数列文科2009年全国高考题

一．选择题

1.(2009年广东卷文)已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9=2a5，a2=1，则a1= A.

212 B. C. 222 D.2

28【答案】B【解析】设公比为q,由已知得a1q?a1q?2a1q所以q??42?,即q2?2,又因为等比数列{an}的公比为正数，

2,故a1?a212,选B ??q22为等差数列，

，则

等于

2.（2009安徽卷文）已知

A. -1 B. 1 C. 3 D.7

【解析】∵a1?a3?a5?105即3a3?105∴a3?35同理可得a4?33∴公差d?a4?a3??2∴a20?a4?(20?4)?d?1.选B。【答案】B

3.（2009江西卷文）公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn.若a4是a3与a7的等比中项, S8?32,则S10等于

A. 18 B. 24 C. 60 D. 90

. 2答案：C【解析】由a4?a3a7得(a1?3d)2?(a1?2d)(a1?6d)得2a1?3d?0,再由S8?8a1?56d?32得 22a1?7d?8则d?2,a1??3,所以S10?10a1?90d?60,.故选C 24（2009湖南卷文）设Sn是等差数列?an?的前n项和，已知a2?3，a6?11，则S7等于【 】 A．13 B．35 C．49 D． 63解: S7?7(a1?a7)7(a2?a6)7(3?11)???49.故选C. 222?a2?a1?d?3?a1?1??或由?, a7?1?6?2?13.

a?a?5d?11d?2?1?6 所以S7?7(a1?a7)7(1?13)??49.故选C. 225.（2009辽宁卷文）已知?an?为等差数列，且a7－2a4＝－1, a3＝0,则公差d＝

（A）－2 （B）－

11 （C） （D）2 221【答案】B 2【解析】a7－2a4＝a3＋4d－2(a3＋d)＝2d＝－1 ? d＝－

6.（2009四川卷文）等差数列｛an｝的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列的前10项之和是

A. 90 B. 100 C. 145 D. 190

【答案】B【解析】设公差为d，则(1?d)2?1?(1?4d).∵d≠0，解得d＝2，∴S10＝100 7.（2009湖北卷文）设x?R,记不超过x的最大整数为[x],令{x}=x-[x]，则{A.是等差数列但不是等比数列 B.是等比数列但不是等差数列 C.既是等差数列又是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 【答案】B【解析】可分别求得?5?15?15?1}，[], 222?5?1???????2??5?15?1，[]?1.则等比数列性质易得三者构成等比数列. 228.（2009湖北卷文）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：

他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数。下列数中及时三角形数又是正方形数的是 A.289 B.1024 C.1225 D.1378 【答案】C【解析】由图形可得三角形数构成的数列通项a?nn(n?1)，同理可得正方形数构成的数列通项2bn?n2，则由bn?n2(n?N?)可排除A、D，又由an?n(n?1)知an必为奇数，故选C. 229.（2009宁夏海南卷文）等差数列?an?的前n项和为Sn，已知am?1?am?1?am?0，S2m?1?38,则m?

（A）38 （B）20 （C）10 （D）9

. 2【答案】C【解析】因为?an?是等差数列，所以，am?1?am?1?2am，由am?1?am?1?am?0，得：2am－am

2

＝0，所以，am＝2，又S2m?1?38，即

(2m?1)(a1?a2m?1)＝38，即（2m－1）×2＝38，解得m＝10，故选.C。

210.（2009重庆卷文）设?an?是公差不为0的等差数列，a1?2且a1,a3,a6成等比数列，则?an?的前n项和Sn=（ ）

n27nn25nn23n? C．? A． B．?332444D．n?n

2【答案】A解析设数列{an}的公差为d，则根据题意得(2?2d)2?2?(2?5d)，解得d?1或d?0（舍2n(n?1)1n27n???去），所以数列{an}的前n项和Sn?2n? 224411.（2009四川卷文）等差数列｛an｝的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列的前10项之和是

A. 90 B. 100 C. 145 D. 190

. 【答案】B【解析】设公差为d，则(1?d)2?1?(1?4d).∵d≠0，解得d＝2，∴S10＝100 二．选择题

1（2009浙江文）设等比数列{an}的公比q?1S，前n项和为Sn，则4? ． 2a4【命题意图】此题主要考查了数列中的等比数列的通项和求和公式，通过对数列知识点的考查充分体现了通项

