概率论与数理统计

《概率论与数理统计》课程论文

浅谈概率论的思想发展及应用

能源科学与工程学院

于晓滢 1130240415

哈尔滨工业大学

摘 要

概率论是一门历史悠久的学科，关于它的起源众说纷纭，不过大家都承认的是，概率论是研究偶然、随机现象的规律性的数学理论,它拥有着自己独立的研究问题和有代表性的思想方法，并在现代生活的多个方面发挥着作用，拥有着不可替代的地位。本文将总结概率论中所应用的几种典型思想方法及演变，并陈述概率论在当代生活中的几种必要应用，让我们对这一学科有一个更深刻的了解。

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目 录

摘 要 ................................................................................................................................................. I 第1章 概率论的诞生 ..................................................................................................................... 1

1.1前言 ..................................................................................................................................... 1 1.2诞生与发展 ......................................................................................................................... 1 第2章 概率论的思想 ..................................................................................................................... 2

2.1古典概型思想 ..................................................................................................................... 2 2.2几何概型思想 ..................................................................................................................... 2 2.3分析概率论 ......................................................................................................................... 2 2.4分析研究的深入 ................................................................................................................. 3 2.5公理化思想 ......................................................................................................................... 3 第3章 概率论思想的应用 ............................................................................................................. 4

3.1前言 ..................................................................................................................................... 4 3.2与数学建模思想的融合 ..................................................................................................... 4 3.3临床诊断的应用 ................................................................................................................. 4 3.4不等式的证明 ..................................................................................................................... 5 结论 .................................................................................................................................................. 7 参考文献........................................................................................................................................... 8

II

第1章 概率论的诞生

1.1前言

英国数学家格雷舍(Glaisber,1848一1928)曾经说过: “任何企图将一种科目和它的历史割裂开来,我确信,没有哪一种科目比数学的损失更大。”每一种理论的产生都有其历史背景与历史渊源，了解概率论的产生的历史背景，有助于了解对该学科研究对象、研究方法的深入理解，有利于总结成功和失败的经验教训，为后人的研究奠定坚实的基础，方便对这一学科做出更大的贡献。

1.2诞生与发展

人们对偶然现象的规律性探求，经历了很长的时期，但因受到生产力水平和科技水平的限制，研究很难继续进行下去，速度缓慢，以至人们一直认为偶然现象的规律性是“神秘且难以捉摸”的，直到唯物辩证法产生,人们才开始从研究偶然性与必然性这一对矛盾的对立统一中加深了认识。在文艺复兴时期，工业革命逐步蔓延，随着工业、航海等事业的不断发展，各类问题随之出现，急需一门分析研究随机现象的数学学科，这时概率论应时应景地出现了。

对于起源，很多人说是源于赌博其实这并不全面，以研究赌博问题著称的惠更斯在他1657年出版的《论赌博中的计算》集子中有一段很深刻的话:“在任何场合我认为如果读者仔细研究对象,当可注意到你所处理的不只是赌博而已,其中实际上包含着很有趣很深刻的理论的基础。”

从十七世纪开始到现在，概率论一步步地发展：有贝努利在大数定律的证明及对独立重复试验的研究；德莫哇佛尔在正态分布概型和中心极限定理方面的贡献；法国博物学家蒲丰对于探讨概率的统计定义和概率的几何定义所作出的贡献。虽然期间也存在着许多波折，但在如切比雪夫，马尔科夫，李雅普诺夫等多名优秀科学家所做的不懈研究中，概率论朝着越来越好的方向发展，直至目前，作为数学的分支, 概率论的高度抽象性、广泛应用性、严谨性的特点愈来愈明显地显示出来，并在不同方面、不同领域得以广泛应用为人们的生产生活做出了巨大贡献。

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第2章 概率论的思想

2.1古典概型思想

从赌博问题开始讨论的初级概率论，主要是研究有限个基本事件且每个事件出现的概率相等，但是通常考虑的是一个事件反复出现的情况，当N非常大的时候并不便于计算，不过大家发现大量重复进行实验时，某一事件出现的频率趋近于某一固定值，体现了“大数定律”的思想，该种思想由贝努利证明。继贝努利后，棣莫弗也有了重大贡献，如定义了独立事件的乘法定理，给出了二项分布，斯特林公式等等。

2.2几何概型思想

现实生活中人们必须把等可能思想应用到含无穷多个事件的情况，就产生了几何概率。其中较著名的就是“蒲丰投针试验”。

关于这个问题不得不提到的就是“贝叶斯定理”假定A1，A2，...， Ak是两两不相容事件，且对一切i有P (Ai) >0，则对任意事件B，有:

P(Ai|B)?P(Ai)P(B|Ai)?P(A)P(B|A)jjj?1n(i?1,2,...n)此时P(Ai)叫做先验概率，而P ( Ai | B)是

后验概率。他的方法是，在计算一个事件的概率时，使用了人们对这个事件概率的一个估计，即先验概率。

2.3分析概率论

自牛顿和莱布尼茨创立微积分以来, 18世纪的数学家对这一领域进行了深入的研究，从而形成了“分析”这样一个在观念和方法上都具有鲜明特征的数学领域。可以说分析是统治18世纪数学的特殊领域。

