《高等数学》不定积分课后习题详解

不定积分 内容概要

名称 不 设f(x)， x?I，若存在函数F(x)，使得对任意x?I均定 有 F?(x)?f(x) 积 或dF(x)?分 f(x)dx，则称F(x)为f(x)的一个原函数。 主要内容 f(x)的全部原函数称为f(x)在区间I上的不定积分，的 记为 概 ?f(x)dx?F(x)?C 为f(x)的原函数，则F(x)?G(x)?C。故不定积分的表达式不唯一。 （1）若f(x)连续，则必可积；（2）若F(x),G(x)均念 注：性 性质1：d?f(x)dx??f(x)或d??f(x)dx??f(x)dx； ?????dx质 性质2：?F?(x)dx?F(x)?C或?dF(x)?F(x)?C； 性质3：?[?f(x)??g(x)]dx???f(x)dx???g(x)dx，?,?为非零常数。 计 设f(u)的 原函数为F(u)，u??(x)可导，则有算 第一换换元公式： 不 方 元 定 法 积分法 积 分 （凑微分法） ?f(?(x))??(x)dx??f(?(x))d?(x)?F(?(x))?C 第二类 设换元积 分法 x??(t)单调、可导且导数不为零，有原函数F(t)?1f[?(t)]??(t)，则 ?f(x)dx??f(?(t))??(t)dt?F(t)?C?F(?(x))?C 分部积?u(x)v?(x)dx??u(x)dv(x)?u(x)v(x)??v(x)du(x) 分法 1

有理函若有理函数为假分式，则先将其变为多项数积分 式和真分式的和；对真分式的处理按情况确定。 本在下一章定积分中由微积分基本公式可知---求定积分章 的问题，实质上是求被积函数的原函数问题；后继课程的无论是二重积分、三重积分、曲线积分还是曲面积分，地 最终的解决都归结为对定积分的求解；而求解微分方程位更是直接归结为求不定积分。从这种意义上讲，不定积与 分在整个积分学理论中起到了根基的作用，积分的问题作会不会求解及求解的快慢程度，几乎完全取决于对这一用 章掌握的好坏。这一点随着学习的深入，同学们会慢慢体会到！ 课后习题全解 习题4-1

1.求下列不定积分：

知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。

思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1)?dxx2x

1x2思路: 被积函数 解：?dxx2?52x?x3?52，由积分表中的公式（2）可解。

2???xdx??x2?C

3x1x)dx

★(2)?(3x?思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：?(x?)dx??(x?x)dx??xdx??xdx?3x3?2x2?C

4x3??11312131241（2x?x2）dx ★(3)?思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

2

2x13（2?x）dx??2dx??xdx??x?C 解：?ln23x2x2★(4)?x(x?3)dx

思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：?2x(x?3)dx??xdx?3?xdx?x2?2x2?C

53212533x4?3x2?1dx ★★(5)?2x?13x4?3x2?112?3x?思路:观察到后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，22x?1x?1分别积分。

3x4?3x2?1123dx?3xdx?dx?x?arctanx?C 解：?22??x?11?xx2dx ★★(6)?1?x2x2x2?1?11?1?思路:注意到2?1?x1?x21?x2，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，

分别积分。

x2解：?2dx??dx??12dx?x?arctanx?C.

1?x1?x注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。

x1（-+★(7)?34-）dx 2xx3x4思路:分项积分。

x1（-+解：?3411?3?4-）dx?xdx?dx?3xdx?4xdx 34????2xxx2x134?x2?ln|x|?x?2?x?3?C. 423★(8)?(32?)dx 221?x1?x思路:分项积分。 解：?(3211?)dx?3dx?2dx?3arctanx?2arcsinx?C. 22??221?x1?x1?x1?x★★(9)?xxxdx

3

思路:解：?xxx?？看到xxx?x111??248?x78，直接积分。

8xxxdx??xdx?x8?C.

151dx 22x(1?x)7815★★(10)?思路:裂项分项积分。 解：?111111dx?(?)dx?dx?dx???arctanx?C. ?x21?x2?x2?1?x2xx2(1?x2)e2x?1★(11)?xdx

e?1e2x?1(ex?1)(ex?1)dx??(ex?1)dx?ex?x?C. 解：?xdx??xe?1e?1★★(12)?3xexdx

x（3e）思路:初中数学中有同底数幂的乘法： 指数不变，底数相乘。显然3xex?。

x（3e）解：?3edx??（3e）dx??C.

ln(3e)xxx★★(13)?cot2xdx

思路:应用三角恒等式?cot2x?csc2x?1?。 解：?cot2xdx??(csc2x?1)dx??cotx?x?C

2?3x?5?2xdx ★★(14)?x32?3x?5?2x2x?2?（5），积分没困难。 思路:被积函数

3x32()x2x3解：?2?3?x5?2dx??（2?（5））dx?2x?5?C.

33ln2?ln3★★(15)?cos2xdx

2xx思路:若被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降幂，再积分。 解：?cos2xd??1?cosxdx?1x?1sinx?C.