公式和前n项和的知识联系．

a1(1?q4)s41?q43【解析】对于s4?,a4?a1q,??3?15

1?qa4q(1?q)2.（2009浙江文）设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8?S4，S12?S8，S16?S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4， ， ，

T16成等比数列． T12答案：

T8T12,【命题意图】此题是一个数列与类比推理结合的问题，既考查了数列中等差数列和等比数列的T4T8知识，也考查了通过已知条件进行类比推理的方法和能力

【解析】对于等比数列，通过类比，有等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，

T8T12T16，成等比数列． ,T4T8T123.（2009北京文）若数列{an}满足：a1?1,an?1?2an(n?N?)，则a5? ；前8项的和S8? .（用数字作答）

【解析】本题主要考查简单的递推数列以及数列的求和问题.属于基础知识、基本运算的考查.

.wm a1?1,a2?2a1?2,a3?2a24,a4?2a3?8,a5?2a4?16，

28?1?255，∴应填255. 易知S8?2?14.(2009山东卷文)在等差数列{an}中,a3?7,a5?a2?6,则a6?____________.

【解析】:设等差数列{an}的公差为d,则由已知得??a1?2d?7?a1?4d?a1?d?6解得??a1?3,所以a6?a1?5d?13.

?d?2答案:13.【命题立意】:本题考查等差数列的通项公式以及基本计算.

5.（2009全国卷Ⅱ文）设等比数列{an}的前n项和为sn。若a1?1,s6?4s3，则a4= × 答案：3解析：本题考查等比数列的性质及求和运算，由a1?1,s6?4s3得q3=3故a4=a1q3=3。 6.（2009陕西卷文）设等差数列?an?的前n项和为sn,若a6?s3?12,则an? .

. 答案:2n解析:由a6?s3?12可得?an?的公差d=2,首项a1=2,故易得an?2n.

7.（2009宁夏海南卷文）等比数列{an}的公比q?0, 已知a2=1，an?2?an?1?6an，则{an}的前4项和

S4= 【答案】

15n?1nn?12【解析】由an?2?an?1?6an得：q?q?6q，即q?q?6?0，q?0，解得：q＝2，又21(1?24)115＝。 a2=1，所以，a1?，S4?2221?2三．解答题

1.(2009年广东卷文)（本小题满分14分） 已知点（1，

1x）是函数f(x)?a(a?0,且a?1）的图象上一点，等比数列{an}的前n项和为f(n)?c,数3列{bn}(bn?0)的首项为c，且前n项和Sn满足Sn－Sn?1=Sn+Sn?1（n?2）. （1）求数列{an}和{bn}的通项公式； （2）若数列{

10001的最小正整数n是多少? }前n项和为Tn，问Tn>

2009bnbn?1 . 1?1?【解析】（1）Qf?1??a?,?f?x????3?3?x12f2?c?f1?c???a1?f?1??c??c ,a2????, ????????392f3?c?f2?c????? a3?? . ????????2742a21又数列?an?成等比数列，a1?2?81????c ，所以 c?1；

a3?23327

a12?1?又公比q?2?，所以an????a133?3?QSn?Sn?1?n?1?1???2?? n?N* ；

?3?n?Sn?Sn?1??Sn?Sn?1?Sn?Sn?1 ?n?2?

?又bn?0,Sn?0, ?Sn?Sn?1?1； 数列

?S?构成一个首相为1公差为1的等差数列，n2Sn?1??n?1??1?n ， Sn?n2

2当n?2， bn?Sn?Sn?1?n??n?1??2n?1 ；

?bn?2n?1(n?N*)；

（2）Tn?11111111 ????K????L?b1b2b2b3b3b4bnbn?11?33?55?7(2n?1)??2n?1?1???3?11?1?1?11?1?1????K???????2n?2n1??3?5?25?7?21?n?11? ； ?1?????2122n?12n?1??? ?1??1?2?n100010001000?得n?，满足Tn?的最小正整数为112. 2n?1200992009*2（2009浙江文）（本题满分14分）设Sn为数列{an}的前n项和，Sn?kn2?n，n?N，其中k是常数．

由Tn? （I） 求a1及an；

（II）若对于任意的m?N，am，a2m，a4m成等比数列，求k的值． 解析：（Ⅰ）当n?1,a1?S1?k?1，

n?2,an?Sn?Sn?1?kn2?n?[k(n?1)2?(n?1)]?2kn?k?1（?） 经验，n?1,（?）式成立， ?an?2kn?k?1 （Ⅱ）?am,a2m,a4m成等比数列，?a2m?am.a4m，

即(4km?k?1)2?(2km?k?1)(8km?k?1)，整理得：mk(k?1)?0， 对任意的m?N?成立， ?k?0或k?1 3.（2009北京文）（本小题共13分）

设数列{an}的通项公式为an?pn?q(n?N,P?0). 数列{bn}定义如下：对于正整数m，bm是使得不等式an?m成立的所有n中的最小值.

