基于平面模板的摄像机标定方法_郝鑫

Ｖｏｌ．１２Ｎｏ．２第１太原师范学院学报（自然科学版）２卷　第２期

）　Ｊｕｎ．２０１３２０１３年６月　ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＴＡＩＹＵＡＮ　ＮＯＲＭＡＬＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ　　　　　



基于平面模板的摄像机标定方法

郝　鑫

（）山西大学数学科学学院，山西太原０３０００６

摘要〕仅要求摄像机在３个（或３个以　　〔　文章提出了一种基于平面模板的摄像机标定方法，上）的不同方位对同一平面模板进行拍摄，即可标定摄像机参数（包括内参数、外参数、畸变系数）．并利用两步法求解摄像机参数．模拟图像和真实图像结果表明，该方法兼顾了标定精度与速度．整个标定过程不需要人为干预，可以自动进行，具有较强的实用性．

〔关键词〕平面模板；单应矩阵；非线性最优化　摄像机参数标定；

〔（）文章编号〕中图分类号〕文献标识码〕１６７２２０２７２０１３０２００９１０４Ｐ３９１　－－－　〔　Ｔ　〔　Ａ

０　引言

１］

，摄像机标定是计算机视觉领域里从二维图像获取三维信息的基本要求［是完成许多视觉工作必不可

少的步骤．从数学模型误差分析的角度可知，摄像机参数的任何微小误差经过光学系统的放大均会导致应用精度的迅速下降，尤其是处在大尺度条件下的时候，物距远大于焦距，这种误差的放大作用就更加明显．因此

２］

研究一种精度高同时兼顾便携、简易、灵活的摄像机标定方法是十分必要的［本文在张正友提出的标定方．

法基础上，提出的基于平面模板标定法是一种用平面模板代替传统的标定块的标定方法，不同于张正友方法本文的标定模型包含五个畸变因子，充分考虑了镜头的径向畸变和切向畸变，实验中提出的两个畸变因子，

