信号与系统实验书

信号与系统实验指导书

目 录

实 验

实验一 常见信号的MATLAB表示及运算??????????????????????? 1 实验二 LTI系统的响应????????????????????????????????? 9 实验三 连续时间信号的频域分析?????????????????????????? 15 实验四 系统的零极点及频率响应特性???????????????????????? 20 实验五 连续信号与系统的S域分析????????????????????????? 24 实验六 离散信号与系统的Z变换分析???????????????????????? 28 实验七 语音信号的滤波???????????????????????????????? 33

附 录

附录一 MATLAB环境?????????????????????????????????34 附录二 MATLAB常用命令函数表????????????????????????????36 附录三 基本绘图命令?????????????????????????????????38 附录四 多项式的求值、求根和部分分式展开?????????????????????????41 附录五 符号积分变换?????????????????????????????????42 附录六 信号与系统分析常用函数?????????????????????????????44

实验及报告要求：

1.预习：实验之前在实验报告上书写实验目的，实验原理，实验内容及理论计算部分；看懂实验指导书上的例题。

2.上机：根据实验指导书及Matlab的help文件学习函数调用方法，自己编程序实现实验内容的要求。 3.报告：将实验程序及输出数据（中间数据可以省略）或图形保存为电子文档，页面设置纸型大小统一为B5，打印并粘贴在实验报告合适位置（每段程序及图形应标注出相应实验内容）；根据实验结果回答思考题。

注：要求实验报告书写整洁，在规定时间内完成并上交。根据实验内容及报告完成情况给出实验成绩（优、良、中、差），迟交者适当降低当次成绩，不交者当次成绩为0，所有实验成绩经综合后将以15％的比例记入本课程期末综合成绩中。

实验一 常见信号的MATLAB表示及运算

一、实验目的

1．熟悉常见信号的意义、特性及波形

2．学会使用MATLAB表示信号的方法并绘制信号波形 3. 掌握使用MATLAB进行信号基本运算的指令 4. 熟悉用MATLAB实现卷积积分的方法

二、实验原理

信号一般是随时间而变化的某些物理量。按照自变量的取值是否连续，信号分为连续时间信号和离散时间信号，一般用f(t)和f(k)来表示。若对信号进行时域分析，就需要绘制其波形，如果信号比较复杂，则手工绘制波形就变得很困难，且难以精确。MATLAB强大的图形处理功能及符号运算功能，为实现信号的可视化及其时域分析提供了强有力的工具。

根据MATLAB的数值计算功能和符号运算功能，在MATLAB中，信号有两种表示方法，一种是用向量来表示，另一种则是用符号运算的方法。在采用适当的MATLAB语句表示出信号后，就可以利用MATLAB中的绘图命令绘制出直观的信号波形了。下面分别介绍连续时间信号和离散时间信号的MATLAB表示及其波形绘制方法。 1.连续时间信号

所谓连续时间信号，是指其自变量的取值是连续的，并且除了若干不连续的点外，对于一切自变量的取值，信号都有确定的值与之对应。从严格意义上讲，MATLAB并不能处理连续信号。在MATLAB中，是用连续信号在等时间间隔点上的样值来近似表示的，当取样时间间隔足够小时，这些离散的样值就能较好地近似出连续信号。在MATLAB中连续信号可用向量或符号运算功能来表示。 ⑴ 向量表示法

对于连续时间信号f(t)，可以用两个行向量f和t来表示，其中向量t是用形如t?t1:p:t2的命令定义的时间范围向量，其中，t1为信号起始时间，t2为终止时间，p为时间间隔。向量f为连续信号f(t)在向量t所定义的时间点上的样值。例如：对于连续信号f(t)?Sa(t)?量形式，同时用绘图命令plot()函数绘制其波形。其程序如下：

t1=-10:0.5:10; %定义时间t的取值范围：-10~10，取样间隔为0.5，

%则t1是一个维数为41的行向量

f1=sin(t1). /t1; %定义信号表达式，求出对应采样点上的样值， %同时生成与向量t1维数相同的行向量f1 figure(1); %打开图形窗口1

plot(t1,f1); %以t1为横坐标，f1为纵坐标绘制f1的波形 t2=-10:0.1:10; %定义时间t的取值范围：-10~10，取样间隔为0.1， %则t2是一个维数为201的行向量