（Ⅰ）若p??*211,q??，求b3； 23（Ⅱ）若p?2,q??1，求数列{bm}的前2m项和公式；

（Ⅲ）是否存在p和q，使得bm?3m?2(m?N?)？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由.

【解析】本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、 分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式综合的较难层次题.

（Ⅰ）由题意，得an? ∴

111120n?，解n??3，得n?. 23233 . 11n??3成立的所有n中的最小整数为7，即b3?7. 23 （Ⅱ）由题意，得an?2n?1， 对于正整数，由an?m，得n?m?1. 2根据bm的定义可知

**当m?2k?1时，bm?kk?N；当m?2k时，bm?k?1k?N.

????∴b1?b2???b2m??b1?b3???b2m?1???b2?b4???b2m? ??1?2?3???m????2?3?4????m?1???

m?m?1?m?m?3???m2?2m. ?22（Ⅲ）假设存在p和q满足条件，由不等式pn?q?m及p?0得n?m?q. p∵bm?3m?2(m?N?),根据bm的定义可知，对于任意的正整数m 都有

3m?1?m?q?3m?2，即?2p?q??3p?1?m??p?q对任意的正整数m都成立. pp?q2p?q（或m??）， 3p?13p?1 当3p?1?0（或3p?1?0）时，得m?? 这与上述结论矛盾！ 当3p?1?0，即p?12121时，得??q?0???q，解得??q??. 33333? ∴ 存在p和q，使得bm?3m?2(m?N)；

p和q的取值范围分别是p?4(2009山东卷文)（本小题满分12分）

等比数列{an}的前n项和为Sn， 已知对任意的n?N ，点(n均在函数y?b?r(b?0且b?1,b,r,S)n，

?121，??q??. 333 . x

均为常数)的图像上.

（1）求r的值； （11）当b=2时，记 bn??n?1(n?N?) 求数列{bn}的前n项和Tn 4an解:因为对任意的n?N,点(n,Sn)，均在函数y?bx?r(b?0且b?1,b,r均为常数)的图像上.所以得

Sn?bn?r,

当n?1时,a1?S1?b?r,

当n?2时,an?Sn?Sn?1?bn?r?(bn?1?r)?bn?bn?1?(b?1)bn?1, 又因为{an}为等比数列, 所以r??1, 公比为b, 所以an?(b?1)bn?1 （2）当b=2时，an?(b?1)bn?1?2n?1, bn?则Tn?n?1n?1n?1 ??n?1n?14an4?22234n?1????? 2223242n?11234nn?1Tn??????? 345n?1n?2222222121111n?1相减,得Tn?2?3?4?5???n?1?n?2

222222211?(1?)n?11n?1123n?132 ??n?2??n?1?n?2

1422221?231n?13n?3所以Tn??n?n?1??n?1

22222【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知Sn求an的基本题型,并运用错位相减法求出一等比数列与一等差数列对应项乘积所得新数列的前n项和Tn. 5（2009全国卷Ⅱ文）（本小题满分10分）

已知等差数列{an}中，a3a7??16,a4?a6?0求{an}前n项和sn.

. 解析：本题考查等差数列的基本性质及求和公式运用能力，利用方程的思想可求解。 解：设?an?的公差为d，则

???a1?2d??a1?6d???16 ???a1?3d?a1?5d?0

?a12?8da1?12d2??16即? ?a1??4d?a1??8,?a1?8解得? 或?d?2,d??2??因此Sn??8n?n?n?1??n?n?9?，或Sn?8n?n?n?1???n?n?9? 6.（2009安徽卷文）（本小题满分12分） 已知数列{

