3机械能和功习题思考题

习题3

3-1．如图，一质点在几个力作用下沿半径为

R 20m的圆周运动，其中有一恒力F 0.6

iN，求质点从A开始沿逆时针方向经

3/4圆周到达B的过程中，力F所做的功。

解：本题为恒力做功，考虑到B的坐标为（ R，

R）

， ∴ r r r

BA 20i 20j，再利用：A F r ，

A 0.6 i ( 20 i 20

有：j) 12（焦

耳）

3-2．质量为m=0.5kg的质点，在xOy坐标平面内运动，其运动方程为x=5t2,y=0.5(SI),从t=2s到t=4s这段时间内，外力对质点的功为多少？ 解：由功的定义：

A F r

，题意：

r

5t2 i 0.5 j

r

2 4 r(4) r(2) 60i，

md2F r

dt

2 0.5 10i 5i

∴A 5 i 60

i 300J。

3-3．劲度系数为k的轻巧弹簧竖直放置，下端悬一小球，球的质量为m，开始时弹簧为原长而小球恰好与地接触。今将弹簧上端缓慢提起，直到小球能脱离地面为止，求此过程中外力的功。

解：由于小球缓慢被提起，所以每时刻可看成外力

与弹性力相等， 则：F

kx，选向上为正向。

当小球刚脱离地面时：

xmax

mgk

， 由

做

功

的

A

xmax

mg0

kxdx 1

kx2

k m2g22

2k

。

3-4．如图，一质量为m的质点，在半径为R的半球形容器中，由静止开始自边缘上的A点滑下，到达最低点B时，它对容器的正压力数值为N，求质点自A滑到B的过程中，摩擦力对其做的功。

分析：

Af

直接求解显然有困难，所以使用动能定

理，那就要知道它的末速度的情况。

解：求在B点的速度：N G m

v2

R

，

可得：

121

2mv 2

(N G)R 由动能定理： mgR A12

f 2

mv 0

∴

A 11

f2(N G)R mgR 2

(N 3mg)R

3-5．一弹簧并不遵守胡克定律，其弹力与形变的关系

2

为F ( 52.8x 38.4x)i，其中F和x单位分别为N和m。

（1）计算当将弹簧由x1 0.522m拉伸至x2 1.34m过程中，外力所做之功；

（2）此弹力是否为保守力? 解：（1）由做功的定义可知：

x2

x、y、z的单位为m，F的单位为N。

解：（1）由力和势能的关系：F EP有： F (i j k)( ax2 bxy cz) (2

x y z

（2）由于该力场是有势场，那么力是保守力，保守力做功与路径无关，所以可取一个比较简单的积分路径：

1.34 2r xi yj zk，则：

A F dx ( 52.8x 38.4x)dx

x10.522 (3，3，3) (3，3，3)

A F dr [(2ax by)i bxj ck

(0，0，0)(0，0，0)2233

26.4(x2 x1) 12.6(x2 x1) 69.2J

30

(3，3，3) [(2ax by)dx bxdy cdz] ax2（2）∵F(x) F(x)i，按保守力的定义： (0，0，0)

B A

F(x) dl F(x)i dr F(x)i dr A B

3-8．轻弹簧AB的上端A固定，下端B悬挂质

l0，BB m的重物。 量为已知弹簧原长为劲度系数为k，

F(x)i (dxi dyj dzk) F(x)i(dxi dyj dzk) 0AA重物在O点达到平衡，此时弹簧伸

长了x0，如图所示。取x轴向下为∴该弹力为保守力。

b

3-6．一质量为

O ；力的平衡位置O。若取原点2

F (ati btj)的作用下，由静止开始运动，为重力势能和弹性势能的势能零点，求在任一时刻t此力所做功的功率为多少。 试分别计算重物在任一位置P时系

统的总势能。

解：由P F v，要求功率就必须知道力和速度

解：（1）取弹簧原长位置O'为重力势能和弹性势能的情况，由题意：

的势能零点，则重物在任一位置P时系统的总势能： 13 F111 22

v dt (ati btj)dt (ati btj)1

mmm23(x x0) k(x x0)2， EP mg

2所以功率为：

（2）取力的平衡位置O为重力势能和弹性势能的势

P F v能零点，则重物在任一位置P时系统的总势能： 11 1 1123125112 (ati bt2j) (at2i bt3j) (at bt （kx x） kx02，P0