2222★★(16)?1dx 1?cos2x思路:应用弦函数的升降幂公式，先升幂再积分。

11112dx??dx?secxdx?tanx?C. 1?cos2x2?22cos2x★(17)?cos2xdx

cosx?sinx解：?思路:不难，关键知道?cos2x?cos2x?sin2x?(cosx?sinx)(cosx?sinx)?。

4

cos2xdx??(cosx?sinx)dx?sinx?cosx?C.

cosx?sinxcos2xdx ★(18)?22cosx?sinx解：?思路:同上题方法，应用?cos2x?cos2x?sin2x?，分项积分。

cos2xcos2x?sin2x11dx?dx?dx?x 解：?222222???cosx?sinxcosx?sinxsinxcosx??csc2xdx??sec2xdx??cotx?tanx?C.

★★(19)?(1?x1?x?)dx 1?x1?x1?x1?x1?x1?x2????1?x1?x1?x21?x21?x2思路:注意到被积函数 解：?(，应用公式(5)即可。

1?x1?x1?)dx?2?dx?2arcsinx?C. 21?x1?x1?x1?cos2xdx ★★(20)?1?cos2x1?cos2x1?cos2x121??secx?思路:注意到被积函数 ，则积分易得。

1?cos2x222cos2x1?cos2x11tanx?xdx??sec2xdx??dx??C. 解：?1?cos2x222★2、设?xf(x)dx?arccosx?C，求f(x)。

知识点：考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。 思路分析：直接利用不定积分的性质1：解：等式两边对x求导数得：

xf(x)??11?x2d[f(x)dx]?f(x)即可。 dx?,?f(x)??1x1?x2

★3、设f(x)的导函数为sinx，求f(x)的原函数全体。 知识点：仍为考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。 思路分析：连续两次求不定积分即可。 解：由题意可知，f(x)??sinxdx??cosx?C1

（?cosx?C1）dx??sinx?C1x?C2。 所以f(x)的原函数全体为：?12xxexx★4、证明函数e,eshx和echx都是的原函数

2chx-shx知识点：考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。 思路分析：只需验证即可。

5

解：

d1ddex?e2x，而[(e2x)]?[exshx]?[exchx]?e2x

dx2dxdxchx?shx★5、一曲线通过点(e2,3)，且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数，求此曲线的方程。

知识点：属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。

思路分析：求得曲线方程的一般式，然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。

解：设曲线方程为y?f(x)，由题意可知：

d1[f(x)]?，?f(x)?ln|x|?C； dxx又点(e2,3)在曲线上，适合方程，有3?ln(e2)?C,?C?1， 所以曲线的方程为f(x)?ln|x|?1.

★★6、一物体由静止开始运动，经t秒后的速度是3t2(m/s)，问： （1） （2）

在3秒后物体离开出发点的距离是多少？ 物体走完360米需要多少时间？

知识点：属于最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。

思路分析：求得物体的位移方程的一般式，然后将条件带入方程即可。 解：设物体的位移方程为：y?则由速度和位移的关系可得：

f(t)，

d[f(t)]?3t2?f(t)?t3?C， dt又因为物体是由静止开始运动的，?f(0)?0,?C?0,?f(t)?t3。 (1) 3秒后物体离开出发点的距离为:f(3)?33?27米； (2)令t3?360?t?3360秒。 习题4-2

★1、填空是下列等式成立。 知识点：练习简单的凑微分。

思路分析：根据微分运算凑齐系数即可。 解：(1)dx?1d(7x?3);(2)xdx??1d(1?x2);(3)x3dx?721d(3x4?2); 12 6

1dx1dx1d(e2x);(5)?d(5ln|x|);(6)??d(3?5ln|x|);2x5x5 1dx1dx1(7)dt?2d(t);(8)?d(tan2x);(9)?d(arctan3x).223cos2x21?9xt(4)e2xdx?2、求下列不定积分。

知识点：（凑微分）第一换元积分法的练习。

思路分析：审题看看是否需要凑微分。直白的讲，凑微分其实就是看看积分表达式中，有没有成块的形式作为一个整体变量，这种能够马上观察出来的功夫来自对微积分基本公式的熟练掌握。此外第二类换元法中的倒代换法对特定的题目也非常有效，这在课外例题中专门介绍！ ★（1）?e3tdt 思路:凑微分。

解：?e3tdt?1?e3td(3t)?1e3t?C

33★(2)?(3?5x)dx 思路:凑微分。

31解：?(3?5x)dx???(3?5x)d(3?5x)??1(3?5x)4?C

520★(3)?1dx

3?2x33思路:凑微分。 解：?1111dx???d(3?2x)??ln|3?2x|?C. 3?2x23?2x2★(4)?315?3xdx

思路:凑微分。 解：?12?1111133dx??d(5?3x)??(5?3x)d(5?3x)??(5?3x)?C. ??333325?3x5?3xxb★(5)?(sinax?e)dx

思路:凑微分。

解：?(sinax?e)dx?1?sinaxd(ax)?b?ebd(x)??1cosax?beb?C

aba★★(6)?costtdt

12tdt，凑出d(t)易解。

xbxx思路:如果你能看到d(t)? 7

解：?costtdt?2?costd(t)?2sint?C

★(7)?tan10xsec2xdx 思路:凑微分。

解：?tan10xsec2xdx??tan10xd(tanx)?111tan11x?C. ★★(8)?dxxlnxlnlnx

思路:连续三次应用公式(3)凑微分即可。 解：?dxxlnxlnlnx??d(ln|x|)lnxlnlnx??d(ln|lnx|)lnlnx?ln|lnlnx|?C