} 的前n项和

}与{

}的通项公式；

＜

，数列{}的前n项和

（Ⅰ）求数列{（Ⅱ）设

，证明：当且仅当n≥3时，

?a1 (n?1) 【思路】由a??可求出an和bn，这是数列中求通项的常用方法之一，在求出an和bn后，进而

s?s (n?2)n?1?n得到cn，接下来用作差法来比较大小，这也是一常用方法。 【解析】(1)由于a1?s1?4

当n?2时, an?sn?sn?1?(2n2?2n)?[2(n?1)2?2(n?1)]?4n?am?4n(n?N*) 又当x?n时bn?Tn?Tn?1?(2?6m)?(2?bm?1)?2bn?bn?1

11?数列?bn?项与等比数列,其首项为1,公比为?bn?()n?1

221(n?1)?1216(n?1)?()1n?1Cn?1(n?1)2222(2)由(1)知C1?a1?bn?16n?()? ??212Cn2n16n2?()n?12Cn?1(n?1)2由?1得?1即n2?2n?1?0?n?1?2即n?3

Cn2n又n?3时

(n?1)2Cn?1?1?1由于Cn?0恒成立. 成立,即2n2Cn . 因此,当且仅当n?3时, Cn?1?Cn 7.（2009江西卷文）（本小题满分12分） 数列{an}的通项an?n(cos(1) 求Sn;

22n?n??sin2)，其前n项和为Sn. 33

S3n,求数列｛bn｝的前n项和Tn. nn?4n?2n?2n??sin2?cos解: (1) 由于cos,故

333(2) bn?S3k?(a1?a2?a3)?(a4?a5?a6)???(a3k?2?a3k?1?a3k) 12?2242?52(3k?2)2?(3k?1)2222?(??3)?(??6)???(??(3k)))222?133118k?5k(9k?4)?????, 2222k(4?9k)S3k?1?S3k?a3k?,

2S3k?2k(4?9k)(3k?1)213k?21?S3k?1?a3k?1????k???,

22236n1???,n?3k?2?36??(n?1)(1?3n),n?3k?1 (k?N*) 故 Sn??6??n(3n?4),n?3k?6?(2) bn?S3n9n?4?, nnn?42?4113229n?4Tn?[?2???],

2444n1229n?44Tn?[13????n?1],

244两式相减得

99?n1999n?4144?9n?4]?8?1?9n, 3Tn?[13????n?1?n]?[13?n2n?32n?11244424221?4813n?. 故 Tn??2n?32n?133?228.（2009天津卷文）（本小题满分12分）

已知等差数列{an}的公差d不为0，设Sn?a1?a2q???anqn?1

Tn?a1?a2q???(?1)n?1anqn?1,q?0,n?N*

（Ⅰ）若q?1,a1?1,S3?15 ,求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若a1?d,且S1,S2,S3成等比数列，求q的值。

（Ⅲ）若q??1,证明（1?q）S2n2dq(1?q2n)* ?(1?q)T2n?,n?N21?q【答案】（1）an?4n?3（2）q??2（3）略

【解析】 （1）解：由题设，S3?a1?(a1?d)q?(a1?2d)q2,将q?1,a1?1,S3?15 代入解得d?4，所以an?4n?3n?N*

（2）解：当a1?d,S1?d,S2?d?2dq,S3?d?2dq?3dq2,?S1,S2,S3成等比数列，所以S2?S1S3，

2即（d?2dq）?d（d?2dq?3dq2)，注意到d?0，整理得q??2

2（3）证明：由题设，可得bn?qn?1，则

S2n?a1?a2q?a3q2??a2nq2n?1 ① T2n?a1?a2q?a3q2???a2nq2n?1 ②

①-②得，

S2n?T2n?2(a2q?a4q3???a2nq2n?1)

①+②得，

S2n?T2n?2(a1q?a3q2???a2n?1q2n?2) ③

③式两边同乘以 q，得q(S2n?T2n)?2(a1q?a3q2???a2n?1q2n?2) 所以(1?q)S2n?(1?q)T2n?2d(q?q???q32n?12dq(1?q2n) )?21?q（3）证明：c1?c2?(ak1?al1)b1?(ak2?al2)b2?(akn?aln)bn