m23m2322

。

而mg kx0

3-7．一质点在三维力场中运动．已知力场的势能函数为：Ep

∴

m

的物体，在力

正，且坐标原点位于：弹簧原长位置

ax bxy cz。

（1）求作用力F；（2）当质点由原点运动到x 3、y 3、z 3位置的过程中，试任选一路径，计算上述力所做的功。其中Ep的单位为J，

2

1112

EP mgx （kx x0） kx02 kx2

222

。

3-9．在密度为

1的液面上方，悬挂一根长为l，密

度为 2的均匀棒AB，棒的B端刚和液面接触如

图所示，今剪断细绳，设细棒只在浮力和重力作用下运动，在

1

2

2 1的条件下，求细棒下落

过程中的最大速度vmax，以及细棒能进入液体的最大深度H

。

解：（1）分析可知，棒下落的最大速度是受合力为零的时候， 所以：G

F浮，即 2lsg 1hsg ，则：

h

2

l。 1

利用功能原理：

mgh 1

2

mv2 A浮，有：

12

sglh h2slvmax2

20 1gsydy

可解得：vmax （2）当均匀棒完全进入液体中时，浮力不变，到最大深度H时，速度为零，设：

H l h'，由能

量守恒有：

l2lsgH 0

1ysgdy 1lsgh'，

即

：

l2lsgH0

ysgdy lsg(H l)

∴H

1l

2(。

1 2)

3-10．若在近似圆形轨道上运行的卫星受到尘埃的微弱空气阻力

f

的作用，设阻力与速度的大小成正比，

比例系数k为常数，即f kv，

试求质量为m的卫星，开始在离地心r0 4R（R为地球半径）陨落到地面所需的时间。 解：根据题意，假设在离地心r0

4R处质点的速

度为v1，地面上的速度为v2，万有引力提供卫星向

心力：mv2r GMm

0r2，

∴v2

rv 0R

2 1再由动量定理：

fdt mdv，有：

kvdt mdv

分离变量取积分，可得：

t

v2

mdv mlnv2v m

ln2。 1

1

3-11．一链条放置在光滑桌面上，用手揿住一端，另一端有四分之一长度由桌边下

垂，m

设链条长为L，质量为

，试问将链条全部拉上桌面要做多少功？ 解：直接考虑垂下的链条的质心位置变化，来求做功，则：

A E111

P

4mg 8l 32

mgl

3-12．起重机用钢丝绳吊运质量为

m的物体时以速率

v0匀速下降，当起重机突然刹车时，因物体仍有惯

性运动使钢丝绳有微小伸长。设钢丝绳劲度系数为k，

求它伸长多少?所受拉力多大?(不计钢丝绳本身质量)

