一轮复习函数的奇偶性和周期性

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课题：函数的奇偶性和周期性

辅导时间：2010,7辅导学生：黄文韬 辅导教师：汪飞

★知识梳理

1．函数的奇偶性的定义：

①对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f( x) f(x)〔或f( x) f(x) 0〕，则称f(x)为奇函数. 奇函数的图象关于原点对称。

②对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f( x) f(x)〔或f( x) f(x) 0〕，则称f(x)为偶函数. 偶函数的图象关于y轴对称。

③通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域原点关于对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称） 1． 函数的周期性命定义：

对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足

f(x T) f(x)，那么函数f(x)T

★重、难点突破

重点：函数的奇偶性和周期性，函数的奇偶性、单调性、周期性的综合应用

难点：函数的奇偶性的判断 函数的奇偶性与单调性、函数的奇偶性与周期性的综合应用 重难点：1.函数的奇偶性的判断：可以利用奇偶函数的定义判断或者利用定义的等价形式 f( x) f(x) f( x) f(x) 0

f( x)f(x)

1(f(x) 0),也可以利用函数图象的

对称性去判断函数的奇偶性.注意①若f(x) 0,则f(x)既是奇函数又是偶函数,若②若f(x)是奇函数且在x 0处有定义，则f(0) 0f(x) m(m 0),则f(x)是偶函数；

③若在函数f(x)的定义域内有f( m) f(m)，则可以断定f(x)不是偶函数，同样，若在函数f(x)的定义域内有f( m) f(m)，则可以断定f(x)不是奇函数。 2．奇偶函数图象的对称性

（1） 若y f(a x)是偶函数，则f(a x) f(a x) f(2a x) f(x) f(x)

的图象关于直线x a对称；

（2） 若y f(b x)是偶函数，则f(b x) f(b x) f(2b x) f(x)

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f(x)的图象关于点(b,0)中心对称；

3．函数的周期性 周期性不仅仅是三角函数的专利，抽象函数的周期性是高考热点，主要难点是抽象函数周期的发现，主要有几种情况：

（1）函数值之和等于零型，即函数f(a x) f(b x) 0(a b)

对于定义域中任意x满足f(a x) f(b x) 0(a b)，则有f[x (2b 2a)] f(x)，故函数f(x)的周期是T 2(b a)

（2）函数图象有x a，x b(a b)两条对称轴型

函数图象有x a，x b(a b)两条对称轴，即f(a x) f(a x)，

f(b x) f(b x)，从而得f[x (2b 2a)] f(x)，

故函数f(x)的周期是T 2(b a)

（3） 两个函数值之积等于 1，即函数值互为倒数或负倒数型

若f(x a) f(x b) 1(a b)，则得f(x 2a) f[(x 2a) (2b 2a)]，所以函数

f(x)的周期是T 2b 2a；同理若f(x a) f(x b) 1(a b)，则f(x)的周期是T 2(b a)

（4） 分式递推型，即函数f(x)满足f(x a)

1 f(x b)1 f(x b)

1f(x 2b)

(a b)

由f(x a)

1 f(x b)1 f(x b)

(a b)得f(x 2a) ，进而得

f(x 2a) f(x 2b) 1，由前面的结论得f(x)的周期是T 4(b a)

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★热点考点题型探析

考点1 判断函数的奇偶性及其应用 题型1：判断有解析式的函数的奇偶性 [例1] 判断下列函数的奇偶性：

（1）f（x）=|x+1|－|x－1|；（2）f（x）=（x－1）1 x1 x

；

（3）f(x)

x

2

|x 2| 2

；（4）f(x)

x(1 x) x(1 x)

(x 0),(x 0).

[思路点拨]判断函数的奇偶性应依照定义解决，但都要先考查函数的定义域。

1函数的奇偶性是函数的一个整体性质, 定义域具有对称性 ( 即若奇函数或【名师指引】○

偶函数的定义域为D, 则x D时 x D) 是一个函数为奇函数或偶函数的必要条件 2分段函数的奇偶性一般要分段证明.③○判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式.

