山东省滨州市博兴县第三中学2020_2021学年高二数学上学期第一次月考试题含解析.doc
更新时间:2023-08-14 11:25:01 阅读量: 人文社科 文档下载
- 1 - 山东省滨州市博兴县第三中学2020-2021学年高二数学上学期第一次
月考试题(含解析)
一、选择题(每小题5分,共8小题40分)
1. 已知空间两点()3,3,1A ,()1,1,5B -,则线段AB 的长度为( )
A. 6
B. 26
C. 43
D. 214 【答案】A
【解析】
【分析】
利用空间中两点间距离公式计算即可.
【详解】因为()3,3,1A ,()1,1,5B -,所以根据空间中两点间距离公式得()()()2223131156AB =++-+-=.
故选:A.
【点睛】本题考查了空间中两点间距离公式,属于基础题.
2. 如图,点M ,N ,分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱BC ,1CC 的中点,则异面直线11B D 和MN 所成的角是( )
A. 30
B. 45?
C. 60?
D. 90?
【答案】C
【解析】
【分析】
- 2 - 通过平移的方法作出直线11B D 和MN 所成的角,并求得角的大小.
【详解】依题意点M ,N ,分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱BC ,1CC 的中点, 连接11,,C D C B BD ,结合正方体的性质可知111//,//BD B D BC MN , 所以1C BD ∠是异面直线11B D 和MN 所成的角,
根据正方体的性质可知,1C BD 是等边三角形,所以160C BD ∠=?, 所以直线11B D 和MN 所成的角为60?.
故选:
C
【点睛】本小题主要考查线线角的求法,属于基础题.
3. 直线320kx y k -+-=恒过一定点,则该定点的坐标( )
A. ()3,2
B. ()3,2--
C. ()2,3
D. ()2,3-- 【答案】B
【解析】
【分析】
合并同类项后确定定点坐标.
【详解】由320kx y k -+-=得()320k x y +--=,所以30
20x y +=??-
-=?, 解得3,2x y =-=-,所以定点坐标为()3,2--.
故选:B
【点睛】本小题主要考查直线过定点,属于基础题.
- 3 - 4. 两直线3x +y -3=0与6x +my +1=0平行,则它们之间的距离为( )
A. 4
【答案】D
【解析】
【分析】
由两直线平行,可求得m 的值,代入两平行线距离公式,即可求解.
【详解】因为两直线平行,
所以361m ?=?,解得m =2,
将6x +2y +1=0化为3x +y +12
=0, 由两条平行线间的距离公式得d
==
=20
, 故选:D .
【点睛】本题考查已知直线平行求参数、两平行线间距离,考查分析理解,计算求值的能力,属基础题.
5. 过点()2,1P 且与原点距离最远的直线为( ).
A. 250x y +-=
B. 230x y --=
C. 240x y +-=
D. 20x y -=
【答案】A
【解析】
【分析】
过点()2,1P 且与原点O 距离最远的直线垂直于直线OP ,求出12
OP k =,从而过点()2,1P 且与原点O 距离最远的直线的斜率为2k =-,由此能求出过点()2,1P 且与原点O 距离最远的直线方程.
【详解】过点()2,1P 且与原点O 距离最远的直垂直于直线OP ,
- 4 - 12OP k
=,∴过点()2,1P 且与原点O 距离最远的直线的斜率为2k =-, ∴过点()2,1P 且与原点O 距离最远的直线方程为:
()122y x -=--,即250x y +-=.
故选:A .
【点睛】本题考查点到直线方程的求法,考查点到直线的距离、直线与直线垂直等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
6. 若三棱锥P -ABC 的三条侧棱两两垂直,且满足PA =PB =PC =1,则点P 到平面ABC 的距离是( )
A. 6
B. 6
C. 3
D. 3 【答案】D 【解析】
【分析】
先建立空间直角坐标系,求出平面ABC 的法向量,再利用点到平面的距离公式求解即可.