★★(9)?tan1?x2xdx 1?x2思路:本题关键是能够看到xdx 是什么，是什么呢？就是1?x2d1?x2！这有一定难度！ 解：?tan1?x2xdx1?x2??tan1?x2d1?x2??ln|cos1?x2|?C

★★(10)?dxsinxcosx

思路:凑微分。 解：

方法一：倍角公式sin2x?2sinxcosx。

?dxsinxcosx??2dxsin2x??csc2xd2x?ln|csc2x?cot2x|?C

方法二：将被积函数凑出tanx的函数和tanx的导数。

?dxsinxcosx??cosxsinxcos2xdx??121tanxsecxdx??tanxdtanx?ln|tanx|?C

方法三： 三角公式sin2x?cos2x?1，然后凑微分。

?dxsin2sinxcosx??x?cos2xsinxcosxdcosxdsinxsinxcosxdx??cosxdx??sinxdx???cosx??sinx

??ln|cosx|?ln|sinx|?C?ln|tanx|?C ★★(11)?dxex?e?x

思路:凑微分：dxexdxdexdexex?e?x?e2x?1?1?e2x?1?(ex)2。

解：dxexdxdex?ex?e?x??e2x?1??1?(ex)2?arctanex?C ★(12)?xcos(x2)dx

8

思路:凑微分。

解：?xcos(x2)dx?1?cosx2dx2?1sinx2?C

222★★(13)?思路:由解：?xdx2?3x

1dx21d(2?3x2)凑微分易解。 ???22222?3x62?3x2?3xxdx1?1d(2?3x2)1122??????(2?3x)d(2?3x2)??2?3x2?C 6632?3x22?3x2xdx★★(14)?cos2(?t)sin(?t)dt 思路:凑微分。

解：?cos2(?t)sin(?t)dt?1?cos2(?t)sin(?t)d?t??1?cos2(?t)dcos(?t)

????1cos3(?t)?C. 3?3x3dx ★★(15)?1?x4思路:凑微分。

3x334x331313444dx?dx?dx??d(1?x)??ln|1?x|?C. 解：?4444???41?x41?x41?x41?x★(16)?sinxdx 3cosx思路:凑微分。 解：?sinx111dx??dcosx??C. ?cos3x2cos2xcos3x★★(17)?x92?x20dx

思路:经过两步凑微分即可。 解：?111dx??dx10??102?x20102?x20x911?(x102)21x10d?arcsin()?C 2102x10★★(18) ?1?x9?4x2dx

思路:分项后分别凑微分即可。 解：?1?x9?4x2dx??19?4x2dx??x9?4x2dx

9

12x11d??d4x22x2389?4x21?（）3112x11??d??d（9?4x2） 222x2389?4x1?（）312x1?arcsin()?9?4x2?C.234?12?★★(19) ?dx 2x2?1思路:裂项分项后分别凑微分即可。 解：???1221dxdx111??(?)dx 2x2?1?(2x?1)(2x?1)2?2x?12x?111?)d2x2x?12x?111d(2x?1)?2x?122?(22??11d(2x?1)?ln2x?1222x?1?C.2x?1

★(20)?xdx(4?5x)2

思路:分项后分别凑微分即可。 解：??xdx14?5x?4111??（）dx?（?4）d(4?5x) 222??(4?5x)5(4?5x)254?5x(4?5x)1141141d(4?5x)?d(4?5x)?ln|4?5x|??C.

25?4?5x25?(4?5x)225254?5xx2dx★(21)?(x?1)100

思路:分项后分别凑微分即可。

x2dx(x?1?1)2dx(x?1)2(x?1)1解：???(?2??(x?1)100(x?1)100(x?1)100)dx (x?1)100?(x?1)100??(??111?2?)d(x?1) 9899100(x?1)(x?1)(x?1)111111???C.

97(x?1)9749(x?1)9899(x?1)99xdx x8?1★★(22)?思路:裂项分项后分别凑微分即可。 解：?xdxxdx1111112??(?)xdx?(?)dx 8444444???2x?1x?14x?1x?1x?1(x?1)(x?1) 10

解：?11?xdx??11?xd(x?1)?21?x?C.

令f(x)?21?x?C，又f(0)?1，可知C??1，

?f(x)=21?x?1.

★★★5、设In??tannxdx,，求证：In?1tann?1x?In-2，并求?tan5xdx。 n?1思路:由目标式子可以看出应将被积函数tannx 分开成tann?2xtan2x，进而写成：

tann?2x(sec2x?1)?tann?2xsec2x?tann?2x，分项积分即可。

证明：In??tannxdx??(tann?2xsec2x?tann?2x)dx??tann?2xsec2xdx??tann?2xdx

??tann?2xdtanx?In?2?1tann?1x?In?2.n?1111 n?5时，I5??tan5xdx?tan4x?I3?tan4x?tan2x?I14421111?tan4x?tan2x??tanxdx?tan4x?tan2x?lncosx?C.4242习题4-3 1、

求下列不定积分：

知识点：基本的分部积分法的练习。

思路分析：严格按照?‘反、对、幂、三、指’顺序，越靠后的越优先纳入到微分号下凑微分。?的原则进行分部积分的练习。 ★（1）?arcsinxdx

思路:被积函数的形式看作x0arcsinx，按照?反、对、幂、三、指?顺序，幂函数

x0优先纳入到微分号下，凑微分后仍为dx。

解：?arcsinxdx?xarcsinx??x?xarcsinx?1?x2?C.