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题型2：证明抽象函数的奇偶性

[例2] （09年山东梁山）定义在区间( 1,1)上的函数f (x)满足：对任意的x,y ( 1,1)，

x y1 xy

都有f(x) f(y) f(求证f (x)为奇函数；

).

[思路点拨]欲证明f(x)为奇函数，就要证明f( x) f(x)，但这是抽象函数，应设法充

x y1 xy

分利用条件“对任意的x,y ( 1,1)，都有f(x) f(y) f(“赋值”

[新题导练]

)”中的x,y进行合理

2

1．（09广东电白一中）设函数f x x 1 x a 为奇函数，则a ___________。

2．（高州中学09届训练题）已知函数f(x) ax2 bx 3a b是定义域为[a 1,2a]的偶函数，则a b的值是（ ）

A．0；B．

13

；C．1；D． 1

a b，a b

2

2

3．定义两种运算：a b (a b)，则f(x)

2

2 x(x 2) 2

是______________函数，（填奇、偶、非奇非偶，既奇又偶四个中的一个）

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4．已知函数f(x) 的值.

ax

2

1

bx c

（a、b、c∈Z）是奇函数,又f(1) 2，f(2) 3，求a、b、c

考点2 函数奇偶性、单调性的综合应用

[例3] （普宁市城东中学09）已知奇函数f(x)是定义在( 2,2)上的减函数，若

f(m 1) f(2m 1) 0，求实数m的取值范围。

[思路点拨]欲求m的取值范围，就要建立关于m的不等式，可见，只有从

f(m 1) f(2m 1) 0出发，所以应该利用f(x)的奇偶性和单调性将外衣“f”脱去。

【名师指引】利用函数的奇偶性可以求对称区间上的函数的表达式

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[例4]设函数f(x)是定义在R上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增，f(2a2+a+1)<f(3a2－2a+1).求a的取值范围，并在该范围内求函数y=(

2

2

12

)a

2

3a 1

的单调递减区间.

[思路点拨]欲由f(2a+a+1)<f(3a－2a+1)求a的取值范围，就要设法利用函数f(x)的单调性。 而函数y=(

【名师指引】偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反，而奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同。 [新题导练]

12

)a

2

3a 1

是一个复合函数，应该利用复合函数单调性的判定方法解决

5．（普宁市城东中学09届高三模拟）若f(x)是奇函数，且在 0, 内是增函数，又f(3) 0，则xf(x) 0的解集是（ ） A.{x 3 x 0或x 3}；B.{xx 3或0 x 3}

C.{xx 3或x 3}； D.{x 3 x 0或0 x 3}

6．（2007·天津改编）在R上定义的函数f x 是奇函数，且f x f 2 x ，若f x 在区间 1,2 是减函数，则函数f x （ ）

A.在区间 3, 2 上是增函数，区间 3,4 上是增函数 B.在区间 3, 2 上是增函数，区间 3,4 上是减函数 C.在区间 3, 2 上是减函数，区间 0,1 上是增函数 D.在区间 2, 1 上是减函数，区间 3,4 上是减函数

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7．（普宁市城东中学09届高三模拟）定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期4，且

3

xx

x 0,2 时，f(x)

9 1

。求f(x)在 2,2 上的解析式

考点3 函数奇偶性、周期性的综合应用

[例5] （09年惠州第三次调研考）已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x 2) f(x) 1

对

于x R恒成立，且f(x) 0，则f(119) ________

[思路点拨]欲求f(119)，应该寻找f(x)的一个起点值，发现f(x)的周期性

【名师指引】近年将函数的奇偶性、周期性综合在一起考查逐步成为一个热点，解决问题的关键是发现函数的周期性（奇偶性）。

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[新题导练]

8．（执信中学09届训练题）设f x 是定义在R上的正值函数,且满足 f x 1 f x 1 f x .若f x 是周期函数,则它的一个周期是（ ）

A.3；B.2；C.6；D.4

9．（06年安徽改编）函数f x 对于任意实数x满足条件f x 2 f(x) 1，若f 1 5,则f 5 __________ 备选例题：（05年广东）设函数

f(x)在( , )上满足f(2 x) f(2 x),f(7 x) f(7 x)，且在闭区间[0,7]上，

只有f(1) f(3) 0.

