概率第七章习题答案

第七章 参数估计习题参考答案

1．设,0

()0,

0x e x f x x θθ-?>=?≤?，求θ的矩估计。

解 ,0dx xe EX x ?+∞-=θθ设du dx u x x u θθθ1

,1

,=== 则0000111()0()u u u EX ue du ue e du e θθθθ+∞+∞--+∞--+∞????==-+=+-????????=θ1

故1EX θ=，所以x 1

?=θ。

2. 设总体X 在[]b a ,上服从均匀分布，求a 和b 的矩估计。 解 由均匀分布的数学期望和方差知 1

()()2E X a b =+ （1） 21()()12D X b a =- （2） 由（1）解得a EX b -=2，代入（2）得2

)22(121a EX DX -=，

整理得2)(31

a EX DX -=，解得

()()a E X b E X ?=-??=??

故得b a ,的矩估计为

??a x b x ?=??=+??其中∑=-=n

i i x x n 1

22)(1

?σ。

3．设总体X 的密度函数为(;)!x e

f x x θ

θθ-=，求θ的最大似然估计。

解 设)!)...(!)(!(),()(2111

n n x n i i x x x e x f L n i i

θ

θθθ-=∑=

==∏，则

11ln ()()ln ln(!)n n

i i i i L x n x θθθ===--∑∑

11ln ()11?0, n n i i i i d L x n x x d n θθθθ===-===∑∑ 4．设总体X 的密度函数为

,

其中 (θ＞0), 求θ的

极大似然估计量.

解. 设(X 1, X 2,…, X n )是来自X 的一样本.

由极大似然估计原理,参数θ的似然函数为:

,

上式两边取对数 似然方程为

解似然方程得θ的极大似然估计量是 .

5.设总体X 的密度函数1(,)()(a a x f x a x e a θθθ--=已知），求参数θ的最大似然估计。 解 11121

()(,)(...)n a i i n x n n a i n i L f x a x x x e

θθθθ=--=∑==∏

11ln ()ln ln (1)ln n n

a i i i i L n n a a x x θθθ===++--∑∑

1

ln ()0n a i i d L n x d θθθ==-=∑ 解得 ∑==n i a i x n 1

1θ。

6．设总体X 的密度函数为

,

求α的极大似然估计量

和矩估计量.

解. 设(X 1, X 2,…, X n )是来自X 的样本.

(1)由矩估计法

, ∴

.

即参数α的矩估计量是

.

(2) 由极大似然估计原理, 参数α的似然函数为

,

上式两边取对数 , 似然方程为

,

解似然方程得到参数α的极大似然估计量是 .

7. 设1?θ和2?θ为参数θ的两个独立的无偏估计量，且假定2

1?2?θθD D =，求常数c 和d ，使2

1???θθθd c +=为θ的无偏估计，并使方差θ?D 最小。

解 由于θθθθθθ)(??)??(?2

121d c dE cE d c E E +=+=+=,且知θθ=?E ，故得c+d=1。 又由于

2

222222221221?)2(??2??)??(?θθθθθθθθD d c D d D c D d D c d c D D +=+=+=+= 并使其最小，即使222d c f +=，满足条件c+d=1的最小值。

令d=1-c ，代入得22)1(2c c f -+=，'42(1)0, 620c f c c c =--=-= 解得3

21,31=-==c d c 。 8．对方差2σ为已知的正态总体来说，问需取容量n 为多大的样本，才能使总体均值μ的置信水平为α-1的置信区间的长度不大于L

解 由于μ的置信区间为),(2

2αασσ

u n x u n x +

-，故μ的置信区间长度为

L u n ≤22ασ。所以，有202ασu L n ≥，即22

0)2(ασu L n ≥。 9. 设某电子元件的寿命服从正态分布),(2σμN ，抽样检查10个元件，得样本均值)(1200h x =，样本标准差)(14h s =。求

(1) 总体均值μ置信水平为%99的置信区间；

(2) 用x 作为μ的估计值，求绝对误差值不大于10（h ）的概率。

解 (1)由于σ未知，s=14（h ）,根据求置信区间的公式得 ))1(),1((2

2-+--n t n s x n t n s x αα ))9(10

141200),9(10141200(005.0005.0t t +- 查表得25.3)9(005.0=t ，故总体均值μ置信水平为%99的置信区间为

(120014.388, 120014.388)(1185.612, 1214.388)-+=

(2)

)14

1010)1(()10()10(<-=<-=<-n t P n s n x P x P μμ

=-=<≈<=α21))9()9(()2588.2)9((025.0t t P t P =

10. 设n X X X ,...,,21为正态总体),(2σμN 的一个样本，确定常数c 的值，使21

11)(∑-=+-=n i i i x x c Q 为2σ的无偏估计。

解

]