在这其中，最有代表性的拉普拉斯，他极大地发展了概率论, 在研究概率论时他运用了微分方程, 特征函数，积分等分析工具。1812年拉普拉斯出版了他的《概率的分析理论》，开创了概率论发展的新阶段, 实现了概率论研究由组合技巧向分析方法的过渡。《概率的分析理论》明确地给出了概率的古典定义(事件的概率等于有利于事件的结果数与所有可能的结果数之比); 独立事件的加法、乘法法则，推广了伯努利在大数定律方面的工作, 导出了二项分布渐近于正态分布的中心极限定理。

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2.4分析研究的深入

法国的数学家,尤其是拉普拉斯和泊松,他们对概率论的研究很快被人们了解,而且在俄国取得了进一步的发展。保险业,人口统计,对观测的数学处理以及数学发展内在逻辑的需要,这些都促进了概率论在俄国的发展。

从雅各布·伯努利到切比雪夫以及马尔可夫等数学家,他们对大数定律的研究实质上是对大数定律条件的推广,即扩大了满足大数定律的随机变量序列的范围,其科学

价值在于发现了大数定律的一般条件,而这揭示了平均值的统计稳定性,即随机的规

律性。

2.5公理化思想

最早对概率论进行公理化尝试的是俄国数学家伯恩斯坦和奥地利数学家米泽斯。1927年伯恩斯坦发表了一篇“论概率论的公理化基础”的文章，同年的《概率论》第一版出版。该书给出了一个详细的概率论公理体系。伯恩斯坦在这里引进了三个公理:（1）概率的可比较性公理（2）不相容事件公理 (3) 事件组合公理，他们构造了概率论的整个大厦。

从20世纪20年代开始，通过对概率论基本概念—事件与概率的仔细分析，人们发现事件的运算与集合的运算完全类似概率与测度有相同的性质。在这其中成就最卓越的是原苏联数学家柯尔莫戈洛夫，他通过函数论的方法和概念，建立大数定律的充分必要条件。

法国数学家莱维(1886-1971)，原苏联数学家辛钦，日本数学家伊藤清(1915-)等又在公理化基础上取得了一系列理论突破。如，莱维从样本函数角度研究随机过程的思想，辛钦证明了重对数律，20世纪40年代伊藤清率先对布朗运动引进随机积分由此建立了概率论的一个新分支—随机分析学。

简言之，公理化就是将概率概念从具体频率解释抽象出来，然后再从公理化系统回到现实世界之中。这样，概率论的应用范围大大拓宽了。

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第3章 概率论思想的应用

3.1前言

概率论现在是一门应用相当广泛的学科，其思想方法渗透到自然科学和社会科学等多个方面，因为它属于数学的一门重要分支，所以与数学的相关知识联系相当紧密，所以接下来将简单介绍概率论在医学，不等式证明，数学公式及定理的推导中的妙用。

3.2与数学建模思想的融合

数学建模是用数学符号表示出来的一个或一组数学表达式，以及图表、图像、图示等，描述现实系统特征及其内在联系的一种抽象工具其中包括问题的简化与假设，模型的建立与求解，模型的分析与评价及模型的检验与应用。而在现实生活和生产实践中，模型的应用无处不在，而这些模型中有很多是概率模型，可以说，概率模型是来源于实践又最快地应用于实践。

概率论的出现主要与赌资分配有关，举一个简单的情形:甲、乙两个人赌博，投掷一枚均匀硬币，猜正反面.两人各拿出100元，共200元，约定谁先胜3局，则甲赢得全部赌注200元.因为某种原因，在赌完3局之后，赌局被中断，此时甲2胜1负，问这200元赌资该如何分配，才算公平.这个问题可以在第一次课时留给大家思考，而在学完等可能概型及全概率公式之后，给出两种计算方法.

对于等可能概型，甲、乙两人只要赌完5局，一定有人可以赢得赌资.已赌3局，后2局有4种可能结果，这些结果中甲赢的有3种，乙赢只有1种，所以赌注的公平分配应按3:1的比例，即甲得150元，乙得50元.

对于全概率公式，若甲、乙进行第4局，甲胜和甲负构成完备事件组，甲胜则赢得全部赌资，若负，甲在第5局胜的概率也为胜，所以甲赢得全部赌资的概

1113?1???244，结果与使用等可能概型的方法一致. 率为2

3.3临床诊断的应用

问题：常用检测手段用于人群普查时为什么失灵”

对一些病人的诊断中，医生根据病人的口述及表现，再加上临床经验，作出

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大体的判断，再进一步做化验或检查，依据结果，就能做出较准确的判断。此时，化验或检查的准确率相当高。但是在人群普查时，这些化验或检查手段往往失灵”，增加患者心理负担，也使人怀疑这些检测手段是否可靠。事实上，由贝叶斯公式，这些问题都能得到圆满解答。

例：假如患肺结核的人通过胸透能被诊断出患肺结核病的概率是0. 95，而没有患肺结核的人通过胸透被误诊为患肺结核的概率是0. 002。又设某人群患肺结核的概率是0. 001,现在对该人群进行普查，若有一人进行胸透检查被诊断为患肺结核，试问他确实患肺结核的概率是多少?