1n?1=(k1?l1)db 1?(k2?l2)db1q???(kn?ln)db1q因为d?0,b1?0，所以

c1?c2?(k1?l1)?(k2?l2)q???(kn?ln)qn?1 db1若kn?ln，取i=n，

若kn?ln，取i满足ki?li，且kj?lj，i?1?j?n 由（1）（2）及题设知，1?i?n，且

c1?c2?(k1?l1)?(k2?l2)q???(kn?ln)qn?1 db1① 当ki?li时，ki?li??1，由q?n，ki?li?q?1,i?1,2?,i?1 即k1?l1?q?1，(k2?l2)q?q(q?1),?(ki?1?li?1)qi?2?q(q?1)i?2

c1?c21?qi?1i?2i?1所以?(q?1)?(q?1)q???(q?1)q?q?(q?1)?qi?1??1

db11?q因此c1?c2?0

② 当ki?li时，同理可得综上，c1?c2

【考点定位】本小题主要考查了等差数列的通项公式，等比数列通项公式与前n项和等基本知识，考查运

算能力和推理论证能力和综合分析解决问题的能力。 9（2009四川卷文）（本小题满分14分）

设数列?an?的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an?5Sn?1成立，记bn?（I）求数列?an?与数列?bn?的通项公式；

（II）设数列?bn?的前n项和为Rn，是否存在正整数k，使得Rn?4k成立？若存在，找出一个正整数k；若不存在，请说明理由；

（III）记cn?b2n?b2n?1(n?N*)，设数列?cn?的前n项和为Tn，求证：对任意正整数n都有Tn?【解析】（I）当n?1时，a1?5S1?1,?a1??又?an?5Sn?1,an?1?5Sn?1?1

c1?c2??1,因此c1?c2?0 db14?an(n?N*)。1?an

3； 214

?an?1?an?5an?1,即an?11?? an411，公比为q??的等比数列， 441n4?(?)1n4(n?N*) …………………………………3分 ∴an?(?)，bn?141?(?)n4∴数列?an?是首项为a1??（II）不存在正整数k，使得Rn?4k成立。

4?(?1证明：由（I）知bn?14)n?4?5

1?(?n(?4)n?14)5552015?16k?b?402k?1?b2k?8?(?4)2k?1?1?(?4)2k?1?8?16k?1?16k?4?8?(16k?1)(16k?4)?8.

∴当n为偶数时，设n?2m(m?N?)

∴Rn?(b1?b2)?(b3?b4)???(b2m?1?b2m)?8m?4n 当n为奇数时，设n?2m?1(m?N?)

∴Rn?(b1?b2)?(b3?b4)???(b2m?3?b2m?2)?b2m?1?8(m?1)?4?8m?4?4n ∴对于一切的正整数n，都有Rn?4k

∴不存在正整数k，使得Rn?4k成立。 …………………………………8分 （III）由bn?4?5(?4)n?1得

5515?16n15?16n15?16nc15n?b2n?1?b2n?42n?1?42n?1?1?(16n?1)(16n?4)?(16n)2?3?16n?4?(16n)2?16nb131?3,b2?3,?c?423，

当n?1时，T?312，

当n?2时， 1T43(11142[1?(1)n?2]n??25?1616162?163???16n)?3?25?1?1161

?43?25?1626931?1?48?216 …………………………………14分

10.（2009湖南卷文）（本小题满分13分）

对于数列{un},若存在常数M＞0,对任意的n?N*，恒有

un?1?un?un?un?1???u2?u1?M,

又

则称数列{un}为B?数列. （Ⅰ）首项为1，公比为?1的等比数列是否为B-数列？请说明理由; 2（Ⅱ）设Sn是数列{xn}的前n项和.给出下列两组判断：

A组：①数列{xn}是B-数列, ②数列{xn}不是B-数列; B组：③数列{Sn}是B-数列, ④数列{Sn}不是B-数列.

请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题. 判断所给命题的真假，并证明你的结论；

2(Ⅲ)若数列{an}是B-数列，证明：数列{an}也是B-数列。

解: （Ⅰ）设满足题设的等比数列为{an},则an?(?)12n?1.于是

1131an?an?1?(?)n?1?(?)n?2??()n?2,n?2.

2222|an?1?an|?|an?an?1|???|a2?a1|

=

3?1121n-1?1n??=??1??（）???（）3?1?（）??3. ??2?2222???1的等比数列是B-数列 2所以首项为1，公比为?（Ⅱ）命题1：若数列{xn}是B-数列，则数列{Sn}是B-数列.此命题为假命题.

事实上设xn=1，n?N，易知数列{xn}是B-数列，但Sn=n，

|Sn?1?Sn|?|Sn?Sn?1|???|S2?S1|?n.

