江苏省苏州市2012届高三数学二轮复习专题训练 8 解析几何

专题8 解析几何

一、填空题

例题1. 设圆C：x2?y2?4的一条切线与x轴、y轴分别交于点A,B，则AB的最小值为 ▲ ． 答：4

提示：方法一 取特殊的直线AB：横截距与纵截距相等。方法二不妨设切点P（第一象限），

?POA??,则?POB?

?2??,故AP?2tan?，BP?21tan?故AB=AP+BP?4

例题2. 过直线 l:y?3x上一点P作圆C:?x?3???y?1??2 的两条切线，若两切线关于

22则点 P 到圆心 C 的距离为 ▲ ． 直线 l 对称，答：10 提示：由圆的平面几何知识可得CP?l

例题3. 已知⊙A：x2?y2?1，⊙B: (x?3)2?(y?4)2?4，P是平面内一动点，过P作

E?PD⊙A、⊙B的切线，切点分别为D、E，若P答：

，则P到坐标原点距离的最小值为 ▲ ．

11 5提示：利用切线长公式求出点P的轨迹为直线3x?4y?11?0，故P到坐标原点距离的最小值为

11 5x2y2例题4. 已知F是椭圆C:2?2?1 (a?b?0)的右焦点，点P在椭圆C上，线段PF与

ab??12圆x?y?b相切于点Q，且PQ?QF，则椭圆C的离心率为 ▲ ．

422答：

5 3提示：设左焦点E，连接PE，由圆的切线可得OQ?PF，而OQ∥PF，故

PE?PF,?b2?(2a?b)2?4c2，?e?5。 3，0)作圆：

x2y2（备用题）过双曲线2?2?1(a?0,b?0)的左焦点F(?c,0)c(?ab

????1????????a2x?y?的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若OE?(OF?OP)，

2422则双曲线的离心率为 ．

e?10 2x2y2??1的左，右焦点分别为F1,F2,弦AB过F1，若?ABF2的内切圆的周例题5. 椭圆

2516长为?,A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则|y2?y1|= . 答：

5 3提示：利用S?BAF2?

11r(BA?BF2?AF2)?F2F1y2?y1 22例题6. 已知正方形ABCD的坐标分别是(?1,0),(0,1),(1,0)，动点M满足：(0,?1)，

kMB?kMD??答：22

1 则MA?MC? ▲ ． 2提示：设点M的坐标为(x,y)，∵kMB?kMD??1y?1y?11???． 整理，得，∴2xx2x2?y2?1（x?0），发现动点M的轨迹方程是椭圆，其焦点恰为A,C两点，所以2MA?MC?22

（备用）如图，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使点M与点F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是 .（填写“椭圆”、“双曲线”、“抛物线”和“圆”中的一种情况）

椭圆

xx2y2?y2?1的公共焦点为F1,F2,P是两曲线的一个交点, 例题7. 椭圆??1和双曲线362则?PF1F2的面积为 ▲

2

答：2

提示：先利用定义求PF1，PF2，再用余弦定理求得 cosP?

22例题8. 设椭圆C:x2?y2?1(a?b?0)的上顶点为A，椭圆C上两点P,Q在x轴上的射影分

ab1，最后用面积公式 33，过点A且与AF1垂直的直线与x轴交于21点B，?AF1B的外接圆为圆M． 若直线3x?4y?a2?0与圆M相交于E,F两点，且

4别为左焦点F1和右焦点F2，直线PQ的斜率为

????????1ME?MF?? a2，则椭圆方程为

222答：x?y?1

16122?b提示：由条件可知P??c,??a??b2? ?，Q???c,??a????13，所以得：e?。

22a?2c,b?3c，所以，A0,3c,F1??c,0?,B?3c,0?，从而M?c,0?。

????????a1半径为a，因为ME?MF?? a2，所以?EMF?120?，可得：M到直线距离为

22因为kPQ???22从而，求出c?2，所以椭圆方程为：x?y?1；

1612

x2y2例题9. 以椭圆2?2?1(a?b?0)的左焦点F(?c,0)为圆心，c为半径的圆与椭圆的左准

ab线交于不同的两点，则该椭圆的离心率的取值范围是 ▲ ．

答：(2,1) 2b2?c 提示：焦准距c2y2xF,F例题10. 已知12分别是双曲线2?2?1的左、右焦点，P为双曲线左支上任意一点，abPF22若的最小值为8a，则双曲线的离心率的取值范围为 . PF1答：(1,3]

2PF2?PF1+a??PF1?4a?8a，故PF提示：2=1?2a?c?a PF1PF1PF12

x2y2??1（?为锐角）的右焦点F，P是右支上任意一点，例题11. 已知双曲线22cos?sin?

