数学分析试卷

第十三章 函数项级数 应用题

第十三章

函数项级数 计算题

1．设S(x)=?ne?nx x>0，计算积分?ln3ln2S(t)dt

2．.判断级数?(?1)nxnn1?xn(x>0)的敛散性.

第十三章 函数项级数 计算题答案

1．?ne?nx在[ln2,ln3]上连续且一致收敛

?它在[ln2,ln3]可逐积分 (得4分)

??ln3?s(t)dt?ln3ne?nxdxln2?? (得6分)

n?1ln2? =?[(1)n?(1)n23]?1?1?1 (得8分)

n?11?121?12 32． 对交错级数?(?1)nn 由莱布尼兹判别法知它收敛 (得3分)

而

xn1?xn 当x>1时,单增有界 ; x=1时,值为

12 ; 当x<1时,单降为界 (得6分)

故由阿贝尔判别法知?(?1)nxnnn收敛 (得8分)

1?x

第十三章函数项级数 填空题

1．f)?xnn(x n=1,2,… {fn(x)}在[0,1]上的极限函数是__________

??2n2x0?x?1?2n2．fx)???2n?2n2n(x12n?x?1?n的极限函数是________________________

?1?0?n?x?1第十三章函数项级数 填空题答案

1

?01．f(x)???10?x?1x?1

2．f?0

第十三章

函数项级数 证明题

1．证明:函数f(x)=?sinnxn3在(-?,?)有连续的导函数. (10分)

x2．设f0(x)在[a , b]上连续,定义函数序列fn+1(x)=?fn(t)dt,n?0,1,2,?,

a 证明fn(x)在[a , b]上一致收敛. (10分) 3．设f(x)在[

12,1]上的连续函数,那么当f(x)在[

n12,1]有界且

f(1)=0时,{xf(x)}在[4．设fn(x)?nx1?nx2212,1]上一致收敛. (10 分)

求证

1)对任给的0

2) fn(x)在(0,1]上不一致收敛 (12分)

?5．若在区间I上,对任何自然数n,|un(x)|?vn(x),证明:当?vn(x)在I上一收敛时级数

n?1??u(x)在I 上也一致收敛,且绝对收敛. (11分)

nn?1第十三章 函数项级数 证明题答案

1．证: ?(sinnxn3)??cosnxn2 而

sinnxn3cosnxn2?1n2 (得2分)

由? 而由

1n2收敛知

1n3?()?在(-?,??)上一致收敛 (得2分)

sinnxn3sinnxn3?及?1n3收敛知?收敛 (得6分)

?(? 又?sinnx3ncosnxn2)?=

?cosnxn2 (得8分)

cosnxn2在(-?,??)上连续 且?cosnxn2在(-?,??)上一致收敛

??在(-?,??)上连续. (得10分)

2．证: ?f0(x)在[a , b]上连续. f0(x)?m (得3分)

2

从而 f1(x)?m(x?a)?m(b?a) (得5分) f2(x)??xam(t?a)dt?m2!(b?a) (得6分)

2 ?fn(x)??m(b?a)n!nn (得8分)

n 又

?n?1(b?a)n! 收敛 . ?limm(b?a)n!n???0 (得9分)

从而

?fn(x)?一致收敛. (得10分)

n?03．证明: ?f(x)?M且limxf(x)??n???f(1)n,x?1,x?1 (得3分)

而f(1)=0,故limxf(x)?0 (得5分)

n?? 又由于f(x)在x=1处连续,故???0,???0.

当1-??x?1时,f(x)?f(1)?f(x)?? (得7分) 从而 当x?[,1??)时,xf(x)?0?(1??)M?0 (得8分)

21nn 当 x?[1??,1]时,xf(x)?0?f(x)?? (得9分) 因此,?xf(x)?一致收敛 . (得10分)

nn4．证明:先求极限函数f(x) ?x?(0,1]易知lim (1)因为|fn(x)?f(x)|= 对?x?0 取 N=[

1nx1?nx22nx1?nx222n???0 即f(x)=0 (得2分) ?1n?2?n1?n?2?nn?22 (得4分)

??2] 则当n>N 时

1n?2对?x?[?,1] 必有| fn(x)-f(x)|???