由n的任意性知，数列{Sn}不是B-数列。

命题2：若数列{Sn}是B-数列，则数列{xn}不是B-数列。此命题为真命题。 事实上，因为数列{Sn}是B-数列，所以存在正数M，对任意的n?N，有

|Sn?1?Sn|?|Sn?Sn?1|???|S2?S1|?M,

即|xn?1|?|xn|???|x2|?M.于是xn?1?xn?xn?xn?1???x2?x1

**?xn?1?2xn?2xn?1???2x2?x1?2M?x1,

所以数列{xn}是B-数列。

（注：按题中要求组成其它命题解答时，仿上述解法）

(Ⅲ)若数列?an?是B-数列，则存在正数M，对任意的n?N?,有 an?1?an?an?a?n1???a?2a?1. M因为an?an?an?1?an?1?an?2???a2?a1?a1

?an?an?1?an?1?an?2???a2?a1?a1?M?a1.

22记K?M?a1，则有an?1?an?(an?1?an)(an?1?an)

?(an?1?an)an?1?an?2Kan?1?an.

222222因此an?1?an?an?an?1?...?a2?a1?2KM. 2故数列an是B-数列.

??11（2009辽宁卷文）（本小题满分10分）

等比数列{an}的前n 项和为sn，已知S1,S3,S2成等差数列 （1）求{an}的公比q； （2）求a1－a3＝3，求sn

解：（Ⅰ）依题意有

a1?(a1?a1q)?2(a1?a1q?a1q) 由于 a1?0，故 2q?q?0

221212（?）?3 （Ⅱ）由已知可得a1?a12 故a1?4

又q?0，从而q?－ 5分

1n（41?（?））81n2 从而Sn? 10分 ?（1?（?））1321?（?）2

12.（2009陕西卷文）（本小题满分12分）

1’a2?2,an＋2＝已知数列?an}满足， a1＝an?an?1,n?N*. 2???令bn?an?1?an，证明：{bn}是等比数列；

(Ⅱ)求?an}的通项公式。 （1）证b1?a2?a1?1, 当n?2时，bn?an?1?an?所以?bn?是以1为首项，?an?1?an11?an??(an?an?1)??bn?1, 2221为公比的等比数列。 21n?1（2）解由（1）知bn?an?1?an?(?),

2当n?2时，an?a1?(a2?a1)?(a3?a2)???(an?an?1)?1?1?(?)???(?)1212n?2

11?(?)n?1215212?1?[1?(?)n?2]??(?)n?1, ?1?1323321?(?)25211?1当n?1时，?(?)?1?a1。

332521n?1*所以an??(?)(n?N)。

33213.（2009四川卷文）（本小题满分14分）

设数列?an?的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an?5Sn?1成立，记bn?（I）求数列?an?与数列?bn?的通项公式；

（II）设数列?bn?的前n项和为Rn，是否存在正整数k，使得Rn?4k成立？若存在，找出一个正整数k；若不存在，请说明理由；

（III）记cn?b2n?b2n?1(n?N*)，设数列?cn?的前n项和为Tn，求证：对任意正整数n都有Tn?【解析】（I）当n?1时，a1?5S1?1,?a1??又?an?5Sn?1,an?1?5Sn?1?1

4?an(n?N*)。1?an

3； 214

?an?1?an?5an?1,即an?11?? an411，公比为q??的等比数列， 44∴数列?an?是首项为a1??

∴a1n4?(?1nn?(?4)4)，bn?(n?N*) …………………………………3分 1?(?1)n4（II）不存在正整数k，使得Rn?4k成立。

4?(?1)n证明：由（I）知bn?14?4?5

1?(?n(?4)n?14)?b5552015?16k?402k?1?b2k?8?(?4)2k?1?1?(?4)2k?1?8?16k?1?16k?4?8?(16k?1)(16k?4)?8. ∴当n为偶数时，设n?2m(m?N?)

∴Rn?(b1?b2)?(b3?b4)???(b2m?1?b2m)?8m?4n 当n为奇数时，设n?2m?1(m?N?)