以P为圆心，PF为半径的圆在右准线上截得的弦长恰好等于PF，则?= 答：

? 6提示：先利用双曲线的第二定义求出离心率，再求?

x2y2（备用题）已知椭圆的方程为2?2?1(a?b?0)，过椭圆的右焦点且与x轴垂直的直

ab线与椭圆交于P、Q两点，椭圆的右准线与x轴交于点M，若?PQM为正三角形，则椭圆的离心率等于 ▲ 答：

3提示：利用FM?3PF可得 3x2y2例题12. 设椭圆C:2?2?1(a?b?0)恒过定点A(1,2),则椭圆的中心到准线的距离的

ab最小值▲ 答：5?2

提示：令a2?m,b2?n，消元可得：椭圆的中心到准线的距离=f(m)，再求之

x2y2??1的左焦点，过P的直线l与椭圆交与A,B两点，若Q在直例题13.如果P为椭圆

259????????????????线l上,且满足|AP||QB|?|AQ||PB|，则点Q总在定直线 上．

答：x??25 4提示：取特殊的左准线，并取特殊点（-

25,0）验证之 4x2y2y22例题14. 已知椭圆 C1:2?2?1（a?b?0）与双曲线 C2:x??1有公共的焦

ab4点，C2的一条渐近线与以C1 的长轴为直径的圆相交于A,B两点.若C1 恰好将线段AB三

等分，则b2=__________________. 答：

1 2提示：直线AB为y?2x代入椭圆求弦长MN=

a1222，再用a?b?5可得b? 32（备用）例题15下图展示了一个由区间（0，k）（其k为一正实数)到实数集R上的映射

过程：区间（0，k）中的实数m对应线段AB上的点M，如图1;将线段AB围成一个离心

率为3的椭圆，使两端点A、B恰好重合于椭圆的一个短轴端点，如图2 ；再将这个椭圆2放在平面直角坐标系中，使其中心在坐标原点，长轴在X轴上，已知此时点A的坐标为（0，1)，如图3，在图形变化过程中，图1中线段AM的长度对应于图3中的椭圆弧ADM的长度.图3中直线AM与直线y= ?2交于点N(n,—2)，则与实数m对应的实数就是n，记作f(m)=n,

现给出下列命题：①.

象关于点(，0)对称；⑤f(m)=

；②是奇函数；③在定义域上单调递增；④.的图

时AM过椭圆右焦点.

其中所有的真命题是_______ (写出所有真命题的序号） ③、④、⑤

二、解答题

例15．平面直角坐标系xoy中，直线x?y?1?0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为6 （1）求圆O的方程；

（2）若直线l与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于D，E，当DE长最小时，求直线l的方程；

（3）设M，P是圆O上任意两点，点M关于ｘ轴的对称点为N，若直线MP、NP分别交于ｘ轴于点

（ｍ，０）和（ｎ，０），问ｍｎ是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由。

1解：⑴因为O点到直线x?y?1?0的距离为， ………………………2分

2 所以圆O的半径为(12故圆O的方程为x2?y2?2． ………………4分

xy⑵设直线l的方程为??1(a?0,b?0)，即bx?ay?ab?0，

abab111?2，即2?2?， ……………6分 由直线l与圆O相切，得ab2a2?b2)2?(62)?2， 2

11?)≥8， a2b2当且仅当a?b?2时取等号，此时直线l的方程为x?y?2?0．………10分 DE2?a2?b2?2(a2?b2)(⑶设M(x1,y1)，P(x2,y2)，则N(x1,?y1)，x12?y12?2，x22?y22?2，

xy?x2y1xy?x2y1,0)，m?12直线MP与x轴交点(12，

y2?y1y2?y1xy?x2y1xy?x2y1,0)，n?12直线NP与x轴交点(12， …………………14分

y2?y1y2?y1x1y2?x2y1x1y2?x2y1x12y22?x22y12(2?y12)y22?(2?y22)y12mn?????2，

y2?y1y2?y1y22?y12y22?y12故mn为定值2． …………………16分

例16．（本题满分16分）已知圆O：x2?y2?1，点P在直线l:2x?y?3?0上，过点P作圆O的两条切线，A,B为两切点，

(1) 求切线长PA的最小值，并求此时点P的坐标；

(2) 点M为直线y?x与直线l的交点，若在平面内存在定点N(不同于点M)，满足：对

于圆 O上任意一点Q，都有（3）求PA?PB的最小值； 解：（1）设点P(x0,y0)