【详解】解:分别以PA ,PB ,PC 所在的直线为x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则A (1,0,0),B (0,1,0),C (0,0,1) ()()1,1,0,1,0,1AB AC =-=-.
设平面ABC 的一个法向量为(),,n x y z =,由00
n AB n AC ??=???=??得:00x y x z -+=??-+=?. 令1x =,则1y z ==.则平面ABC 的一个法向量为()1,1,1n =.所以点P 到平面ABC 的距离||33||
n PA d n =?=. 故选:D .
- 5 - 【点睛】本题考查空间中点到平面的距离,关键考查运算能力,属于基础题.
7. 圆222680x y x y ++-+=的圆心和半径分别是( )
A. ()1,3-,2
B. ()1,2-,22
C.
()1,3-,22 D. ()1,3-,2 【答案】D
【解析】
【分析】
利用配方法求得圆心和半径.
【详解】由222680x y x y ++-+=,
得()()22132x y ++-=,
所以圆心
()1,3-,半径为2.
故选:D
【点睛】本小题主要考查根据圆的一般方程求圆心和半径.
8. 如图,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,AA 1=6,则AA 1与平面AB 1C 1所成的角为( )
A. π6
B. π4
C. π3
D. π2
【答案】A
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系,求出平面的法向量,根据向量的数量积即可求得直线与平面的夹角.
【详解】以A 为坐标原点,AC 为x 轴,AB 为y 轴,AA 1 为z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系:
- 6 -
则A 1(0,06),A (0,0,0),B 1(0,26),C 1(2,06) 则()()(1110,2,6,2,0,6,6AB AC AA ===
设平面AB 1C 1的法向量为(),,m x y z = 则11260260
m AB y z m AC x z ??=+=???=+=?? ,令1z = 可解得6262
x y ?=-????=-??
所以66,2m ??=- ? ???
设AA 1与平面AB 1C 1所成的角为α ,则AA 1与平面AB 1C 1所成的角的正弦值为
()12226
1sin cos ,2666122m AA α===?????-+-+ ? ?????
因为0,2
απ?∈????? 所以6π
α=
所以选A 【点睛】本题考查了空间向量线面夹角的求法,注意直线与平面夹角的取值范围,属于基础题. 二、多选题(每小题5分,共4小题20分)
9. 给出下列命题,其中正确命题有( )
A. 空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底
B. 已知向量//a b ,则存在向量可以与a ,b 构成空间的一个基底
- 7 - C. A ,B ,M ,N 是空间四点若,,BA BM BN 不能构成空间的一个基底那么A ,B ,M ,N 共面
D. 已知向量组{},,a b c 是空间的一个基底,若m a c =+,则{},,a b m 也是空间的一个基底
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根据空间基底的概念,结合向量的共面定量,逐项判定,即可求解得到答案.
【详解】选项A 中,根据空间基底的概念,可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底,所以A 正确;
选项B 中,因为//a b ,根据空间基底的概念,可得B 不正确;
选项C 中,由,,BA BM BN 不能构成空间的一个基底,可得,,BA BM BN 共面, 又由,,BA BM BN 过相同点B ,可得,,,A B M N 四点共面,所以C 正确;
选项D 中:由{},,a b c 是空间的一个基底,则基向量,a b 与向量m a c =+一定不共面,所以可以构成空间另一个基底,所以D 正确.
故选:ACD.
【点睛】本题主要考查了空间基底的概念及其判定,其中解答中熟记空间基底的概念,合理利用共面向量定量进行判定是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题.
10. 已知直线1:(3)220l m x y --+=和直线2: 3350l mx y --=垂直,则m =( )
A. 1-
B. 1
C. 2
D. 2- 【答案】BC
【解析】
【分析】
先求出直线1l 的斜率,直线2l 的斜率,再建立方程求解即可.