∴Rn?(b1?b2)?(b3?b4)???(b2m?3?b2m?2)?b2m?1?8(m?1)?4?8m?4?4n ∴对于一切的正整数n，都有Rn?4k

∴不存在正整数k，使得Rn?4k成立。 …………………………………8分 （III）由b5n?4?(?4)n?1得

c?b5515?16n15?16n15?16n15n2n?1?b2n?42n?1?42n?1?1?(16n?1)(16n?4)?(16n)2?3?16n?4?(16n)2?16nb131?3,b2?3,?c42?3，

当n?1时，T31?2，

当n?2时， 1[1?(1n?2T?411142)]n16163?25?(162?163???16n)?3?25?1?1161

?43?25?1626931?1?48?216 …………………………………14分

又

14.（2009湖北卷文）（本小题满分12分）

已知{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6＝55, a2+a7＝16. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式：

（Ⅱ）若数列{an}和数列{bn}满足等式：an＝＝

b1b2b3b?2?3?...n(n为正整数)，求数列{bn}的前n项和Sn

n2222解（1）解：设等差数列?an?的公差为d，则依题设d>0

由a2+a7＝16.得2a1?7d?16 ① 由a3?a6?55,得(a1?2d)(a1?5d)?55 ②

由①得2a1?16?7d将其代入②得(16?3d)(16?3d)?220。即256?9d?220

2?d2?4,又d?0,?d?2,代入①得a1?1?an?1?(n?1)?2?2n?1（2）令cn?

bn,则有an?c1?c2???cn,an?1?c1?c2???cn?1 n2an?1?an?cn?1,由(1)得a1?1,an?1?an?2n?1两式相减?cn?1?2,cn?2(n?2),即当n?2时，bn?2又当n=1时，b1?2a1?2

?2,(n?1)?bn??n?1?2(n?2)于是Sn?b1?b2?b3??bn?2?23?24???2n?1 =2?2?2?2???2234n?12(2n?1?1)?4?2n?2?6,即Sn?2n?2?6 -4=

2?115(2009湖南卷理)（本小题满分13分）

对于数列?un?若存在常数M＞0,对任意的n?N?，恒有

un?1?un?un?un?1?...?u2?u1?M

则称数列?un?为B-数列

（1） 首项为1，公比为q(q?1)的等比数列是否为B-数列？请说明理由;

请以其中一组的一个论断条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题 判断所给命题的真假，并证明你的结论；

（2） 设Sn是数列?xn?的前n项和，给出下列两组论断；

A组：①数列?xn?是B-数列 ②数列?xn?不是B-数列 B组：③数列?Sn?是B-数列 ④数列?Sn?不是B-数列

请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题。 判断所给命题的真假，并证明你的结论；

（3） 若数列?an?,?bn?都是B?数列，证明：数列?anbn?也是B?数列。

解（1）设满足题设的等比数列为?an?,则an?qn?1，于是 an?an?1?qn?1?qn?2?qn?2q?1,n?2

2n?1因此｜an?1- an｜+｜an-an?1｜+…+｜a2-a1｜=q?1(1?q?q?...?q因为q?1,所以1?q?q?...?q2n?1).

1?q1??,即 1?q1?qn an?1?an?an?an1?...?a2?a1?q?11?q

故首项为1，公比为q(q?1)的等比数列是B-数列。 （2）命题1：若数列?xn?是B-数列，则数列?Sn?是B-数列 次命题为假命题。

事实上，设xn?1,n?N?，易知数列?xn?是B-数列，但Sn?n Sn?1?Sn?Sn?Sn?1?...?S2?S1?n 由n的任意性知，数列?Sn?是B-数列此命题为。 命题2：若数列?Sn?是B-数列，则数列?xn?是B-数列 此命题为真命题

事实上，因为数列?Sn?是B-数列，所以存在正数M，对任意的n?1,有

Sn?1?Sn?Sn?Sn?1?...?S2?S1?M即xn?1?xn?...?x2?M。于是

xn?1?xn?xn?xn?1?...?x2?x1

?xn?1?2xn?2xn?1?...?2x2?2x1?2M?x1

所以数列?xn?是B-数列。

（III）若数列?an? {bn}是B?数列，则存在正数M1.M2，对任意的n?N?,有 an?1?an?an?an?1?....?a2?a1?M 1bn?1?bn?bn?an?1?....?b2?b1?M2

注意到an?an?an?1?an?1?an?2?...?a2?a1?a1 ?an?an?1?an?1?an?2?...?a?a 2a?1a?1M?1同理：bn?M2?b11