11?x2dx?xarcsinx?112d(1?x) ?221?x★★（2）?ln(1?x2)dx 思路：同上题。

2x2x22dx?xln(1?x)??dx 解：?ln(1?x)dx?xln(1?x)??x1?x21?x2222(x2?1)?2dx2?xln(1?x)??dx?xln(1?x)?2dx?2??1?x21?x2?xln(1?x2)?2x?2arctanx?C.2

★（3）?arctanxdx

16

思路：同上题。

dx1d(1?x2)解：?arctanxdx?xarctanx??x2?xarctanx??

1?x21?x21?xarctanx?ln(1?x2)?C

2★★(4)?e?2xsinxdx

2思路：严格按照?反、对、幂、三、指?顺序凑微分即可。 解：?e?2xsinxdx??sinxd(?1e?2x)??1e?2xsinx?1?e?2x1cosxdx

222222221x1x1??e?2xsin??cosd(?e?2x)224221x11x1x??e?2xsin?(?e?2xcos??e?2xsindx)2242242

1?2xx1?2xx1?2xx??esin?ecos??esindx2282162x2e?2xxx?2x??esindx??(4sin?cos)?C.21722★★(5)?x2arctanxdx

思路：严格按照?反、对、幂、三、指?顺序凑微分即可。

x3解：?xarctanxdx??arctanxd()?1x3arctanx??1x312dx

3331?x2131x131x3?x?x?xarctanx?(x?)dx dx ?xarctanx??33?1?x2331?x21311x131211xarctanx??xdx??dx?xarctanx?x?d(1?x2)22?3331?x3661?x

111?x3arctanx?x2?ln(1?x2)?C.366?★(6)?xcosxdx

2思路：严格按照?反、对、幂、三、指?顺序凑微分即可。 解：?xcosxdx?2?xdsinx?2xsinx?2?sinxdx?2xsinx?4?sinxdx

2222222 ?2xsinx?4cosx?C.

22★★(7)?xtan2xdx

思路：严格按照?反、对、幂、三、指?顺序凑微分即可。 解：?xtan2xdx??x(sec2x?1)dx??(xsec2x?x)dx??xsec2xdx??xdx

11??xd(tanx)??xdx?xtanx??tanxdx?x2?xtanx?lncosx?x2?C.

22★★(8)?ln2xdx

思路：严格按照?反、对、幂、三、指?顺序凑微分即可。

17

解：?ln2xdx?xln2x??x?2lnx?1dx?xln2x?2?lnxdx?xln2x?2xlnx?2?x?1dx

xx?xln2x?2xlnx?2?dx?xln2x?2xlnx?2x?C.

★★(9)?xln(x?1)dx

思路：严格按照?反、对、幂、三、指?顺序凑微分即可。

x2121x2解：?xln(x?1)dx??ln(x?1)d?xln(x?1)??dx

222x?1111121x2?1?1)dx dx?x2ln(x?1)??(x?1? ?xln(x?1)??22x?122x?1?12111xln(x?1)?x2?x?ln(x?1)?C 2422ln2x★★(10)?2dx

x思路：严格按照?反、对、幂、三、指?顺序凑微分即可。

ln2x解：?2dx??ln2xd(?1)??1ln2x??12lnx?1dx??1ln2x?2?ln2xdx

xxxxxxx11121122??ln2x?2?lnxd(?)??ln2x?lnx?2?2dx??ln2x?lnx??C xxxxxxxx ??1(ln2x?lnx?2)?C

x★★(11)?coslnxdx

思路：严格按照?反、对、幂、三、指?顺序凑微分即可。 解：?coslnxdx?xcoslnx??xsinlnx?1dx?xcoslnx??sinlnxdx

x1?xcoslnx?xsinlnx??xcoslnx?dx?xcoslnx?xsinlnx??coslnxdxx

x??coslnxdx?(coslnx?sinlnx)?C.2★★(12)?ln2xdx

x思路：详见第(10) 小题解答中间，解答略。 ★★(13)?xnlnxdx(n??1)

思路：严格按照?反、对、幂、三、指?顺序凑微分即可。

xn?11n?11n?11?xlnx??x?dx 解：?xlnxdx??lnxdn?1n?1n?1xn?1n?11n1n?1?1?xlnx??xdx?x?lnx???C. n?1n?1n?1(n?1)??★★(14)?x2e?xdx

思路：严格按照?反、对、幂、三、指?顺序凑微分即可。

18

解：?x2e?xdx??x2e?x??e?x2xdx??x2e?x?2xe?x?2?e?xdx

??x2e?x?2xe?x?2e?x?C??e?x(x2?2x?2)?C

★★(15)?x3(lnx)2dx

思路：严格按照?反、对、幂、三、指?顺序凑微分即可。 解：?x3(lnx)2dx??(lnx)2d(1x4)?1x4(lnx)2?1?x4?2lnx?1dx

444x14111x(lnx)2??x3lnxdx?x4(lnx)2??lnxdx442481111111?x4(lnx)2?x4lnx??x4?dx?x4(lnx)2?x4lnx??x3dx 488x48811111?x4(lnx)2?x4lnx?x4?C?x4(2ln2x?lnx?)?C.483284?★★(16)?lnlnxdx

x思路： 将积分表达式lnlnxdx写成lnlnxd(lnx)，将lnx看作一个整体变量积分即可。

x解：?lnlnxdx??lnlnxd(lnx)?lnxlnlnx??lnx?x111?dx?lnxlnlnx??dx lnxxx?lnxlnlnx?lnx?C?lnx(lnlnx?1)?C.

