填空题的求解思路、方法与技巧，非常全

第二章 填空题的求解思路、方法与技巧

填空题是一类古老的题型（古代科举中称为贴经），它与选择题、解答题一起组成当前高考试卷的三大题型，通常，填空题的题量（4～6题）和分值（占16～30分）都是高考三大题型中最低的，而难度则介于选择题与解答题之间（约为0．．但也有例外，上海的5强）高考数学卷一直是第一大题为11～14道填空题（2009年为14道），第二大题为4道选择题；2008年起，江苏高考的数学选择题取消了，填空题则由以前的6道增加到14道（总分70分，约占试卷总分160分的44%）；2009年起高中联赛不用选择题，这可以认为是一个信号：当前，在减弱选择题的同时，出现加强填空题的趋势——人们在重新认识填空题．

虽然填空题的平均难度只是中等，但在三大题型中却是最容易丢分的，一步思虑不周、一次细节疏忽、一个心理差错、甚至最后答案把

23写成都会导致“全题皆空”（参见例2-11、32例2-19-1，例2-48等）．求解填空题必须做到“结论正确、方法合理、过程简洁”，确保成

功率．本章首先分析填空题的结构和答题特点，然后介绍常用解法（如直接法，特例法，图解法，猜测法等），最后呈现填空题的一些创新形式．

第一节 解答填空题的策略分析

2-1-1 填空题的认识

1．基本认识．

（1）填空题的界定．

数学填空题通常是将一个数学真命题写成当中缺少一些语句的形式，要求答题者将删去的语句填写在指定的空位上，使之成为一个完整而正确的数学命题．

在一道填空题中，要求填写的部分可以是一处也可以是多处（如例2-2、例2-3等），但传统的高考填空题多是填题末的一个空，基本形式为“若A则_____．”

（2）填空题的分类．

从填写的内容看，主要有两类填空题：其一是定量型的，需要解答者去填写数值或数集（包括用字母表示的数），如方程或不等式的解集，解析式的运算结果，函数的定义域、值域（或最值）、周期，数列的通项与部分和，排列组合的种数，参变量的变化范围，几何图形中的长度，角度、面积等．其二是定性型的，需要解答者去填写具有某种性质的数学对象或数学对象的某些关系，比如，求二次曲线的轨迹方程、准线方程、焦点坐标、离心率，确定图形之间的全等、相似、平行、相交、垂直、相切，确定集合的子、交、并、补关系，判别命题的充要条件，确定非零向量的平行、垂直，确定数量之间的相等、不等关系等．高考填空题以定量型居多．

近年，高考常把填空题作为新题型的实验园地，体现多重选择、实际应用、开放探索、信息迁移等特征的填空题时有出现．（参见第七节）

2．重要提示

（1）答案可能多样．答题者要思考那个答案更切合题意，命题者要努力避免歧义． 当一个数学真命题删去当中的一些语句时，人们通常把“删去的语句”作为标准答案，但是，同一个数学前提，常常会有多个不同的数学结论，填上别的语句（非删去语句）也可能组成真命题（如例2-1，例2-2等）．比如

例2-1 命题“矩形的对角线相等”的逆命题为 ． 讲解 会出现两个答案：

第一，理解为写出逆命题，答“对角线相等的四边形为矩形”． 第二，理解为判别逆命题的真假，答“假命题”．

前者是出题人的原意，当然没错；后者不仅知道逆命题的内容，而且还正确判断了逆命题的性质（假的），也不算错．题目有歧义了．

例2-2 如图2-1所示，圆O的直径AB?6，C为圆周上一点，BC?3．过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D，E，则∠DAC? ，线段AE的长为 ．

D （2007年数学高考广东卷理科第（15）题）

E C ?讲解 第一问的原意是计算∠DAC的度数，填30,（定l B 量型），但是有学生把“∠DAC?”理解为找与∠DAC相等A O 的角、答∠DAC??CAB（定性型），这还确实是成立的（但

．题目有歧义了． AB?6， BC?3等条件可以不用）

图2-1 第二问有AE?EC?CB?3，过程略．

对这两个例子，答题者要思考哪个答案更切合题意，命题者则要努力避免歧义．比如，为了体现原意可将例2-1 改为：写出“矩形的对角线相等”的逆命题 ．

（2）逆向问题易发散．答案要注意完整． 当一个数学真命题删去当中的一些语句时，有些填空会成为逆向问题，不能只找出命题成立的一个充分条件．

例2-3 将杨辉三角中的每一个Crn都换成分数的分数三角形

61，就得到一个如图2-2所示rn?1C??n 图2-2

称为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可看出

111??， rxr?n?1?Cn?n?1?CnnCn?1其中x? ．令an?1111????3123060?11?，则liman? ． 22n??nCnn?1C??n?1（2006年数学高考湖北卷理科第（15）题）

讲解 第一问对比杨辉三角的性质，通过观察、类比、归纳可知莱布尼茨三角形中每一

行中的任一数都等于其“脚下”两数的和，同义反复，即第n?1行上相邻两数之和等于上一行它们之间（肩膀上）的那个数：

111??．当把r?1删去变为rr?1rn?1Cn?1CnC??n??nn?1111??时，取x?r?1等式自然成立（命题者的答案，填上删去的rxr?n?1?Cn?n?1?CnnCn?1语句），问题是，莱布尼茨三角形每一行上的数字又是“首尾对称”的，因而

x?n?r?1?n?r?1?时等式也成立．填x?r?1只是等式成立的一个充分条件，填

．题目有歧义了． x?r?1或n?r?1?n?r?1?才是等式成立的充要条件（x的解集合）

上面只是一些直观的说明，下面我们来证实x确有两个取值（作为填空题，可以取n?3来求解）．第（1）问，由

111??，

?n?1?Cnr?n?1?CnxnCnr?11n?11??r xrCnnCn?1Cn得

???n?1?r!?n?r?1?!?r!?n?r?!n?n?1?!n!r!?n?r?1?!???n?1???n?r???

n!?r?1?r!?n?r?1?!?n!?r?1?!??n??r?1???!?1,?r?1n!Cnxr?1有 Cn， ?Cn得x?r?1或n?r?1?n?r?1?．

第（2）问由观察知，an是莱布尼茨三角形中从第三行起每一行的倒数第三项的和，即

an?111???0123C24C35C4?11?． n?3n?2nCnn?1C??n?1根据第一问所推出的结论只需在原式基础上增加一项

1，则由每一行中的任n?1?n?1?Cn1，故 2一数都等于其“脚下”两数的和，结合给出的数表可逐次向上求和为

an?11， ?n?12?n?1?Cn?1?11?． 从而 liman?lim??n?1?n??n??2n?1C??n?2?（3）如果一道填空题经完型之后仍不能成为真命题，通常是解答者的错误（见例2-4，

例2-5，例2-19-1，例2-48等），特殊情况下是命题者的疏忽（如例2-3、及例2-6～例2-10）．

例2-4 已知数列?an?的前n项和为Sn?3n2?2n?1，则通项公式为an? ． 解 由an?Sn?Sn?1?3n?2n?1??3?n?1??2?n?1??1??6n?1．

2??2??填6n?1．

说明 取n?1时，一方面代人Sn?3n2?2n?1有a1?6；另方面代入6n?1有

a1?6?1?1?5．这个矛盾是解题者使用公式不当造成的，an?Sn?Sn?1需在n?2的前

?6, n?1 题下才成立．正确答案是an??

6n?1,n?2?例2-5 已知数列?an?满足a1?1,an?a1?2a2?3a3?项公式为an? ．

解 由已知有

，则通??n?1?an?1（n?2）

an?a1?2a2?3a3?an?1?a1?2a2?3a3???n?1?an?1， ① ??n?2?an?2， ②

相减 an?an?1??n?1?an?1， 即 an?nan?1?an?n． ③ an?1得 an?anan?1??an?1an?2?a3a2??a1?n??n?1??a2a1?2?1?n!， ④

填n!．

说明 取n?2时，一方面代人an?a1?2a2?3a3???n?1?an?1 有a2?a1?1；另

方面代入n!有a2?2!?2．这个矛盾是解题者使用条件不当造成的，式①需在n?2时才成立，因而式②要在n?3时才成立，得出的③、④式也有n?3的限制，④式应为 对n?3，有

an?anan?1??an?1an?2?a3?a2?n??n?1??a2?3?1?1n!， 2?1, n?1 ?检验知n?2时也成立，正确答案是an??1

n!, n?2??2例2-6 一个正三棱台的下底和上底的周长分别为30cm和12cm，而侧面积等于两底

面积之差，求斜高______．（从一个正三棱锥中，用平行于底面的平面截去一个小三棱锥，所得的几何体就是一个正三棱台） （1987年数学高考理科第（7）题）

讲解 “侧面积等于两底面积之差”时，棱台的高退化为一点，这样的棱台不存在．对于这样的题目，有人称为错题，有人称为病题，有人认为“既无错，又无病” ，是无解题．不管叫做什么，最后处理办法是人人给满分，实质上是无效题．

例2-7 设f(x)?4?2xx?1，则f?1(0)?_____．

（1993年数学高考理科第（23）题）

讲解 由f(x)?2?1?1知，当函数的取值为y?(?1,0)时，每一个y对应两个x（参见示意图2-3），故对x?R时，f(x)没有反函数，求f?1?x?2(0)就有歧义了．加上x?0便可保证反函数 图2-3

存在．（参见§2-3-2 及例3-4）

例2-8

ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，

OH?m(OA?OB?OC)，则实数m? ．

（2005年数学高考理科第（15）题）

解法1 （特例法）取等腰直角ABC，AC为斜边，则外心O为AC的中点，垂心H与B重合(如图2-4)，有

OA?OB?OC?OB?OH?m(OA?OB?OC)