记K2?M2?b2，则有K2?M2?b2

an?1bn?1?anbn?an?1bn?1?anbn?1?anbn?1?anbn

?bn?1an?1?an?anbn?1?bn?K1an?1?an?k1bn?1?bn

因此 K1(bn?1?bn?b?n?n1b?......?a2a1?)kM2?11

kM2 +K1(bn?1?bn?bn?bn?1?......a2?a1)?k2M1?k1M2 故数列anbn是B?数列

??16（2009福建卷文）(本小题满分)2分）

等比数列{an}中，已知a1?2,a4?16 （I）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）若a3,a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn。 解：（I）设{an}的公比为q

由已知得16?2q，解得q?2

（Ⅱ）由（I）得a2?8，a5?32，则b3?8，b5?32

3

设{bn}的公差为d，则有??b1?2d?8?b1??16解得?

?d?12?b1?4d?32 从而bn??16?12(n?1)?12n?28 所以数列{bn}的前n项和Sn?n(?16?12n?28)?6n2?22n

217（2009上海卷文）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.

已知?an?是公差为d的等差数列，?bn?是公比为q的等比数列

（1）若 an?3n?1，是否存在m,n?N*，有am?am?1?ak？请说明理由；

（2）若bn?aqn（a、q为常数，且aq?0）对任意m存在k，有bm?bm?1?bk，试求a、q满足的充要条件； （3）若an?2n?1,bn?3n试确定所有的p,使数列?bn?中存在某个连续p项的和式数列中?an?的一项，请证明.

【解】（1）由am?am?1?ak,得6m?6?3k?1，

4, 3?m、k?N，?k?2m为整数

整理后，可得k?2m??不存在n、k?N?，使等式成立。

（2）当m?1时，则b1?b2?bk,?a2?q3?aqk

?a?qk?3,即a?qc，其中c是大于等于?2的整数

反之当a?q时，其中c是大于等于?2的整数，则bn?qn?c， 显然bm?bm?1?qm?c?qm?1?c?q2m?1?2c?bk，其中k?2m?1?c

c?a、q满足的充要条件是a?qc，其中c是大于等于?2的整数

（3）设bm?1?bm?2???bm?p?ak

当p为偶数时，(*)式左边为偶数，右边为奇数，

当p为偶数时，(*)式不成立。

3m?1(1?3p)?2k?1，整理得3m?1(3p?1)?4k?2 由(*)式得

1?3

当p?1时，符合题意。 当p?3，p为奇数时，

3p?1?(1?2)p?1

0122pp?Cp?C1p?2?Cp?2???Cp?2?1122pp?C1p?2?Cp?2???Cp?22pp?1?2?C1?p?Cp?2???Cp?2222pp?2?2?2C?C?2???C?2???p?ppp??

? 由3m?1(3p?1)?4k?2，得

222pp?23m?1?2C?C?2???C?2???p?ppp???2k?1

?当p为奇数时，此时，一定有m和k使上式一定成立。 ?当p为奇数时，命题都成立。

18（2009重庆卷文）（本小题满分12分，（Ⅰ）问3分，（Ⅱ）问4分，（Ⅲ）问5分）

已知a1?1,a2?4,an?2?4an?1?an,bn?（Ⅰ）求b1,b2,b3的值；

an?1,n?N?． an（Ⅱ）设cn?bnbn?1,Sn为数列?cn?的前n项和，求证：Sn?17n； （Ⅲ）求证：b2n?bn?11?n?2． 64171772,b3? 417解：（Ⅰ）?a2?4,a3?17,a4?72，所以b1?4.b2?（Ⅱ）由an?2?4an?1?an得

an?2a1?4?n即bn?1?4? an?1an?1bn所以当n≥2时，bn?4于是c1?b1,b2?17,cn?bnbn?1?4bn?1?17所以Sn?c1?c2???cn?17n

(n≥2)

（Ⅲ）当n?1时，结论b2?b1?当n≥2时，有bn?1?bn?|4?117?成立 464b?b111?4?|?|nn?1|≤|bn?bn?1| bnbn?1bnbn?117(n≥2)

≤1111|b?b|≤?≤|b?b|??n?1n?22117217n?16417n?2

所以 b2n?bn≤b??n1?bn?b?n2?b?n1??b2n?b2? n111()n?1(1?n)1?1n?11n12n?2?11717?1?1(n?N*) ()?()???()??n?2?14?17176417?17?41?17

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