2016年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题以及参考答案
更新时间:2023-05-03 15:16:01 阅读量: 实用文档 文档下载
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页脚. . 2016年“大梦杯”省初中数学竞赛试题参考答案
考试时间 2016年3月13日 9∶00-11∶00 满分150分
一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分)。每道小题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)
1.在平面直角坐标系xOy 中,已知点(02)B ,,点A 在x 轴正半轴上且30BAO ∠=?。将OAB △沿直线AB 折叠得CAB △,则点C 的坐标为( )
A
.(1 B
.3) C
.(3 D
.1)
2.若实数a ,b 满足232a a +=,232b b +=,且a b ≠,则22(1)(1)a b ++=( )
A .18
B .12
C .9
D .6
3.若关于x 的方程
22240224x x x a x x x +-+++=-+-只有一个实数根,则符合条件的所有实数a 的值的总和为( )
A .6-
B .30-
C .32-
D .38-
4.如图,在ABC △中,6AB =,3BC =,7CA =,I 为ABC △的心,连接CI 并延长交AB 于点D 。记CAI △的面积为m , DAI △的面积为n ,则
m n =( ) A .32 B .43 C .53 D .74
5.已知x ,y 为实数,且满足2244x xy y -+=,记224u x xy y =++的最大值为M ,最小值为m ,则M m +=( )
A .
403 B .6415
C .13615
D .315
二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)
6.在平面直角坐标系有两点(11)A ,,(23)B ,,若一次函数2y kx =+的图像与线段AB 有公共点,则k 的取值围为 。
A B C
D I
. .
页脚. . 7.如图,在ABC △中,D 为BC 边上一点,E 为线段AD 上一点,延长BE 交AC 于点F 。若25BD BC =,12AE AD =,则AF AC = 。 8.设1x ,2x ,3x ,…,n x 是n 个互不相同的正整数,且1232017n x x x x +++
+=,则n 的最大值是 。
9.如图,AB 是O ⊙的直径,AC 是O ⊙的切线,BC 交O ⊙于E
点,若OA CE =,则AE AB = 。
10.若正整数x ,y ,z 满足方程组333237()x y z xyz x y z ?--=??=+??,则xyz 的最大值为 。
三、解答题(共4题,每小题20分,共80分)
11.若关于x 的方程2(3)20x a x a --+-=有两个不相等的整数根,求a 的值。
E
O A B
C F
B C A
D
E
. .
页脚. . 12.如图,H 为ABC △的垂心,圆O 为ABC △的外接圆。点E 、F 为以C 为圆心、CH 长为半径的圆与圆O 的交点,D 为线段EF 的垂直平分线与圆O 的交点。
求证:(1)AC 垂直平分线段HE ;
(2)DE AB 。
F D E H O B C A
. .
页脚. . 13.对于整数3n ≥,用()n ?表示所有小于n 的素数的乘积。求满足条件()2232n n ?=-的所有正整数n 。
. .
页脚. . 14.在一个m n ?(m 行,n 列,1m >)的表格的每个方格填上适当的正整数,使得:
(1)每一列所填的数都是1,2,3,…,m 的一个排列;(即在每一列中,1,2,3,…,m 这m 个数出现且仅出现1次)
(2)每一行n 个的数和都是34。
当上述的填数方式存在时,求()m n ,的所有可能取值。
. .
页脚. . 2016年“大梦杯”省初中数学竞赛试题参考答案
考试时间 2016年3月13日 9∶00-11∶00 满分150分
一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分)。每道小题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)
1.在平面直角坐标系xOy 中,已知点(02)B ,,点A 在x 轴正半轴上且30BAO ∠=?。将OAB △沿直线AB 折叠得CAB △,则点C 的坐标为( )
A .(13),
B .(33),
C .(33),
D .(31), 【答案】 B
【解答】如图,设CD x ⊥轴于点D 。
依题意,23CA OA ==,260CAO BAO ∠=∠=?。
所以,3CD =,3AD =,3OD =。
因此,点C 的坐标为(33),
。 2.若实数a ,b 满足232a a +=,232b b +=,且a b ≠,则22(1)(1)a b ++=( )
A .18
B .12
C .9
D .6
【答案】 A
【解答】依题意,a ,b 为方程2320x x +-=的两个不同实根。
因此,由韦达定理得,3a b +=-,2ab =-。
[]22(1)(1)(123)(123)9(1)(1)91()9(132)18a b a b a b a b ab ++=+-+-=--=-++=+-=。 或解:222222222(1)(1)11()2194418a b a b a b a b ab a b ++=+++=++-+=+++=。
3.若关于x 的方程
22240224
x x x a x x x +-+++=-+-只有一个实数根,则符合条件的所有实数a 的值的总和为( )
A .6-
B .30-
C .32-
D .38-
【答案】 D
【解答】方程22240224x x x a x x x +-+++=-+-化为22480x x a +++= ……………… ① 若方程①有两个相等实根,则168(8)0a =-+=△,6a =-。
6a =-时,方程①的根121x x ==-,符合要求。
若2x =是方程①的根,则8880a +++=,24a =-,此时,方程①的另一个根为4x =-,符合要求。
若2x =-是方程①的根,则8880a -++=,8a =-,此时,方程①的另一个根为0x =,符合要求。
. .