且 OA?OB?OC?0

得m?1．（这正是命题者给出的答案） 图2-4

解法2 （特例法）取等边ABC，其外心、垂心、重心重合，有OH?0，

OA?OB?OC?0，得m可为全体实数．（有学生得出这样的答案）

说明 两种解法得出两个不同的结论有助于我们反思：或者是解法有问题、或者是题目有问题、或者是题目与解法都有问题．我们认为是题目与解法都有问题，谈两点认识

第一，题目有歧义．

如图2-5，取BC的中点M，则

OB?OC?2OM，且OMBC?0,AHBC?0．

有 OA?AH?OH?m(OA?OB?OC)?m(OA?2OM) 即 AH??m?1?OA?2mOM

得 AHBC??m?1?OABC?2mOMBC． 把OMBC?0,AHBC?0代入，得

0??m?1?OABC．

这时，对任意三角形有m?1，但当ABC为等 图2-5 边三角形时，外心、垂心、重心重合，有OABC?0，得m可为全体实数．这样，m的取值就有歧义了．

第二、解法有风险．

一般地，当题目本身没有提供“结论唯一”的保证时，用特例法解填空题是有风险的，这是特例法解填空题与特例法解选择题的重大区别．选择题有“4个选项中有且只有一项正确”做前提，用特例法排除3个诱误项后，得出剩下的项为所求是可靠的．而填空题仅当结论有唯一性时，特例法求解才是可靠的．

下面的修改可消解歧义，我们通过解法来揭示题目的知识背景．

例2-8-1

ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，若

OH?m(OA?OB?OC)对任意ABC恒成立，则实数m? ．

解 （欧拉定理背景）设ABC的重心为G，由欧拉定理有外心O、垂心H、重心G三点共线，且满足

OH?3OG．

又，三角形重心有

1OG?(OA?OB?OC))．

3得 OA?OB?OC?3OG?OH?m(OA?OB?OC)

对任意ABC恒成立，故m?1．

说明 由解法可知，题目的编拟有欧拉定理的知识背景． 例2-9 下面是关于三棱锥的四个命题：

①底面是等边三角形，侧面与底面所组成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥；

②底面是三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥； ③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥．

④侧棱与底面所组成的角都相等，且侧面与底面所组成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．

其中，真命题的编号是_____．（写出所有真命题的编号） （2005年数学高考全国卷文科第（16）题）

讲解 命题者的预设答案为①、④．其中①的理由是：因为底面是等边三角形，侧面与底面所成二面角相等，故侧面三角形的高相等，由此推得三条侧棱相等，所以三侧面都是等腰三角形，并且三侧面全等．由正三棱锥的定义知这样的三棱锥是正三棱锥．

其实，填①是错误的，“侧面三角形的高相等”时，高线的垂足可以在侧面三角形的边上，也可以在边的延长线上，所以，上述证明还不能推出“三条侧棱相等”，反例如图2-6，即使

侧面为等腰三角形也不能保证三侧面 VA?AB?BC?VC?，A是全等的．

所以，本题经完型填④为真命题，而填①、④则为假命题． 图2-6

例2-10 已知点O在二面角??AB??的棱上，点P在?内，且?POB?45．若对于?内异于O的任意一点Q，都有?POQ?45，则二面角??AB??的大小是______． (2007年数学高考浙江卷理科第16题、文科第17题)

误解 如图2-7，斜线OP与平面?所成角是OP与平面?内所有直线所成角中最小的，由已知“对于?内异于O的任意一点Q，都有

?POQ?45”，且?POB?45得，直线OP与平面?成45角，进而?POB就是斜线OP与平面?所成的角，由P在 ?上的射影R在直线AB上，得二面角??AB??的大小为90°． 图2-7

讲解 这个解法反映了命题者的预设（后来更改为：大于或等于90°），但这不是真命题（更改后也不够准确），其实，二面角概念中的?、?都是半平面，“对半平面?内异于O的任意一点Q，都有?POQ?45” ，还不足以得出直线OP与平面?成45角，因为平面?还有一半情况不明．下面分两种情况说明，二面角的大小不是只取一个值，而是一个角集合??90,180??．

(1)若二面角??AB??属于??0,90??，显然取0不满足条件．如图2-8，作PS??交半平面?于点S，连结OS，则?POS是斜线OP与平面?所成角．由于“斜线OP与

平面?所成角是OP与平面?内所有直线所成角中最小的”，有?POS??POB?45；但由已知又有?POS?45，所以?POS?45，点S应在棱AB上，二面角??AB??应为90．

图2-8 图2-9

(2)若二面角??AB??属于(90,180]，如图2-9，作PS??交平面?的另一半平面于点S，连结OS，则?POS是斜线OP与平面?所成的角．在半平面?上任取射线

OH，我们证明满足条件?POH?45．当?POH为钝角时显然成立，当 ?POH为锐

角时，过P分别作PC?AB于C，PD?OH于D，则S、D在AB的两侧，且SC?OC，

SD?OD，有0??SOC??SOD?90，进而，

SC?OSsin?SOC?SCsin?SOD?SD,

推出PD?PC，可得?POH??POC?45．二面角??AB??可取(90,180]．

综上得二面角的大小是一个角集合??90,180??．

所以，本题经完型填90°为假命题，把“二面角??AB??的大小是”改为“二面角

??AB??的取值是”，然后填角集合??90,180??才为真命题．

2-1-2 解答填空题的策略分析

1．填空题的求解特点 填空题的求解与选择题、解答题的求解既有共通性，又有特殊性，我们既应掌握共通性，更应重视特殊性．其中填空题的下述４个特点尤应抓住：

特点1 与选择题相比，填空题缺少选择支的信息，更像一道不写过程的解答题，因而解答题的求解思路（参见第三章）可以原封不动地移植到填空题上来，由此产生直解法．但是与解答题相比，填空题的求解更强调准确、快速．

特点2 与解答题相比，填空题不用说明理由，又无须书写过程，这一方面是要求每一步都不允许出错（参见例2-11），另一方面是允许像解选择题一样用“合情推理”等策略（参见第一章），由此产生特例法、图解法、猜想法等．但是，与选择题相比，填空题缺少4个选择支的信息，合情推理的难度要大得多．

特点3 由于填空题常常用来考查基础知识、基本技能，强调概念性、淡化运算量（叫做“大概念、小计算”，或“多一些想、少一些算”），因而大多是一些能从课本找到原型或

背景的题目（中档题为主），可以通过观察、联想、转化，化归为已知的题目或基本的题型（参见本章第二节）．这是填空题与一些高档综合题的重要区别．

特点4 在考试中，由于填空题只写出最终结果，因而像选择题一样具有评分客观、公正、准确的特点．同时，也正因为不设中间分而失去了像解答题那样“分段得分”的机会，“一步失误、全题皆空”，其失分率比选择题、解答题都高．还是由于填空题不呈现思维过程，所以只能“难度中等、分值不高”，考试中要“以快为上”、避免“小题大做”，否则，做对了也是“潜在丢分”或“隐含失分”．

2． 求解填空题的基本建议

根据以上特点，解答填空题的要旨在于“结论正确、方法合理、过程简洁”．提出十条建议供参考．

（1）能否根据概念、定理、公式、法则等数学基础知识直接得出答案； （2）能否通过明显的几何意义迅速得出答案； （3）能否通过挖掘隐含条件而获得解题的突破口； （4）能否通过分类讨论而消解难点； （5）能否通过“整体代入”、“设而不求”、“活用定义”、“巧用公式”等而简化过程； （6）能否化归为课本已经解决的问题； （7）高考中，能否化归为往年的高考题；（例1-19） （8）能否使用求解填空题的特殊方法与技巧；

（9）定量型的填空题一定要运算到最终结果，并且，除非规定了精确度，否则都要保持准确值（参见例2-12，例2-13）．

（10）平时训练要“小题大做”与“小题小做”相结合，重点防止“会而不对、对而不全、全而不美”．

例2-11 如图2-10，正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF所在平面成60°的二面角，异面直线AD与BF所成角的余弦值是 ． （1996年数学高考全国卷理科第（19）题）

讲解 异面直线AD与BF的夹角就是?CBF，联结，

CE,DF,CF，由已知可得正三棱柱，且各侧面为正方形，

有CF?BF?2BC，得

1BC22． 图2-10 cos??CBF??BF4本来，这就是答案，但当年有部分考生却要“画蛇添足”，填arccos2．这不是题4目不会做，而是题意没审清，属于心理性错误．

例2-12 sin15osin75o的值是_____． （1992年数学高考全国卷理科第（20）题）

思路1 本来题目很简单，也有课本的现成背景，用一次诱导公式、一次倍角公式、一次特殊角的函数值，一共3个知识点便可得出答案

但是，有的考生却用了如下解法：

1?cos30o解 原式?sin(45o?30o)

2?2?3(sin45ocos30o?cos45osin30o) 4?2?326?2 4?(6?2)2?3．

8至此，就再也算不下去了，应该说，解法的每一步运算都没有知识性错误，但从整体上看，有解题方向调控上的策略性错误．（参见例0-9）

例2-13（1）在半径为30m的圆形广场中央上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆锥形，且其轴截面顶角为120°，若要光源恰好照亮整个广场，则其高度为_____（精确到0．1m）．