【详解】直线1l :(3)220m x y --+=和直线2l :3350mx y --=垂直,
直线1l 的斜率为132m k -=
,直线2l 的斜率为2=k m ,
- 8 - 则12
1k k ,即12
3m m -?=-,解得1m =或2,经检验成立 故选:BC 【点睛】本题考查利用两条直线垂直求参数,是基础题
11. 下列说法正确的是( )
A. 直线x ﹣y ﹣2=0与两坐标轴围成的三角形的面积是2
B. 点(0,2)关于直线y =x +1的对称点为(1,1)
C. 过(x 1,y 1),(x 2,y 2)两点的直线方程为112121
y y x x y y x x --=-- D. 经过点(1,1)且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为x +y ﹣2=0
【答案】AB
【解析】
【分析】
求出截距得到三角形的面积判断A 的正误;利用对称知识判断B 的正误;直线的两点式方程判断C 的正误,利用截距相等判断D 的正误.
【详解】解:直线x ﹣y ﹣2=0在两坐标轴上的
截距分别为:2,﹣2,与坐标轴围成的三角形的面积是:122??2=2,所以A 正确;
点(0,2)与(1,1)的中点坐标(12,32
)满足直线方程y =x +1,并且两点的斜率为:﹣1,所以点(0,2)关于直线y =x +1的对称点为(1,1),所以B 正确;
当x 1≠x 2,y 1≠y 2时,过(x 1,y 1),(x 2,y 2)两点的直线方程为112121
y y x x y y x x --=--,所以C 不正确; 经过点(1,1)且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为x +y ﹣2=0或y =x ,所以D 不正确; 故选:AB.
【点睛】本题考查命题的真假的判断直线方程的求法?对称知识以及直线的截距的应用,是易错题.
12. 如图所示,M 是四面体OABC 的棱BC 的中点,
点N 在线段OM 上,点P 在线段AN 上,且3AP PN =,23ON OM =,设OA a =,OB b =,OC c =,则下列等式成立的是( )
- 9 - A. 1122
OM b c =- B. 1133AN b c a =
+- C. 113444AP b c a =-- D. 111444OP a b c =++ 【答案】BD
【解析】
【分析】 根据图像,利用向量的线性运算法则,分别验算四个选项即可求解.
【详解】由已知得,
23
AN ON OA OM OA =-=-211322OB OC OA ??=+- ???1133
OB OC OA =+-1133b c a =+-,分析各个选项: 对于A ,利用向量的四边形法则,11112222
OM OB OC b c =+=+,A 错; 对于B ,利用向量的四边形法则和三角形法则,得
23AN ON OA OM OA =-=-211322OB OC OA ??=+- ??? 1133OB OC OA =+-1133
b c a =+-,B 对; 对于C ,因为点P 在线段AN 上,且3AP PN =,所以,
411333
AN AP b c a ==+-,所以, 3111143334
44AP b c a b c a ??=+-=+- ???,C 错;
- 10 - 对于D ,113444OP OA AP a b c a =+=+
+-111444
a b c =++,D 对 故选:BD 【点睛】本题考查向量的线性运算,属于基础题
三、填空题(每小题5分,共4小题20分)
13. 已知空间向量m ,n ,设||1m =,||2n =,2m n +与3m n -垂直,4a m n =-,72b m n =+,则,a b <>=________.
【答案】0?
【解析】
【分析】
根据2m n +与3m n -垂直,求得2m n ?=-,再由条件可求出a b ?,a ,b ,根据cos ,||||
a b a b a b ?<>=即可得出结果. 【详解】∵(2)(3)m n m n +⊥-,∴(2)(3)0m n m n +?-=,化简得2m n ?=-, 又∵22||||(4)1646a a m n ==-=+=, 2||(7493b b m ===+=,
22(4)(72)28||2||18a b m n m n m n m n ?=-?+=-+?=, ∴18cos ,163
||||a b a b a b ?<>===?,∴,0a b ?<>=. 故答案为:0?.
【点睛】本题考查两个向量的数量积的定义,数量积的公式的应用,求出a b ?,a ,b 的值,是解题的关键.