解：当起重机忽然刹车时，物体的动能将转换为钢丝

112

绳的弹性势能，由mv0 kx2，可得：

22

mx v0，

k

（这里，由于是微小伸长，因伸长而引起重力势能的降低可以忽略不计）

分析物体的受力，可得到绳子的拉力为

：

；

（2）若选取地面处势能为零，计算无穷远处的势能为：

Re Re1 1E F dr Gmem 2 dr Gmem

∴两种情况下势能差是完全一样的。

3-15．试证明在离地球表面高度为h(h质量为

T mg kx mg 0。

3-13．在光滑水平面上，平放一轻弹簧，弹簧一端固

m的质点所具有的引力势能近似可表示为

Re)处，

mgh。

解：∵万有引力的势能函数表达式为

A、A边上再放一物体B，

它们质量分别为mA和mB，弹簧劲度系数为k，原长为l．用力推B，使弹簧压缩x0，然后释放。

定，另一端连一物体求：

EP G0ERe G0

Mm

，（以无穷远处为势能零点），且r

表面处的势

能为：

此时地球

A与B开始分离时，它们的位置和速度；

（2）分离之后，A还能往前移动多远? 解：（1）当A与B开始分离时，两者具有相同的速度，但A的加速度为零，此时弹簧和B都不对A产

（1）当

生作用力，即为弹簧原长位置时刻，根据能量守恒，可得到：

Mm

mgRe，在离地球表面Re

高度为h(h Re)处，质量为m的质点所具有

的引力势能为：

v

11

(mA mB)v2 kx02，有：22k

x0，x l；

mA mB

G0

MmMmM

G0(R h) Ge0

(Re h)(Re h)2R

，

如果以地面作为零电势处，则质点所具有的引力势能近似可表示为：

（2）分离之后，能，所以：

A的动能又将逐渐的转化为弹性势

，

则

：

EP mgRe [ mg(Re h)] mgh

。

思考题3

3-1．求证：一对内力做功与参考系的选择无关。 证：对于系统里的两个质点而言，一对内力做功可表示为：

112

mAv2 kxA

22

xA 。

3-14．已知地球对一个质量为

A f1 dr1 f2 dr2，

m的质点的引力为

Gmm

F 3er（me,Re为地球的质量和半

r

径)。（1）若选取无穷远处势能为零，计算地面处的势能；（2）若选取地面处势能为零，计算无穷远处的势能．比较两种情况下的势能差． 解：（1）取无穷远处势能为零，地面处的势能为：

由于外力的存在，质点1和2的运动情况是不同的，虽然其内力相等而方向相反（

f1 f2），但

dr1 dr2，∴上式可写为：

1A=1

EP F dr Gmem 2 dr Gmem

ReRerRe

A f1 dr1 f2 dr2 f (dr1 dr2)

表明，内力的功与两个质点的相对位移有关，与参考系的选择无关。

3-2. 叙述质点和质点组动能变化定理，写出它们的表达式，指出定理的成立条件。

触面摩擦力做功，所以两个物体的总功不同，动能的增量就不相同。

3-4．按质点动能定理，下列式子：

x2

x1

Fxdx

1212mvx2 mvx1221212mvy2 mvy122

质点的动能变化定理：物体受外力F作用下，

y2

y1

Fydy

从A运动B，其运动状态变化，速度为vA变化到

vB，即动能变化。合外力对质点所做的功等于质点

动能的增量。

z2

z1

Fzdz

1212mvz2 mvz122

是否成立?这三式是否是质点动能定理的三个

B 分量式?试作分析。 1 1

AA B f dr mvB2 mvA2 EKB EKA

A答：不成立，因为功是标量，不分方向，没有必要22

质点系的动能定理：质点系总动能的增量等于外力的功与质点系内保守力的功和质点系内非保守力的功三者之和。即质点系总动能的增量等于外力和内力做功之和。

公

式

表

达

：

这么写。

3-5．在劲度系数为k的弹簧下，如将质量为

m的

物体挂上慢慢放下，弹簧伸长多少?如瞬间挂上让其自由下落弹簧又伸长多少?

Ae

，x

A

，

C EKA

m的物体挂上慢慢放下，弹簧伸长

mg

为mg kx，所以x ；

k

答：如将质量为

如瞬间挂上让其自由下落，弹簧伸长应满足能量守恒：mgx

3-3．A和B两物体放在水平面上，它们受到的水平恒力F一样，位移滑，另一个粗糙．能增量是否一样?

答：根据功的定义：

s也一样，但一个接触面光

F力做的功是否一样?两物体动

A F r

1

kx2，所以 22mg

。 x k

3-6．试根据力场的力矢量分布图判断哪些力场一定

所以当它们受到的水平恒力F一样，位移也一样时，两个功是相等的；

s

是非保守的? 积分必定不为零

但由于光滑的接触面摩擦力不做功，粗糙的接

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