（Ⅰ）试判断函数y f(x)的奇偶性；

（Ⅱ）试求方程f(x) 0在闭区间[ 2005,2005]上的根的个数，并证明你的结论.

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★抢分频道

基础巩固训练：

1．（普宁市城东中学09届月考）已知f(x)是定义在R上的函数，且满足

则“f(x)为偶函数”是（ ）“2为函数f(x)的一个周期”的 ( )f(1 x) f(1 x)，

A．充分不必要条件；B．必要不充分条件；C．充要条件；D．既不充分也不必要条件

2．（汕头市金山中学09年模拟）若偶函数f(x)在( , 1)上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ） A．f(

32

) f( 1) f(2)；B．f( 1) f(

32

)；D．f(2) f(

32

32

) f(2)； ) f( 1)

12

C．f(2) f( 1) f(

3．（09年深圳翠园、宝安中学）设函数f(x) (x∈R)为奇函数，f(1)

f(x 2) f(x) f(2)，则f(5) （ ）

，

A．0；B．1； C．

52

；D．5

3 3

x

x

4．（湛江市09年高三调研）函数f(x)

在其定义域内是( )

2

A. 是增函数又是偶函数；B. 是增函数又是奇函数 C. 是减函数又是偶函数；D. 是减函数又是奇函数

5．（中山市09年高三统考）偶函数f(x)(x R)满足：f( 4) f(1) 0，且在区间[0,3]与[3, )上分别递减和递增，则不等式xf(x) 0的解集为（ ） A．( , 4) (4, )；B．( 4, 1) (1,4) C．( , 4) ( 1,0)；D．( , 4) ( 1,0) (1,4)

6．（09年深圳九校联考）已知f(x)是定义域为R的奇函数，若当x (0, )时，

f(x) lgx，则满足f(x) 0的x的取值范围是

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综合提高训练：

7．设f(x)是( , )上的奇函数，f(x 2) f(x) 0，当0 x 1时，f(x) x，则f(7.5)为

8．（四会中学高三09年月考）符号[x]表示不超过x的最大整数，如[ ] 3，[ 1.08] 2，定义函数{x} x [x]．给出下列四个命题：①函数{x}的定义域是R，值域为[0,1]；②方程{x}

12

有无数个解;③函数{x}是周期函数；④函数{x}是增函数．其中正确命题的序号

有（ ）

A．①④；B．③④；C．②③；D．②④

9.（08年辽宁改编）设f(x)是连续的偶函数,且当x 0时f(x)是单调函数, 求满足f(x) f(

x 4x 5

) 0的所有x之和

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第一章综合检测

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

1.集合M {0，2}，P {x|x M}，则下列关系中，正确的是( ) A.

M

；B.

PP

M；C. P M；D. P M

2.（09年山东梁山二中）若 是 xx2 a,a R 的真子集，则实数a的取值范围是（ ）

A. 0, ；B. 0, ；C. ,0 ；D. ,0

3．（09年重庆南开中学）已知集合M { 1,0,1},N {y|y cosx,x M}，则集合N的真子集个数为（ ）

A．3；B．4；C．7；D．8 4. 下列判断正确的是（ ） A．函数f(x)

x 2xx 2

2

是奇函数；B

．函数f(x) (1 x

C

．函数f(x) x D．函数f(x) 1既是奇函数又是偶函数

5. （恩城中学09届高三上中段考）已知定义在正整数集上的函数f(x)满足条件：f(1) 2，

f(2) 2,f(n 2) f(n 1) f(n),则f(2009)的值为（ ）

A．－2；B．2；C．4；D．－4

6．（08年陕西）为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关

1，2）ai {0，数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，，传输信息为h0a0a1a2h1，1}（i 0， 运算规则为：0 0 0，0 1 1，1 0 1，1 1 0，其中h0 a0 a1，h1 h0 a2，

