欧拉公式OI^2=R(R-2r)和欧拉不等式R2r的证明

欧拉公式OI^2=R(R-2r)的证明

命题：设三角形ABC外接圆O的半径为R，内切圆I的半径为r,则OI^2=R(R-2r)

证明：

如上图，设∠IAB=α， ∠IBA=β

连结I和A，并延长AI交圆O于点D；连结BD和CD；连结I和O，设直线OI交圆O于点E和F,设OI=d

第一步：求ID和IA的长度

显然：∠DBC=∠DAC=α，∠DBI=α+β=∠DIB，所以，BD=ID 因为△ABD内接于圆O，所以BD=2Rsinα，所以ID=2Rsinα 而IA?

第二步：求IE和IF的长度

显然，IE=R+d,IF=R-d

第三步：寻找等式

因为EF和AD都是圆O的弦，并且两弦相交于点I 所以有：IA*ID＝IE*IF 即：

2Rsin??2GIsin??rsin?

rsin??(R?d)*(R?d)，所以d2?R*(R?2r)

即：IO

?R*(R?2r)

欧拉不等式R≥2r的证明

由欧拉公式OI^2=R(R-2r)可知，OI^2≥０,所以R(R-2r) ≥０，所以R≥2r

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