（1993年数学高考全国卷理科第（20）题）

（2）tan20?tan40?3tan20tan40的值 ． （1996年数学高考全国卷理科第（18）题）

讲解 第（1）题易得高为103，第（2）题易得三角式的值为tan60?3．这两道题目都有3，但第（1）题规定了精确度，要化为近似值103?17.3m（注：这是当年的答案，既要“恰好照亮整个广场”，又要用四舍五入法取“近似值”，并且恰好是不足近似值，题意和解法都有点“费解”）． 第（2）题没有规定精确度，不要擅自取近似值1．732，

oooo应保留3．另外，第（2）题得出tan60不能算最终结果，只算到这一步也是“会而不对、

对而不全”．

这两例三题还体现了填空题考查基础知识、基本技能的基本取向，它们都是课本的“双基”．而“化归为课本已经解决的问题”也应是最值得强调的基本思考．

第二节 化归为课堂已经解决的问题

化归为课堂已经解决的问题是指，当我们遇到一个新问题时，首先辨认它属于我们已经在课堂上学习过的哪个基本问题，然后检索出相应的解题方法来解决．结合高考解题可以有两个基本的方面：化归为课本已经解决的问题，化归为往年的高考题． 2-2-1 化归为课本已经解决的问题

为什么要化归为课本已经解决的问题呢？

（1）因为课本是学生知识资源的基本来源，也是学生解题体验的主要引导．

离开了课本，学生还能从哪里找到解题依据、解题方法、解题体验呢？还能从哪里找到解题灵感的撞针呢？数学解题一定要抓住“课本”这个根本．

（2）因为填空题有考查基础知识、基本技能的特点．

如上所说，很多填空题都能从课本找到原型或背景（中档题为主），对于高考，课本更是命题的基本依据：有的试题直接取自教材，或为原题、或为类题；有的试题是课本概念、例题、习题的改编；有的试题是教材中的几个题目、几种方法的串联、并联、综合与开拓；少量难题也是按照课本内容设计的，在综合性、灵活性上提出较高要求．因此，按照高考怎样出题来处理高考怎样解题应是顺理成章的．请看

例2-14 课本题 求由下列条件所确定的圆的方程：（1）圆心为C?3,?5?，与直线

x?7y?2?0相切．

高考题 圆心为C?3,?5?，与直线x?7y?2?0相切的圆的方程为 ． （2005年数学高考全国卷文科第（13）题）

例2-15 课本题 已知sina?23????3?,a??,??cosb??,b???,342?2???求sin?a?b?， ?，?cos?a?b?,tan?a?b?的值．

高考题 已知?为第二象限的角，sin??35，b为第一象限的角，cosb?，求513tan?2a?b?．

（2005年数学高考全国卷文科第（17）题）

例2-16 课本题 已知数列?an?，a1?5项．

高考题 在数列?an?中，若a1?1,an?1?2an?3?n?1?，则该数列的通项an? ． （2006年数学高考重庆卷理科第（14）题）

例2-17 课本题 已知：如图2-11，OA?OB?1，OC?5，OA与OB的夹角为

1,an?4an?1?1?n?2?,写出数列?an?的前2120，OA与OC的夹角为25，用OA，OB表示OC．

OB，OC，高考题 如图2-11，平面内有三个向量OA，其中OA与OB的夹角为120，

OA与OC的夹角为30，且OA?OB?1，OC?23，若

OC??OA??OB??,??R?，则???的值为 ．

（2007年数学高考陕西卷理科第（15）题） 图2-11

例2-18 课本题 求sin10?cos40?sin10cos40的值．

此例有10多种解法（参见例3-42），并作为背景多次出现在高考或竞赛中． 高考题1 求sin20?cos50?sin20cos50的值． （1995年数学高考全国卷理科第（22）题）

高考题2 求sin20?cos80?3sin20cos80的值． （1992年数学高考全国卷文科第（24）题）

高考题3 cos75?cos15?cos75cos15 的值等于（ ）．

22222222（A）36 （B）

22 （C）

53 （D） 44（1990年数学高考全国卷文科第（2）题）

竞赛题 cos10?cos50?sin40sin80 ． （1991年高中数学联赛题）

说明 此类题目的更一般形式是

22sin2B?sin2C?2sinBsinCcos?B?C??sin2?B?C?．

根据“化归为课本已经解决的问题”的基本想法，拿到一道高考题，在理解题意后，应立即思考问题属于哪一学科、哪一章节？与这一章节的哪个类型比较接近？解决这个类型有哪些方法？哪个方法可以首先拿来试用？这一想，下手的地方就有了，前进的方向也大体确定了．就是说，“化归为课本已经解决的问题”可以简捷回答解题中的两个基本问题，从何处下手？向何方前进？我们说，就从辨认课本题型入手，就向着提取相应方法、使用相应方法解题的方向前进．

2-2-2 化归为往年的高考题

由于高考的典型性和导向性，在高考中，“化归为课堂已经解决的问题”可以延伸出：“化归为往年的高考题”．请看

65432例2-19 设a6x?a5x?a4x?a3x?a2x?a1x?a0??3x?1?，求a6?a5?a4+

6a3?a2?a1?a0．

（1985年高考数学理科第⑷题）

讲解 将已知式与求值式逐项对齐，并进行差异分析

a6x6?a5x5?a4x4?a3x3?a2x2?a1x?a0??3x?1?a6 ? a5 ? a4 ? a3 ? a2 ? a1?a0?？6546，

可见，已知中的项有字母x，结论中的每一项都没有字母x．“没有字母x”是什么意思？可以理解为每一项的字母x都等于1： x?1,x?1,x?1,x?1,x?1,x?1（消除差异），把x?1代人已知式，得

32a6?a5?a4?a3?a2?a1?a0??3?1?=32．

说明 在差异分析观点之下，取值x?1就不是一个妙手偶得的特殊技巧了，而是一个策略思想的具体实施．并且，这一经验积累，又与“特殊化”的策略思想相通，可以用来处理很多数学问题，比如下面几道类似而又有变通的高考题（化归为往年的高考题）：

7例2-19-1 已知(1?2x)?a0?a1x??a2x26?a7x7，那么a1?a2??a7?____．

（1989年高考数学第（16）题）

解 设f?x??(1?2x)，则

7 a1?a2??a7?f?1??f?0??(1?2)7?1??2．填?2．

说明 我们在阅卷中发现，相当一部分考生令x?1得答案为?1，其实得到的是 a0?a1?a2??a7??1，

而所求的值，应再减去a0??1，从而 a1?a2??a7??2．

究其原因，是考生一见题型很熟悉（如例2-19及课本相关习题中见过），没有认真看清

题目的小变化，就匆匆作答，结果“会而不对”．

2例2-19-2 若(2x?3)4?a0?a1x?a2x2?a3x3?a4x4，则(a0?a2?a4)?(a1?

a3)2的值为（ ）

（A）1 （B）?1 （C）0 （D）2 （1999年高考数学理科第（8）题）

解 设f?x??(2x?3)，则

4(a0?a2?a4)2??a1?a3?2= ?a0?a2?a4?a1?a3? ?a0?a2?a4?a1?a3? ?f?1?f??1??(2?3)4(?2?3)4?(4?3)4?1．选（A）．

222说明 若把所求式展开为a0?a2?a4?a12?a32?2a0a2?2a0a4?2a2a4?2a1a3，会由

于求不出平方而导致思路中断，这叫做解题的“策略性错误”．

例2-19-3 若(1?2x)2004?a0?a1x?a2x2??a2004x2004(x?R)，则(a0?a1)?(a0?

a2)?(a0?a3)??(a0?a2004)?_____．(用数字作答)

（2004年数学高考天津卷理科第（15）题）

解 设f?x??(1?2x)2004，则

(a0?a1)?(a0?a2)?(a0?a3)??2003f?0??f?1??2003?(1?2)2004?(a0?a2004)

?2004． 填2004．

52345例2-19-4 已知(1?x)?a0?a1x?a2x?a3x?a4x?a5x，则(a0?a2?a4)(a1?

a3?a5)的值等于 ．

（2007年数学高考安徽文科第（12）题）

解 分别取x??1，有

a0?a1?a2?a3?a4?a5?0， a0?a1?a2?a3?a4?a5?25，

解得 a0?a2?a4??(a1?a3?a5)?16，

所以 (a0?a2?a4)(a1?a3?a5)??256．填?256．

55432例2-19-5 若(x?2)?a5x?a4x?a3x?a2x?a1x?a0,则

a1?a2?a3?a4?a5? ．(用数字作答)

(2008年福建理科第（13）题)

例2-19-6 若(1?2x)2009?a0?a1x??a2009x2009(x?R),则

a1a2??222?a2009的22009值为（ ）

（A）2 （B）0 （C）?1 (D) ?2 (2009年数学高考陕西卷文、理科第（6）题)

解 设f?x???1?2x?