★★★ (17) ?xsinxcosxdx

思路：严格按照?反、对、幂、三、指?顺序凑微分即可。 解：?xsinxcosxdx??1xsin2xdx?1?xd(?1cos2x)??1xcos2x?1?cos2xdx

222441111??xcos2x??cos2xd2x??xcos2x?sin2x?C. 4848★★(18)?x2cos2xdx

2思路：先将cos2x降幂得1?cosx，然后分项积分；第二个积分严格按照?反、对、

22幂、三、指?顺序凑微分即可。

解：?x2cos2xdx??(1x2?1x2cosx)dx?1?x2dx?1?x2cosxdx

222221312111x??xdsinx?x3?x2sinx??2xsinxdx62622

13121312?x?xsinx??xdcosx?x?xsinx?xcosx??cosxdx6262??1312x?xsinx?xcosx?sinx?C 62★★(19)?(x2?1)sin2xdx

思路：分项后对第一个积分分部积分。

解：?(x2?1)sin2xdx??x2sin2xdx??sin2xdx??x2d(?1cos2x)?1cos2x

22 19

??12x2cos2x?12?2xcos2xdx?12cos2x??112x2cos2x?2?xdsin2x?111112cos2x??2x2cos2x?2xsin2x?2?sin2xdx?2cos2x??1 2x2cos2x?12xsin2x?114cos2x?2cos2x?C??12x2cos2x?12xsin2x?34cos2x?C??12(xsin2x?3x2)cos2x?2sin2x?C.★★★(20)?e3xdx

思路：首先换元，后分部积分。 解：令t?3x，则x?t3,dx?3t2dt,

??e3xdx??et3t2dt?3?ett2dt?3?t2det?3t2et?3?2tetdt?3t2et?3?2tdet?3t2et?6ett?6?etdt?3t2et?6ett?6et?C ?33x2e3x?6e3x3x?6e3x?C?3e3x(3x2?23x?2)?C.★★★(21)?(arcsinx)2dx

思路：严格按照?反、对、幂、三、指?顺序凑微分即可。解：?(arcsinx)2dx?x(arcsinx)2??x?2arcsinx1?x2dx

?x(arcsinx)2??arcsinx21?x2d(1?x2)?x(arcsinx)2?2?arcsinxd(1?x)

?x(arcsinx)2?21?x2arcsinx?2?1?x2?11?x2dx?x(arcsinx)2?21?x2arcsinx?2?dx?x(arcsinx)2?21?x2arcsinx?2x?C.(22)?exsin2xdx

思路：严格按照?反、对、幂、三、指?顺序凑微分即可。解：方法一：

?exsin2xdx??sin2xdex?exsin2x??ex2sinxcosxdx

?exsin2x??exsin2xdx?exsin2xdx??sin2xdex?exsin2x??ex2cos2xdx?ex

sin2x?2?cos2xdex?exsin2x?2excos2x?4?exsin2xdx??exsin2xdx?ex(sin2x?2cos2x)5?C

??esin2xdx?exx5(5sin2x?sin2x?2cos2x)?C方法二：

?exsin2xdx??ex1?cos2x2dx?12?exdx?12?excos2xdx?12ex?12?excos2xdx

?excos2xdx??cos2xdex?excos2x??ex2sin2xdx?excos2x?2?sin2xdex 20

★★ ★

13(2x?1)?31?x?212?3??2??2x?1x?1x?x?1x?113(x?)2?()222 1(2x?1)1312???x?1(x?1)2?3213(x?)2?()224221(2x?1)3131??3dx??dx??2dx??dx13x?1x?1213(x?)2?(x?)2?()224221x?111312)?lnx?1??d((x?)2?)?3?d(12(x?1)2?3243x?242)2?12(3212x?1?lnx?1?ln(x2?x?1)?3arctan()?C.23

★★★(4)?x?1dx (x?1)3思路：将被积函数裂项后分项积分。 解：令

x?1ABC???(x?1)3x?1(x?1)2(x?1)3，等式右边通分后比较两边分子x的同次项的系

数得：

A?0,B?2A?1,?A?B?C?1，解此方程组得：A?0,B?1,C?2。

x?112??(x?1)3(x?1)2(x?1)3

x?11211x??dx?dx?dx????C???C32322??x?1(x?1)(x?1)(x?1)(x?1)(x?1)★★★(5)?3x?2dx 3x(x?1)思路：将被积函数裂项后分项积分。 解：

3x?232??x(x?1)3(x?1)3x(x?1)3，令

2ABCD????x(x?1)3xx?1(x?1)2(x?1)3

等式右边通分后比较两边分子x的同次项的系数得：

A?B?0??A?2?3A?2B?C?0?B??2??解此方程组得：??3A?B?C?D?0??C??2??A?2??D??2?22222????x(x?1)3xx?1(x?1)2(x?1)3。

26

3x?2322221222?????????x(x?1)3(x?1)3xx?1(x?1)2(x?1)3(x?1)3xx?1(x?1)23x?21222??dx?dx?dx?dx?dx332????x(x?1)(x?1)(x?1)x?1x112????2lnx?1?2lnx?C22(x?1)x?1??2lnx4x?3??C.x?12(x?1)2xdx(x?2)(x?3)2

★★★(6)?

