江西省新余市2015届高三下学期第二次模拟数学(文)试卷

2015年江西省新余市高考数学二模试卷（文科）

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的）

1．设集合A={x|y=lg（3﹣2x）}，集合B={x|y= A．

B． （﹣∞，1] C．

}，则A∩B=（ ） D．

2．若复数Z的实部为1，且|Z|=2，则复数Z的虚部是（ ） A． ﹣ B． ± C． ±i D． i

3．已知向量=（1，2），=（1，0），=（4，﹣3）．若λ为实数，（+λ）⊥，则λ=（ ）

A． B． C． 1 D． 2

4．下列说法正确的是（ ）

A． 样本10，6，8，5，6的标准差是5.3

B． “p∨q为真”是“p∧q为真”的充分不必要条件

C． K是用来判断两个分类变量是否相关的随机变量，当K的值很小时可以推定两类变量不相关

D． 设有一个回归直线方程为=2﹣1.5x，则变量x毎增加一个单位，y平均减少1.5个单位

5．等差数列{an}中的a1、a4025是函数f（x）=x﹣4x+6x﹣1的极值点，则log2a2013（ ） A． 2 B． 3 C． 4 D． 5

6．如图，给出的是计算

的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（ ）

3

2

2

2

A． i≤2021 B． i≤2019 C． i≤2017 D． i≤2015

7．已知三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积是（ ）

A．

B．

C．

D．

8．函数f（x）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式可以是（ ）

A． f（x）=x+sinx B． C． f（x）=xcosx D．

9．已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，Sn是数列{an}前n项的和，则

（n∈N）的最小值为（ ）

+

A． 4 B． 3 C． 2 10．若

﹣2 D．

，则z=x+2y的取值范围是（ ）

A． （0，] B． [0，] C． [0，﹣] D． [0，+]

11．如图，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表面积为4π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为（ ）

A．

12．已知双曲线C：

﹣

=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y=2px（p＞0）的准

，则

2

B． C． D．

线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若双曲线C的离心率为2，△AOB的面积为△AOB的内切圆半径为（ ）

A． ﹣1 B． +1 C． 2﹣3 D． 2+3

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知tan（3π﹣x）=2，则

= ．

14．在区间[﹣3，5]上随机取一个数a，则使函数f（x）=x+2ax+4无零点的概率是 ．

15．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根

2

数为 ．

2

16．已知过抛物线x=4y的焦点F的直线交抛物线于A，B两个不同的点，过A，B分别作抛物线的切线，且二者相交于点C，则△ABC的面积的最小值为 ．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知直线两直线l1：xcosα+y﹣1=0；l2：y=xsin（a+

），△ABC中，内角A，B，C

对边分别为a，b，c，a=2，c=4，且当a=A时，两直线恰好相互垂直；

（Ⅰ）求A值；

（Ⅱ）求b和△ABC的面积．

18．随机抽取某中学高三年级甲乙两班各10名同学，测量出他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图．其中甲班有一个数据被污损．

（Ⅰ）若已知甲班同学身高平均数为170cm，求污损处的数据；

（Ⅱ）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率．

19．如图，四边形ABCD是梯形，四边形CDEF是矩形，且平面ABCD⊥平面CDEF，∠BAD=∠CDA=90°，AB=AD=DE=CD=2，M是线段AE上的动点．

（Ⅰ）试确定点M的位置，使AC∥平面MDF，并说明理由；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求平面MDF将几何体ADE﹣BCF分成的两部分的体积之比．

20．已知两点F1（﹣1，0）及F2（1，0），点P在以F1、F2为焦点的椭圆C上，且|PF1|、|F1F2|、|PF2|构成等差数列． （1）求椭圆C的方程；

（2）如图，动直线l：y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点，点M，N是直线l上的两点，且F1M⊥l，F2N⊥l．求四边形F1MNF2面积S的最大值．

21．设函数f（x）=x﹣mlnx，h（x）=x﹣x+a．

（1）当a=0时，f（x）≥h（x）在（1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；

（2）当m=2时，若函数k（x）=f（x）﹣h（x）在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围；