页脚. . 所以,符合条件的a 有6-,24-,8-,其总和为38-。
4.如图,在ABC △中,6AB =,3BC =,7CA =,I 为ABC △的心,连接CI 并延长交AB 于点D 。记CAI △的面积为m , DAI △的面积为n ,则
m n =( ) A .32 B .43 C .53 D .74 【答案】 C
【解答】依题意,m IC n ID =。 由I 为ABC △的心知,IC AC BC ID AD BD
==。 所以,由等比定理知,73563
m IC AC BC AC BC n ID AD BD AD DB ++======+。 5.已知x ,y 为实数,且满足2244x xy y -+=,记224u x xy y =++的最大值为M ,最小值为m ,则M m +=( )
A .403
B .6415
C .13615
D .315 【答案】 C
【解答】由2244x xy y -+=,得2244x y xy +=+,22424u x xy y xy =++=+。 ∵ 22254(44)(2)44xy xy x y x y =++-=+-≥-,当且仅当2x y =-
,即x =
,y =
x =
,y =时等号成立。 ∴ xy 的最小值为45-,22424u x xy y xy =++=+的最小值为125,即125
m =。 ∵ 22234(44)4(2)4xy xy x y x y =-+-=--≤,当且仅当2x y =,
即x =
y =
x =
y =时等号成立。 ∴ xy 的最大值为
43,22424u x xy y xy =++=+的最大值为203,即203M =。 ∴ 20121363515
M m +=+=。 或解:由2244x xy y -+=,得2244x y xy +=+,22424u x xy y xy =++=+。 (第4题) A B C
D
I
. .
页脚. . 设xy t =,若0x =,则4μ=;0x ≠时,y x t =,将t y x =代入2244x xy y -+=, 得2
2244t x t x
-+=,即422(4)40x t x t -++=, ……………… ① 由22(4)160t t =+-≥△,解得4453
t -≤≤。 将43t =代入方程①,解得283x =
,3x =±;45t =-代入方程①,解得285x =
,5x =±。 ∴ xy 的最大值为43,最小值为45
-。 因此,820433M =+=,812455m =-+=,20121363515
M m +=+=。 二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)
6.在平面直角坐标系有两点(11)A ,,(23)B ,,若一次函数2y kx =+的图像与线段AB 有公共点,则k 的取值围为 。
【答案】 112
k -≤≤ (个人觉得还要补充0k ≠,因为是一次函数) 【解答】易得直线AB 对应的一次函数的解析式为21y x =-。
由212y x y kx =-??=+?
,得(2)3k x -=- ……………… ① 依题意,方程①有12x ≤≤的解。
∴ 20k -<,且3122k -≤
≤-,解得112k -≤≤。故k 的取值围为112k -≤≤。 或通过作图求解。
7.如图,在ABC △中,D 为BC 边上一点,E 为线段AD 上一点,延长BE 交AC 于点F 。若25BD BC =,12AE AD =,则AF AC
= 。 【答案】 27 【解答】如图,过点C 作CG BF ∥交AD 的延长线于点G ,则AF AE AC AG =。 又由CG BE ∥,知DGC DEB △∽△。 F B C
A D
E
(第7题)
. .