例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（ ） A．11010；B．01100；C．10111；D．00011

7．（07年安徽）定义在R上的函数f(x)既是奇函数，又是周期函数，T是它的一个正周期.若将方程f(x) 0在闭区间 T,T 上的根的个数记为n，则n可能为（ ） A．0；B．1；C．3；D．5

2007

8. （广东南海中学09届模拟）函数f(x)

n 1

x n的最小值为（ ）

A. 1003×1004 B. 1004×1005 C. 2006×2007 D. 2005×2006

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二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分，其中13～15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分. 9．（韶关市田家炳中学09届测试）在实数集R上定义运算 :a b a b 4 ，并定义：若R存在元素e使得对 a R，有e a a，则e称为R上的零元，那么，实数集上的零元e之值是

10.设P 3，4，5 ，Q 4，5，6，7 ，定义P※Q＝ (a,b)|a P，b Q ，则 P※Q中元素的个数为 .

11．（金山中学09届）已知函数y f(x)是以2为周期的偶函数，且当x (0,1)时，

72

f(x) x 1,则f()的值_______.

2

12．设a,b R,集合 1,a b,a 0,

b

b

,b ,则的值是

aa

▲选做题：在下面三道小题中选做两题，三题都选的只计算前两题的得分。

13．f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f(2) 0，则方程f(x) 0在区间（0，6）内解的个数的最小值是

14．设f(x)是定义在R上的奇函数，且y f(x)的图象关于直线x

f(1) f(2) f(3) f(4) f(5)

12

对称，则

15. 若一系列函数的解析式相同、值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,

2

那么函数解析式为y=x，值域为{0,4}的“同族函数”共有_________个.

三、解答题：(本大题共6小题,共80分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本题满分13分)（高州中学09届模拟）设全集U R，集合

B {x|A {x|6 x x 0，集合}

2

2x 1x 3

1}

(Ⅰ)求集合A与B； (Ⅱ)求A B、(CUA) B.

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18.(14分) 已知函数y=f(x)=2，其中b∈N且f(1)<

52

ax

2

1

bx c

(a,b,c∈R,a>0,b>0)是奇函数，当x>0时，f(x)有最小值

.试求函数f(x)的解析式

19. （高州中学09届模拟14分）已知函数y f(x)，若存在x0，使得f(x0) x0，则x0 称是函数y f(x)的一个不动点，设f(x) （Ⅰ）求函数y f(x)的不动点；

f(x) af(x) b

x ax b

2x 32x 7

.

（Ⅱ）对（Ⅰ）中的二个不动点a、b（假设a b），求使恒成立的常数k的值；

k

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20．（14分）设函数f(x)是定义在[ 1，0)∪(0，1]上的奇函数，当x [ 1，0)时，

f(x)=2ax

1x

2

.

(1) 求当x (0，1]时，f(x)的表达式；

(2) 若a>-1，判断f(x)在(0，1]上的单调性，并证明你的结论.

21. (12分)若函数y=f(x)是周期为2的偶函数,当x∈［2,3］时,f(x)=x－1.在y=f(x)的图象上有两点A、B,它们的纵坐标相等,横坐标都在区间［1,3］上,定点C的坐标为(0,a)(其中2<a<3), (1) 求当x∈［1,2］时,f(x)的解析式;

(2) 定点C的坐标为(0,a)(其中2<a<3),求△ABC面积的最大值.

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/oa3j.html