（3）是否存在实数m，使函数f（x）和函数h（x）在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．

2

2

四、选修4-1，几何证明选讲

22．已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆上F．

（1）求证：AD延长线DF平分∠CDE；

（2）若∠BAC=30°，△ABC中BC边上的高为2+

上的点（不与点A、C重合），延长BD至

，求△ABC外接圆的面积．

五、选修4-4：坐标系与参数方程 23．直角坐标系下，曲线C的参数方程为（1）在横坐标系下，曲线C与射线θ=面积；

（2）在直角坐标系下，直线l的参数方程为

（t为参数），求曲线C与直线l（φ为参数）．

和射线θ=﹣

分别交于A，B两点，求△AOB的

的交点坐标．

六、选修4-5：不等式选讲 24．（C）已知函数f（x）=|2x+3|+|2x﹣1|． （Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；

（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜|m﹣1|的解集非空，求实数m的取值范围．

∴Sn==n，

2

∴=．

令t=n+1，则=t+﹣2≥6﹣2=4

当且仅当t=3，即n=2时，∴的最小值为4．

故选：A．

点评： 本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题． 10．若

，则z=x+2y的取值范围是（ ）

A． （0，] B． [0，] C． [0，﹣] D． [0，+]

考点： 简单线性规划的应用． 专题： 不等式的解法及应用．

分析： 作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义结合导数求出切线斜率，即可得到结论．

解答： 解：作出不等式组对应的平面区域， 由z=x+2y，得y=直线y=当直线y=

，平移直线y=

，由图象可知当直线经过点O时，

的截距最小，此时z最小，z=0，

与y=cosx相切时，直线的截距最大，此时z最大，

函数y=cosx的导数f′（x）=﹣sinx， 目标函数的斜率k=由﹣sinx=解得x=此时z=

，

得sinx=， ，此时y=cos+2×

=

+

=， +

]，

，即切点坐标为（

，

），

故z的取值范围是[0，故选：D．

点评： 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合以及导数的几何意义求出切点坐标是解决本题的关键．综合性较强．

11．如图，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表面积为4π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为（ ）

A．

B．

C． D．

考点： 球的体积和表面积．

分析： 蛋槽的边长是原来硬纸板的对角线长度的一半，为1cm，蛋槽立起来的小三角形部分高度是，鸡蛋的半径根据已知的表面积4π=4πr得到r=1cm，直径D=2cm，大于折好的蛋巢边长1cm，由此能求出鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离． 解答： 解：蛋槽的边长是原来硬纸板的对角线长度的一半，为1cm， 蛋槽立起来的小三角形部分高度是，

鸡蛋的半径根据已知的表面积4π=4πr得到r=1cm，直径D=2cm，大于折好的蛋巢边长1cm， 四个三角形的顶点所在的平面在鸡蛋表面所截取的小圆直径就是蛋槽的边长1cm， 根据图示，AB段由三角形AB求出得：AB=AE=AB+BE=

，

． ，

2

2

∴鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为故选：D．

点评： 本题考查点、线、面间距离的计算，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地化空间问题为平面问题，注意数形结合法的合理运用．

12．已知双曲线C：

﹣

=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y=2px（p＞0）的准

2

线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若双曲线C的离心率为2，△AOB的面积为，则△AOB的内切圆半径为（ ）

A． ﹣1 B． +1 C． 2﹣3 D． 2+3

考点： 双曲线的简单性质．

专题： 解三角形；圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析： 由双曲线的离心率公式及a，b，c的关系可得b=a，由双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程解得A，B，求出三角形AOB的面积，进而解得p=2，即有A，B的坐标，进而得到三角形AOB的三边，再由内切圆的半径与三角形的面积之间的关系，计算即可得到r． 解答： 解：由e==

=

=2，可得=

．

由，求得A（﹣，），B（﹣，﹣），

所以S△AOB=?将=

?