思路：将被积函数裂项后分项积分。 解：

?xx?2?2x?22???(x?2)(x?3)2(x?2)(x?3)2(x?2)(x?3)2(x?2)(x?3)2

，等式右边通分后比较两

12?(x?3)2(x?2)(x?3)2；令

2ABC???(x?2)(x?3)2x?2x?3(x?3)2边分子x的同次项的系数得：

A?B?0??A?22222??6A?5B?C?0B??2????解此方程组得：??22x?2x?3(x?2)(x?3)(x?3)?9A?6B?2C?2?C??2??

x1222322??(??)???(x?2)(x?3)2(x?3)2x?2x?3(x?3)2(x?3)2x?2x?3xdx322???dx?dx?dx 22???(x?2)(x?3)(x?3)x?2x?3?33?x?3????2lnx?2?2lnx?3?C?ln???C.?x?3x?2x?3??2★★★(7)?3xdx x3?1思路：将被积函数裂项后分项积分。

3x3(x?1)?333??? 3323x?1x?1x?x?1x?1?C令33?A?Bx，等式右边通分后比较两边分子x的同次项的系数得： x?1x?1x2?x?1解：

?A?B?0?A?1??A?B?C?0 解此方程组得：??B??1?A?C?3?C??2???

31?x?21x?2???? x3?1x?1x2?x?1x?1x2?x?1131313(2x?1)?(2x?1)(2x?1)2?2222而2x?2?22 ???2222x?x?1x?x?1x?x?1x?x?1x?x?1x?x?1 27

33x11(2x?1)??3dx??22dx??dx??2dxx?1x?x?1x?12x?x?11x?11 22)?lnx?1?1?3?d(d(x?x?1)?x2?x?1123x?2)2?12(32?3arctan2x?11?lnx?1?ln(x2?x?1)?C

23x?12x?1?3arctan?ln?C 23x?x?11?x?x2★★★(8)?22dx

(x?1)思路：将被积函数裂项后分项积分。 解：

1?x?x21x2????(x2?1)2x2?1(x2?1)2(x2?1)2

1?x?x21xdx??2dx??dx?dx?2?x2?1?(x2?1)2?(x2?1)2(x?1)2111dx2???2dx??2d(x?1)?2?(x2?1)22(x?1)2x?1

又由分部积分法可知：2?dxx1??dx (x2?1)2x2?1?x2?11?x?x2x1112x?1??2dx???C?(2)?C 222(x?1)x?12x?12x?1★★★(9)?xdx

(x?1)(x?2)(x?3)思路：将被积函数裂项后分项积分。 解：令

xx?3?313???

(x?1)(x?2)(x?3)(x?1)(x?2)(x?3)(x?1)(x?2)(x?1)(x?2)(x?3)3ABC???，

(x?1)(x?2)(x?3)x?1x?2x?3等式右边通分后比较两边分子x的同次项的系数得：

3?A?33??A?B?C?02?3?2?3?2 5A?4B?3C?0B??3??解之得：??(x?1)(x?2)(x?3)x?1x?2x?3?6A?3B?2C?3?3??C?2?而

111??

(x?1)(x?2)x?1x?2 28

3x112?????2(x?1)(x?2)(x?3)2x?1x?2x?3xdx11dx3dx?????dx?2??? (x?1)(x?2)(x?3)2x?1x?22x?313??lnx?1?2lnx?2?lnx?3?C.22x2?1★★★(10)?dx 2(x?1)(x?1)思路：将被积函数裂项后分项积分。 解：令

x2?1x2?1?212 ???222(x?1)(x?1)(x?1)(x?1)x?1(x?1)(x?1)2ABC???(x?1)2(x?1)x?1x?1(x?1)2，等式右边通分后比较两边分子x的同次项的系数

得：

11A?B?0,2A?C?0,A?B?C?2；解之得：A?,B??,C??1。

221122?2?1??(x?1)2(x?1)x?1x?1(x?1)211x?12?2?1??(x?1)2(x?1)x?1x?1(x?1)22

x2?11dx1dx1??dx???dx 22???(x?1)(x?1)2x?12x?1(x?1) ?1lnx?1?1lnx?1?22111?C ?lnx2?1??C. x?12x?1★★★(11)?1x(x2?1)dx

思路：将被积函数裂项后分项积分。 解：令

1x(x2?1)?ABx?C?2，等式右边通分后比较两边分子x的同次项的系数得： xx?1?A?B?0?A?111x???? ?C?0解之得：?B??1?22x(x?1)xx?1?A?1?C?0????1x11dx?dx?dx?lnx?d(x2?1)222???x2x?1x(x?1)x?1x11?lnx?ln(x2?1)?C?ln?C.22x?1

★★★(12)?dx 22(x?x)(x?1) 29

思路：将被积函数裂项后分项积分。 解：令

11 ?(x2?x)(x2?1)x(x?1)(x2?1)1ABCx?D???(x2?x)(x2?1)xx?1x2?1，等式右边通分后比较两边分子x的同次项的系数

得：

A?B?C?0,A?C?D?0,A?B?D?0,A?1，解之得：

111A?1,B??,C??,D??.