QN为一常数，求所有满足条件的点N的坐标。 QMPA2?PO2?1?x0?y0?1?x0?(2x0?3)2?1?5x0?12x0?8

=5(x0?)?故当x0?22226524 56632，即P(,)时，PAmin? 5555（2）由题：??2x?y?3?0，M(1,1)

?y?x22设N(a,b)，Q(x1,y1)，满足x1?y1?1

QN2(x1?a)2?(y1?b)2则???(??0) QM2(x1?1)2?(y1?1)2整理得：2(a??)x1?2(b??)y1?(a?b?1?3?)?0，对任意的点Q都成立，可得

22

1????2?a???0???1?1???b???0解得 ，或a??a?1（舍） ??2?b?1?(a2?b2?1)?3????1??b?2?即点N(,)满足题意。

11222(PO2?1)?1) （3）PA?PB?PA?cos?APB?PA(2cos?APO?1)?(PO?1)(PO22222=PO?22922932??3t?PO?[,??)(t?)?1?t?[,??)上恒PO?,，令,而在22PO5tt552910414???3???1?? t595945463所以(PA?PB)min??，当P(,)时取得

5545大于0，故t?

x2y2例17．如图，正方形ABCD内接于椭圆2?2?1(a?b?0)，且它的四条边与坐标轴平

ab行，正方形MNPQ的顶点M，N在椭圆上，顶点P，Q在正方形的边AB上，且A，M都

在第一象限．

（I）若正方形ABCD的边长为4，且与y轴交于E，F两点，正方形MNPQ的边长为2． ①求证：直线AM与△ABE的外接圆相切； ②求椭圆的标准方程．

（II）设椭圆的离心率为e，直线AM的斜率为k，求证：2e?k是定值．

2?????????解：（Ⅰ）①依题意：A(2,2)，M(4,1)，E(0,?2)?AM?(2,?1),AE?(?2,?4)

????????? ?AM?AE?0?AM?AE ?3分

?AE为Rt?ABE外接圆直径?直线AM与?ABE的外接圆相切； ?5分

?42?42?1x2y2?ab??1． ?10分 ②由?解得椭圆标准方程为

161205??a2?b2?1 （Ⅱ）设正方形ABCD的边长为2s，正方形MNPQ的边长为2t，

x2y2 则A(s,s)，M(s?2t,t)，代入椭圆方程2?2?1得

ab?? ???1s?ts2s2????12s2(s?3t)b25t?s?aa2b22?e?1?2? ?14分 ??2214ta4t(s?2t)t??1??b2?s2(s?3t)22abt?st?s?2e2?k?2为定值． ?15分 ?(s?2t)?s2t ?k?

x2y2例18．（本题满分16分）如图，已知椭圆2?2?1(a?b?0)，左、右焦点分别为F1,F2，

ab右顶点为A，上顶点为B, P为椭圆上在第一象限内一点．

（1）若S?PF1F2?S?PAF2,求椭圆的离心率；

（2）若S?PF1F2?S?PAF2?S?PBF1，求直线PF1的斜率k； （3）若S?PAF2、S?PF1F2、S?PBF1成等差数列，椭圆的离心

y B F1 O F2 P A x

k率e??,1???，求直线PF1的斜率的取值范围.

解：（1）∵S?PF1F2=S?PAF2 ∴F1F2?F2A

1?4?1…………………………2′ 3的直线方程为y?k(x?c)， （2）设PF1 ∵S?PF1F2=S?PBF1

∵a-c=2c ∴e= ∴

1b?kc12kc…………………………4′ PF1·?PF1·2222k?1k?1 ∴b-kc=2kc

∴b=3kc

∵a=3c∴b=22c ∴k=(3)设S?PF1F2=t，则S?PAF2?∵P在第一象限 ∴k?

22…………………………7′ 3a?ct…………………………8′ 2cb c

b?kcS?PBF1S?PF1F2?k2?1?b?kc 2kc2kck2?1b?kc·t…………………………9′ 2kca?cb?kct?·t ∴2t=2c2kc ∴4kc?ak?ck?b?kc ∴k(6c?a)?b

b ∴k?…………………………11′

6c?abb1?。∴?e?1。 ∴

56c?ac11又由已知?e?1，∴?e?1。…………………………12′

44b2a2?c22 ∴k?=

36c2?12ac?a236c2?12ac?a2 ∴S?PBF1?m?11?e21?e2m?6e?1e? ==（令，∴）……13′ 22636e?12e?1(6e?1)m?12)2136?m?2m?16 == 2236mm1352(??1) =

36m2m11 ∵?e?1，∴?m?5。

421115?2。∴0?k2?∴?。

5m41?(∴0?k?