2

=．

代入，得p=4，解得p=2．

所以A（﹣1，），B（﹣1，﹣）， 则△AOB的三边分别为2，2，2， 设△AOB的内切圆半径为r，由（2+2+2

）r=

，

解得r=2﹣3， 故选C．

点评： 本题考查双曲线和抛物线的综合应用．求解这类问题关键是结合两个曲线的位置关系，找到它们对应的几何量，然后利用图形中的平面几何性质解答问题．

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知tan（3π﹣x）=2，则

= ﹣3 ．

考点： 二倍角的余弦；三角函数的化简求值． 专题： 三角函数的求值．

分析： 已知等式左边利用诱导公式化简，求出tanx的值，原式分子利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系变形，把tanx的值代入计算即可求出值． 解答： 解：∵tan（3π﹣x）=﹣tanx=2，即tanx=﹣2， ∴原式=

=

=

=﹣3．

故答案为：﹣3

点评： 此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．

14．在区间[﹣3，5]上随机取一个数a，则使函数f（x）=x+2ax+4无零点的概率是

2

．

考点： 几何概型． 专题： 概率与统计．

分析： 本题属于几何概型，只要求出区间长度以及满足条件的区间长度，由几何概型公式解答．

解答： 解：由已知区间[﹣3，5]长度为8，

使函数f（x）=x+2ax+4无零点即判别式△=4a﹣16＜0，解得﹣2＜a＜2，即（﹣2，2），区间长度为4，

由几何概型的公式得使函数f（x）=x+2ax+4无零点的概率是故答案为：．

点评： 本题考查了几何概型的运用；关键是明确几何测度，利用公式解答．

15．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根

2

2

2

；

数为 6n+2 ．

考点： 归纳推理． 专题： 规律型．

分析： 观察给出的3个例图，注意火柴棒根数的变化是图②的火柴棒比图①的多6根，图③的火柴棒比图②的多6根，而图①的火柴棒的根数为2+6．

解答： 解：由题意知：图②的火柴棒比图①的多6根，图③的火柴棒比图②的多6根，而图①的火柴棒的根数为2+6， ∴第n条小鱼需要（2+6n）根， 故答案为：6n+2．

点评： 本题考查了规律型中的图形变化问题，本题的解答体现了由特殊到一般的数学方法（归纳法），先观察特例，找到火柴棒根数的变化规律，然后猜想第n条小鱼所需要的火柴棒的根数．

16．已知过抛物线x=4y的焦点F的直线交抛物线于A，B两个不同的点，过A，B分别作抛物线的切线，且二者相交于点C，则△ABC的面积的最小值为 4 ．

考点： 直线与圆锥曲线的综合问题． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析： 求出抛物线x=4y的焦点坐标，设直线l方程为y=kx+1，与抛物线方程联立，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理，以及函数的求出切线方程，解出C的坐标，利用弦长公式求出|AB|点C到直线AB的距离，表示出S△AOCB，利用二次函数的性质即可得出三角形的面积的最小值．

解答： 解：∵抛物线x=4y的焦点F（0，1）， ∴设直线l方程为y=kx+1， 由

，消去y得x﹣4kx﹣4=0，

2222

设A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2=4k，x1x2=﹣4．

抛物线x=4y，即二次函数y=x，对函数求导数，得y′=x， 所以抛物线在点A处的切线斜率为k1=x1，

可得切线方程为y﹣y1=x1（x﹣x1），化简得y=x1x﹣x1，

同理，得到抛物线在点B处切线方程为y=x2x﹣x2，两方程消去x， 得两切线交点C纵坐标满足yc=

=1，横坐标为：x=（x1+x2）=2k．

，

2

2

2

2

点C（2k，﹣1）到直线AB的距离为d=

线段AB的长度为|x1﹣x2|=，

S△ACB=|AB|?d=当k=0的等号成立， ∴S△ACB面积的最小值为：4， 故答案为：4．

=≥4．

点评： 本题考查了直线与抛物线相交相切问题、弦长公式、三角形的面积计算公式、函数的导数求解切线方程、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知直线两直线l1：xcosα+y﹣1=0；l2：y=xsin（a+