结果表明该方法有较好的标定精度．

３］

，本文利用了目前较为成熟的两步法进行标定［第一步使用直接线性变换法估计出摄像机参数作为初

在初值估计时假设畸变因子均为０，之后在初值估计的基础上利用Ｌ值，ｅｖｅｎｂｅｒａｒｕａｒｄｔ算法进行优化．－Ｍｇｑ

１　标定原理

１．１　摄像机成像模型和相关符号

Ｔ

，考虑三维空间的点在图像平面上的成像原理，图像上的二维点记为ｍ＝［空间中的三维点记为ｕ，ｖ］

ＴＴＴ珦ｗ＝［，］］相应的齐次坐标分别记为ｍ和ＸＸｗ＝［Ｘ，Ｙ，Ｚ］ｕ，ｖ，１Ｘ，Ｙ，Ｚ，１．珦＝［

若摄像机是理想的针孔模型，则空间点Ｍ与图像点ｍ之间的射影关系可表示为：

γｕ０珦ｗ，（）且Ａ＝βｖｓｍＲ　Ｔ］Ｘ１珦＝Ａ［０，

　０　１（其中ｓ为非零尺度因子，是摄像机坐标系相对于世界坐标系的旋转矩阵与平移向量，Ｒ　Ｔ）Ａ称为摄像机

（（内参数矩阵，为图像平面在ｕ轴和ｖ轴上的尺度因子，为主点坐标，即光轴与图像平面交点的ｕｖα，０，０）β）

３］

像素坐标，即当图像坐标系的ｕ轴和ｖ轴不垂直时所导致的一个系数［．γ为斜性因子，

若摄像机镜头存在畸变，则空间中一点的坐标变化关系表示如下：

设三维空间中的一点，在世界坐标系下的坐标为Ｘｗ，经旋转平移后的坐标变化为Ｘｃ＝Ｒ＊Ｘｗ＋Ｔ，令ｘ

Ｔ

，）；）；），［相应的齐次坐标可表示为：当镜头存在畸变的情况１．＝Ｘｃ（１２ｚ＝Ｘｃ（３ａ，ｂ，１］＝ｙ＝Ｘｃ（

ｚｚ

Ｔ

］

收稿日期：２０１３０３１２＊－－

，郝　鑫（女，山西长治人，山西大学数学科学学院在读硕士研究生，主要从事计算机视觉研究．１９８７　　　作者简介：－）

Ｔ

［］，下，经旋转平移变化后的坐标在摄像机坐标系下的坐标可表示为：其中ｘｘ，１ｙｙ，

２４６２２

）））））））ｘｘ＝ａ＊（１＋ｋｃ（１ｒｃ（２ｒｃ（５ｒｋｃ（３ａ＊ｂ＋ｋｃ（４ｒａ＊＊＊＊＊（＋ｋ＋ｋ＋２＊＋２＊

２４６２２

）））））））１＋ｋｃ（１ｒｃ（２ｒｃ（５ｒｃ（３ｒｂｋｃ（４ａ＊ｂ＊＊＊＊（＊＋ｋ＋ｋ＋ｋ＋２＊＋２＊ｙｙ＝ｂ＊（

２２２

ｒ＝ａ＋ｂ

包含径向畸变和切向畸变，再经摄像机内参数作用后空间点在图像坐标系下的坐标可表示ｋｃ为畸变系数，Ｔ

［］，为：ｘｘｘ，１ｙｙｙ，

其中：

ｘｘｘ＝α＊（ｘｘ＋γ＊＋ｕｙｙ）０

ｙｙｙ＝β＊ｙｙ＋ｖ０．１．２　图像平面与模板之间的单应矩阵以及摄像机参数的约束关系

假设世界坐标系位于模板平面上，即模板平面满足坐标方程Ｚ＝０．以模板平面的某一顶点为坐标原点令ＯｗＸｗ和ＯｗＹｗ分别平行于模板平面上正方形小格的两条相互垂直的边Ｏｗ建立世界坐标系ＯｗＸｗＹｗＺｗ，沿，ＯｗＺｗ轴垂直于模板指向外侧．

）在计算单应矩阵时假设畸变系数为０，记旋转矩阵Ｒ的第ｉ列为ｒ则式（可写为：１ｉ，

ｘｗｘｗｗｗ

ｙ（）ｓｍｒｒ２＝Ａ［珦＝ｓ＝Ａ［１ｒ２ｒ３ｔ１ｒ２ｔｗ＝Ｈｗ

０

１１［］

其中：在获得平面模板图像后，根据图像３×３矩阵的Ｈ表示由世界坐标系到计算机图像坐标系单应矩阵４．

［］

，和平面模板上相应的角点坐标并利用Ｄ假设Ｈ＝［其中ｈＬＴ方法来估计单应矩阵Ｈ的系数４．ｈ１ｈ２ｈ３］ｉ）［］表示Ｈ的第ｉ列所对应的向量．由式（可以得到：根据旋２ｈ＝Ａ［ｒλλ表示任意的非零常数，１ｈ２ｈ３］１ｒ２ｒ３ｔ

