2010年考研数学二真题及答案

二零一○年全国研究生入学考试试题（数学二）

一选择题 1.函数f(x)?x?xx?1221?1x2的无穷间断点的个数为

A0 B1 C2 D3

2.设y1,y2是一阶线性非齐次微分方程y??p(x)y?q(x)的两个特解，若常

数?,?使?y1??y2是该方程的解，?y1??y2是该方程对应的齐次方程的解，则 A?C???1223,??,??21213 B? D????2312,???2312

,??

3.曲线y?x与曲线y?alnx(a?0)相切，则a?

A4e B3e C2e De 4.设m,n为正整数,则反常积分?A仅与m取值有关

10mln(1?x)n2xdx的收敛性

B仅与n取值有关

C与m,n取值都有关 D与m,n取值都无关

5.设函数z?z(x,y)由方程F(y,z)?0确定,其中F为可微函数,且F??0,则

xx2x?z?x?y?z?y=

Bz C?x

n(n?i)(n?j)122Ax

x??

n D?z

6.(4)lim??i?1j?1n=

A?dx?01x0(1?x)(1?y)2dy B?dx?01x01(1?x)(1?y)1(1?x)(1?y)2dy

C?dx?01101(1?x)(1?y)dy

D?dx?0110dy

7.设向量组I:?1,?2,?，?r可由向量组的是：

II：?1，?2，?，?s线性表示，下列命题正确

A若向量组I线性无关，则r?s B若向量组I线性相关，则r>s C若向量组II线性无关，则r?s D若向量组II线性相关，则r>s 8.设A为4阶对称矩阵,且A?1?A????11??? ??0?2?A?0,若A的秩为3,则A相似于

?????0???1?D?????1?1?????0??1?B????1?1?????0?

?1?C?????1?1

二填空题

9.3阶常系数线性齐次微分方程y=__________ 10.曲线y?2x23y????2y???y??2y?0的通解

x?1的渐近线方程为_______________

y(n)11.函数y?ln(1?2x)在x?0处的n阶导数12.当0????时，对数螺线r?e的弧长为?(0)?___________

__________

13.已知一个长方形的长l以2cm/s的速率增加，宽w以3cm/s的速率增加，则当l=12cm,w=5cm时，它的对角线增加的速率为___________ 14.设A，B为3阶矩阵，且A三解答题 15.求函数f(x)?1?3,B?2,A?1?B?2,则A?B?1?__________

?x21(x?t)en2?t2dt的单调区间与极值。

16.(1)比较?0lnt[ln(1?t)]dt1n与?0tn1lntdt(n?1,2,?)的大小,说明理由.

(2)记un??0lnt[ln(1?t)]dt(n?1,2,?),求极限limun.x??

17.设函数y=f(x)由参数方程

?x?2t?t2,(t??1)所确定，其中??y??(t),?(t)具有2阶导数，且?(1)?52，??(1)?6，已知dydx22?34(1?t),求函数?(t)。

18.一个高为l的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a,短轴为2b的椭圆。

3现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为2时，计算油的质量。 （长度单位为m，质量单位为kg，油的密度为19.

设函数u?f(x,y)具有二阶连续偏导数，且满足等式4?u?x22b?kg/m3）

?122?u?x?y?02?5?u?y22?0.确定a,b的值，使等式在变换??x?ay,??x?by下简化?u????

?420.

计算二重积分I???Drsin?1?rcos2?drd?,其中D?｛(r,?)0?r?sec?,0???22}.21.设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，且

1f(0)=0,f(1)=3,证明：存在22.

???设A??0?1?122??(0,),??(,1),使得f?(?)?f?(?)????.1122

??111??a????0?,b??1?.已知线性方程组?1??????Ax?b存在2个不同的解。（1）求?、a.(2)求方程组Ax?b的通解。?0?23.设A???1?4??13aT4??a?，正交矩阵Q0??使得QTAQ为对角矩阵，若Q的第

一列为

16(1,2,1)，求a、Q.

答案：

BACD BDAD 9.C1e2x12.

?C2cosx?C3sinx? 10.y=2x 11.?2n?(n?1)!

2(e?1) 13.3cm/s 14. 3

三解答题 15.

解：f(x)的定义域(??,??),由于f(x)?xf?(x)?2x?e1x22?x21e?t2dt??x21te?t2dt,

?t2dt,所以驻点为x?0,?1.列表讨论如下：

x (??,1) -1 0 极小 (-1,0) + 0 0 极大 (0,1) - 1 0 极小 (1,+?) + f?(x) - f(x) 因此，f(x)的单调增加区间为（（-?，-1）及（0，1）；极小值为-1，0）及（1，??），单调递减区间为f(?1)?0,极大值为f(0)??10te?t2dt?12(1?e).?116.