），△ABC中，内角A，B，C

对边分别为a，b，c，a=2，c=4，且当a=A时，两直线恰好相互垂直；

（Ⅰ）求A值；

（Ⅱ）求b和△ABC的面积．

考点： 三角函数中的恒等变换应用；余弦定理；直线的一般式方程与直线的垂直关系． 专题： 三角函数的求值；三角函数的图像与性质；解三角形．

分析： （Ⅰ）首先利用直线垂直的充要条件求出三角函数的关系式，进一步利用三角函数关系式的恒等变换，把函数关系式变形成郑先兴函数，进一步求出角A的值．

（Ⅱ）利用上步的结论，利用余弦定理求出b的大小，进一步利用三角形的面积公式求出三角形的面积．

解答： 解：（Ⅰ）当：α=A时，直线 l1：xcosα+分别为：k1=﹣2cosA，所以：即：可得：所以：所以：即：即：

，

=

﹣1=0，l2：y=xsin（

）的斜率

，两直线相互垂直

因为：0＜A＜π，0＜2A＜2π， 所以：所以只有：所以：

，c=4，A=

，

（Ⅱ）△ABC中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，a=2

所以：即：解得：b=2 所以△ABC的面积为

点评： 本题考查的知识要点：直线垂直的充要条件，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，余弦定理的应用，三角形面积的应用．属于基础题型．

18．随机抽取某中学高三年级甲乙两班各10名同学，测量出他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图．其中甲班有一个数据被污损．

（Ⅰ）若已知甲班同学身高平均数为170cm，求污损处的数据；

（Ⅱ）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率．

考点： 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图． 专题： 概率与统计．

分析： （Ⅰ）设污损处的数据为a，根据甲班同学身高平均数为170cm，求污损处的数据； （Ⅱ）设“身高为176 cm的同学被抽中”的事件为A，列举出从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学的基本事件个数，及事件A包含的基本事件个数，进而可得身高为176cm的同学被抽中的概率． 解答： 解：（Ⅰ）设污损处的数据， ∵甲班同学身高平均数为170cm， ∴=

（158+162+163+168+168+170+171+179+a+182）=170 …（4分）

解得a=179 所以污损处是9．…（6分）

（Ⅱ）设“身高为176 cm的同学被抽中”的事件为A， 从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173 cm的同学有：{181，173}，{181，176}，{181，178}，{181，179}，{179，173}，{179，176}，{179，178}，{178，173}，{178，176}，{176，173}共10个基本事件，…（8分）

而事件A含有4个基本事件，…（10分） ∴P（A）=

=…（12分）

点评： 本题考查的知识点是茎叶图，列举出计算基本事件及事件发生的概率，难度不大，属于基础题．

19．如图，四边形ABCD是梯形，四边形CDEF是矩形，且平面ABCD⊥平面CDEF，∠BAD=∠CDA=90°，AB=AD=DE=CD=2，M是线段AE上的动点．

（Ⅰ）试确定点M的位置，使AC∥平面MDF，并说明理由；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求平面MDF将几何体ADE﹣BCF分成的两部分的体积之比．

考点： 直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定． 专题： 空间位置关系与距离．

分析： （Ⅰ）首先，根据所给图形，得到当M是线段AE的中点时，AC∥平面MDF．然后，根据线面平行的判定定理进行证明即可；

（Ⅱ）利用补图法，将几何体ADE﹣BCF补成三棱柱ADE﹣B′CF，然后，借助于柱体和椎体的体积公式进行求解即可． 解答： 解析：（Ⅰ）当M是线段AE的中点时，AC∥平面MDF．证明如下： 连结CE，交DF于N，连结MN，

由于M、N分别是AE、CE的中点，所以MN∥AC，

由于MN?平面MDF，又AC?平面MDF， 所以AC∥平面MDF．

（Ⅱ）如图，将几何体ADE﹣BCF补成三棱柱ADE﹣B′CF， 三棱柱ADE﹣B′CF的体积为

，

则几何体ADE﹣BCF的体积

BB'C

VADE﹣BCF=V三棱柱ADE﹣BCF﹣VF﹣

．

，

（答1：4，4，4：1均可）．

=

三棱锥F﹣DEM的体积V三棱锥M﹣DEF=故两部分的体积之比为

点评： 本题综合考查了线面平行的判定定理、柱体和椎体的体积公式等知识，属于中档题，在解题中，如果求解不规则几何体的体积时，一般用割补法进行运算和求解，这就是转化思想在解题中的应用．

20．已知两点F1（﹣1，0）及F2（1，0），点P在以F1、F2为焦点的椭圆C上，且|PF1|、|F1F2|、|PF2|构成等差数列． （1）求椭圆C的方程；

（2）如图，动直线l：y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点，点M，N是直线l上的两点，且F1M⊥l，F2N⊥l．求四边形F1MNF2面积S的最大值．

考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；数列与解析几何的综合；椭圆的简单性质． 专题： 圆锥曲线中的最值与范围问题． 分析： （1）依题意，设椭圆C的方程为

