BC互相垂直，当BC 平面ABD时，此时有最大值，此时最大值为：

2

ca2 c2 1. 3

【点评】本题主要考查空间四面体的体积公式、空间中点线面的关系.本题主要考虑根据已知条件构造

体积表达式，这是解决问题的关键，本题综合性强，运算量较大.属于中高档试题. 二、选择题（20分） 15．若1

2i是关于x的实系数方程x2 bx c 0的一个复数根，则（ ）

A．b 2,c 3 B．b 2,c 3 C．b 2,c 1 D．b 2,c 1 【答案】 B

【解析】

根据实系数方程的根的特点1 也是该方程的另一个根，所以

1 2i 1 2i 2 b，即b 2，(1 2i)(1 2i) 3 c，故答案选择B.

【点评】本题主要考查实系数方程的根的问题及其性质、复数的代数形式的四则运算，属于中档题，注重对基本知识和基本技巧的考查，复习时要特别注意.

16．在 ABC中，若sinA sinB sinC，则 ABC的形状是（ ）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】C

【解析】由正弦定理，得

2

2

2

abc sinA, sinB, sinC,代入得到a2 b2 c2， 2R2R2R

a2 b2 c2

0，所以C为钝角，所以该三角形为钝角三角形.故选择由余弦定理的推理得cosC

2ab

A.

【点评】本题主要考查正弦定理及其推理、余弦定理的运用.主要抓住所给式子的结构来选择定理，如果出现了角度的正弦值就选择正弦定理，如果出现角度的余弦值就选择余弦定理.本题属于中档题.

17．设10 x1 x2 x3 x4 104，x5 105，随机变量 1取值x1、x2、x3、x4、x5的概率均为

0.2，随机变量 2取值

x1 x2x2 x3x3 x4x4 x5x5 x1

的概率也均为0.2，若记22222

D 1、D 2分别为 1、 2的方差，则（ ）

A．D 1 D 2 B．D 1 D 2

C．D 1 D 2 D．D 1与D 2的大小关系与x1、x2、x3、x4的取值有关 【答案】 A

【解析】 由随机变量 1, 2的取值情况，它们的平均数分别为：x1

1

(x1 x2 x3 x4 x5),，5

1 x xx xx xx xx x

x2 12 23 34 45 51 x1,

5 22222

且随机变量 1, 2的概率都为0.2，所以有D 1＞D 2. 故选择A.

【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差公式.记牢公式是解决此类问题的前提和基础，本题属于中档题. 18．设an

1n

sin，Sn a1 a2 an，在S1,S2, ,S100中，正数的个数是（ ） n25

A．25 B．50 C．75 D．100 【答案】C

【解析】依据正弦函数的周期性，可以找其中等于零或者小于零的项.

【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题主要找到规律，从题目出发可以看出来相邻的14项的和为0，这就是规律，考查综合分析问题和解决问题的能力. 三、解答题（本大题共有5题，满分74分）

19．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形， PA⊥底面ABCD，E是PC的中点.已知AB=2， AD=22，PA=2.求：

（1）三角形PCD的面积；（6分）

（2）异面直线BC与AE所成的角的大小.（6分）

[解]（1）因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，又AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD， 从而CD⊥PD. ……3分 因为PD=2 (22) 2，CD=2，

所以三角形PCD的面积为1 2 2 23.

（2）[解法一]如图所示，建立空间直角坐标系， 则B(2, 0, 0)，C(2, 2,0)，E(1, 2, 1)，

(1,2,1)， (0,22,0). ……8 设与的夹角为 ，则

4 cos 2 22， =4. 2 由此可知，异面直线BC与AE所成的角的大小是 ……12分 4 [解法二]取PB中点F，连接EF、AF，则 EF∥BC，从而∠AEF（或其补角）是异面直线 BC与AE所成的角 ……8分

在 AEF中，由EF=2、AF=2、AE=2

知 AEF是等腰直角三角形，

所以∠AEF= . 4

2

2

y

因此异面直线BC与AE所成的角的大小是 ……12分 4

【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．综合考查空间中两条异面直线所成的角的求解，同时考查空间几何体的体积公式的运用.本题源于《必修2》立体几何章节复习题，复习时应注重课本，容易出现找错角的情况，要考虑全面，考查空间想象能力，属于中档题．

20．已知函数f(x) lg(x 1).