５］

：转矩阵Ｒ中向量ｒ可以得到［ｒ１、２之间的垂直正交性，

ｈＡ－ＴＡ－１ｈ１２＝０

ｈＡ－ＴＡ－１ｈＡ－ＴＡ－１ｈ１１＝ｈ２２

））式（和式（是在求得单应矩阵Ｈ下的关于内参数的两个基本约束．注意到一个单应矩阵Ｈ拥有８个自由３４

（）３

（）４

，而外部参数有６个自由度（因此一个单应矩阵只能获得关于摄像机内部参数的两个度，３个旋转３个平移）约束．假设：

Ｂ＝Ａ－ＴＡ－１

则Ｂ为一３×３对称矩阵，设向量ｂ的表达式为：

Ｂ１Ｂ１Ｂ１２３

１Ｂ２Ｂ２＝Ｂ１２２３

Ｂ１Ｂ２Ｂ３３３３（）５

ｂ＝［Ｂ１１Ｂ１２Ｂ２２Ｂ１３Ｂ２３Ｂ３３］

则存在关系式：ｉ行第ｊ列的元素，　　令ｈｉｊ表示单应矩阵Ｈ中第

ＴＴ

ｈｈｂｉＢｉｊ＝ｖｊ

（）６（）７

其中：

ｖｈｈｈｈｈｈｈｈｈｈｉｉ１１ｈｉ１２＋ｈｉ２１ｈｉ２２ｈｉ３１＋ｈｉ１３ｈｉ１３＋ｈｉ３２ｈｉ３３］ｊ＝［ｊｊｊｊｊｊｊｊｊ

））联立式（和式（可以得到方程：３４ｂ＝０＊Ｔ

１１－ｖ１２）

）对模板拍摄ｍ张图像，将ｍ个如式（所示的方程组联立，可得：８

［（ｖ

Ｔ

ｖ１２

］

（）８

（）Ｖｂ＝０９

其中Ｖ为２如果ｍ≥３，则一般ｂ可以再相差一个尺度因子的意义下唯一确定．ｍ×６的矩阵．ｂ的解是ＶＴＶ的最小特征值对应的特征向量，通过对矩阵Ｖ进行Ｓ一旦求解得到了ｂ，则内部参数矩ＶＤ分解可以求解ｂ．求出内参数矩阵Ａ后，外部参数可由下式给出：阵Ａ的系数可以通过Ｃｈｏｌｅｓｋｙ矩阵分解算法解出，

　Ａ－１ｈ１＝λ１　

Ａ－１ｈ２＝λ２

ｒ３＝ｒ１×２　Ｔ＝λＡ－１ｈ３

（）１０

＝１－　

‖Ａｈ１‖）式（得到的旋转矩阵一般不满足正交特性的约束，可以通过奇异值分解对其进行正１０　　由于噪声的影响，

６］

交化［．

２　摄像机参数标定实验过程

标定实验采用的平面模板共包含１每幅图可提供１标定过程选取其３×９个黑白相间的方格，１７个角点，中的７平面模板中的小方格为边长是３使用分辨率为６７个角点作为标定点见图１所示．０ｍｍ的正方形，００实验中使用的摄像机为尼康Ｄ固定相机焦距×６００ｄｉ的激光打印机打印后贴附于刚化玻璃墙上．９０相机，ｐ

图像分辨率为４为７０ｍｍ，２８８×２８４８像素．　　

拍摄图像后，标记图像左上角一角点为世界坐标系的原点，建立世界坐标系．标定时手工选定平面模板上的四个顶点，约定则标定程序自动识别出包含在四个顶点连第一个点为坐标原点．

线范围内的所有角点，角点识别过程是基于ｈａｒｒｉｓ角点检测进行检测结果如图１所示．的．

图像平面的角点检测结果标定程序识别选取的角点后，根据）、（）、（）获得摄像机参数估计初值，在获取摄像机参数初式（２９１０，实际测得的图像角值时镜头畸变系数假设为：ｋｃ＝［０；０；０；０；０］