解:设事件D表示事实上确患肺结核”，事件T表示驹透检查诊断他患肺结核”。依题意可知:

P?CD?=0. 001, P(D)=0. 999;P(T|D)?0.95,P(T|D)?0.05,P(T|D)?0.998,P(T|D)?0.002 用全概率公式得：

P(T)?P(D)?P(T|D)?P(D)?P(T|D)?0.002948 用贝叶斯公式得:

P(D|T)?P(D)?P(T|D)P(T)?0.001?0.95/0.002948?0.32225

通过实验表明，即使检查手段的灵敏度和特异度都较高，检测结果的准确率也只有32%。

其实，许多有经验的医师其实都是不自觉的概率统计学者。临床医学的特点决定了它与概率统计的关系。所以，如果一位青年医务工作者或者医学科学工作者能够掌握概率统计的方法，并把它作为工具来分析实验结果或临床中遇到的一些问题，那么他一定可以在短时间内成为较有经验的医师或医学科学家。

3.4不等式的证明

证明不等式是初等数学的难点，如果能灵活运用概率的概念、公式和性质，恰当地构造事件或者随机变量，就可以证明一些不等式，达到意想不到的效果。下面举一个实例来说明这个问题。

???????an?设?an??,bn?均为正的收敛数列，则??bn????anbn?????b???i?1??i?1??i?1n?

?2证明：对于正的收敛数列?an?,也可以构造离散型随机变量P（??an）?Ck?0,显然?Ck?1i?1?

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再利用随机变量?的数学期望和其函数1?的数学期望的乘积不小于1，即E??E1??1

bn????ncn??得??ancn????1,选取C??0代入上式即可证得?n??a??i?1??i?1n??bni?1

利用概率论的思想方法证明等式、不等式等数学公式有一定的优越性，其关 键问题是根据式子的具体形式如何构造出概率模型，再利用概率的有关概率分布、性质、中心极限定律、大数定律等来解决问题，同时我们还发现，运用概率论思想来证明问题时其方法的简捷、独特，值得我们恰当利用概率思想分析以前的数学问题，寻求解法创新，有助于加深对概率知识的理解和掌握。

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结论

概率论是数学学科的一门重要分支，凭借独特的思想性和广泛的应用性越来越受到人们的青睐，随着科技的发展和社会的进步，概率论不仅仅局限于数学方面的单一应用，它的作用在更多的方面得到了发挥，如临床诊断，统计学，大数据等，从数据中挖掘出更多值得利用的东西，更大的程度上给人们的生活带来了更多方便。

在日常教学中，概率论这门课一般在大学里开设，有了高等数学的工具，概率论的计算有了解决方法，而在这门课的学习中，最重要的是思想的理解与应用，所以对于学生来说想学好这门课，重中之重是思想方法的掌握，这样才算是找到进入概率论的最好捷径，切记不要单纯地背公式，最后根本没有掌握概率论的核心，最后只是徒劳；因此对于老师来说较重要的也是将教学重点放在思想的传授，在课堂教学中较重要的是所用定理的证明的“推导”在推导中让学生更好地领会所用的思想方法，这样才能使学生更好地理解。

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参考文献

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[3]马发强,李建,郭晓敏.概率论中的数学分析思想[J].才智,2008,19:215.

[4]张宏广.概率论思想的妙用[J].承德民族师专学报,2008,02:10-11.

[5]余宏旺.概率论思想方法在代数中的应用[J].安徽农业技术师范学院学报,2001,01:54-56.

[6]阮丹,徐赐文.概率论方法证明数学公式的若干实例[J].中央民族大学学报(自然科学版),2013,S1:94-97.

[7]侯嫚丹.数学建模思想融入概率论与数理统计的研究[J].高师理科学刊,2013,03:76-79.

[8]张艳娥,孙建平,曹艳霞.临床诊断中的概率思想[J].数理医药学杂志,1999,02:77-78.

[9]叶林,邓筱红.将数学建模思想、方法融入概率论与数理统计课程教学的一点尝试[J].工程数学学报,2003,08:93-96.

[10]刘银萍,赵志文.若干问题的概率论解法[J].吉林师范大学学报(自然科学版),2003,04:15-16.

[11]高聿清.在概率论教学中培养学生学习兴趣的做法[J].高等农业教育,1988,01:37-39.

[12]鲍德林.浅谈概率论中的数学思想[J].淮阴师范学院教育科学论坛,2008,03:70-71.

[13]周红霞.利用概率思想解题探讨[J].湖北大学成人教育学院学报,2002,01:73-75.

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参考文献

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[13]周红霞.利用概率思想解题探讨[J].湖北大学成人教育学院学报,2002,01:73-75.

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