2009，则，

a1a2?2?22?a2009?1??f． ???f?0??0?1??1．选（C）20092?2?说明 这一组例子有助于说明，“化归为往年的高考题”是高考解题的一个化归思路．（参见例3-30）

第三节 直解法

就是直接从题目的条件出发，利用概念、定理、公式，法则等数学基础知识直接得出答案，然后按照要求将最后结果填入空位处．总体上，填空题的直解法更像求解解答题，但由于填空题不需要过程，因而可以跳过一些步骤，大跨度前进．为了节省时间还可手算与心算相结合，力求快速，避免“小题大做”，从这一意义上说，填空题的直解法又像是选择题的求解对照法．

2-3-1 灵活运用基础知识

灵活运用基础知识是快速求解填空题、避免“小题大做”的基本途径，也是运用其它方法技巧的物质基础．

例2-20 已知函数f?x??a?1，若f?x?为奇函数，则a= ． x2?1（2006年数学高考全国卷文科第（14）题）

解法1 （直解法）因为f?x?为奇函数，所以f??x???f?x?，即

a?11， ??a??xx2?12?11?11?1?12x?11得 a??x??x???x?x??．填．

22?2?12?1?2?2?12?1?2解法2 （直解法）由f?x?是R上的奇函数有f?0??0，即

a?得a?1?0， 02?111．填． 22说明 解法1相当于用通法做了一道解答题，是解填空题中的“小题大做”，对本题

的这种处理费时费事，是不策略的．解法2利用了填空题的特点，心算即可完成，几乎没有运算量．

例2-21 若1?x?x?x?235??1?x?x2?x3??a30?a29x?5?a1x29?a0x30，则

a15? ．

解法1 （直解法）由

?1?x?x2?x35??1?x?x52?x35?2232? ??1?x?x?x????????55222?242465??? ??1?x??1?x???1?x??1?x???1?x?x?x?，

??????知展开式只出现x的偶次幂，所以，奇次幂的系数均为零，更有a15?0．

解法2 （直解法）设f?x??1?x?x?x2?35?,F?x??f?x?f??x?，则F?x?为偶

函数，有F?x??F?x??F??x?，可见，展开式中x的奇次项系数均为零，更有a15?0．

2例2-22 对a,b?R，记max?a,b????a,a?b,函数f?x??max?x?1,x?2?，

b,a＜b,?x?R 的最小值是 ．

（2006年数学高考浙江卷理科第（12）题）

解 （直解法）理解最大值记号max的含义，有

f?x??x?1,f?x??x?2，

??f?x??x?1,得 ? ①

??f?x??2?x,3相加，得f?x?不小于一个常数，当式①取等号时

23?x?1?,?1?2?x?, ?32?2?x?,??2所以，x?13时，取f?x?最小值． 22 说明 此例有更一般性形式：

minmax?f1?a,b?,f2?a,b?,f3?a,b??? ． maxmin?f1?a,b?,f2?a,b?,f3?a,b??? ．

已经在数学竞赛中多次出现，可以按照同样的步骤求解下面的练习．

例2-22-1 已知锐角ABC的三个内角满足A?B?C，用?表示A?B,B?C，以及90?A中的最小者，则?的最大值是____________． （2005年初中数学联赛）

例2-22-2 设a,b,c?R且a?b?c?1，求minmax?a?b,b?c,c?a?的值． （2001年北京高中数学竞赛）

例2-22-3 若a,b为正实数，求max?min?,,a2?b2??．

?????????11?ab????（2002年北京高中数学竞赛）

例2-22-4 若a,b为正实数，求max?min?a,,b????1?b1????的值． a??（2003年北京高中数学竞赛）

解 设x?min?a,,b??1?b1??，有 a??11??x?a,?0?x?a,??1??1 ???b,?0?x?,bx??11??0?x?b?,x?b?,??aa???x?11??x2?2?x?2， xx得 max?min?a,,b????1?b1?????max?x??2． a??例2-22-5 上面各例都是在f1?a,b??f2?a,b??f3?a,b??A时，有

minmax?f1?a,b?,f2?a,b?,f3?a,b???A，

或 maxminf1?a,b?,f2?a,b?,f3?a,b?由此能得出什么结论呢？

???????A．

ex?1例2-23 函数y?x的反函数的定义域是-______．

e?1（1989年数学高考全国卷文科、理科第（15）题）

解法1 （直解法）先求出反函数y?ln1?x1?x?0，得定义域，再解不等式

1?x1?x??1,1?．

说明 这种解法相当于做了一道解答题，是解填空题中的“小题大做”，对本例的这

种处理费时费事，是不策略的．

ex?1解法2 （图解法）求反函数的定义域可转变为求直接函数y?x的值域，记

e?1??ex?0，由

y?x?x?(?1)?(?1)?对比????x0?12

1??1??知，y分?1,?1为定比??0，因而??(?1,1)，即反函数的定义域为(?1,1)．

(?1)?(?1)ex说明 这种解法有数形结合的思想方法，可直接由y?而心算完成．

1?ex2ex2?y?1?x?1， 解法3 （特例法）由?1??1?xe?1e?1ex?1ex?1?1,limx??1 且 limxx???e?1x???e?1知y的值域为(—1，1)，即反函数的定义域为（—1，1）．

说明 后两种解法转化为求直接函数的值域，只要基本概念清楚，心算即可完成，几乎没有运算量．

例2-24 已知???1?3i2，求????1的值______． 2（1986年数学高考全国卷理科第（2）题）

讲解 把?代入????1硬算是比较麻烦的（巧算见解法2），实数求值中的“先化后代”、“整体求值”等技巧在这里也用得上．注意到

（1）条件是一个等式，结论是找一个等式，解题的方向是“从等式到等式”的等式变形．

（2）条件是?一的次式，结论是?的二次式，消除差异的一个方法是由条件式平方升次．

（3）条件有虚数单位i，结论没有，消除差异的技巧是隐去i，考虑到第（2）点，应想到用i的最本质特征i??1来隐去i．

解法1 （直解法）由已知有2??1??3i，

平方 4??4??1??3（隐去i并且?升次，消除第（2）、（3）中的差异）

即 ????1?0．填0． 解法2 （图解法）由已知得

1?cos0?isin0，

22224?4??isin， 332?2??2?cos?isin，

33??cos视这三个复数所对应的向量为单位圆上的三个共点力（如图2-12），它们两两夹角为

2?，其合力为0，即 图2-12 3?2???1?0．

说明 以上例子表明，直解法也是充满技巧的，关键是灵活运用基础知识、基本技能． 例2-25 直线l过抛物线y?a(x?1)的焦点，并且与x轴垂直，若l被抛物线截得的

2线段长为4，则a?_______．

（1995年数学高考全国卷理科第（19）题）

讲解 （直解法）先作平移，使抛物线成为为标准方程．这既不改变a的值，也不改变通径的长（不变性），而对y?ax通径的长为4已经是课本的“双基”了．取x?有y?2,得

2a，422?aa?a?4． 4例2-26 如图2-13，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，底面为直角三角形，?ACB?90，

AC?6,BC?CC1?2，P是BC1上一动点，则CP?PA1的最小值是___________

（2006年数学高考江西卷理科第（15）题）

解 （直解法）将BCC1沿BC1展开到平面A1BC1内，连A1C（CP,PA1的长度不变），

由CP?PA1?AC当A1,P,C三点共线时A1C的长度就是所求的最小值．在A1C1C中， 1知，

AC11?AC?6,C1C?BC?2，

CA ?A1C1C??A1C1P??PC1C?90?45?135， B由余弦定理，得

PA1C1B122AC?AC111?C1C?2AC11C1Ccos135

?62?2?2622?52． 图2-13 2说明 在例2-24、例2-25中使用了平移、旋转来“化繁为简”，保持了图形的距离不变，体现了一种重要的数学思想——不变量． 2-3-2 体现数学思想方法

给例2-4增加x?0的条件后，反函数就存在了，可按下述步骤来求f（1）设f?1?1(0)：

(0)?x（设未知数）；

（2）得f(x)?0（找等量关系）；

（3）把已知代入，得指数方程（当年课本例题）4?2xx?1?0（列方程）；

（4）解方程得x?1

（5）由函数与反函数的关系f(1)?0?f?1(0)?1，填1．

?1这个解法以函数与反函数的关系为基础，把求反函数f方程4?2xx?1(x)的函数值f?1(0)，转化为

?0的求解（同时也将高考题转化为课本的例题），体现了“函数与方程的数

学思想方法”．从数学思想方法的高度去驾驭解题是巧思妙解基本源泉．在例2-24、例2-25

中我们已经见到过不变量的数学思想．

从高考考试大纲可以看到，高考重点考查7个基本数学思想：函数与方程的基本数学思想、数形结合的基本数学思想、分类与整合的基本数学思想、化归与转化的基本数学思想、特殊与一般的基本数学思想、有限与无限的基本数学思想、或然与必然的基本数学思想；重点考查7个基本解题方法：待定系数法、换元法、配方法、代入法、消元法、反证法、数学归纳法．这些思想和方法，本书时时处处都会作重点体现．

例2-27 设等差数列?an?的前n项和为Sn，若S4?10,S5?15，则a4的最大值为____． （2008年数学高考四川卷理科第（16）题）

思路1 （函数与方程的数学思想方法）若把求等差数列第4项a4的最大值，从单纯

的数列知识中跳出来，置于函数观点之下，则问题便转化为求函数的最大值．一般地，为了

确定函数的最大值，通常需要完成4件事：

（1）求出函数a4的表达式（用a1,d，或用S4,S5表示）； （2）确定函数表达式中有关字母的取值范围（由S4?10,S5?15提供）； （3）由以上两项具体放大a4为常数； （4）验证常数可以取到，得a4的最大值． 解法1 由

S4?a1?a2?a3?a4?4a1?6d,S5?a1?a2?a3?a4?a5?5a1?10d.

321S5,d?S5?S4． 5523131有 a4?a1?3d?S5?S4??15??10?4

5252可解得 a1?S4?当S4?10,S5?15时，a4可以取到最大值4． 填4． 说明 本解法的关键是得出恒等式a4?到．

31S5?S4，这也可以由待定系数法直接找52解法2 设a4?xS5?yS4，有

a1?3d?x?4a1?6d??y?5a1?10d?，

1?x??,??4x?5y?1?2得 ? ??36x?10y?3??y?.?5?所以 a4?3131S5?S4??15??10?4， 5252当S4?10,S5?15时，a4可以取到最大值4． 填4．

思路2 （数形结合的数学思想方法）这两个解法在函数与方程的观点驾驭之下，得心

应手地调动了等差数列的知识（通项公式、求和公式）、方程知识，以及待定系数法、放缩法等，其着眼点主要放在S4,S5上．如果我们的着眼点放在a1,d上，则a4?a1?3d可看成

?S4?10,?2a1?3d?5,平面直角坐标系a1Od上的直线，而已知条件?就是线性规划的??S?15a?2d?3?1?5约束条件，解法是现成的．问题已转变为线性规划．

解法3 建立平面直角坐标系a1Od，则??2a1?3d?5,为约束条件，a4?a1?3d为

?a1?2d?3目标函数．在坐标系上画出可行域（图2-14），可知当直线a4?a1?3d过可行域内?1,1?时截距最大，此时，目标函数取最大值a4?a1?3d?1?3?4.