2

2

2

，c=1．再利用|PF1|、|F1F2|、|PF2|构

成等差数列，即可得到a，利用b=a﹣c得到a即可得到椭圆的方程；

22

（2）将直线l的方程y=kx+m代入椭圆C的方程3x+4y=12中，得到关于x的一元二次方程，由直线l与椭圆C仅有一个公共点知，△=0，即可得到m，k的关系式，利用点到直线的距离公式即可得到d1=|F1M|，d2=|F2N|．

法一：当k≠0时，设直线l的倾斜角为θ，则|d1﹣d2|=|MN|×|tanθ|，即可得到四边形F1MNF2面积S的表达式，利用基本不等式的性质即可得出S的最大值； 法二：利用d1及d2表示出

及d1d2，进而得到

，再利用二次函数的单调性即可得出其最

大值．

解答： 解：（1）依题意，设椭圆C的方程为

．

∵|PF1|、|F1F2|、|PF2|构成等差数列，∴2a=|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4，a=2． 又∵c=1，∴b=3．∴椭圆C的方程为

2

．

（2）将直线l的方程y=kx+m代入椭圆C的方程3x+4y=12中，得（4k+3）x+8kmx+4m﹣12=0．

由直线l与椭圆C仅有一个公共点知，△=64km﹣4（4k+3）（4m﹣12）=0，

22

化简得：m=4k+3． 设

，

，

22

2

2

22222

法一：当k≠0时，设直线l的倾斜角为θ， 则|d1﹣d2|=|MN|×|tanθ|， ∴

，

=，

∵m=4k+3，∴当k≠0时，当k=0时，四边形F1MNF2是矩形，所以四边形F1MNF2面积S的最大值为法二：∵

22

，

． ．

，．

，

．

∴=．

四边形F1MNF2的面积=，

=．

当且仅当k=0时，，故

．

．

所以四边形F1MNF2的面积S的最大值为

点评： 本题主要考查椭圆的方程与性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系、等差数列、二次函数的单调性、基本不等式的性质等基础知识，考查运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想．

21．设函数f（x）=x﹣mlnx，h（x）=x﹣x+a．

（1）当a=0时，f（x）≥h（x）在（1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；

（2）当m=2时，若函数k（x）=f（x）﹣h（x）在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围；

（3）是否存在实数m，使函数f（x）和函数h（x）在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．

考点： 函数恒成立问题；函数单调性的性质；函数的零点与方程根的关系． 专题： 计算题；压轴题．

分析： （1）当a=0时，f（x）≥h（x）在（1，+∞）上恒成立，即：x﹣mlnx≥x﹣x，转化为即：m≤

在（1，+∞）上恒成立，从而得出实数m的取值范围．

2

2

2

2

（2）当m=2时，若函数k（x）=f（x）﹣h（x）在[1，3]上恰有两个不同零点，即：k（x）=x﹣2lnx﹣a，设y1=x﹣2lnx，y2=a，分别画出它们的图象，由图得实数a的取值范围． （3）先假设存在实数m，使函数f（x）和函数h（x）在公共定义域上具有相同的单调性，由图可知，只须函数f（x）=x﹣mlnx在x=处取得极小值即可． 解答： 解：（1）当a=0时，f（x）≥h（x）在（1，+∞）上恒成立， 即：x﹣mlnx≥x﹣x， mlnx≤x，即：m≤因为

在（1，+∞）上恒成立，

2

2

2

在（1，+∞）上的最小值为：e，

∴m≤e．

实数m的取值范围：m≤e

（2）当m=2时，若函数k（x）=f（x）﹣h（x）在[1，3]上恰有两个不同零点， 即：k（x）=x﹣2lnx﹣a，

设y1=x﹣2lnx，y2=a，分别画出它们的图象， 由图得：

实数a的取值范围（2﹣2ln2，3﹣2ln3]；

（3）假设存在实数m，使函数f（x）和函数h（x）在公共定义域上具有相同的单调性， 由图可知，只须函数f（x）=x﹣mlnx在x=处取得极小值即可． ∵f（x）=x﹣mlnx