)()()(2)([]

)())((2)[()]()[()(21

112121112121

112

111μμμμμμμμμμ-+----=-+----=---=-=∑∑∑∑-=++-=++-=+-=+i n i i i i i n i i i i n i i i n i i i x E x E x E x E c x x x x E c x x E c x x c EQ

由于0)(=-=-=-μμμμi i Ex x E ，所以有

21

12111)1(2)2(]0[σσ-==+-=∑∑-=-=+n c c Dx Dx c EQ n i n i i i

由2σ=EQ （无偏性），故有1)1(2=-n c ，所以)

1(21-=n c 。 11. 为了解灯泡使用时数均值μ及标准差σ，测量了10个灯泡，得1650=x 小时，20s =小时。如果已知灯泡使用时间服从正态分布，求μ和σ的95%的置信区间。

解 由262.2)9()1(025.02

==-t n t α，根据求置信区间的公式得

22((1), (1))(165020)(165014.31)(1635.69, 1664.31)x n x n αα--==±= 查表知70.2)9()1(,023.19)9()1(2975.022

12025.022==-==--χχχχααn n ，

根据求置信区间的公式得2σ的置信区间为

2222

220.0250.975(1)(1)920920(, )(, )(189.24, 1333.33)(9)(9)19.023 2.70

n s n s χχ--??== 而σ的置信区间为

(13.8, 36.5)=

12. 岩石密度的测量误差服从正态分布，随机抽测12个样品，得2.0=s ，求2σ的置信区间()1.0=α。

解 查表得575.4)11(,675.19)11(295.0205.0==χχ，根据求置信区间的公式得2σ的置信

区间为 2222

22

122

(1)(1)110.2110.2(, )(, )(1)(1)19.675 4.575

n s n s n n ααχχ---??=--=(0.02, 0.10) 13 . 设两位化验员A 、B 分别独立地对某种化合物各作10次测定，测定值的样本

方差分别为220.5419, 0.6065A B

s s ==。设两个总体均为正态分布，求方差比22B A σσ的置信度为95%的置信区间。

解 查表得2481.003

.41)9.9(1)9.9(,03.4)9.9()9.9(2

21025.02===

==-αααF F

F F ，根据求置信区间的公式得22B

A σσ的置信区间为 222222220.0250.975111(, )(, 4.03)(0.222, 3.601)(9.9)(9.9) 4.03A A A A

B B B B

s s s s s F s F s s == 14．某种袋装食品的重量服从正态分布.某一天随机地抽取9袋检验,重量(单位:g)为

510 485 505 505 490 495 520 515 490

(1) 若已知总体方差σ2=,求μ的置信度为90%的置信区间;

(2) 若已知总体方差未知,求μ的置信度为95%的置信区间.

解. 设随机变量X 表示此种袋装食品的重量.

(1) 由已知得n=9 ,α=,

,

由于X ～N(μ, , 可推得～N(0, 1), 因此由

得到Φ(Uα/2)- Φ(-Uα/2)=

即Φ=

查表得 = 所以μ的90%的置信区间为

.

(2) 由已知得n=9 , α=,

由于总体方差未知,选取统计量

～t(n-1).

查表得到t α/2(n-1)=(9-1)=,

并且计算

,

所以μ的95%的置信区间为

15. 为了估计在报纸上做一次广告的平均费用,抽出了20家报社作随机样本,样本的均值

和标准差分别为575(元)和120(元),假定广告费用近似服从正态分布,求总体均值的95%的置信区间.

解. 设随机变量X 表示做广告的费用.

则 X ～N (μ, σ2) 总体方差σ2未知, 选取统计量

～t (n -1)

又已知 n =20 , α= ,

, s =120

查表得到 t α/2(n -1)=(20-1)=,

所以μ的95%的置信区间为

.

16. 某厂分别从两条流水生产线上抽取样本：1212,,,X X X 及1217,,,Y Y Y ，测得

6.10=X （克），5.9=Y （克），2212

2.4, 4.7s s ==。设两个正态总体的均值分别为1μ和2μ，且有相同方差，试求1μ-2μ的置信度95%的置信区间。

解 由763.3217127.4164.2112)1()1(212222112

=-+?+?=-+-+-=n n s n s n s ，得94.1763.3==s 。查表得(2

αt 221-+n n ）=0518.2)27(025.0=t ，1.15.96.10=-=-Y X （克），故

50.117

112194.10518.211)27(21025.0≈+?=+n n s t 根据求置信区间的公式得1μ-2μ的置信度95%的置信区间为

(X Y -±2

1025.011)27(n n s t +）)60.2,40.0()50.11.1(-=±=

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/oa3q.html