2016年全国高中数学联合竞赛试卷与解答（A卷）

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2016年全国高中数学联合竞赛一试（A卷）

说明：

1. 评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分

标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．

2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分

档次给分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分一个档次，不要增加其他中间档次．

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分

1．设实数a满足a?9a3?11a?|a|，则a的取值范围是 2．设复数z,w满足|z|?3，(z?w)(z?w)?7?4i，其中i是虚数单位，z,w分别表示z,w的共轭复数，则(z?2w)(z?2w)的模为

3．正实数u,v,w均不等于1，若loguvw?logvw?5，logvu?logwv?3，则logwu的值为 4．袋子A中装有2张10元纸币和3张1元纸币，袋子B中装有4张5元纸币和3张1元纸币．现随机从

两个袋子中各取出两张纸币，则A中剩下的纸币面值之和大于B中剩下的纸币面值之和的概率为 5．设P为一圆锥的顶点，A，B，C是其底面圆周上的三点，满足?ABC=90°，M为AP的中点．若AB=1，AC=2，AP?2，则二面角M—BC—A的大小为

46．设函数f(x)?sinkxkx?cos4，其中k是一个正整数．若对任意实数a，均有1010{f(x)|a?x?a?1}?{f(x)|x?R}，则k的最小值为

y2?1，左、右焦点分别为F1、F2，过点F2作直线与双曲线C的右半支交于7．双曲线C的方程为x?32点P，Q，使得?F1PQ=90°，则?F1PQ的内切圆半径是 8．设a1,a2,a3,a4是1，2，…，100中的4个互不相同的数，满足

122222(a1?a2?a3)(a2?a3?a4)?(a1a2?a2a3?a3a4)2

则这样的有序数组(a1,a2,a3,a4)的个数为

二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

9．（本题满分16分）在?ABC中，已知AB?AC?2BA?BC?3CA?CB．求sinC的最大值．

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10．（本题满分20分）已知f(x)是R上的奇函数，f(1)?1，且对任意x?0，均有f(求f(1)f(

x)?xf(x)． x?11111111)?f()f()?f()f()?…?f()f()的值． 100299398505111．（本题满分20分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，F是x轴正半轴上的一个动点．以F为焦点，O为顶点作抛物线C．设P是第一象限内C上的一点，Q是x轴负半轴上一点，使得PQ为C的切线，且｜PQ｜=2.圆C1,C2均与直线OP相切于点P，且均与轴相切．求点F的坐标，使圆C1与C2的面积之和取到最小值．

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2016年全国高中数学联合竞赛加试

22一、（本题满分40分）设实数a1,a2,…,a2016满足9ai?11ai2求(a1?a2)。,2,…,2015)(a2?a3)…?1(i?12(a2015?a2016)(a2016?a12)的最大值。

二、（本题满分40分）如图所示，在?ABC中，X，Y是直线BC上两点（X，B，C，Y顺次排列），使得BX?AC?CY?AB。

设?ACX，?ABY的外心分别为O1，O2，直线O1O2与AB，AC分别交于点U，V。 证明：?AUV是等腰三角形。

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三、（本题满分50分）给定空间中10个点，其中任意四点不在一个平面上，将某些点之间用线段相连，若得到的图形中没有三角形也没有空间四边形，试确定所连线段数目的最大值。

四、（本题满分50分）设p与p?2均是素数，p?3。数列{an}的定义为a1?2，an?an?1???pan?1??，n??n?2,3,，…。这里?x?表示不小于实数x的最小整数。

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2016年全国高中数学联合竞赛一试（A卷）

参考答案及评分标准

说明：

3. 评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分

标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．

4. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分

档次给分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分一个档次，不要增加其他中间档次．

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分

1．设实数a满足a?9a3?11a?|a|，则a的取值范围是 答案：a?(?2310,?) 33解：由a?|a|可得a?0，原不等式可变形为

9a3?11a|a|1????1

aa2即?1?9a?11?1，所以a?(21042310,)．又a?0，故a?(?,?)． 93332．设复数z,w满足|z|?3，(z?w)(z?w)?7?4i，其中i是虚数单位，z,w分别表示z,w的共轭复数，则(z?2w)(z?2w)的模为 答案：65

解：由运算性质，7?4i?(z?w)(z?w)?|z|2?|w|2?(zw?zw)，因为|z|与|w|为实数，

22Re(zw?zw)?0，故|z|2?|w|2?7，zw?zw??4i，又|z|?3，所以|w|2?2，从而 (z?2w)(z?2w)?|z|2?4|w|2?2(zw?zw)?9?8?8i?1?8i

因此，(z?2w)(z?2w)的模为65．

3．正实数u,v,w均不等于1，若loguvw?logvw?5，logvu?logwv?3，则logwu的值为 答案：

4 5解：令loguv?a，logvw?b，则

logvu?··

11，logwv?，loguvw?loguv?loguv?logvw?a?ab ab

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