说明 这个例子沟通了数列、函数、线形规划之间的联系，使得数学解题的过程成为沟通知识更广泛联系的过程，成为发生数学的过程．不应认为：解题仅仅是“规则的简单重复”或“操作的生硬执行”． 图2-14 2-3-3 洞察问题的深层结构

洞察问题的深层结构，是快速求解填空题、避免“小题大做”的重要途径．但是，怎样才能洞察问题的深层结构呢？我们说，进行解题过程的分析是一个很好的途径．

1?3?x?3的解是______． 例2-28 方程x1?3（1992年数学高考全国卷理科第（19）题、文科（21）题）

原解法 两边乘以1?3?0,得

?xxx?x 1?3?3?3?3?3?3?2?3?0． ①

xx两边乘以3，得关于3的二次方程

x2xxx 3?(3)?2?(3)?1?0?(3?3?1)(3?1)?0, ②

x两边除以3?1?0,得

x3?3x?1?0?x??1． ③

说明 这是一个很常规的解法，检验知答案也是对的，可以说已经达到了运算的“熟练、准确”的要求，若这一点都做不到是不行的．但学解题，停留在这一“小题大做”的层面上又是不够的．下面，让我们通过解题过程的分析来获得题目结构及其解法的更多理解，分析从解法的“整体分解”开始，可以得到３个步骤：

（1）运用同解原理处理分母（化整），将原方程化为①式； （2）运用同解原理处理负指数（消元），将原方程继续化为二次方程②式； （3）分解降次，归结为解简单指数方程③式，得x??1．

这就显化了原解法的思维过程，其中特别值得注意的是，第（1）步方程两边乘以

3x?1?0与第（3）步方程两边除以3x?1?0会不会是多余的思维回路？由于第（1）、（2）

两步的运算并没有依赖关系，完全是独立的，因而，交换解题顺序（搁置第（1）步）、先进行第（2）步应该不违反逻辑规则，让我们尝试对方程两边乘以3，有

x3x(1?3?x)xx?1?3?31?3 ， ④ ?x1?3用同底比较或两边取对数都可以立即得出方程的解．

可见，第（1）、（3）两步的思维回路是可以消除的，解题顺序的调整还真影响解题长度．并且，尝试的结果向我们展示了原方程左边结构上的一个特点，即分子、分母有相同的非零因

x?x式，可以相约；而导致相约的一个关键运算是3?3?1，据此，原解法的第（2）步也可

x以通过相反的运算（提取3）替换为方程的左边自行化简，有

1?3?x3?x(3x?1)?x??3 左边=，（分子提取后约分） ⑤ xx1?31?31?3?x1?3?x1或 左边=．（分母提取后约分） ⑥ ??xx?xx1?33(3?1)3?xx再一想，设y?3（或z?3），代入原式消除指数上的差异（亦即消元），也有同样

的效果（参见新解法2）．

于是，上面的简单分析已经颠覆了原解法的全部3个步骤，并可获得诸多收获，我们称为开发出“解题智慧”（其反面是存在“解题愚蠢”）：

（1）通过解题思维过程的结构分析，弄清了题目是怎样解的，化简是怎样进行的，运用了什么原理，使用了哪些方法，哪些地方体现了消元降次的基本数学思想．

（2）通过解题分析，找出了一个多余的思维回路．即第（1）步方程两边乘以3?1?0与第（3）步方程两边除以3?1?0是可以删除的，由④直接解出x??1，解题长度大幅度缩短了．

（3）通过交换解题顺序，揭示了这个具体方程的特殊结构．从试题编制的角度，可以

xx1?3x?1，得 将④、⑤、⑥理解为：由已知方程3?3出发，让左右两边分别乘以x1?3?x1?3x1?3?x?3??3． 31?3x1?3x?x1?3x?32x?更一般地，让3?3左右两边分别乘以

1?3x?32x??x?3nx?1，则得方程（个数推nx?3广）

1?3x?32x?

1?3x?32x??3?n?1?x?3?x?3． ?n?1?xnx?3?3这样，我们对方程的内在结构就看得更透了．

（4）通过删除多余的思维回路、或作运算关系的转换，可以得出更接近问题深层结构的新解法．就是说，不仅第（1）、（3）两步的回路可以删除，而且第（2）步本身也可以替换，先化为二次方程再降次亦是多余的，一步到位就能化成简单指数方程．如（途径很多，只写两个）

新解法1 分子提取3，原方程即

?x3?x(3x?1)?x?33?3?x??1． ?x1?3新解法2 消除负指数，原方程即

1x13?3?x??1． ?3?xx31?31?说明 这些新解法隐去了原解法的全部三个步骤，简单得心算就可以完成，但是新解法确实是源于原解法的专业分析．可以说，原解法更反映问题的一般性，而新解法则更体现题目的特殊性，它们各有自己的价值取向，都有自己的存在空间．解题学习应该经历从原解法到新解法的全过程，把“怎样解题”与“怎样学会解题”结合起来，过程与结果并重．

还要指出，如果说新解法1还有点技巧成分的话，那么新解法2已经具有一般性了．面对方程问题，消元降次是一种通理通法的思考，对原方程统一未知数：F3?x,3x?0?

G?3x??0，标准化为3?x或3x的一元方程，正是消元思想的运用．一般情况下，本来还应

该有后续的去分母步骤，但本例的特殊地方是恰好分子分母约分了，也就是“降次”的过程被自动完成了（原解法是分为第（1）、（3）两步骤来完成的），因此，新解法2可以认为是一般性与特殊性的自然结合．这个事实告诉我们，消元降次的不同途径与不同顺序，将导致解题的不同长度．

这个简单例子能帮助我们树立学数学的信心，即使我看不出分子分母能约分，我也有机会通过解题过程的分析而更接近问题的深层结构；即使我很笨，我也有机会通过解题过程的分析而学会聪明，并且聪明是由自己习得的． 2-3-4 大跨度直奔结论

例2-29 函数y?sinxcosx?sinx?cosx的最大值是_____． （1990年数学高考全国卷理科第（19）题）

??解法1 y?1???sin2x?2sin?x?? 24??1??????cos2?x???2sin?x?? 24?4??? ??????1???sin2?x???2sin?x???

4?4?2??????2???sin?x?????1,

4?2???当sin?x?2????1??1时，yman??2． 4?2解法2 设t?sinx?cosx????2sin?x??，t?2，则

4??t2?1sinxcosx?，

2t2?112y??t??t?1??1，

22当t?2时，yman?1?2． 2说明 如此处理这道题就有相当的难度了，由于填空题不需要过程，所以我们可以大跨度直奔结论．

解法3 只须找一个x，使

1y1?sinxcosx?sin2x,2???y2?sinx?cosx?2sin?x??,4??同时达到最大值．由于x?

?4时，y1,y2同时达到最大值，故yman?1?2． 2注意 不要擅自取近似值，得出1．914．

例2-30 正四面体ABCD的外接球半径为R，则各顶点到外接球的任一切面的距离之和为 ．

解 如图2-15所示，作正四面体的外接正方体，正四面体A?BCD中，E,F分别是线段AB,CD的中点，G是BCD的中心,O是正四面体A?BCD的外接球的球心, 则

E,O,F三点共线，且O为线段EF的中点．（O是正方体的中心，E,F分别是正方体上下

两面的中心，AG是正方体主对角线的三分之二）

用记号dP表示点P到切面的距离，用R表示外接球的半径长，有

dA?dB?2dE,dC?dD?2dF,dE?dF?2dO，

得 dA?dB?dC?dD?2dE?2dF?4dO?4R．（定植） 图2-15

第四节 特例法

当填空题暗示，答案是一个“定值”时，我们可以取一个（些）特殊数值、或一个特殊图形、或一个特殊位置、或一个特殊结构来确定这个“定值”，以节省推理论证的过程．我们把这些解填空题的方法统称为特例法．对于解答题，特例常常只是提供论证的方向，而对填空题由于不需要过程，就成为答案了．当题目的条件是从一般性的角度给出时，特例法尤为有效．

在例2-8中我们已经见过取特殊的等腰直角三角形、等边三角形来解填空题，在例2-19中我们已经见过取x?1来解填空题，在例2-23解法3中令x趋于正、负无穷，我们又见到了取特殊位置来解填空题．

2-4-1 取特殊图形或图形的特殊位置

例2-31 若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为?，则cos?= ． 讲解 题目暗示，答案是一个“定值”，所以，我们取一个特殊的正四棱柱——正方体，这时体对角线与正方体的6个面所成角相等，依题意

cos2??cos2??cos2??2,?????