（1）若0 f(1 2x) f(x) 1，求x的取值范围；（6分）

（2）若g(x)是以2为周期的偶函数，且当0 x 1时，有g(x) f(x)，求函数

y g(x)(x [1,2])的反函数.（8分）

2 2x 0

[解]（1）由 ，得 1 x 1.

x 1 0

2x

由0 lg(2 2x) lg(x 1) lg2 1得1 2x 21x 10. ……3分 因为x 1 0，所以x 1 2 2x 10x 10， 2. x 1

1 x 1

由 2得 2. ……6分 x 1

331

x 3 3

（2）当x [1,2]时，2-x [0,1]，因此

y g(x) g(x 2) g(2 x) f(2 x) lg(3 x). ……10分 由单调性可得y [0,lg2].

因为x 3 10，所以所求反函数是y 3 10x，x [0,lg2]. ……14分

【点评】本题主要考查函数的概念、性质、分段函数等基础知识．考查数形结合思想，熟练掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质，属于中档题．

21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴 正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海 里A处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线 y x2；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救 49援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为.

（1）当t 0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时

两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）

（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8[解]（1）t 0.5时，P的横坐标xP=7t 由|AP|=

72

y

，代入抛物线方程y

中，得P的纵坐标yP=3. ，得救援船速度的大小为海里/时. ……4分

7 由tan∠OAP=3 12 7307

，得∠OAP=arctan30，故救援船速度的方向

7

为北偏东arctan弧度. ……6分

（2）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为(7t,12t). 由vt 因为t2

2

2

(7t)2 (12t2 12)2，整理得v2 144(t2 12) 337.……10分

t

t2

2，当且仅当t=1时等号成立，

2

所以v 144 2 337 25，即v 25.

因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船. ……14分 22．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1:2x y 1.

（1）过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成 的三角形的面积；（4分）

（2）设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点，若l与圆x y 1相切，求证： OP⊥OQ；（6分）

（3）设椭圆C2:4x y 1. 若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON， 求证：O到直线MN的距离是定值.（6分） [解]（1）双曲线C1:

x2

122

22

22

y2 1，左顶点A(

2

,0)，渐近线方程：y 2x.

2(x

2

过点A与渐近线y 2x平行的直线方程为y )，即y 2x 1.

y 2x x

解方程组 ，得 1

y 2x 1 y 2

4

. ……2分

28

所以所求三角形的面积1为S 1|OA||y| 2 故

|b|2

. ……4分

（2）设直线PQ的方程是y x b.因直线与已知圆相切，

1，即b2 2. ……6分

由

y x b22

，得x 2bx b 1 0. 22

2x y 1

x1 x2 2b

设P(x1, y1)、Q(x2, y2)，则 . 2

xx b 1 12

又2，所以

x1x2 y1y2 2x1x2 b(x1 x2) b2

2( b2 1) b 2b b2 b2 2 0，

故OP⊥OQ. ……10分

（3）当直线ON垂直于x轴时， |ON|=1，|OM|=

22

，则O到直线MN的距离为

23

.

当直线ON不垂直于x轴时，

设直线ON的方程为y kx（显然|k|

2 y kx x

由 2，得 2

2

4x y 1 y

2

同理|OM|

1 k22k2 1

），则直线OM的方程为y 1x. 1 k2

4 k2

14 k2k24 k2

2

，所以|ON|

.

. ……13分

2

2

2

2

2

3k2 3k2 1

设O到直线MN的距离为d，因为(|OM| |ON|)d |OM||ON|， 所以d12

1|OM|2

1 |ON |2

3，即d=

.

综上，O到直线MN的距离是定值. ……16分

【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系、椭圆的标准方程和圆的有关性质.特别要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲线，它的离心率为2，它的渐近线为y x，并且相互垂直，这些性质的运用可以大大节省解题时间，本题属于中档题 ．

23．对于数集X { 1,x1,x2, ,xn}，其中0 x1 x2 xn，n 2，定义向量集

Y | (s,t),s X,t X}. 若对于任意a1 Y，存在a2 Y，使得a1 a2 0，则称X 具有性质P. 例如X { 1,1,2}具有性质P.