解：(1)当0?t?1,?ln(1?t)?t,?lnt[ln(1?t)]因此，?lnt[ln(1?t)]dt?01nn?tnlnt,?10tnlntdt.n(2)由(1)知0?un???10lnt[ln(1?t)]dt?1n?1?10tnlntdt.1

2?10tnlntdt???tlntdt?01n?10tdt?n(n?1)?lim

n???10tnlntdt?0,从而limun?0n??17

(2?2t)???(t)?2??(t)?dydx???(t)2?2tdydx22,?dydx322?(2?2t)2(2?2t)(1?t)???(t)???(t)4(1?t)3?(1?t)???(t)???(t)4(1?t)3，3由题设?（41?t)11?t,故?（41?t)从而，???(t)???(t)?3(1?t).1u?3(1?t),dt?C1]设u???(t),有u??u?e?1?tdt1

1?t?1[?3(1?t)e?1?tdt?(1?t)(3t?C1).由ut?12???(t)?6,知C1?0,于是??(t)?3t(1?t).?(t)?3?(t?t)dt?32t?t?C2.23由?(1)?52,知C2?0,于是?(t)?32t?t（t??1).2318解：

如下图建立坐标系，则图中阴影部分为油面与记S1为下半椭圆面积，则b油罐底面椭圆方程为椭圆所围成的图形。S1?12xa22?yb22?1.?ab.记S2是位于x轴上方阴影部分的面积，则S2?2?a1?02yb22dy,设y?bsint,则dy?bcostdt,?2?S2?2ab?601?sintcostdt?2ab?6(1?cos2t)dt?ab(0?6?2334),34)ablp.于是油的质量为(S1?S2)lp?(12?ab??6ab?34ab)lp?(??

y S2 S1 x

?u?x?u?y??u????u???b,?u?x22?2?u??222?22?u????222??u??222,2?a?u???u??,?u?x?a?u???2ab?u?????b?u??22.将以上各式代入原等式19解：

（5a2，得?u????2

?(5b2?12a?4)?u??222?[10ab?12(a?b)?8]?12b?4)?u??22?0.由题意，令?5a?2?5b?a??2??12a?4?0?2，解得?b???12b?4?0?5???2?2?a????a???a??2?5,?,?5,?2b??2??b???b??2??5???2?a????a??2?5,由10ab?12(a?b)?8?0,舍去?,?2?b??2?b???5??故，a??2,b??25或a??25,b??2.20.

由题设知，1211xI???D2rsin?21?rcos??rsin?drd??13132222??Dy1?x?ydxdy22???01dx?01?x?yd(1?x?y)?32222?0(1?x?y)222x0dx[1?(1?x?30)2]dx.13?1?20设x?sint,则I?21.

?3cos(4)tdt?13??16.证：设函数在[0,F(1212]和[12F(x)?f(x)?13x，由题意知3F(0)?0,F(1)?0.,1]上分别应用拉格朗日中12?0)?12)?1212值定理，有12),

)?F(0)?F?(?)(122[f?(?)??].??(0,F(1)?F()?F?(?)(1?[f?(?)??],??(122[f?(?)??]?212,1).二式相加，得：F(1)?F(0)?2122[f?(?)??]?0即f?(?)?f?(?)??

??.222.

(1)设?1,?2为Ax?b的2个不同的解，则2?1-?2是Ax?0的一个非零解，故A?(??1)(??1)?0,于是??1或??-1。当??1时，因为r(A)?r(A,b),所以Ax?b,舍去。当??-1时，对Ax?b的增广矩阵施以初等行??1a??1?01???0???11??0??3变换??1?（A,b)??0??11?21010???12?1?0??B?20a?2???

?Ax?b有解，?a??2.(2)当???1,a??2时，???1B??0??0??3???12??3??11?0??,所以Ax?b的通解为x???1??2?2??00??0???010?1???k?0?,其中k为任意常数。?1???23.

解：由题设，（?1??0???A?2????1?1??4????13a1，2，1）为A的一个特征向量，于是4??1??1??????a??2???1?2?,解得a??1,?1?2.???1?0???1???T由于A的特征多项式所以A的特征值为属于特征值属于特征值?1??6?2令Q??6?1???6?E?A?(??2)(??5)(??4),2,5,?4.1（1，-1，1）;31（?1，0，1）2TT

5的一个单位特征向量为?4的一个单位特征向量为131313??1??2??2??T0?,则有QAQ?????1??2?5???,故Q为所求矩阵。?4??

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