得 cos?=266．填 ． ?333ABC中，点O是BC中点，过点O的直线分别交AB,AC于

说明 这是取一个特殊图形来解填空题．

例2-32 如图2-17，在

不同两点M,N，若AB?mAM,AC?nAN，则m?n? ．

解法1 （直接法）如图2-15，由已知有

NO?NC?CO??n?11AC?AB?AC n2??1?11?AB????AC， 2?2n? OM?OB?BM?11?mAB?AC?AB 图2-16 2m??1?11?????AB?AC,

2?m2?因为M,O,N三点共线，，所以，存在??0使NO??OM，得

1??11?1??11?AB????AC??????AB?AC?， 22?2n???m2??但AB,AC不共线，所以

?1?11??????,??2?m2? ??1?1???,?2?2n消去λ得m?n?2．

解法2 （特例法）设过O的直线与BC重合，即M点为B点，N点为C点，有

m?1,n?1，得m?n?2．

说明 特例法取了一个特殊位置，简单得连犯错误的机会都没有．解法2之所以可行，是因为填空题不需要写过程．

例2-33 如图2-17，直三棱柱ABC?A1B1C1中，各侧棱和底面边长均为a，点D是C1C上任一点，连A1B,A1D,BD,AD，则三棱锥A?A1BD的体积为 ．

解法1 （直解法）转换顶点

11333VA?A1BD?VB?A1AD??a2?a?a．

32212解法2 （特例法） 由C1C平行AA1B1B知，三棱锥A?A1BD体

积与D的位置无关（定值），特别地取D与是C重合，则三棱锥 图2-17

A?A1BD体积为直三棱柱ABC?A1B1C1体积的三分之一．

1VA?A1BD?VA1?ABD?VABC?A1B1C1

3 ?13333?a?a ． 34120)，0)和C(4，例2-34 在平面直角坐标系xOy中，已知ABC的顶点A(?4，顶点B在

x2y2sinA?sinC??1上，则?_____． 椭圆

259sinB（2007年数学高考江苏卷理科第（15）题）

解 （特例法）题目暗示，无论顶点B在椭圆的什么位置，只要与A,C构成三角形，那么所求式为“定值”．因此我们可以将动点B取一个特殊位置，来计算所求式子的值．现取椭圆与y轴的正

半轴的交点为B(如图2-18)，则图2-18

ABC为等腰三角形，且B?0,3?，有

3sinA?sinC?，

53424． sinB?sin?180?2A??sin2A?2sinAcosA?2?552533?sinA?sinC555所以 ??．

24sinB425例2-35 平行六面体各棱长为4，在顶点P的各条棱上分别取A,B,C，使PA?1，设棱锥P?ABC的体积为V1，平行六面体的体积为V2，那么V1:V2? ． PB?2,PC?3，

解 （特例法）题目暗示，满足题设条件的两体积的比值对任一平行六面体都将是一

“定值”，故可以取正方体来替代，从而相应的三棱锥也就成为一底面为直角三角形的三棱锥，有

11V1???1?2?3?1，

32V2?43?64，

故V1:V2? 1∶64． 2-4-2 取特殊数值或特殊结构

例2-36 若f?x??asin?x?????????bsinx?则有序实数对????ab?0?是偶函数，4?4???a,b?可以是 ．(写出你认为正确的一组数字即可)

（2006年数学高考湖南卷理科第（14）题）

解 (特例法)因为答案只需要一组数字即可，所以取x??4代人偶函数的恒等式

f??x??f?x?中，得?b?a，填?1,?1?即可．

222例2-37 设a?b?2?3，b?c?2?3，则a?b?c?ab?bc?ca的值为

．

解法1 (直解法)将求值式变形为已知式，有

a2?b2?c2?ab?bc?ca??a?b???b?c???a?b??b?c?22

?2?3?15.????2?3???2?3??2?3?

22解法2 (特例法) 题目暗示，满足题设条件的a,b,c有无穷多个，但所求代数式的值将是一个“定值”，取满足条件的一组a?2,b??3,c??2代入

原式?4?3?4?23?23?4?15．

例2-38 已知?an?的公差d?0，且a1,a3,a9成等比数列，则_______．

（1992年数学高考全国卷理科第（18）题）

解法1 (直解法)由a1,a3,a9成等比数列知

a1?a3?a9的值是

a2?a4?a10(a1?2d)2?a1(a1?8d)，

得 d(a1?d)?0，

但d?0，故a1?d，有

原式=

d?3d?9d13?．

2d?4d?10d16解法2 (特例法) 题目暗示，满足条件的数列有无穷多个，但所求代数式的值将是一个“定值”，取一个满足已知条件的特殊等差数列an?n,有d?0,a1,a3,a9成等比数列，则

原式=

1?3?913?．

2?4?1016 例2-39 已知{an} 是公差不为零的等差数列，如果Sn是{an}的前n项和，那么

nan等于（ ）． limn??Sn（1990年数学高考全国卷文、理科第（18）题）

解法1 (直解法)等差数列的公差为d?0时，an是n的一次函数，Sn是n的二次函数，记

an?dn??a1?d?,Sn?d22a1?dn?n， 22

arcsin6． 3例2-47 在三棱锥P?ABC中，PA?BC?234,PB?AC?10,PC?AB?241,则三棱锥P?ABC的体积为______________．

解 将三棱锥P?ABC补充为长方体AEBG?FPDC（图2-24），则三棱锥的各边成为长方体的面对角线，记长方体的三条共点棱长为PE?x,EB?y,EA?z，则有

?x2?y2?100,?22?x?z?136, ?y2?z2?164,?解得x?6,y?8,z?10，所以

VP?ABC?VAEBG?FPDC?4VP?AEB

1?VAEBG?FPDC?4?VAEBG?FPDC6

1?VAEBG?FPDC31??6?8?10?160． 311例2-48 arctan?arctan的值_____． 图2-24

32（1991年数学高考全国卷理科第（16）题）

解法1 （直解法）由tan(arctan?arctan)?1，

13121??， ① 341? 0?arctg? ， ②

2411?故 arctg?arctg?．

324解法2 （图解法）如图2-25，作一个2?3的矩形，易知?ABD而 0?arctg是等腰直角三角形，有

原式??BAE??DAE．

??BAD??4． 图2-25

说明 这是一道有课本背景的简单题，当年，曾在初中课本以平面几何的形式出现过，高一课本又以三角形式出现过，高二课本还以复数形式出现过，现在以反三角函数的形式出现，答案为

?．但我们在阅卷中发现有相当一部分考生得出1，原因可能是只算到 411??tan?arctan?arctan?= 1 ，

23??就再也没有算下去了．这种丢三落四现象不完全是知识基础问题，我们并不认为考生连

arctan1??4都不懂，恐怕主要是由于紧张、粗心而产生心理上的“顾此失彼”或记忆上的

“瞬时遗忘”．

例2-49 已知?在第三象限且tan??2，则cos?的值是______ （1992年数学高考全国卷文科第（20）题）

解 （图解法）视?为锐角，作锐角示意图2-26，

BC=1，AC=2，AB=5，

则 cos?ABC?15

恢复第三象限的符号，得cos???15 图2-26

说明 这种“锐角示意图”是将三角形的符号与绝对值分开处理，绝对值用锐角计算，符号由象限决定，在处理三角问题时，这种“税角示意图”有广泛的应用，为了提高解题的效率，应记住一些勾股数：（3，4，5），(5，12，13)，(7，24，25)，(9，40，41)等等． 2-5-3 揭示几何图形的深层结构

就是说，解题不仅借助直观呈现，而且进行图形几何结构的深层揭示，减少演算、节省过程．

例2-50 已知向量a??cos?,sin??,b??cos?,sin??，且a??b，那么a?b与

a?b的夹角的大小是 ．

解法1 (直解法)由

a?b??a?b??cos?a?b,a?b???a?ba?b得夹角为90．

a?b22a?ba?b?0，

解法2 （图解法）两个向量a,b都是起点在原点、终点在单位圆上，以a,b为邻边所形成的平行四边形是个菱形，a?b与a?b成为菱形的两条对角线，互相垂直，得a?b与

a?b的夹角为90．

说明 解法1重在代数演算，解法2重在图形性质的揭示——菱形的对角线互相垂直，夹角的得出简明、直观．

例2-51 设P是曲线y?4?x?1?上的一个动点，则点P到点?0,1?的距离与点P到

2y轴的距离之和的最小值为 ．

（2004年数学高考全国卷理科第（16）题）

解 （图解法）易知，抛物线的顶点为A?1,0?，焦距为p?2，准线方程为x?0，焦点为F?2,0?，所以点P到点B?0,1?的距离与点P到y轴的距离之和等于PF?PB，由PF?PB?BF知，当B,P,F三点共线时取得最小值（如图2-27）．此时在RtBOF中，有

BF?OB2?OF2?5．

所求的最小值为5． 图2-27

说明 这个解法用到了抛物线定义的几何特征，用到了两点之间线段最短． 例2-52 如图2-28，连结ABC的各边中点得到一个新的A1B1C1，又连结A1B1C1的各边中点得到A2B2C2，如此无限继续下去，得到一系列三角形：ABC，A1B1C1，

A2B2C2，…，这一系列三角形趋向于一个点M，已知A?0,0?,B?3,0?,C?2,2?，则点M的坐标是 ．

（2006年数学高考福建卷理科第（16）题）

解法1 (直解法)设Anan,an,Bnbn,bn,Cncn,cn，且记A0a0,a0??0,0?，

????????B0b0,b0??3,0?,C0c0,c0??2,2?．由已知有

????bn?1?cn?1， 2c?an?1 bn?n?1，

2a?bn?1 cn?n?1，

2 an?得 图2-28

nn?1?1??1??an?bn???an?1?bn?1??????a0?b0???3???,2?2??2??nn?1??1??1? ?bn?cn???bn?1?cn?1??????b0?c0?????,

2?2??2???an?bn?cn?an?1?bn?1?cn?1??a0?b0?c0?5,???55?1?54?1?51?1?可求得 an?????,bn?????,cn?????．

33?2?33?2?33?2?5.

n??n??n??32同理 liman?limbn?limcn?.