∴f′（x）=2x﹣m×，将x=代入得： 1﹣2m=0， ∴m=

故存在实数m=，使函数f（x）和函数h（x）在公共定义域上具有相同的单调性．

2

2

点评： 数形结合思想是解析函数图象交点个数、函数零点个数中最常用的方法，即画出满足条件的图象，然后根据图象直观的分析出答案，但数形结合的前提是熟练掌握各种基本初等函数的图象和性质．

四、选修4-1，几何证明选讲

22．已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆上F．

（1）求证：AD延长线DF平分∠CDE；

（2）若∠BAC=30°，△ABC中BC边上的高为2+

上的点（不与点A、C重合），延长BD至

，求△ABC外接圆的面积．

考点： 与圆有关的比例线段． 专题： 选作题；推理和证明．

分析： （1）根据A，B，C，D四点共圆，可得∠ABC=∠CDF，AB=AC可得∠ABC=∠ACB，从而得解．

（2）设O为外接圆圆心，连接AO并延长交BC于H，则AH⊥BC．连接OC，设圆半径为r，则r+

r=2+

，求出r，即可求△ABC外接圆的面积．

解答： （1）证明：如图，∵A，B，C，D四点共圆，∴∠CDF=∠ABC． 又AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，

且∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=∠CDF，

又由对顶角相等得∠EDF=∠ADB，故∠EDF=∠CDF， 即AD的延长线DF平分∠CDE．…（5分）

（2）解：设O为外接圆圆心，连接AO并延长交BC于H，则AH⊥BC．连接OC， 由题意∠OAC=∠OCA=15°，∠ACB=75°，∴∠OCH=60°， 设圆半径为r，则r+

r=2+

，得r=2，外接圆的面积为4π．…（10分）

点评： 本题以圆为载体，考查圆的内接四边形的性质，考查等腰三角形的性质，考查外接圆的面积，属于中档题．

五、选修4-4：坐标系与参数方程 23．直角坐标系下，曲线C的参数方程为（1）在横坐标系下，曲线C与射线θ=面积；

（2）在直角坐标系下，直线l的参数方程为

（t为参数），求曲线C与直线l（φ为参数）．

和射线θ=﹣

分别交于A，B两点，求△AOB的

的交点坐标．

考点： 简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程． 专题： 坐标系和参数方程．

分析： （1）首先把直角坐标方程转化为极坐标方程，进一步利用直线的方程求出|OA|和|OB|的长，最后求出三角形的面积．

（2）利用直线和曲线的关系建立方程组，直接利用参数求出交点的坐标． 解答： 解：（1）曲线C在直角坐标系下的普通方程为：

，

转化为极坐标方程为：分别代入得：因为

和

， ，

，故△AOB的面积：

，

．

，

（2）将l的参数方程代入曲线C的普通方程，得：

即t=2

，代入l的参数方程，得：，y=2，

所以曲线C与直线l的交点坐标为．

点评： 本题考查的知识要点：直角坐标方程与极坐标方程的互化，三角形面积的应用，利用代入法求直线与曲线的关系，求交点的坐标．主要考查学生的应用能力．

六、选修4-5：不等式选讲 24．（C）已知函数f（x）=|2x+3|+|2x﹣1|． （Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；

（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜|m﹣1|的解集非空，求实数m的取值范围．

考点： 带绝对值的函数． 专题： 不等式的解法及应用．

分析： （Ⅰ）利用绝对值的几何意义直接求不等式f（x）≤6的解集；

（Ⅱ）求出函数的最小值，然后求解关于x的不等式f（x）＜|m﹣1|的解集非空，得到实数m的取值范围． 解答： 解：（Ⅰ）不等式f（x）≤6，即|2x+3|+|2x﹣1|≤6．

不等式的几何意义，是数轴是的点2x，到﹣3与1的距离之和不大于6， ∴﹣4≤2x≤2，解得﹣2≤x≤1， 不等式的解集为{x|﹣2≤x≤1}；

（Ⅱ）函数f（x）=|2x+3|+|2x﹣1|． 由绝对值的几何意义可知：f（x）min≥4， 关于x的不等式f（x）＜|m﹣1|的解集非空， 只须：4＜|m﹣1|，解得m＜﹣3或m＞5．

点评： 本题考查带绝对值的函数的应用，绝对值不等式的解法，绝对值的几何意义是解题的关键．

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