高数同济六版第四章复习

第四章复习提要

4.1 不定积分的概念和性质

1、基本积分表 2、公式

??f(x)dx??f(x)和?f?(x)dx?f(x)?C

?12x?C 2?3、注意如下问题：（填空、选择、判断） 若e?x2是f(x)的原函数，则xf(lnx)dx??若f(x)是e?x的原函数，则

?f(lnx)1dx? ?C0lnx?C xx若f(x)的导数为sinx，则f(x)的一个原函数是（B）。 A 1?sinx; B 1?sinx; C 1?cosx; D 1?cosx

4.2 换元积分法

1、第一换元法的原理：g(x)dx

把被积函数g(x)凑成g(x)?f(?(x))??(x)的形式， 因而这种方法也称为凑微分法。

2、一些规律： ①

????f(x)1xdx?2?f(x)(x)??2?f(x)dx

11?f(ax?b)(ax?b)dx?f(ax?b)d(ax?b) ??aa②③

f(ax?b)dx?1f(lnx)dx??f(lnx)(lnx)?dx??f(lnx)d(lnx)

x(2k?1)④sin?xcosnxdx??sin2kxcosnxsinxdx???(1?cos2x)cosnxdcosx xsinnxdx??cos2kxsinnxcosxdx??(1?sin2x)sinnxdsinx

kk⑤cos?(2k?1)(2k?1)xdx和cos(2k?1)xsinnxdx可以看做④和⑤的特殊情形。 注：sin??22k2n⑥sinxcosxdx用公式sinx??1?cos2x1?cos2x2和cosx?降次。 22k⑦tanxsec??n2k?2xdx??tannxsec2kxdtanx??tannx(1?tan2x)dtanx

2k注secxdx可以看做⑦的特殊情形

⑧csc?2k?2xdx??csc2kxcsc2xdx???(1?cot2x)dcotx xsecxdx??tanxsecn2kn?1k⑨tan?(2k?1)xdsecx??(secx?1)secn?1xdsecx

2k⑩利用积化和差公式：

1cosAcosB?[cos(A?B)?cos(A?B)]

21sinAcosB?[sin(A?B)?sin(A?B)]

21cosAsinB?[sin(A?B)?sin(A?B)]

21sinAsinB?[cos(A?B)?cos(A?B)]

2第二换元法

1、 被积函数中含有a2?x2，利用代换x?asint,t?(?2、 被积函数中含有a2?x2，利用代换x?atant,t?(???,) 22,) 22??3、 被积函数中含有x2?a2，利用代换x?asect,t?(0,?)（一般要分情况讨论） 4、 被积函数为分式，分母次数比分子次数高，到代换 利用下列积分公式：

⒃tanxdx??ln|cosx|?C；⒄cotxdx?ln|sinx|?C

⒅secxdx?ln|secx?tanx|?C；⒆cscxdx?ln|cscx?cotx|?C

????⒇

dx1xdx1x?a?arctan?C；（21）?ln?C ?a2?x2a22?a2ax?ax?a（22）

??xdx（23）??arcsin?C；?ln(x?a2?x2)?C

ax2?a2a2?x2dxx2?a2?lnx?x2?a2?C

dx（24）

4.3 分部积分法

1、分部积分公式：udv?uv?vdu 2、u的选取原则：反?对?幂?指?三。

xx这个原则不是绝对的，如通常esinxdx?sinxde。

????3、如果遇到反三角函数和对数函数的高次幂，通常先换元更容易算。

2如(arcsinx)dxarcsinx?t?2t?dsint；

ln2x2?t?x2dxlnx?t?tedt

5、 遇到根式ax?b，先令t?ax?b去根号。 6、 会做形如例7、8那样具有典型特点的题目。

4.4 有理函数的积分

1、

P(x)，先用多项式除法化成真分式； Q(x)P(x)的分解式： Q(x)2、对Q(x)分解因式，根据分解结果用待定系数法确定

x?1x?1AB??：应设 ?(x?2)(x?3)(x?2)(x?3)x?2x?3x?2x?2ABx?C：应设 ??22?(2x?1)(x2?x?1)(2x?1)(x?x?1)(2x?1)(x?x?1)x?2x?2ABx3?Cx2?Dx?E?(2x?1)(x2?x?1)2：应设(2x?1)(x2?x?1)?(2x?1)?(x2?x?1)2

原则就是分子的次数总是要比分母低一次。

3、三角函数可以通过如下换元法转化为有理函数的积分

xxx1?tan22tan2；cosx?2；tanx?2 sinx?xxx1?tan21?tan21?tan2222x令tan?t，则三角函数就转化成为有理函数

22tan4. 被积函数含有nax?b或nax?bcx?d，则令t?nax?b或t?nax?bcx?d

几个典型题目

P207页（42）

?x?1dxdx，（43）P211页例7、8 2?2x?2x?3x?1?x

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