n??n??n??3有 liman?limbn?limcn?所以M的坐标为?,?．

解法2 （图解法）依题意，点Ai?i?1,2,总在AC边的中线上，点Ci?i?1,2,nnn?52??33??总在BC边的中线上，点Bi?i?1,2,?ABC趋向于一个点M?总在AB边的中线上．当

时，该点必为ABC三条中线的交点——重心，因而点M的坐标为

xA?xB?xC0?3?25?x???,??M?52?333填?,?． ??y?yA?yB?yC?0?0?2?2,?33?M?333?说明 解法2的简明在于抓了动点“总在中线上”的几何特征，一步到位，直奔重心． 2-5-4 图示为区域

这种做法的知识基础是把二元一次不等式表示为平面区域，把二元二次不等式表示为二次曲线的内部或外部区域，其中，线性规划就是区域直观的典型应用．

例2-53 过点M?3,1?的直线与抛物线y?2?x?1?的位置关系为 ．

2讲解 一般地，直线与抛物线的位置关系有相交（可以2个交点、也可以1个交点）、

相切（2个重合的交点）、相离三种情况，可以通过方程组的讨论来确定．如果讨论时直线方程用点斜式，还要注意斜率存在与不存在、斜率存在时又要注意为0与不为0等多种情况．注意到，把点M的坐标代入抛物线方程时，有yM?2?xM?1?，即点M在抛物线内

2部（画图也能直观看出来），所以，过点M的直线与抛物线y?2?x?1?永远相交，心算

2即可完成，填相交．

??x?2y?5≥0????22例2-54 设m为实数，若?(x，y)?3?x≥0??(x，y)x?y≤25，则m??mx?y≥0??????的取值范围是 ．

（2007年数学高考浙江卷理科第（17）题）

解 如图2-29，x?2y?5?0 表示直线

x?2y?5=0下方的区域，3?x?0表示直线3?x=0左侧区域，mx?y?0表示直线mx?y=0包括y轴正方

向一侧的区域，x?y?25表示圆x?y=25内部区 图2-29

域（以上区域均包括边界）．题目的已知条件是说：直线所围成的三角形区域不超出圆的范围．当动直线mx?y=0（图中虚线）以原点为旋转中心运动变化时，所构成的圆内三角形区域也变化，但不能超过边界点??5,0?,?3,?4?，把这两点的坐标代入mx?y=0，可分别求得m?0,m?222244，故m的取值范围0?m?． 33例2-55 有两个人相约9点到10点在某一地点会面(人到达的时间是随机的)，早到的人要等另一个人20分钟才可离开，则这两个人能见面的概率是 ．

解 设两个人到达的时间分别为9点过x分钟和9点过y分钟，则由题设知两人能见面时x，y满足

?0?x?60,??0?y?60, ?x?y?20?可x与y所有可能的取值情况及两人能会面时可能取值的情况，以用直角坐标系中的图象来表示，如图2-30中的正方形和阴影

部分，故这两个人能见面的概率为 图2-30

602??60?20?5． ?2609 说明 这个例子历经了两次转化，首先是把实际问题转化为数学问题，然后是把不等式问题转化为区域，于是，概率的求解归结为面积比的计算．

2

第六节 猜想法

猜想是根据部分理由而得出结论的合情推理，一个完整的数学解题过程常常要经历“先猜后证”的两个阶段，猜想也是一种能力．解填空题除了要重点掌握好直接法，特例法，图解法外，也可辅以猜想法，主要形式有：特例猜想，归纳猜想，类比猜想等．当然，猜想结论是有风险的，当你不能用直接法等途径求解时，冒这样的风险是值得的．比如，在例2-27 中不会求“a4的最大值”，那猜想“S4?10,S5?15”可能会在取等号时使a4达到最大值，然后再找理由去证实猜想．

例2-56 cos2??cos2???120??cos???240?的值为． ．

2解 （猜想法）取特殊值??0，得原式=1?再取特殊值??60，得原式=猜想答案与?无关，填

113??． 442113?1??． 4423． 222（请自行用直解法求解）

例2-57 设?an?是首项为1的正项数列，且?n?1?an?1?nan?an?1an?0?n?1,2,则数列的通项公式是an? ． （2000年数学高考全国卷理科第（15）题）

2解法1 （猜想法）取n?1，有2a2由a1?1，有?2a2?1??a2?1??0，?a12?a2a1?0，

?,但an?0，得，a2?1． 21?1?，有?3a3?1??a3???0，但an?0，

2?2?22取n?2，有3a3?2a2?a3a2?0，由a2?得a3?1． 31． n猜想答案为an?说明 虽然猜想法不完全可靠，但却提供了特殊化的探索，若能根据求a2,a3的同样方法归纳出?n?1?an?1?nan?an?1an?0??就有机会获??n?1?an?1?nan???an?1?an??0，

22得完整解法．

解法2 (直解法)已知即 ???n?1?an?1?nan???an?1?an??0，

由正项数列得?n?1?an?1?nan?0??n?1?an?1?nan，即?nan?为常数列，有

nan??n?1?an?1? 得an??2a2?a1?1．

1． n例2-58 取长、宽、高分别为5cm，4cm，3cm的两个长方体，将它们两个全等的面重合在一起组成一个大长方体，则大长方体的对角线最大为 cm．

解法1 （猜想法）估计大长方体最长（5+5=10）时对角线也最长，有

d?102?42?32?55．

解法2 (直解法)当a?b?c?0时，有

?2a?2?b2?c2?a2??2b??c2?a2?b2??2c?，

22所以，d?102?42?32?55为最大对角线．

例2-59 将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图2-31所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n次全行的数都为1的是第 行；第61行中1的个数是 ．

图2-31

（2007年数学高考湖南卷理科第（15）题）

解 （猜想法）给上述杨辉三角续写两行：

可见

（1）第3行有4个1；

（2）从第3行起，增加第一个2行，则该两行之间就增加2个1；增加第二个2行，则该两行之间就增加2?4个1；所以到第7行时会有4+4=8个1；

（3）但是第7行恰有8个数，故第7行全为1； （4）由第1，3，7 行全为1，猜想第2?1行全为1；

（5）假设第2?1行有2个1，增加2行后，会得出2?2?2k2nkkkkk?1个1，但第

?2k行恰有2k?1个数，故第2k?1?1行全为1． ?1??2k?2k?1?1所以，第n次全行的数都为1的是第2?1行． 因为61?26?1?2，故第63行共有64个1，逆推知，第62行共有32个1，第61行共有32个1．

说明 第（5）步可以改写为严格的数学归纳法证明．

n??第七节 填空新题型

近年，高考常把填空题作为新题型的实验园地，体现多重选择、实际应用、开放探索（条件开放、结论开放）、信息迁移等特征的填空题时有出现． 2-7-1 实际应用型

从1993年开始，高考强调考实际应用性的问题，作为落实这一举措的初级阶段，应用型的题目主要以填空题的形式出现（最常见的是与排列组合有关），到1995年发展为解答题，并推进到“信息迁移题”的新阶段．解答应用性的题目要求我们从生产、生活的实际中，分析其中的数量关系，然后应用已有的数学知识加以解决，其完整的求解过程可以分为三步：

（1）阅读理解；

（2）进行数学化设计； （3）进行标准化设计．

当问题不太复杂时，可以直接进入第三步．

例2-60 建造一个容积为8m，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低造价为______ （1993年数学高考全国卷理科第（22）题）

解 此题可转化为长方体中有关面积的计算．如图2-32，由于容 积和深度都是定值，因而底面积为定值4，造价也为定值120?4?480元．这时水池的造价与底面周长成正比，“面积取定值的长方形以正方形时周长最短”，因而最低造价的水池底面为正方形，长=宽=4?2m，

这时，长方体为正方体，总造价为80?4?4?480?1760（元）． 图2-32

例2-61 四个不同的小球放入偏号为1，2，3，4的四个盒中，则恰好有一个空盒的放法共有______种（用数字作答）．

（1995年数学高考全国卷理科第（20）题）

解 经过理解题意，我们将其转化为排列组合问题，并分两步完成．

第一步，将四个不同的小球分成三堆，各堆的球数只能是1，1，2，其中含有2个球的那一堆确定之后，另两堆也随之确定．因此，这是从4个元素中取2个元素的组合问题，有C4种分法．

第二步，将三堆的小球放入四个盒子中，这是从4个元素中取3个元素的排列问题，

23有A4种放法．由乘法原理，得C4A4?144．

332说明 排列、组合符号具有双重身份，有时表示运算，有时表示运算结果．本题要求用“数字作答”，所以必须计算出144来．有时考试为了控制运算量，也允许用排列、组合符号表示结果，总的原则是按题目要求运算到最后且最简单的结果．

例2-62 某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t?0时，点A与钟面上标12的点B重合．将A，B两点间的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d?_____，其中t??0，60?． （2007年数学高考江苏卷理科第（16）题）

解 点A在以5为半径的圆周上运动，射线OA第1秒转30时，AB?10sin?30，t秒转

?t30，当0≤t≤

?t60；当30

说明 解答本题的关键是把时钟问题抽象为数学问题（解三角形），要结合实际进行分

类，并用诱导公式．这样的题目能让人感悟到数学有用． 2-7-2 开放探索型

相对于条件充分和结论唯一的封闭性问题而言，条件或结论不明确、有待于进一步探索的问题，称为探索性问题或开放性问题．

例2-63 中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等．如果集合A中元素之间的一个关系“”满足以下三个条件：

（1）自反性：对于任意a?A，都有aa；

（2）对称性：对于a，b?A，若ab，则有ba；

（3）传递性：对于a，b，c?A，若ab，bc，则有ac． 则称“”是集合A的一个等价关系．例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立）．请你再列出三个等价关系：______． （2007年数学高考福建卷理科第（16）题）