（1）若x＞2，且{ 1,1,2,x}，求x的值；（4分）

（2）若X具有性质P，求证：1 X，且当xn＞1时，x1=1；（6分）

（3）若X具有性质P，且x1=1，x2=q（q为常数），求有穷数列x1,x2, ,xn的通 项公式.（8分）

[解]（1）选取a1 (x,2)，Y中与a1垂直的元素必有形式( 1,b). ……2分 所以x=2b，从而x=4. ……4分 （2）证明：取a1 (x1,x1) Y.设a2 (s,t) Y满足a1 a2 0. 由(s t)x1 0得s t 0，所以s、t异号.

因为-1是X中唯一的负数，所以s、t中之一为-1，另一为1，

故1 X. ……7分 假设xk 1，其中1 k n，则0 x1 1 xn.

选取1 (x1,xn) Y，并设2 (s,t) Y满足a1 a2 0，即sx1 txn 0， 则s、t异号，从而s、t之中恰有一个为-1. 若s=-1，则2，矛盾；

若t=-1，则xn sx1 s xn，矛盾.

所以x1=1. ……10分

（3）[解法一]猜测xi qi 1，i=1, 2, …, n. ……12分 记Ak { 1,1,x2, ,xk}，k=2, 3, …, n. 先证明：若Ak 1具有性质P，则Ak也具有性质P.

任取a1 (s,t)，s、t Ak.当s、t中出现-1时，显然有2满足1 2 0； 当s 1且t 1时，s、t≥1.

因为Ak 1具有性质P，所以有a2 (s1,t1)，s1、t1 Ak 1，使得a1 a2 0，

从而s1和t1中有一个是-1，不妨设s1=-1.

假设t1 Ak 1且t1 Ak，则t1 xk 1.由(s,t) ( 1,xk 1) 0，得s txk 1 xk 1，与

s Ak矛盾.所以t1 Ak.从而Ak也具有性质P. ……15分

现用数学归纳法证明：xi qi 1，i=1, 2, …, n. 当n=2时，结论显然成立；

假设n=k时，Ak { 1,1,x2, ,xk}有性质P，则xi qi 1，i=1, 2, …, k； 当n=k+1时，若Ak 1 { 1,1,x2, ,xk,xk 1}有性质P，则Ak { 1,1,x2, ,xk} 也有性质P，所以Ak 1 { 1,1,q, ,qk 1,xk 1}.

取a1 (xk 1,q)，并设a2 (s,t)满足1 2 0，即xk 1s qt 0.由此可得s与t中有且

只有一个为-1.

若t 1，则1，不可能；

所以s 1，xk 1 qt q qk 1 qk，又xk 1 qk 1，所以xk 1 qk. 综上所述，xi qi 1xi qi 1，i=1, 2, …, n. ……18分 [解法二]设a1 (s1,t1)，a2 (s2,t2)，则a1 a2 0等价于

s1t1

t2

s

2

.

记B s|s X,t X,|s| |t|}，则数集X具有性质P当且仅当数集B关于 t

原点对称. ……14分

注意到-1是X中的唯一负数，B ( ,0) { x2, x3, , xn}共有n-1个数， 所以B (0, )也只有n-1个数. 由于

xnn 1

xnn 2

xn2

xn1

，已有n-1个数，对以下三角数阵

xnxn 1

xn 1xn 2x2x1

xnxn 2

xn 1xn 3

xnx2

xn 1x1

xnx1

……

注意到

xnx1

，所以

xnxn 1

xn 1x1

x2x1

xn 1xn 2

x2x1

，从而数列的通项公式为

x2k 1k 1

x x() q k，k=1, 2, …, n. ……18分 1x1

【点评】本题主要考查数集、集合的基本性质、元素与集合的关系等基础知识，本题属于信息给予题，

通过定义“X具有性质P”这一概念，考查考生分析探究及推理论证的能力．综合考查集合的基本运算，集合问题一直是近几年的命题重点内容，应引起足够的重视．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/oc04.html