22211111x?1?2?????(x?x)(x2?1)x2x?12x2?111111x11 ???????(x2?x)(x2?1)x2x?12x2?12x2?1dx1111x1dx??2?dx?dx?dx?2?x?12?x2?12?x2?1(x?x)(x2?1)?x?1111?lnx?lnx?1??2d(x2?1)?arctanx24x?12

111?lnx?lnx?1?ln(x2?1)?arctanx?C.242★★★★★(13)?dx x4?1思路：将被积函数裂项后分项积分。 解：令

x4?1?(x2?1?2x)(x2?1?2x)

1Ax?BCx?D??x4?1x2?1?2xx2?1?2x，等式右边通分后比较两边分子x的同次项的系数

得：

?2?A??4?A?C?0?1??B???2A?B?2C?D?02解之得：????C?2?A?2B?C?2D?0??4B?D?1???D?1??2?

112x?212x?22(2x?2)?22(2x?2)?2??????4x2?1?2x4x2?1?2x88x4?1221221(x?)?(x?)?22222(2x?2)(2x?2)111?[?]?[?]84221221221221(x?)?(x?)?(x?)?(x?)?22222222dx2(2x?2)(2x?2)111??4?[?]dx?[?]dx??84x?1221221221221(x?)?(x?)?(x?)?(x?)?22222222

30

??dt1611111?dt?dt?dt(5?4t)(t2?1)9?5?4t18?t?12?t?1

411?ln5?4t?ln1?t?ln1?t?C9182dx411??ln5?4sinx?ln1?sinx?ln1?sinx?C.

(5?4sinx)cosx9182??注：比较上述两解法可以看出应用万能代换对某些题目可能并不简单！ ★★★★(8)?1?sinxdx

(1?cosx)sinx思路：将被积函数分项得，对两个不定积分分别利用代换t?cosx和万能代换！ 解：

??1?sinx11??

(1?cosx)sinx(1?cosx)sinx1?cosx1?sinx11dx??dx??dx

(1?cosx)sinx(1?cosx)sinx1?cosx1dtdx，令t?cosx,x?(0,?)，则dx??,sinx?1?t2;

(1?cosx)sinx1?t2对积分?1dtdt1?t2 ??dx?????22?2(1?cosx)sinx(1?t)(t?1)(1?t)(t?1)(1?t)1?t?dt令

1ABC???(1?t)2(t?1)t?11?t(1?t)2，等式右边通分后比较两边分子t的同次项的系数

得：

1?A??4A?B?0??11111111??B?????????2A?C?0解之得：??4(1?t)2(t?1)4t?141?t2(1?t)2?A?B?C?1??1?C???2?

??1111111dt?dt?dt?dt4?t?14?1?t2?(1?t)2(1?t)2(t?1)

1111?lnt?1?lnt?1???C14421?t11111dx?ln1?cosx?ln1?cosx???C1;

(1?cosx)sinx4421?cosx??1x1?t22dtdx，令t?tan,cosx?,dx?对积分?1?cosx21?t21?t2

36

2dt2dt221x1?t1?t??dx????dt?t?C?tan?C2;21?t2?1?t2?1?cosx21?1?1?t21?t21?sinx1111x??dx?ln1?cosx?ln1?cosx???tan?C3 (1?cosx)sinx4421?cosx2?1x1xxlntan?tan2?tan?C.22422dx1?x?13★★(9)?

思路：变无理式为有理式，变量替换t?31?x。 解：令t?31?x，则 1?x?t3,dx?3t2dt;

dx3t2dtt2dt132????3?3(t?1)dt?3dt?t?3t?3lnt?1?C????31?t1?t1?t21?x?1

3?3(1?x)2?331?x?3ln31?x?1?C.2★★(10)?1?(x)31?xdx

x。

思路：变无理式为有理式，变量替换t?解：令t???1?(x)3x，x?t2,dx?2tdt;

1?(t)3dx??2tdt?2?(t2?t?1)tdt?2?(t3?t2?t)dt1?t1?x

31212?t4?t3?t2?C?x2?x2?x?C.2323★★(11)?x?1?1dx 1?x?1x?1。

思路：变无理式为有理式，变量替换t?解：令t?x?1，则x?1?t2,dx?2tdt;

x?1?1t?1t2?tt2?t2??dx??2tdt?2?dt?2?dt?2?(t?2?)dt1?t1?t1?t1?t1?x?1★★★(12)?4dxx?x1?2?tdt?4?dt?4?dt?t2?4t?4lnt?1?C?x?4x?1?4ln(x?1?1)?C1?t

思路：变无理式为有理式，变量替换t?8x。 解：令t?8x,x?t8,dx?8t7dt;

??4dx8t7t5t5?t3?t3?t?tt3??24dt?8?dt?8dt?8(t?t?)dt222??t?t1?t1?t1?tx?x

?2t4?4t2?4ln(1?t2)?C?2x?44x?4ln(1?4x)?C★★★(13)?x3dx1?x2

37

思路：变无理式为有理式，三角换元。 解：令x?tant,t??2,则dx?sec2tdt.

