青岛版八年级下册6.3菱形的性质和判定
更新时间:2023-04-24 13:33:01 阅读量: 实用文档 文档下载
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6.3特殊的平行四边形(3)
菱 形
情 景 创 设
前面我们学习了平行四边形 和矩形,知道了如果平行四边形 有一个角是直角时,成为什么图形?(矩形,由角变化得到)
如果从边的角度,将平行四边形特殊化, 又会得到什么特殊的四边形呢?
在平行四边形中,如果内角大小保持不变,仅 改变边的长度,请仔细观察和思考,在这变化过程 中,哪些关系没变?哪些关系变了?平行四边形 邻边相等菱形
如果改变了边的长度,使两邻边相等,那么 这个平行四边形成为怎样的四边形?
有一组邻边相等的平行四边形叫菱形AB=BC ABCD
.
四边形ABCD是菱形
让我们一同走进生活中的菱形
2000多年前……
一把埋藏在地下的古剑,出土时 依然寒气逼人,毫无锈蚀,锋利无 比,稍一用力,便可将多层白纸划 破,剑身上整齐排列着黑色菱形暗 花纹——越王勾践剑
菱形就在我们身边
(1)观察得到的菱形,它是中心对称图形吗? 它是轴对称图形吗?如果是,有几条对称轴? 对称轴之间有什么位置关系?
A B D
菱形是轴对称图形(2)从图中你能得到哪些 结论?并说明理由.提示:从边、角、对角线、 面积等方面来探讨
C
菱形的性质: 符号语言边形的所有性质.
∵四边形ABCD是菱形 菱形是特殊的平行四边形,具有平行四 ∴AB=BC=CD=AD由于平行四边形的对边相等, 而菱形的邻边相等, 故: 菱形的性质1: 菱形的四条边都相等。 又:
A B
D
菱形的性质2:菱形的两条对角线互相垂 直,并且每一条对角线平 分一组对角。
C
命题:菱形的对角线互相垂直平分, 并且每一条对角线平分一组对角;已知:菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,如下图,求证:AC⊥BD ;AC平分∠BAD和∠BCD ;BD平分∠ABC和∠ADC
证明:∵四边形ABCD是菱形 符号语言 ∴AB=AD(菱形的四条边都相等) ∵四边形ABCD是菱形 在△ABD中, ∴ AC⊥BD 又∵ AC平分∠ BADBO=DO 和∠BCD ; B ∴AC⊥BD, AC 平分∠ BAD BD平分∠ABC和∠ADC
A
D
OC
同理: AC平分∠BCD; BD平分∠ABC和∠ADC
D
边
菱形的两组对边平行且相等 A
O B 数学语言
C
菱形的四条边相等
菱形的两组对角分别相等 ∵四边形ABCD是菱形
角
菱形的邻角互补
DCA= ∠ BCA ∠∠ ADC= ∠ ABC ∥ CD AB ∠ADB= ∠CDB 菱形的 两条对角线互相平分 ∠ABD=∠CBD AC⊥BD 对角线
∥ ∴ AD BC ∴ ∠ ∴ DAB+ ∠ DAC= ∠ ABC= ∠BAC 180° ∴ AB=BC=CD=DA ∴OA=OC;OB=OD ∠DAB= ∠ DCB ∴ =
=
菱形的两条对角线互相垂直平分, 并且每一条对角线平分一组对角。
【菱形的面积公式】A B 菱形是特殊的平行四边形, 那么能否利用平行四边形 面积公式计算菱形的面积吗? D
菱形O EC
S菱形=BC●AE么
思考:计算菱形的面积除了上式方法外,利 为 什 用对角线能 计算菱形的面积公式吗?
S菱形ABCD=S△ABD+S△BCD=
1 AC×BD 2
面积:S菱形=底×高=对角线乘积的一半
?
1、菱形ABCD两条对角线BD、AC长分别 是6cm和8cm,求菱形的面积。D A O B C
S菱形 ABCD
1 AC BD 2
24
D O
A
C
B
如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O
(1)图中有哪些线段是相等的?哪些角是相 等的? (2)有哪些特殊的三角形?
已知四边形ABCD是菱形相等的线段: AB=CD=AD=BC5
A1 2
7
D8
O6 3 4
OA=OC OB=OD
B
C
∠DAB=∠BCD ∠ABC =∠CDA 相等的角:
∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90° ∠1=∠2=∠3=∠4 ∠5=∠6=∠7=∠8
等腰三角形: △ABC △ DBC △ACD △ABD 直角三角形: Rt△AOB Rt△BOC Rt△CODRt△DOA 全等三角形:Rt△AOB≌ Rt△BOC≌ Rt△COD ≌ Rt△DOA
△ABD≌△BCD
△ABC≌△ACD
A
D
1.已知菱形的周长是12cm,那 O 3cm 么它的边长是______. C B 2.菱形ABCD中∠ABC=60度, D 60度 则∠BAC=_______. 3 3、菱形ABCD中∠BAD=60度, A4 O 若BD=6cm,则菱形的边长是(C )( ) B.7cm A.10cm C. 5cm D.4cmA
C
4.在菱形ABCD中,AE⊥BC,AF⊥CD, E、F分别为BC,CD的中点,那么 B ∠EAF的度数是( )BA.75°B.60°C.45°D.30°E
BD F
C
5、菱形的面积为24cm2,一条对角线的长为 6cm,则另一条对角线长为 _____
想一想我们在学习平行四边形的判定和矩形的判定 时,我们首先想到的第一种方法是什么? 那么类比着它们,菱形的第一种判定方法 是什么?根据定义得:A D
一组邻边相等的平行四边形是菱形. 在 ABCD中, AB AD ABCD是菱形.B 还有什么方法吗? C
命题:有四条边相等的四边形是菱形。已知:在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA. 求证:四边形ABCD是菱形 D 证明: ∵AB=CD,AD=BC ∴四边形ABCD是平行四边形A C
又∵AB=AD, ∴四边形ABCD是菱形
B
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