Ｔ

］，点坐标记为ｍ＝［利用已求得的摄像机参数计算平面模ｕ，ｖ，１Ｔ

］，板上的角点的重投影值，记为ｍ则有：′＝［ｕ′，ｖ′，１

Ｔ

１Ｍｈ

ｍ′＝Ｔ

Ｔ

ｈ３Ｍｈ２Ｍ

图１　图像平面的角点检测结果

［］

（）１１

则对摄像机参数的求解转化为非线性最优化问题：

ｍｉｎ′‖２∑‖ｍ－ｍ

［］

标定实验中利用Ｌｅｖｅｎｂｅｒａｒｕａｒｄｔ算法６．－Ｍｇｑ

来求解非线性最优化问题，进而获得所有摄像机标定参数的非线性最优解．

（）１２

设标定实验一共拍摄了ｍ幅模板图像，每幅图像包含ｎ个参考点，则优化的目标方程变为：

ｍ

ｎ

２

ｍｉｎ∑∑‖ｍ′（Ａ，ＲＴｋｃ）‖．ｉｉ，ｉ，ｊ－ｍ

（）１３

ｉ＝１ｊ＝１

３　真实图像实验

在整个标定过程中，共拍摄了２摄像机内参数标定结果见表１．９幅图像，

表１　摄像机内参数标定结果

参数取值（像素）

α１２０２３．２　　

１２０１２．４　　

γ０　

ｕ０２１６３．５　　

ｖ０１４９７．０　

］ｋｃ＝［０．６４３８５　１．５５９２７　０．００６６３　０．００７３３　０．０００００．　　畸变系数：　　　　

为了验证上述标定结果的可靠性，本文进行了简单三维重建验证．在标定图像拍摄过程中，在拍摄场景可作为重建结果验证图，验证模版的制作过程和实验模版相同，且其中再任意放置一块验证模板进行拍摄，

长方形小格的边长为５在验证图中任意选取验证模板上的３个点进行重建，以选取的第２０ｍｍ×２０ｍｍ．６幅图为例，重建结果见表２所示．

表２　重建数据

点数

点１

Ｔ

［］３２０．３　２９．５　６８．６

点２

Ｔ

［］４１２　２２９　１１０９．６　　

点３

［］Ｔ３２１．１　１２９．７　６５．３

１００ｍｍ１００．２ｍｍ

重建后世界坐标与点１的实际距离与点１的重建距离

０ｍｍ　０ｍｍ　

１００ｍｍ　１００．６ｍｍ　

重建结果误差很小，从而说明本文的标定方法是可行的，并且具有较高的实用性和较好　　实验结果显示，

的标定精度．

４　结论

摄像机标定是完成计算机视觉领域内许多工作必不可少的步骤，摄像机标定技术已成为计算机视觉领而寻求一种实用性强、标定精度高又兼顾便携、简易、灵活的特点的方法又是十分必要域的研究热点之一．

的，本文提出的基于平面模板的摄像机标定方法，经真实图像模拟验证表明该方法在兼顾灵活简易的同时又具有较好的标定精度．

参考文献：

［］［］，（）：１ｒｏｗｎＤＣ．ＣｌｏｓｅｒａｎｅｃａｍｅｒａｃａｌｉｂｒａｔｉｏｎＪ．ＰｈｏｔｏｒａｍｍｅｔｒｉｃＥｎｉｎｅｅｒｉｎ１９７５，３７８８５５　Ｂ　　　　　　ｇｇｇｇ［］］（）：胡占义．一种新的基于圆环点的摄像机标定方法［软件学报，２Ｊ．２００２，１３５５１　孟晓桥，

［］］（）：张旭苹．基于计算机视觉的大尺度三维几何尺寸测量方法及应用［光电子技术，３Ｊ．２０１１，１５２６６８０　张益昕，－［］］（）：胡占义．摄像机自标定方法的研究与进展［自动化学报，４Ｊ．２００３，２９１１２　孟晓桥，

［］］５ｈａｎＺ．Ａｆｌｅｘｉｂｌｅｎｅｗｔｅｃｈｎｉｕｅｆｏｒｃａｍｅｒａｃａｌｉｂｒａｔｉｏｎ［Ｊ．ＩＥＥＥＴｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓｏｎＰａｔｔｅｒｎＡｎａｌｓｉｓａｎｄＭａｃｈｉｎｅＩｎｔｅｌｌｉ　Ｚ　　　　　　　　　　　　　－ｇｑｙ　