??x3dx1?x2??tan3tsectsec2tdt??tan3tsectdt??tan2tdsect??(sec2t?1)dsect

?1sec3t?sect?C?13331?x2?1?x2?C.★★★(14)?a?xa?xdx 思路：将被积函数a?xxa?x 变形为a?

a2?x2后，三角换元。解：令x?asint,t??2;则dx?acostdt；

??a?xa?xdx??a?xa?asinta2?x2dx??acostacostdt?a?(1?sint)dt

?at?acost?C?aarcsinxa?a2?x2?C.注： 另一种解法，分项后凑微分。 ?a?xa?xdx??a?xa2?x2dx??aa2?x2dx??xa2?x2dx ??adx?112?a2?x2d(a2?x2)?aarcsinxa?a2?x2?C a1?(x)2a★★★(15)?dx3(x?1)2

(x?1)4思路：换元。 解：令x?1?2x?1?t，则

(x?1)2dx?dt. ??dxdx111?23313(x?1)2(x?1)4??3(x?1??32(?2)dt??2?tdt??2t3?Cx?1)2(x?1)2t ??33x?12x?1?C.

总习题四

★1、设f(x)的一个原函数是e?2x，则f(x)?().

(A) e?2x (B) -2e?2x (C) -4e?2x (D) 4知识点：原函数的定义考察。 思路分析：略。

38

e?2x 解：(B)。

★2、设?xf(x)dx?arcsinx?C，则?dx? 。 f(x)知识点：原函数的定义性质考察。

思路分析：对条件两边求导数后解出f(x)后代入到要求的表达式中，积分即可。 解：对式子?xf(x)dx?arcsinx?C两边求导数得：

xf(x)?11?x2,?f(x)?1x1?x2,?1f(x)?x1?x2;??dxf(x)??x1?x2dx?12?1?x2dx2??11

2?1?x2d(1?x2)??3(1?x2)3?C★★3、设

f(x2?1)?lnx2x2?2，且f(?(x))?lnx，求??(x)dx。

知识点：函数的定义考察。

思路分析：求出f(x)后解得?(x)，积分即可。 解：f(x2?1)?lnx2x2?1?1t?1?(x)?1x2?2?lnx2?1?1,?f(t)?lnt?1,?f(?(x))?ln?(x)?1,

又

f(?(x))?lnx,??(x)?1?(x)?1=x,??(x)?x?1x?1; ???(x)dx??x?1x?1dx??(1?2x?1)dx?x?2lnx?1?C ★★★4、设F(x)为f(x)的原函数，当x>0时，有f(x)F(x)?sin22x，且F(0)?1，试求f(x)。

知识点：原函数的定义性质考察。 思路分析：注意到dF(x)?f(x)dx，先求出F(x)，再求f(x) 即可。

解：

f(x)F(x)?sin22x；??f(x)F(x)dx??sin22xdx

即?F(x)dF(x)??sin22xdx,?12(F(x))2??sin22xdx,

?(F(x))2?2?sin22xdx??(1?cos4x)dx?x?14sin4x?C;

又F(0)?1,?C?1;?(F(x))2?x?14sin4x?1;(x?0.)

又F(x)?0,?F(x)?x?14sin4x?1, 又f(x)F(x)?sin22x,?f(x)?sin22x。

x?14sin4x?15、求下列不定积分。

39

F(x)?0 知识点：求不定积分的综合考察。 思路分析：具体问题具体分析。 ★★(1)?x2?5xdx

思路：变无理式为有理式，变量替换t?2?t22t,dx??dt, 解：令t?2?5x，则x?552?5x。

2?t22t2221??x2?5xdx??t?(?dt)???(2t2?t4)dt??(t3?t5)?C55252535

4230x?8??(2?5x)3?(2?5x)5?C??(2?5x)3?C.75125375★(2)?dxxx?12(x?1)

思路：变无理式为有理式，变量替换x?sect。 解：令x?sect,0?t??，则dx?secttantdt。

2??dxxx2?1??secttant1dt??dt?t?C?arccos?C secttantx2x3x★★★(3)?xxdx

9?42x2x()xxx23思路：将被积函数xx 变为3x=3229?4x21?(x)21?[()]33后换元或凑微分。

解：令t?(2)x，则dt?(2)xln2dx。

3332x()2x3x1dt1113??xdx?dx??(?)dt?2x2ln2?ln3?1?t22(ln3?ln2)?t?1t?19?4x1?[()]3

2x()?11t?11?ln?C?ln3?C.22(ln3?ln2)t?12(ln3?ln2)()x?1313x?2x ?ln?C 2(ln3?ln2)3x?2xx2★★(4)?66dx(a?0)

a?x思路：凑微分。 解：

x211113dx?dx?dx3,令t?x3, 632?a6?x63?a6?x6?3a?(x) 40

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