14. 若直线1l :()34350m x y m +++-=与2l :()2580x m y ++-=平行,则m 的值为_____.
【答案】-7
【解析】
- 11 - 【分析】
由已知条件可得关于m 的方程()()3580m m ++-=,解方程即可求出m 的值,代入直线方程验证即可.
【详解】因为12l l ,所以有()()3580m m ++-=,解之得,m 1=-或m 7=-.当m 1=-时,直线12l l ,重合,舍去.
【点睛】本题主要考查两直线平行的判定条件,属于基础题型.
15. 平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中,棱AB 、AD 、AA 1的长均为1,∠A 1AD =∠A 1AB =∠DAB 3
π=,
则对角线AC 1的长为_____.
6
【解析】
【分析】
由题知:11AC AB AD AA =++,再给式子平方即可求出1AC 的长度
【详解】如图,由题意可知,
111AC AB AD CC AB AD AA =++=++,
所以1
221())(AC AB AD AA =++ 222111222AB AD AA AB AD AB AA AD AA +=++++ 1112(cos 60cos 60cos 60)6+++++==.
所以16AC =6
【点睛】本题主要考查利用向量法求线段长度,解题时要认真审题,注意向量法的合理应用.属于中档题.
- 12 - 16. 已知(4,2,6)a =-,(1,4,2)b =--,(4,5,)c λ=,若a ,b ,c 三向量共面,则λ=__________.
【答案】5
【解析】
【分析】
利用共面向量基本定理列坐标关系,求解即可.
【详解】a ,b ,c 三向量共面,则存在,m n ,使得c ma nb =+,
则()(4,5,)4,24,62c m n m n m n λ==--+-,即4424562m n m n m n λ-=??-+=??-=?,解得3225m n λ?=??=??=??
.
故答案:5.
【点睛】本题考查了空间向量基本定理的应用和线性运算的坐标表示,属于基础题.
四、解答题(第17题10分,第18题12分,第19题12分,第20题12分,第21题12分,第22题12分,共6小题70分)
17. 在平面直角坐标系xOy 中,已知△ABC 三个顶点坐标为A (7,8),B (10,4),C (2,-4).
(1)求BC 边上的中线所在直线的方程;
(2)求BC 边上的高所在直线的方程.
【答案】(1)8480x y --=;(2)150x y +-=
【解析】
【详解】试题分析:(1)根据中点坐标公式求出BC 中点D 的坐标,根据斜率公式可求得AD 的斜率,利用点斜式可求BC 边上的中线所在直线的方程;(2)先根据斜率公式求出BC 的斜率,从而求出BC 边上的高所在直线的斜率为1-,利用点斜式可求BC 边上的高所在直线的方程.
试题解析:(1)由B (10,4),C (2,-4),得BC 中点D 的坐标为(6,0),
所以AD 的斜率为k =8,
所以BC 边上的中线AD 所在直线的方程为y -0=8(x -6),
即8x -y -48=0.
(2)由B (10,4),C (2,-4),得BC 所在直线的斜率为k =1,
- 13 - 所以BC 边上的高所在直线的斜率为-1,
所以BC 边上的高所在直线的方程为y -8=-(x -7),即x +y -15=0.
18. 如图,正方体1111ABCD A B C D -中,E 为AB 中点,F 为正方形BCC 1B 1的中心.
(1)求直线EF 与平面ABCD 所成角的正切值;
(2)求异面直线A 1C 与EF 所成角的余弦值.
【答案】(1)
22;(2)13. 【解析】
【分析】
(1)取BC 中点H ,连结FH ,EH ,证明∠FEH 为直线EF 与平面ABCD 所成角,即可得出结论;
(2)取1A C 中点O ,连接OF ,OA ,则1AOA ∠为异面直线1A C 与EF 所成角,由余弦定理,可得结论;
【详解】(1)取BC 中点H ,连结FH ,EH ,设正方体棱长为2,
∵F 为BCC 1B 1中心,E 为AB 中点,
∴FH⊥平面ABCD ,FH=1,2,
∴∠FEH 为直线EF 与平面ABCD 所成角,且FH⊥EH, ∴FH 2tan EHE EH 22
∠===,
所以直线EF与平面ABCD所成角的正切值为2
.