页脚. . ∴ 32
DG DC DE DB ==。 ∴ 37222AG AD DG DE DE DE =+=+=。 ∴ 27
AF AE DE AC AG AG ===。 8.设1x ,2x ,3x ,…,n x 是n 个互不相同的正整数,且1232017n x x x x ++++=,则n 的最大值是 。
【答案】 63
【解答】依题意,11x ≥,22x ≥,33x ≥,…,n x n ≥。 ∴ 123(1)20171232n n n x x x x n +=+++
+≥++++=。 于是,(1)20172
n n +≥,63n ≤。 又当11x =,22x =,33x =,…,6262x =,6364x =时, 123626363641236264120172
x x x x x ?+++++=+++++=+=。 ∴
所求n 的最大值为63。 9.如图,AB 是O ⊙的直径,AC 是O ⊙的切线,BC 交
O ⊙于E 点,若OA CE =,则AE AB = 。 【答案】
5
【解答】由AB 为O ⊙的直径知,AE BC ⊥。设CE m =,则OA =,AB =。
由条件易得ACE BAE △∽△,
∴ CE AE
AE BE =,2AE CE EB =?,即2AE mEB =。 结合222AB AE EB =
+,得22)mEB EB =+。
(或由射影定理得2BA BE BC =?,即2)()BE BE m =?+) ∴ 22200EB mEB m
+-=,解得4
EB m =或5EB m =-(舍去)。 ∴ 2AE m =,5
AE AB ==。 E
O A B
C G F B
C A
D
E (第9题)
. .
页脚. . 10.若正整数x ,y ,z 满足方程组333237()
x y z xyz x y z ?--=??=+??,则xyz 的最大值为 。 【答案】 84
【解答】由3333x y z xyz --=,得
33322213()()()()02
x y z xyz x y z x y x z z y ??---=--++++-=??。 结合x ,y ,z 为正整数得,222()()()0x y x z z y ++++->,于是0x y z --=。 ∴ 27x x =,7x =,7y z +=。
∴ 当7x =,3y =,4z =或7x =,
4y =,3z =时,xyz 有最大值84。
. .
页脚. . 三、解答题(共4题,每小题20分,共80分)
11.若关于x 的方程2(3)20x a x a --+-=有两个不相等的整数根,求a 的值。
【解答】设1x ,2x 是方程两个不相等的整数根,则123x x a +=-,122x x a =-。 ∴ 3a -,2a -均为整数。因此,a 为整数。 …………………… 5分 ∴ 222(3)4(2)1017(5)8a a a a a =---=-+=--△为完全平方数。 设22(5)8a t --=(t 为整数,且0t ≥)。
则22(5)8a t --=。于是,(5)(5)8a t a t ---+=。 …………………… 10分 由于5a t --,5a t -+奇偶性相同,且55a t a t --≤-+。
∴ 5452a t a t --=-??-+=-?或5254a t a t --=??-+=?
。 解得21a t =??=?或81a t =??=?
。 …………………………… 15分 经检验2a =,8a =符合要求。
∴ 2a =或8a =。 ………………………… 20分 另解:设m ,n (m n <)是方程两个不相等的整数根。
则22(3)20(3)20m a m a n a n a ?--+-=??--+-=??①②。
两式相减,得()()(3)()0m n m n a m n -+---=。
由m n <,得3m n a +=-,3a m n =++。 …………………… 5分 将3a m n =++代入①,得10mn m n ---=。
∴ (1)(1)2m n --=。 …………………… 10分
由于m ,n 为整数,且m n <,因此,1211m n -=-??-=-?或1112
m n -=??-=?。
∴ 10m n =-??=?
或23m n =??=?。 …………………………… 15分 当10m n =-??=?
时,32a m n =++=;23m n =??=?时,38a m n =++=。 ∴ 2a =或8a =。 ………………………… 20分
. .
页脚. .
12.如图,H 为ABC △的垂心,圆O 为ABC △的外接圆。点E 、F 为以C 为圆心、CH 长为半径的圆与圆O 的交点,D 为线段EF 的垂直平分线与圆O 的交点。
求证:(1)AC 垂直平分线段HE ;
(2)DE AB =。
【解答】(1)解法一: 如图,连结AH ,AE ,EC 。
由H 为ABC △的垂心知,180AHC ABC ∠+∠=?。 由A 、B 、C 、E 四点共圆,得180AEC ABC ∠+∠=?。 ∴ AEC AHC ∠=∠。 …………… 5分 又CH CE =,CEH CHE ∠=∠, ∴ AEH AHE ∠=∠,AE AH =。
∴ AC 垂直平分线段HE 。…………………… 10分 解法二:
作点H 关于直线AC 的对称点G 。连结AH ,AG ,GC 。则CG CH =,点G 在以C 为圆心、CH 长为半径的圆上。 …………………… 5分
又AGC AHC ∠=∠,H 为ABC △的垂心,
∴ 180AGC AHC ABC ∠=∠=?-∠,A 、G 、C 、B 四点共圆。因此,点G 也在圆O 上。
∴ E 、G 两点重合。
因此,E 、H 关于直线AC 对称,即AC 垂直平分线段HE 。…………… 10分 (2) 连结CF ,BH 。依题意有CE CH CF ==。结合D 为线段EF 的垂直平分线与圆O 的交点,知CD 为圆O 的直径。
∴ DA AC ⊥。
又由(1),以及H 为ABC △的垂心知,HE AC ⊥,
BH AC ⊥。因此,B 、H 、E 三点共线。
∴ BE AC ⊥。 …………………… 15分 ∴ 9090DCE CDE CBE ACB ∠=?-∠=?-∠=∠。 ∴ DAE ADB =。
∴ DE AB =。 …………………… 20分
或:通过DAE ADB △≌△,证明DE AB =。或通过证明四边形ADBE 等腰梯形,证明
DE AB =。
F
D
E
H
O B
C A
F D
(G )
H
O
B
C
A
E F D
E
H
O
B
C A
F D
E
H
O
B
C A
(第12题)
. .
