第24讲 最短路线问题

小升初面试第二阶段数学课程---最短路线问题

第一部分 思维提升（45分钟）

在日常工作、生活和娱乐中，经常会遇到有关行程路线的问题.在这一讲里，我们主要解决的问题是如何确定从某处到另一处最短路线的条数。 方法：

1、两点之间，线段最短；连接两点之间的线段，为两点之间的最短路线； A、B两点在直线CD的同侧，做A点关于直线CD的对称点A’，连接A’与B的线段与直线CD交于E点，则AE+BE最短；

2、标数法：适用于求从点A到点B的最短路线的条数；从起点到达任何一点的最短路线数，都等于从起点出发到达与这一点相邻的点的最短路线数之和。本质上是利用加法原理进行分类计数。

例1、直线AB是一条公路，公路两侧有甲、乙两个村庄。现在要在公路上建一个汽车站，让两个村子的人到汽车站的路线长度之和最短，问汽车站建在哪儿最好？

例2、 下图4—1中的线段表示的是汽车所能经过的所有马路，这辆汽车从A走到B处共有多少条最短路线?

分析 为了叙述方便，我们在各交叉点都标上字母.如图4—2.在这里，首先我们应该明确从A到B的最短路线到底有多长?从A点走到B点，不论怎样走，最短也要走长方形AHBD的一个长与一个宽，即AD+DB.因此，在水平方向上，所有线段的长度和应等于AD;在竖直方向上，所有线段的长度和应等于DB.这样我们走的这条路线才是最短路线.为了保证这一点，我们就不应该走“回头路”，即在水平方向上不能向左走，在竖直方向上不能向上走.因此只能向右和向下走。

有些同学很快找出了从A到B的所有最短路线，即： A→C→D→G→B A→C→F→G→B A→C→F→I→B A→E→F→G→B A→E→F→I→B A→E→H→I→B

通过验证，我们确信这六条路线都是从A到B的最短路线.如果按照上述方法找，它的缺点是不能保证找出所有的最短路线，即不能保证“不漏”.当然如果图形更复杂些，做到“不重”也是很困难的。 现在观察这种题是否有规律可循。

1.看C点：由A、由F和由D都可以到达C，而由F→C是由下向上走，由D→C是由右向左走，这两条路线不管以后怎样走都不可能是最短路线.因此，从A到C只有一条路线。同样道理：从A到D、从A到E、从A到H也都只有一条路线。我们把数字“1”分别标在C、D、E、H这四个点上，如图4—2。

2.看F点：从上向下走是C→F，从左向右走是E→F，那么从A点出发到F，可以是A→C→F，也可以是A→E→F，共有两种走法.我们在图4—2中的F点标上数字“2”.2=1+1.第一个“1”是从A→C的一种走法;第二个“1”是从A→E的一种走法。 3.看G点：从上向下走是D→G，从左向右走是F→G，那么从A→G，我们在G点标上数字“3”。3=2+1，“2”是从A→F的两种走法，“1”是从A→D的一种走法。

4.看I点：从上向下走是F→I，从左向右走是H→I，那么从出发点。在I点标上“3”.3=2+1.“2”是从A→F的两种走法;“1”是从A→H的一种走法。

5.看B点：从上向下走是G→B，从左向右走是I→B，那么从出发点A→B可以这样走：共有六种走法.6=3+3，第一个“3”是从A→G共有三种走法，第二个“3”是从A→I共有三种走法.在B点标上“6”。

我们观察图4—2发现每一个小格右下角上标的数正好是这个小格右上角与左下角的数的和，这个和就是从出发点A到这点的所有最短路线的条数.这样，我们可以通过计算来确定从A→B的最短路线的条数，而且能够保证“不重”也“不漏”。

解：由上面的分析可以得到如下的规律：每个格右上角与左下角所标的数字和即为这格右下角应标的数字.我们称这种方法为对角线法，也叫标号法。根据这种“对角线法”，B点标6，那么从A到B就有6条不同的最短路线(见图4—3)。

答：从A到B共有6条不同的最短路线。

例3、图4—4是一个街道的平面图，纵横各有5条路， 某人从A到B处(只能从北向南及从西向东)，共有多少种不同的走法?

分析:因为B点在A点的东南方向，题目要求我们只能从北向南及从西向东，也就是要求我们走最短路线。解：如图4—5所示。 答：从A到B共有70种不同的走法。

例4、如图4—6，从甲地到乙地最近的道路有几条?

分析 要求从甲地到乙地最近的道路有几条，也就是求从甲地到乙地的最短路线有几条.把各交叉点标上字母，如图4—7.这道题的图形与例1、例2的图形又有所区别，因此，在解题时要格外注意是由哪两点的数之和来确定另一点的。

①由甲→A有1种走法，由甲→F有1种走法，那么就可以确定从甲→G共有1+1=2(种)走法。

②由甲→B有1种走法，由甲→D有1种走法，那么可以确定由甲→E共有1+1=2(种)走法.

③由甲→C有1种走法，由甲→H有2种走法，那么可以确定由甲→J共有1+2=3(种)走法。

④由甲→G有2种走法，由甲→M有1种走法，那么可以确定从甲→N共有2+1=3(种)走法。

⑤从甲→K有2种走法，从甲→E有2种走法，那么从甲→L共有2+2=4(种)走法。 ⑥从甲→N有3种走法，从甲→L有4种走法，那么可以确定从甲→P共有3+4=7(种)走法。

⑦从甲→J有3种走法，从甲→P有7种走法，那么从甲→乙共有3+7=10(种)走法。 解：在图4—7中各交叉点标上数，乙处标上10，则从甲到乙共有10条最近的道路。

巩固练习：

1、直线AB是一条公路，公路同侧有甲、乙两个村庄。现在要在公路上建一个汽车站，让两个村子的人到汽车站的路线之和最短，问汽车站建在哪儿最好呢？

2、小明很喜欢上活动课，因为活动课上他们经常做不同的游戏，今天他们又做了一个新游戏，如图，MN、OP分别是两条拉好的绳子，同学们需要从K处出发，分别触摸两条绳子后再回到K，看谁最快，同学们，快设计一条最短的路线吧。

3、李大伯的果林内有8棵果树（如图）。李大伯每天都要给果树浇一次水。为了帮李大伯节省时间，同学们，你能帮李大伯设计一条浇水的最短路线吗？

4米3米4米3米

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