(2)取1A C中点O,连接OF,OA,
则OF∥AE,且OF=AE,
∴四边形AEFO为平行四边形,∴AO∥EF,
∴∠AOA1为异面直线A1C与EF所成角,
∵
11
A A2AO A O3
===
,,
∴△AOA1中,由余弦定理得1
1
cos A OA
3
233
∠==
??
,
异面直线A1C与EF所成角的余弦值为
1
3
.
19. 已知ABC
?的顶点(2,8)
C-,直线AB的方程为211
y x
=-+,AC边上的高BH所在直线的方程为320
x y
++=
(1)求顶点A和B的坐标;
(2)求ABC
?外接圆的一般方程.
【答案】(1)()
5,1和()
7,3
-;(2)2246120
x y x y
+-+-=
【解析】
- 14 -
- 15 - 【分析】
(1)联立直线AB 与直线BH 的方程可得点B 的坐标,由AC BH ⊥,进而设出直线AC 的方程,将C 的坐标代入得方程,再与直线AB 方程联立即可得点A 的坐标;
(2)由(1)知A ,B ,C 的坐标,设ABC ?外接圆的一般方程,代入求解即可.
【详解】(1)由211320
y x x y =-+??++=?可得顶点(7,3)B -, 又因为AC BH ⊥得,13BH
k =- 所以设AC 的方程为3y x b =+,
将(2,8)C -代入得14b =-
由211314
y x y x =-+??=-?可得顶点为(5,1)A 所以A 和B 的坐标分别为(5,1)和(7,3)-
(2)设ABC ?的外接圆方程为220x y Dx Ey F ++++=,
将(5,1)A 、(7,3)B -和(2,8)C -三点的坐标分别代入,得52607358028680D E F D E F D E F +++=??-++=??-++=?
,
解得4612D E F =-??=??=-?
,
所以ABC ?的外接圆的一般方程为2246120x y x y +-+-=.
【点睛】本题主要考查两直线交点的求法,待定系数法求圆的方程,属于基础题.
20. 如图在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为矩形,PD ⊥底面ABCD ,E 是AB 上一点PE EC ⊥,2PD =,2CD =,12
AE =.
(1)求二面角E PC D --的大小;
- 16 - (2)求点B 到平面PEC 的距离.
【答案】(1)
4π;(2
)4 【解析】
【分析】
(1)建立空间直角坐标系,利用平面PEC 和平面PCD 的法向量,计算出二面角E PC D --的余弦值,由此求得二面角的大小.
(2)通过平面PEC 的法向量、直线BE 的方向向量,计算出点B 到平面PEC 的距离.
【详解】(1)以D 为原点,向量DA ,DC ,DP 的方向分别为x ,y ,轴的正方向建立空间直角坐标系,
设AD x =,由已知可得(0,0,0)D
,P ,(0,2,0)C ,1,,02E x ?
? ???
,
∴1,,2PE x ?= ?,3,,02EC x ??=- ???
,
∵PE EC ⊥,∴0PE EC ?=
,∴x ,
∴1,02E ?????
,31,2
PE ?= ?,3,02EC ??=- ? ???. 设平面PEC 的一个法向量为(),,n x y z =,
由0n
PE ?=,0
n EC ?=,
得1022302
2x y x y +
=????-
+=??,令1y =
,则x z ==所以(3,1,n =, 取平面PCD 的一个法向量为()1,0,0m =,
设二面角E PC D --的大小为θ,由图可知θ为锐角. ∴2cos 2m n
m n θ?==?,∴4
πθ=,
- 17 - 即二面角E PC D --的大小为4π. (2)由(1
)知平面PEC 的一个法向量为(3,1,2)n =,
又3,2,02B ?? ? ???