页脚. . 13.对于整数3n ≥,用()n ?表示所有小于n 的素数的乘积。求满足条件()2232n n ?=-的所有正整数n 。
【解答】解法一:若11n >,则11整除()n ?,但11不能整除2232n -。 因此,11n >不符合要求。故,11n ≤。 ……………………………… 10分 若711n <≤,则()2357210n ?=???=,由2102232n =-,得11n =。………… 15分 若567<≤,则()23530n ?=??=,由302232n =-,得正整数n 不存在。 若35n <≤,则()236n ?=?=,由62232n =-,得正整数n 不存在。 若3n =,则()2n ?=,由22232n =-,得正整数n 不存在。
∴ 满足条件的正整数n 只有1个,11n =。 ………………… 20分
解法二:由()2232n n ?=-,得()102422(48)n n ?-=-。
由于()n ?是偶数,但不是4的倍数,因此,48n -是奇数。 ……………… 5分 若483n -≥,则48n -含有奇数的素数因子p ,即p 为奇素数,且p 整除48n -。 由48n n -<知,p 整除()n ?。由此p 整除1024,矛盾。
故,483n -<,即49n ≤,且n 为奇数。 …………………… 10分 ∵ 49n ≤时,22322249321046n -≤?-=,
∴ ()1046n ?≤。
又2357210???=,235711*********????=?>。
∴ 11n ≤。即3n =,5,7,9,11。 ………………… 15分 将3n =,5,7,9,11分别代入()2232n n ?=-验证,
3n =时,(3)2?=,223234n -=,不符合要求。
5n =时,(5)236?=?=,223278n -=,不符合要求。
7n =时,(7)23530?=??=,2232122n -=,不符合要求。
9n =时,(9)2357210?=???=,2232166n -=,不符合要求。
11n =时,(11)2357210?=???=,2232210n -=,符合要求。
∴ 满足条件的正整数n 只有1个,11n =。 ………………… 20分
. .
页脚. .
14.在一个m n ?(m 行,n 列,1m >)的表格的每个方格填上适当的正整数,使得: (1)每一列所填的数都是1,2,3,…,m 的一个排列;(即在每一列中,1,2,3,…,
m 这m 个数出现且仅出现1次)
(2)每一行n 个的数和都是34。
当上述的填数方式存在时,求()m n ,的所有可能取值。 【解答】依题意,每列m 个数的和为(1)
1232
m m m +++++=
,共n 列。又每行m 个数的和为34。
所以,
(1)
342
m m n m +?=,2(1)68217m n +==?。 …………………… 5分 又1m >。所以,()(671)m n =,,,(332),,(164),,(317),。
当()(671)m n =,,时,每一行1个数的和互不相同,与(2)矛盾,即符合条件的填数方式不存在。舍去。
记i j a 为第i 行,第j 列所填写的数。
当()(332)m n =,,时,令1i a i =,234i a i =-。
即当第1列自上而下各行所填的数依次为1,2,3,…,33;第2列自上而下各行所填的数依次为33,32,31,…,1时,符合要求。 ……………………… 10分
当()(164)m n =,,时,令1i a i =,217i a i =-,3i a i =,417i a i =-。
即当第1列自上而下各行所填的数依次为1,2,3,…,16;第2列自上而下各行所填的数依次为16,15,14,…,1;第3列同第1列;第4列同第2列时,符合要求。
……………………… 15分 当()(317)m n =,,时, 填写方式如下:
符合要求。
所以,符合题意的填数方式存在时,()m n ,的所有可能取值有3种,分别为:
()(332)m n =,,,(164),,(317),。 ……………………………… 20分
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