考研数学：曲线凹凸性及拐点典型题型分析

考研数学：曲线凹凸性及拐点典型题型分析

来源：文都教育

在考研数学中，高等数学导数的应用部分有多个考点，其中之一是曲线的凹凸性和拐点。凹凸性和拐点是函数图形的一种特性，从几何意义上讲，凹凸性反映的是曲线的弯曲方向，而拐点则是指曲线的弯曲方向发生改变的点，从代数意义上讲，凹函数或凸函数就是指二阶导数不变号的函数，当然，这里说的不变号一般是相对于某一个区间而言的。下面文都考研蔡老师对曲线的凹凸性及拐点的判断方法和典型题型做些分析总结，供考研的同学复习时参考。

一、凹凸性和拐点的判断方法

1. 凹凸性判断方法：设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内二阶可导，则当f??(x)?0时，

f(x)在[a,b]上的图形是凹的；当f??(x)?0时，则f(x)在[a,b]上的图形是凸的。

2、拐点判断方法：先求出f??(x)?0的点和二阶导数不存在的点x0，若函数f(x)在点

x0的左、右邻域内的二阶导数存在并且符号相反，则(x0,f(x0))是曲线的拐点。

二、典型题型分析

131?x?t?t???33例1. 设函数y?y(x)由参数方程?确定，求y?y(x)的极值和曲线

?y?1t3?t?1?33?y?y(x)的凹凸区间及拐点。

d2y4tdyd2y1d2y1解：由，?0，得t??1，2?2???0,????0，322dx(t?1)dxdxt??12dxt?12极大值为y(?1)?1，极小值为y()??531； 3d2y1d2y1?0,得t?0，x?t?0时，?0令；当，得凸区间为(??,)，当dx23dx23 1

d2y111t?0时，2?0，得凹区间为(,??)，拐点为(,).

dx333注：本题是考研数学2011年数二(16)真题。

23例2. 曲线y?(x?5)x的拐点坐标为 .

4?2解：y???(x?1)x3?0,x??1,y??6，当x??1时，y???0， 当x??1时，y???0，

9故 (?1,?6)为拐点。

注：本题是考研数学2008年数二(12)真题。

例3. 设函数f(x)在（-?，+?）内连续，其导函数的图形如图所示，则（ ） （A）函数f(x)有2个极值点，曲线y?f(x)有2个拐点.

（B）函数f(x)有2个极值点，曲线y?f(x)有3个拐点.

（C）函数f(x)有3个极值点，曲线y?f(x)有1个拐点.

（D）函数f(x)有3个极值点，曲线y?f(x)有2个拐点.

解：从下图可以看出，f(x)在点a和c左右两边的导数符号不一样，因此它们是极值点；f(x)在点b,e,d左右两边导数的单调性不一样，因此它们是拐点，故共有2个极值点、3个拐点，应选(B).

注：本题是考研数学2016年数二（4）、数三（1）真题。

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例4. 函数f?x?具有2阶导数，1]上（ ） g?x??f?0??1?x??f?1?x,则在区间[0，

?x）?0时，f?x??g?x?. (A)当f（(C)当f??(x)?0时，f?x??g?x?.

?x）?0时，f?x??g?x? (B)当f（ (D)当f??(x)?0时，f?x??g?x?

解：法1（利用凹凸性）：当f??x? ?0时，f?x?是凹函数，而g?x?是连接0,f?0?与的直线段，如右图，此时（1,f?1?）??f?x? ?g?x?，应选(D).

法2（利用单调性）：令h(x)?g(x)?f(x)，则h(0)?h(1)?0，

由罗尔定理知，???(0,1)，使h?(?)?0，若f??(x)?0，则h??(x)?0,h?(x)单调递减，

当x?(0,?)时，h?(x)?h?(?)?0，h(x)单调递增，h(x)?h(0)?0,即g(x)?f(x)； 当x?(?,1)时，h?(x)?h?(?)?0，h(x)单调递减，h(x)?h(1)?0,即g(x)?f(x)； 注：本题是考研数学2014年数一（2）、数二（3）、数三（4）真题。

从前面的分析和典型例题可以看到，解决有关曲线凹凸性和拐点的问题，主要是利用函数的二阶导数的符号进行分析和判断，但有时也结合其它方法，比如在判断曲线的凹凸性和拐点时，有时可直接根据几何图形中曲线的弯曲方向判断，另外，在判断拐点时，如果某点处的二阶导数为零，而三阶导数不为零，则该点也是拐点。

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