五年级 奥数 不规则图形面积计算2

五年级 奥数 不规则图形面积计算 莱茵学堂

巧求面积

本讲主要介绍平面图形面积的一些巧妙算法，首先看一个例子． 如图，BC=CE，AD=CD，求三角形ABC的面积是三角形CDE面积的几倍？ 解：连结BD，在△ABD与△BCD中，因为AD=DC，且这两个三角形同一条高，所以S△ABD=S△BCD．在△BCD与△DCE中，因为BC=CE，且这两个三角形同一条高，所以有S△BCD=S△CDE，S△ABC=S△ABD+S△BCD=2S△CDE．

从以上的推导中看一看这两个三角形面积之比与这两个三角形

1的边有什么关系．因为三角形的面积=×底×高，作DN垂直CE于N，AM垂直CE于M，

21S?ABC2?BC?AMBC11AMS△ABC =×BC×AM，S△CDE =×CE×DN。==× S?CDE122CEDN?CE?DN2在△ACM与△DCN中，有AC∶CD=AM∶DN．因此，S?ABCBCAC=×.即，当两个三角形各有S?CDECECD一个角，它们的和是180°时，这两个三角形的面积之比等于分别夹这两个角的两条边的长度乘积之比．类似可知，当两个三角形各有一个角,它们相等时，这个结论也成立． 解：在△ABC与△CDE中，因为AD=DC，所以 AC=2CD.因为BC=CE， S△ABC=2×1×S△CDE=2S△CDE． 答：△ABC的面积是△CDE面积的2倍． 下面我们就应用上面这个结论来看几个具体例子． 例1 如图，三角形ABC的面积为1，并且AE=3AB，BD=2BC，那么△BDE的面积是多少？ 解：在△BDE与△ABC中，∠DBE+∠ABC=180°．因为AE=3AB，所以BE=2AB．又因为BD=2BC，所以S△BDE=2×2×S△ABC=4×1=4． 答：△BDE的面积是4． 例2 如图，在△ABC中，AB是AD的6倍，AC是AE的3倍．如果△ADE的面积等于1平方厘米，那么△ABC的面积是多少？ 解：在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠DAE．因为AB=6AD，AC=3AE， 所以S△ABC=6×3×S△ADE=18×1=18（平方厘米）． 答：△ABC的面积为 18平方厘米．

例3 如图，将△ABC的各边都延长一倍至 A′、B′、C′连接这些点得到一个新的三角形A′B′C′．若△ABC的面积为1，求△A′B′C′的面积．

解：在△A′B′B与△ABC中，∠A′BB′+∠ABC=180°．因为 AB=AA′，所以A′B=2AB，又因为B′B=BC，所以S△A′B′B=1×2×S△ABC=2S△ABC=2． 同理S△B′C′C=2×1×S△ABC=2．S△A′C′A=2×1×S△ABC=2．

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所以S△A′B′C′=S△A′B′B+S△B′C′C+S△A′C′A+S△ABC=2+2+2+1=7 答：△A′B′C′的面积为7．

例4 凸四边形ABCD各边都延长一倍至 A′B′ C′D′，连接这些点得到一个新的四边形A′B′C′D′，若四边形A′B′C′D′的面积为30平方厘米，那么四边形ABCD的面积是多少？

分析 要求四边形ABCD的面积，必须求出四边形ABCD与

四边形A′B′C′D′的关系，因而就要求出△A′B′B、△B′C′C、△C′D′D、△A′D′A与四边形ABCD的关系． 解：连结AC、BD．在△A′B′B与△ABC中，∠A′BB′+∠ABC=180°．因为A′A=AB，所以A′B=2AB，又因为 B′B=BC，所以有S△A′B′B=2×1×S△ABC=2S△ABC． 同理 S△B′C′C=2×1×S△BCD=2S△BCD，S△C′D′D=2×1×S△ADC=2S△ADC，S△A′D′A=2×1×S△ABD=2S△ABD． 所以 S四边形A′B′C′D′=S△A′B′B+S△B′C′C+S△C′D′D+S△A′D′A+S四边形ABCD =2S△ABC+2S△BCD+2S△ADC+2S△ABD+S四边形ABCD =2（S△ABC+S△ADC）+2（S△BCD+S△ABD）+S四边形ABCD =2S四边形ABCD+2S四边形ABCD+S四边形ABCD =5S四边形ABCD， 则S四边形ABCD=30÷5=6（平方厘米）．答：四边形ABCD的面积为6平方厘米． 11例5 如下图，在△ABC中，BD=DC，AA1=AD，A1B1=A1B，B1C1= C1C，△A1B1C1的面积为1平

33方厘米，则△ABC的面积为多少平方米？ 1解：连接A1C．如上图，在△BB1C与△A1B1C1中，∠BB1C+∠A1B1C1=180°，因为A1B1=A1B，

3所以BB1=2A1B1，又因为B1C1=C1C，所以B1C=2B1C1， 所以有S△BB1C=2×2×S△A1B1C1=4×1=4（平方厘米）． 在△A1C1C与△A1B1C1中，∠A1C1C+∠A1C1B1=180°，因为CC1=C1B1，A1C1=A1C1，所以有S△A1C1C=1×1×S△A1B1C1=1×1=1（平方厘米）． 在△ABD与△ADC中，∠ADB+∠ADC=180°．因为1BD=DC，AD= ,所以有S△ABD=S△ADC=S△ABC

21在△ABA1与△ABD中，∠BAA1=∠BAD．因为AB=AB，AA1=AD,

31111所以有S△ABA1=1××S△ABD =S△ABD=S△ABC,同理S△AA1C=S△ABC，

3366111所以S△ABC = S△BB1C +S△AA1C +S△ABA1 +S△A1B1C1=4+1+S△ABC +S△ABC +1=6+S△ABC

6632因此S△ABC =6，S△ABC =9

3答：三角形ABC的面积为9平方厘米．

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习 题 五

11.直角三角形ABC中，AD=DB=4.5厘米，AE=AC = 3厘米，求四边形DBCE的面积．

32．下图中的三角形被分成了甲（阴影部分）、乙两部分，图中的数字是相应线段的长度，求两部分的面积之比．

第 2题 第 3题 第 4题 第 5题

113.如图，在三角形ABC中，AD=AB,BE=EF=FC,CG=GA，求阴影部分面积占三角形ABC面积

33的几分之几？ 14.如图，BD=BC,三角形ABC的面积是48平方厘米，AC=16厘米，AE=11厘米，三角形DAE

3的面积是多少？ 1115.已知：AE=AC，CD=BC,BF=AB，求三角形DEF的面积与三角形ABC的面积之比．

346AECF16.如图所示，已知ABCD是长方形， ==,求三角形ABE与三角形DEF的面积之比．

EDFD2

第5题 第6题 第7题 第8题 第9题 7．如下图所示，把△ABC的BA边延长1倍到D点，AC边延长3倍到F点，CB边延长2倍到E点，连接DE、EF、FD，得到△DEF．已知三角形DEF的面积为54平方厘米，求△ABC的面积．

28.如图所示，已知S△ABC =1，AE=ED，BD=BC，求阴影的面积． 319．在△ABC中，CD、AE、BF分别为BC、AC、AB长的求S△N1N2N3与S△ABC之比 310.把边长为40厘米的正方形ABCD沿对角线AC截成两个三角形，在两个三角形内按图示剪下两个内接正方形M、N.这两个正方形中面积较大的是哪一个？它比较小的正方形面积大多少平方厘米？

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习题五解答

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