（备用）例19．如图，点A为圆形纸片内不同于圆心C的定点，动点M在圆周上，将纸片

15。…………………………16′ 2

折起，使点M与点A重合，设折痕m交线段CM于点N.现将圆形纸片放在平面直角坐标

xoy中，设圆C：?x?1?系

2?y2?4a2?a?1?,A?1,0?,记点N的轨迹为曲线E.

⑴证明曲线E是椭圆，并写出当a?2时该椭圆的标准方程；

⑵设直线l过点C和椭圆E的上顶点B，点A关于直线l的对称点为点Q，若椭圆E的离

?13?e??,?22??，求点Q的纵坐标的取值范围. 心率

解：（1）连结NA, 由题意知，直线m是线段MA的中垂线， ∴NA=NM, 而圆C的半径为2a ……………………2分 ∴NC+NA=NC+NM=CM=2a(常数)

∴动点N到两定点C, A的距离之和为常数2a， 所以，点N的轨迹是以定点C, A为焦点，长轴长为2a的椭圆

……………………4分

当a?2时，由于c?1，所以所求椭圆E的方程为

x2y2??143

……………………6分

x2y2?2?122(0,a?1) ?aa?1（2）椭圆E的方程为，其上顶点B

2y?a?1(x?1)， ……………………8分 l所以，直线的方程为

记点A(1,0)关于直线l的对称点

Q(x0,y0)

1?y0????x0?1a2?1?4a2?1?y0?a2?1(x0?1?1)y0??2a2则有?2， 解得：……………………11分；

?13?113e??,????22?，得2a2， ……………………12分 由

4a2?111113y0??4?t??t?224aaaa2，因为a?1, 则44， ∴，令∴u??t?t，∴

2u?[31,]164， ……………………14分

所以，点Q的纵坐标的取值范围是

3?y0?2 ……………………15分

（备用）例20．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2?y2?1与x轴正半轴的交点为F，AB为该圆的一条弦，直线AB的方程为x?m．记以AB为直径的圆为⊙C，记以点F为右焦点、

b为常数）的椭圆为D． 短半轴长为b（b?0，（1）求⊙C和椭圆D的标准方程；

（2）当b?1时，求证：椭圆D上任意一点都不在⊙C的内部；

（3）已知点M是椭圆D的长轴上异于顶点的任意一点，过点M且与x轴不垂直的直线交椭圆D于P、Q两点（点P在x轴上方），点P关于x轴的对称点为N，设直线QN

?????????交x轴于点L，试判断OM?OL是否为定值？并证明你的结论． 解：（1）圆心C(m,0)(?1?m?1) ，则⊙C的半径为r?1?m2 ．

从而⊙C的方程为(x?m)2?y2?1?m2． ………………………………2分

x2y2 椭圆D的标准方程为2?2?1． ………………………4分

b?1bx2（2）当b?1时，椭圆D的方程为?y2?1．

2x12x1222设椭圆D上任意一点S(x1,y1)，则?y1?1，y1?1?．

22x121?(x1?2m)2?1?m2 ………6分 因为SC?(x1?m)?y?(x1?m)?1?2222212≥1?m2?r2，

所以SC≥r．

从而椭圆D上的任意一点都不在在⊙C的内部． ………………………8分 ?????????（3）OM?OL?b2?1为定值． ……………………………………9分

证明如下：

设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则由题意，得N（x1，－y1），x1?x2，y1??y2． 从而直线PQ的方程为(y2?y1)x?(x2?x1)y?x2y1?x1y2?0． 令y＝0，得xM?x1y2?x2y1．

y2?y1又直线QN的方程为(y2?y1)x?(x2?x1)y?x2y1?x1y2?0． 令y＝0，得xL?x2y1?x1y2． ………………………………13分

y2?y122x12y12x2y2??1，2??1， 因为点P，Q在椭圆D上，所以2b?1b2b?1b2b2?12b2?1222从而x?b?1?2y1，x2?b?1?2y2，所以

bb212b2?122b2?1222(b?1?2y1)y2?(b?1?2y2)y12(b2?1)(y2?y12)bbxM?xL???b2?1 ． 2222y2?y1y2?y12?????????所以OM?OL?xM?xL?b2?1?定值． ……………………16分 x2

（备用）例21．（2012南京市一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A为椭圆＋92y2→→＝1的右顶点，点D(1，0)，点P，B在椭圆上，BP＝DA． 9

（1）求直线BD的方程；

（2）求直线BD被过P，A，B三点的圆C截得的弦长；

（3）是否存在分别以PB，PA为弦的两个相外切的等圆？若存在，求出这两个圆的方程；若不存在，请说明理由．

说明：本题主要考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系，考查运算求解与推理论证能力

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