按定义有fn(x) 在[?,1]上一致收敛 (得6分) (2)因为

dfn(x)dx?n(1?nx)(1?nx)22222对每个自然数n,xn=

1n是fn(x) 的唯一极大值点. 因而必是

连续函数fn(x) 在[0,1]的最大值点 (得9分) 显然也是它在(0,1] 的最大值点，所以supfn(x)?f(x)

0?x?1=max(0?x?1)?fn(xn)?fn()?

1?nxn222nx11 3

故fn(x)在(0,1]不一致收敛 (得12分) 5．证 先证一致收敛性,对??>0,由?vn(x)在I上一致收敛,存在N(?),当n>N时, 对?自然数p和x?I

vn?1(x)?vn?2(x)???vn?p(x)?? (得5分) 于是 un?1(x)???un?p(x)?un?1(x)???un?p(x)

?vn?1(x)???vn?P(x)?? (得8分) 对?自然数p和x?I成立

即?un(x)在I上一致收敛 (得10分) 又?un(x)??vn(x)??? ?x?I

故?un(x)在I上绝对收敛 (得11分)

?第十三章 函数项级数 选择题

1．设?an(x)在(a,b)内任何区间（a1,b1)(a

n?1面哪个结论是错误的( )

(A)可逐项求导 (B)可逐项求积 (C)极限与求和可交换顺序 (D)级数收敛 2．下列函数列在所示区间D 上不一致收敛的是( )

(A)fn(x)?(C)fn(x)?nxx?21n2 D=(-1,1) (B) fn(x)?x1?nx22 D=(-?,+?)

D=[0,+?) (D) fn(x)?nx D=[0,10]

第十三章 函数项级数 选择题答案

1．C 2．C

第十四章

?幂级数 选择题

1．?n?1x2nn的收敛区间为( )

(A) (-1,0) (B) [0,1] (C) [-1,1] (D) (-1,1)

2．f(x)=ln(2+x)展开成x的幂级数是( )

?(A) ln2+?(?1)n?1n?1xnn?n2 (B) ln2??(?1)n?1n?1xnnn?2

4

??(C) 1+?(?1)n?1xn(?1)n?1ln2xnn?1n (D)

?n?1n(2) 3．函数f(x)=e?x2 展开成x的幂级数为( ) 23 (A) 1+x+

xx32!?3!?? (B) 1-x+

x22!?x3!??

x4x6(C) 1+x2

+

(D) 1- x2

+

x4x6 2!?3!?? 2!?3!??

?4．已知?annx在x= -2处收敛, 则在x=3/2处此级数

n?1 (A)收敛 (B)发散 (C)可能收敛 (D)可能发散

?5．级数

?(1?1n2nn)(x?1)的收敛半径R=

n?1 (A) 1 (B) e (C) e?1 (D)e?2

?6．.级数?xnn?1n2 的收敛域为( )

(A) (-1,1) (B)(-1,1] (C) [-1,1) (D)[-1,1]

7．下述展开式正确的是( )

2(A) ex?1?x?x2???xnn?? x?R

(B) ex?1?x?x2xn2!???n!?? x?[-1,1]

(C) ex?1?x?x2xn2!???n!?? x?R

(D) e=1+1+1?1???123n??

8．下列级数在所示区间上不一致收敛的是( )

(A) ??xn x??[-r.r] (r>0) (B) ?xnn?2(n?1)! n?1n2 x?[0,1]

?(?1)n?12(C) ??xn x?(-?,??) (D) ?n 0

n?1(1?x2) n?1xn ?9．.级数?xnn?1n的收敛域为( )

5

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