,∴30,,02BE ??=- ???, ∴点B 到平面PEC 的距离||64||
BE n d n ?==.
【点睛】本小题主要考查二面角、点面距的求法,属于中档题.
21. 如图,面积为8的平行四边形ABCD ,A 为原点,点B 的坐标为()2,1-,点C ,D 在第一象限.
(1)求直线CD 的方程;
(2)若||13BC =,求点D 的横坐标.
【答案】(1)280x y +-=;(2)1.2或2.
【解析】
- 18 - 【分析】
(1)设出直线CD 的方程220x y m +-=,根据平行四边形的面积、点到直线的距离公式求得m ,进而求得直线CD 的方程.
(2)结合D 在直线CD
上以及||BC =D 点的横坐标.
【详解】(1)依题意1122AB CD k k -==
=-,设直线CD 的方程为12
y x m =-+, 即220x y m +-=
设原点()0,0到直线CD 的距离为d ,
AB ==,
由于平行四边形ABCD 的面积为8,
所以8,d AB d ?==. 由点到直线的距离公式得()0,0到直线CD 的距离为
=,解得4m =±, 由于,C D 在第一象限,所以4m =.
所以直线CD 的方程为280x y +-=.
(2)设(),D a b
,由于AD BC =
,
所以280
a b +-=??=,解得 1.2a =或2a =. 即D 点的横坐标为1.2或2.
【点睛】本小题主要考查直线方程的求法,考查点到直线距离公式,属于中档题.
22. 如图,在五面体ABCDEF 中,FA ⊥平面ABCD, AD//BC//FE ,AB ⊥AD ,M 为EC 的中点,AF=AB=BC=FE=12
AD (1)求异面直线BF 与DE 所成的角的大小;
(2)证明平面AMD ⊥平面CDE ;
(3)求二面角A-CD-E 的余弦值.
- 19 -
【答案】(1)BF 与DE 成角60o ;
(2)见解析;
(3)二面角A CD E --
的余弦值为3 【解析】
【详解】分析:(1)先证明//BF CE ,则CED ∠(或其补角)为异面直线BF 与DE 所成的角,在ECD 中求出此角即可;
(2)欲证平面AMD ⊥平面CDE ,即证CE ⊥平面AMD ,根据线面垂直的判定定理可知只需证CE 与平面AMD 内两相交直线垂直即可,易证DM CE MP CE ⊥⊥, ;
(3)设Q 为CD 的中点,连接PQ EQ ,,易证EQP ∠为二面角A CD E -- 的平面角,在Rt EQP 中求出此角即可.
详解:(1)由题//
BC FE?=,∴四边形BCEF 是平行四边形, //BF CE ∴ CED ∴∠ 或其补角为BF 与DE 所成角 ,
取AD 中点P 连结EP 和CP ,
∵FE //=AP ∴FA //
=EP
同理AB //=PC 又FA⊥平面ABCD ∴EF⊥平面ABCD ∴EP⊥PC、EP⊥AD ,由
,?AB AD PC AD ⊥⊥ ,
- 20 - 设FA a =, 则,EP PC PD a ===
?CD DE EC === ,∴∠CED=60o
∴BF 与DE 成角60o ;
(2)DC DE M =,为EC 中点,DM EC ∴⊥
连结MP ,则,MP CE ⊥ 又,DM MP M ?=
∴CE ⊥平面AMD ,
又CE CDE ⊥平面 ,∴平面AMD ⊥平面CDE ,
(3)设Q 为CD 的中点,连接PQ EQ ,, PC DQ PQ CD =∴⊥,
同理,EQ CD PQE ⊥∴∠为二面角的平面角,
在Rt EPQ
中,,PQ EQ ==
,cos PQ PQE EQ ∠== ∴二面角A CD E --
点睛:本小题要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角等基础知识,考查用空间向量解决立体几何问题的方法,考查空间想像能力、运算能力和推理论证能力.属中档题.
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