，（）：ｅｎｃｅ２０００，２２１１１３３０１３３４　－　ｇ

［］［］，（）：６ｈａｎＺＹ．ＤｅｔｅｒｍｉｎｉｎｔｈｅｅｉｏｌａｒｅｏｍｅｔｒａｎｄｉｔｓｕｎｃｅｒｔａｉｎｔＪ．ＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｏｍｕｔｅｒＶｉｓｉｏｎ１９９８，２７２　Ｚ　　　　　　　　　ｇｇｐｐｇｙｙｐ

１６１１９８－

ＣａｍｅｒａＣａｌｉｂｒａｔｉｏｎＭｅｔｈｏｄＢａｓｅｄｏｎＰｌａｎａｒＰａｔｔｅｒｎ　　　　　　

ＨａｏＸｉｎ　

（，，）ＳｃｈｏｏｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＳｃｉｅｎｃｅｓＳｈａｎｘｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔＴａｉｕａｎ０３０００６，Ｃｈｉｎａ　　　　　ｙｙ

〕ｌａｎａｒａｔｔｅｒｎＡｂｓｔｒａｃｔｎｅｗ　ｍｅｔｈｏｄｆｏｒｃａｍｅｒａｃａｌｉｂｒａｔｉｏｎｂａｓｅｄｏｎｉｓｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ．Ｉｔ　　〔　Ａ　　　　　　　　　　ｐｐｏｎｌｒｅｕｉｒｅｓｔｈｅｃａｍｅｒａｔｏｏｂｓｅｒｖｅａｌａｎａｒａｔｔｅｒｎｓｈｏｗｎａｔｌｅａｓｔｔｈｒｅｅｏｒｍｏｒｅｄｉｆｆｅｒｅｎｔｏｒｉｅｎ　　　　　　　　　　　　　　　－ｙｑｐｐ　

（：，ｔａｔｉｏｎｓ．Ｔｈｅｎｔｈｅｃａｍｅｒａｃａｌｉｂｒａｔｉｏｎａｒａｍｅｔｅｒｓｉｎｃｌｕｄｉｎｉｎｔｒｉｎｓｉｃａｒａｍｅｔｅｒｓｅｘｔｒｉｎｓｉｃａｒａｍ－　　　　　　ｐｇｐｐ）ｅｔｅｒｓａｎｄｔｈｅｄｉｓｔｏｒｔｉｏｎｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｃａｎｂｅｓｏｌｖｅｄ．Ｔｈｉｓｕｓｅｓａｔｗｏｓｔｅｃａｍｅｒａｃａｌｉｂｒａｔｉｏｎａｅｒ　　　　　　　　　　－　ｐｐｐ　

，ｍｅｔｈｏｄＢｏｔｈｃｏｍｕｔｅｒｓｉｍｕｌａｔｉｏｎａｎｄｒｅａｌｄａｔａｈａｖｅｂｅｅｎｕｓｅｄｔｏｔｅｓｔｔｈｅｔｅｃｈｎｉｕｅｒｏｏｓｅｄ　　　　　　　　　　　　　ｐｑｐｐａｎｄｖｅｒｒｅｓｕｌｔｓｈａｖｅｂｅｅｎｏｂｔａｉｎｅｄｓｈｏｗｔｈａｔｔｈｅｔｅｃｈｎｉｕｅｉｓｕｓｅｆｕｌａｎｄｉｔｃａｎｏｏｄａｒｔｉｃｕｌａｒｌ　　　　　　　　　　　　　　ｙｑｇｐｙ　　ｂｅｄｏｎｅｆｕｌｌａｕｔｏｍａｔｉｃａｌｌ．　　ｙｙ　〔〕；；；Ｋｅｗｏｒｄｓａｍｅｒａａｒａｍｅｔｅｒｓｃａｌｉｂｒａｔｉｏｎｌａｎａｒａｔｔｅｒｎｈｏｍｏｒａｈｍａｔｒｉｘｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｃ　　　－ｐｐｐｇｐｙｙ　　ｏｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｐ

【责任编辑：王映苗】

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/oa84.html