讲解 本题是教材中的相等关系等的抽象，答案不唯一，如图形全等，图形相似，集合相等，非零向量的共线，命题的充要条件等都是答案．

例2-64 把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：若函数f?x??3?log2x的图象与g?x?的图象关于 对称，则函数g?x?= ．(注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形) （2005年数学高考福建卷理科第（16）题）

讲解 本题有很强的开放性．比如可以考虑填写：

①x轴，g?x???3?log2x； ②y轴，g?x??3?log2??x?； ③原点，g?x???3?log2??x?； ④直线y?x,g?x??2x?3．

等．关键是前后两个空必须匹配，组成真命题．

例2-65 若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积是 ．(只需写出一个可能的值)．

（1999年数学高考上海卷理科第（12）题）

讲解 首先是选择好每个面的三条棱，根据“三角形中两边之和大于第三边”可以排除｛1，1，2｝，得到｛1，1，1｝｛1，2，2｝｛2，2，2｝，然后由这三类面在空间构造满足条件的一个四面体，四面体的六条棱中“1”可以出现1次、2次或3次，

图2-33

分别对应的四面体的体积为

111114,,，从中选择一个结论即可． 61212例2-66 在直四棱柱A1B1C1D1?ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件 时，有A1C?B1D1．(填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形)

（1998年数学高考全国卷理科第（18）题）

讲解 因为BD//B1D1，要A1C?B1D1只需A1C?BD，只需四边形

ABCD满足AC?BD即可．填任何能够推导出

AC?BD的条件都行，如ABCD是正方形、菱形等． 图2-34

例2-67 老师给出一个函数y?f?x?，四个学生甲、乙、丙、丁各指出这个函数的一个性质：

甲：对于x?R，都有f?1?x??f?1?x?； 乙：在(??,0]上函数递减； 丙：在?0,???上函数递增； 丁：f?0?不是函数的最小值．

如果其中恰有三人说的正确，请写出一个这样的函数 ．

讲解 由题意知，以甲、乙、丙、丁四个条件中任意三个为一组条件，写出符合条件的一个函数即可，但“任意三个条件”并不都是相容的，当乙、丙同时成立时，丁不成立；当甲成立时（x?1是函数图象的对称轴），丙不成立．所以“恰有三人说的正确”应是甲、乙、

丁正确，同时具备条件甲、乙、丁的一个函数为y??x?1?或y?x?1,y?x?x?2?等． 2-7-3 多重选择型

这类填空题有点像选择题，但存在多项选择，可以排除单项选择题随机猜测的因素．例2-9就是一道多选题．

例2-68 在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是 （写出所有正确结论的编号）．

①矩形；

②不是矩形的平行四边形；

③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体； ④每个面都是等边三角形的四面体； ⑤每个面都是直角三角形的四面体． （2007年数学高考安徽卷理科第（15）题）

讲解 这一道题存在多项选择，须逐一作出正确判断．如图2-35，有 ① 显然正确； ② 显然不正确；

③ 正确，如三棱锥D1?ACD； ④ 正确，如三棱锥D1?ACB1； ⑤ 正确，如三棱锥D1?BCD．

故所有正确结论的编号为①，③，④，⑤． 图2-35 例2-69 ?,?是两个不同的平面，m,n是平面?及?之外的两条不同直线．给出四个论断：

①m?n ②??? ③n?? ④m??

2以其中三个论断作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：____________． ．．（1999年数学高考全国卷理科第（18）题）

讲解 这是一个条件、结论都开放的多重选择题，从4个论断中选3个可以得出4个命题，其中2个是假的，两个是真的，取真命题②③④?①，①③④?②之一个填上即为．

例2-70 关于x的函数f?x??sin?x???有以下命题： （1）对任意的?，f(x)都是非奇非偶函数； （2）不存在?，使f(x)既是奇函数，又是偶函数； （3）存在?，使f(x)是奇函数； （4）对任意的?，f(x)都不是偶函数．

其中一个假命题的序号是_______．因为当?=_______时，该命题的结论不成立． （2001年数学高考上海卷理科第（11）题）

讲解 在所给出的4个命题中存在多项选择，即（1），（4）均为假命题，须逐一找出反例：

命题（1）当??k?或??命题（4）当???2?k?k?z不成立；

?2?k?k?z不成立．

注意，前后两个空必须匹配．

例2-71 对于非零实数a，b，以下四个命题都成立： ① a?1?0； ② (a?b)2?a2?2ab?b2； a2 ③ 若|a|?|b|，则a??b； ④ 若a?ab，则a?b．

那么，对于非零复数a，b，仍然成立的命题的所有序号是 ． （2007年数学高考上海卷理科第（9）题、文科第（10）题）

讲解 从实数a，b到复数a，b，有两个命题②、④仍然成立，属于多重选择．找反例是问题的关键，当a?i时，命题①不成立，平方非负只是实数的性质；当a?1,b?i时，命题③不成立，摸相等的复数可以在一个圆上（不限于重合或成相反数）． 2-7-4 呈现过程型

这类题目将求解的全貌展示在解答者的面前，或是在关键的地方留下空白，让解答者去填补，或是请解答者对整体思路做出反思、判断与调整．

例2-7２ 已知函数y?ax?bx?c(a?0)中，a,b,c同时满足下列三个条件： （1）x?2是方程ax?bx?c?0的一个根； （2）ax?bx?c与6的和能被x?1整除； （3）ax?bx?c除以x?2余数是?4． 求二次函数y?ax?bx?c的最大值或最小值． 解：由已知条件得方程

22222?___________,??___________,?___________.?解方程组可得

(1)(2) (3)?a?___________,??b?___________, ?c?___________.?从而函数的表达式为

y=___________________________．

由于a?_______>_______，所以y有最小值，且

y最小值?___________________．

讲解 这道考题把一元二次方程、多项式乘除、二次函数的最值等多个知识点编组在一起，是一道综合性的考题．题目本身提示了解方程组的方法，并设计好了解题程序与书写格式，下来的工作就是五步填空：

（1）由已知条件列出方程组

?4a?2b?c?0,? ?a?b?c?6?0,

?4a?2b?c?4?0,?（2）解方程组，得

?a?1,? ?b?1,

?c??6,?（3）把a,b代入得二次函数 y?x?x?6．

（4）判断是最大值还是最小值．因为 a?1?0, 所以y有最小值． （5）具体求出最小值 y最小值24ac?b225???．

4a4x2y2??1的两个焦点，点P在双曲线上，若例2-7３ 给出问题：F1,F2是双曲线

1620点P到F1的距离等于9，求点P到F2的距离．

某同学的解答如下：双曲线的实轴长为8，则由PF1?PF2?8，即9?PF2?8，得PF2?1或17．

该同学的结果是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面的空格内；若不正确，请将正确的结果填在下面的空格内： ． （2003年数学高考上海卷理科第（12）题）

讲解 这道题目呈现了“某同学”“会而不对”的解题过程，解答运用双曲线的定义

PF1?PF2?2a进行推算是正确的，但该同学忽视双曲线的焦点F到双曲线上的点P的

最短距离PFmin?c?a?6?4?2，所以他的结果不对，舍去PF2?1，正确的答案应该

是17．

事实上，左（右）焦点F1（F2）到双曲线右（左）支的最短距离为10，“点P到F1的距离等于9”表明点P在双曲线左支上，这时F2到左支上的点的不会小于10．正确的答案应该是17．

例2-7４ 高中数学教材上有一道习题：已知平面四边形一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，求证：它的对角线互相垂直．

下面利用向量方法进行证明：设有四边形ABCD，由条件得知

AB?CD?BC?AD， 则有 AB?AD?AC22222???2?AC?AB?AD，

?22所以 ADAC?ABAC， 即

?AD?A?B?A0C，

得 BDAC?0．

反思上面的证明过程，对命题进行推广，写出你的结论： ．

解 上面的向量运算与四边形ABCD是否共面无关，因而立即可以作得出结论：已知空间四边形一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，则空间四边形余下的一组对边(对角线)互相垂直．

题目本身既在启发反思，又在诱导类比——这里主要是从平面到空间的类比．一般地，平面四边形可类比空间四边形、三角形可类比三棱锥、正方形可类比正方体．

2 习题二

Z 的元素的个数为 ．（江苏卷2008年第

2-1．A=?x?x?1??3x?7?，则A 4题）

2-2．不等式

x?1?1的解集是 ．(2008年北京卷文科第10题) x?2??2-3． f?x??cos??x?年江苏卷第1题）

2-4． 设直线y?年江苏卷第8题）

??6??的最小正周期为

?，其中??0，则?= ．（200851则实数b＝ ．（2008x?b是曲线y?lnx?x?0?的一条切线，

232-5． 设函数f?x??ax?3x?1（x∈R），若对于任意x???1,1?，都有f?x?≥0 成立，则实数a= ．（2008年江苏卷第14题）

2-6．设函数f(x)=ax2+c(a≠0)，若为 ．(2008年山东卷理科第14题)

x2-7． 已知f(3)?4xlog23?233，则f(2)+(4)+f(8)+…+f(28)的值等于 ．(2008

?10f(x)dx?f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值

年山东卷文科第15题)

?x?y?2?0,?5x?y?10?0,?2-8．设x,y满足约束条件?则z＝2x+y的最大值为 ． (2008年

?x?0,??y?0,山东卷文科第16题)

2-9． lim(1?a)n?1?2，则a? ．(2008年陕西卷理科第13题)

n→?n?ay A C 4 3 4)(20)(64)，则f(f(0))? ； 2 中A，B，C的坐标分别为(0，，，，，1 2-10．如图1，函数f(x)的图象是折线段ABC，其

B O 1 2 3 4 5 6 x

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