2018年高考浙江卷第9题(平面向量)-2018年高考数学经典题分析及针

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2018年高考浙江卷第9题(平面向量)

-2018年高考数学经典题分析及针对训练Word版含解析

一、典例分析,融合贯通

rrrrrrπ典例1.【2018年高考浙江卷第9题】已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为 ,

3rrrr2rr向量b满足b?4e?b?3?0,则a?b的最小值是

A.3?1 解法一:

B.3+1

C.2

D.2?3 r2rrr2rrr2rr2b?4e?b?4e?1,?(b?2e)?1, 【答案】A【解析】∵b?4e?b?3?0,即:r以e的方向为x轴正方向,建立平面直角坐标,如图

yAaBO1Ex

uurBA的最小值为3?1,即的最小值为3?1。

r终点在以F为圆心,F到a终边所在直线距离为3 rr?a?b?3?1.

minrr2点评:运用向量的乘法运算,联系(b?2e)?1的几何意义,建立坐标系,转化为点到直线的距离问题。

解法二:

点评: 将向量坐标化,数量化转换为方程,联系方程的几何意义,化为点到直线的距离问题。 链接【2017高考新课标2理12】已知?ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点, uuruuruuurPA?PB?PC则的最小值是

??A.?2 B.?解法一:

34 C.? D.?1 23(几何法):如图所示,

uuruuruuuruuuruuruuruuuruuurPB?PC?2PD(D为BC中点),则PA?PB?PC?2PD?PA,

??uuuruuruuruuuruuruuuruuruuur要使PA?PD最小,则PA,PD方向相反,即P点在线段AD上,则2PD?PAmin??2PA?PD, uuruuuruuuruuuruur3?3, 即求PD?PA最大值,又PA?PD?AD?2?2uuruuur2?PA?PD??3?23uuruuuruuuruur33??=?=则PA?PD?,则.故选B. 2PD?PA??min??2???2???2442??????点评:利用向量运算的几何意义,进行构图,再运用图象的几何特征和基本不等式求出最值。 解法二:

(解析法):如图,以BC为x轴,BC的垂直平分线DA为y轴,D为坐标原点建立 平面直角坐标系,则A0,3,B??1,0?,C?1,0?,设P?x,y?,

??

点评: 将向量坐标化,数量化转换为代数式,再运用配方法,求出最小值。 二.方法总结,胸有成竹

平面向量中的最值和范围问题,是一个热点问题,也是难点问题,这类试题的基本类型是根据给出的条件

求某个量的最值、范围,如:向量的模、数量积、夹角及向量的系数等。 1. 平面向量中有关范围最值问题的求解通常有两种思路:

①“形化”,即利用平面向量的几何 意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题,然后根据平面图形的特征直接进行判断;

②“数化”,即利用平面向量的坐标运算,把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题,然后利 用函数、不等式、方程的有关知识来解决. 2. 基本方法

方法一 建立直角坐标系法

使用情景:一般向量求最值或取值范围类型

解题模板:第一步 根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标; 第二步 将平面向量数量积的运算坐标化;

第三步 运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解即 可.

方法二 利用基本不等式求平面向量的最值 使用情景:一般平面向量求最值问题

解题模板:第一步 利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系; 第二步 运用基本不等式求其最值问题; 第三步 得出结论. 方法三 利用向量的数量积

m?n?mn求最值或取值范围

使用情景:涉及数量积求平面向量最值问题

解题模板:第一步 运用向量的加减法用已知向量表示未知向量; 第二步 运用向量的数量积的性质求解; 第三步 得出结论. 三.精选试题,能力升级

1.【2018兰州模拟】已知向量a,b,c满足a?4,b?22,a 与b的夹角为则c?a的最大值为

?,(c?a)?(c?b)??1,4A.2?122?1 B. D.2?1 ?1 C.222【答案】D

【解析】设OA?a,OB?b,OC?c;以OA所在直线为x,O为坐标原点建立平面直角坐标系, ∵a?4,b?22,a 与b的夹角为

?,则A(4,0),B(2,2),设C(x,y) 4∵(c?a)?(c?b)??1,∴x2?y2?6x?2y?9?0,即(x?3)2?(y?1)2?1,

表示以(3,1)为圆心,以1为半径的圆,c?a表示点A,C的距离即圆上的点与点A(4,0)的距离.

22∵圆心到B的距离为(3?4)?(1?0)?2,∴c?a的最大值为2?1,故选:D.

2. 【2018山西芮城中学模拟】长度都为2的向量OA, OB的夹角为弧)上, OC?mOA?nOB,则m?n的最大值是

?,点C在以O为圆心的圆弧AB(劣3A. 23 B. 【答案】B

23 C. 3 D. 33 3

3.【2018吉林实验中学模拟】在ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB, AC于不同两点M,N,若AB?mAM, AC?nAN, m,n为正数,则

11?的最小值为 mnA. 2 B. 1?【答案】A 【解析】AO? m?n?2 ,

22223 C. 1? D. 1? 3331mnmnAB?AC?AM?AN ∵M、O、N三点共线,∴??1, 22222??111?11?mn?11???????m?n???2?????2?2??2. 故选:A. mn2?mn?nm?22?4.【2017高考新课标3理12】在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若

AP=?AB+?AD,则?+?的最大值为

A.3

B.22

C.5

D.2

【答案】A

【解析】如图所示,建立平面直角坐标系.

5.【2017北京高考12】已知点P在圆x2?y2=1上,点A的坐标为(-2,0),O为原点,则AO?AP的最大值为_________. 【答案】6 【解析】

AO?AP?|AO|?|AP|cos??|AO|?|AP|?2?(2?1)?6.所以最大值是6.

6.【2018江苏南京市盐城高三一模】在?ABC中,已知AB?3,C? .

uuruur?,则CA?CB的最大值为 33 2uuruur1?22【解析】CA?CB?bacosC?ab,由余弦定理得:3?a?b?2abcos?2ab?ab?ab,

23【答案】

4.【2017高考新课标3理12】在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若

AP=?AB+?AD,则?+?的最大值为

A.3

B.22

C.5

D.2

【答案】A

【解析】如图所示,建立平面直角坐标系.

5.【2017北京高考12】已知点P在圆x2?y2=1上,点A的坐标为(-2,0),O为原点,则AO?AP的最大值为_________. 【答案】6 【解析】

AO?AP?|AO|?|AP|cos??|AO|?|AP|?2?(2?1)?6.所以最大值是6.

6.【2018江苏南京市盐城高三一模】在?ABC中,已知AB?3,C? .

uuruur?,则CA?CB的最大值为 33 2uuruur1?22【解析】CA?CB?bacosC?ab,由余弦定理得:3?a?b?2abcos?2ab?ab?ab,

23【答案】

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