f2=sin(t2). /t2; %定义信号表达式，求出对应采样点上的样值

1

sin(t) ，我们可以将它表示成行向t

%同时生成与向量t2维数相同的行向量f2 figure(2); %打开图形窗口2

plot(t2,f2); %以t2为横坐标，f2为纵坐标绘制f2的波形

运行结果如下：

图1-1 图1-2

说明：

? plot是常用的绘制连续信号波形的函数。

? 严格说来，MATLAB不能表示连续信号，所以，在用plot( )命令绘制波形时，要对自变量t进行取值，MATLAB会分别计算对应点上的函数值，然后将各个数据点通过折线连接起来绘制图形，从而形成连续的曲线。因此，绘制的只是近似波形，而且，其精度取决于t的取样间隔。t的取样间隔越小，即点与点之间的距离越小，则近似程度越好，曲线越光滑。例如：图1-1是在取样间隔为p=0.5时绘制的波形，而图1-2是在取样间隔p=0.1时绘制的波形，两相对照，可以看出图1-2要比图1-1光滑得多。 ? 在上面的f=sin(t). /t语句中，必须用点除符号，以表示是两个函数对应点上的值相除。 ⑵ 符号运算表示法

如果一个信号或函数可以用符号表达式来表示，那么我们就可以用前面介绍的符号函数专用绘图命令ezplot()等函数来绘出信号的波形。例如：对于连续信号f(t)?Sa(t)?来表示它，同时用ezplot()命令绘出其波形。其MATLAB程序如下：

syms t ; %符号变量说明 f=sin(t)/t ; %定义函数表达式

ezplot(f,[-10,10]); %绘制波形，并且设置坐标轴显示范围

运行结果如下：

sin(t)，我们也可以用符号表达式t

图1-3

⑶ 常见信号的MATLAB表示

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对于普通的信号，应用以上介绍的两种方法即可完成计算函数值或绘制波形，但是对于一些比较特殊的信号，比如单位阶跃信号?(t)、符号函数sgn(t)等，在MATLAB中这些信号都有专门的表示方法。

? 单位阶跃信号

单位阶跃信号的定义为：?(t)???1?0t?0 ，单位阶跃信号是信号分析的基本信号之一，在信号与t?0系统分析中有着非常重要的作用，通常，我们用它来表示信号的定义域，简化信号的时域表示形式。例如：可以用两个不同延时的单位阶跃信号来表示一个矩形门信号，即：G2(t)??(t?1)??(t?1)

在MATLAB中，可通过多种方法得到单位阶跃信号，下面分别介绍。 方法一： 调用Heaviside(t)函数

在MATLAB的Symbolic Math Toolbox 中，有专门用于表示单位阶跃信号的函数，即Heaviside(t)函数，用它即可方便地表示出单位阶跃信号以及延时的单位阶跃信号，并且可以方便地参加有关的各种运算过程。

首先定义函数Heaviside(t) 的m函数文件,该文件名应与函数名同名即Heaviside.m。

%定义函数文件,函数名为Heaviside,输入变量为x,输出变量为y function y= Heaviside(t)

y=(t>0); %定义函数体，即函数所执行指令

%此处定义t>0时y=1,t<=0时y=0，注意与实际的阶跃信号定义的区别。

例① 用MATLAB画出单位阶跃信号的波形，其程序如下：

ut=sym('Heaviside(t)'); %定义单位阶跃信号（要用符号函数定义法） ezplot(ut,[-2,10]) %绘制单位阶跃信号在-2～10范围之间的波形

运行结果如下：

例② 用MATLAB画出信号f(t)??(t?2)?3?(t?5)的波形 其程序如下：

f=sym('Heaviside(t+2)-3*Heaviside(t-5)'); %定义函数表达式

ezplot(f,[-4,20]) %绘制函数在-4～20范围之间的波形

运行结果如下：

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实验二 LTI系统的响应

一、 实验目的

1. 熟悉连续时间系统的单位冲激响应、阶跃响应的意义及求解方法 2. 熟悉连续（离散）时间系统在任意信号激励下响应的求解方法 3. 熟悉应用MATLAB实现求解系统响应的方法

二、 实验原理

1.连续时间系统

对于连续的LTI系统，当系统输入为f(t)，输出为y(t)，则输入与输出之间满足如下的线性常系数微分方程：

nm?ayii?0(i)(t)??bjf(j)(t)，当系统输入为单位冲激信号δ(t)时产生的零状态响应称为系统的单位

j?0冲激响应，用h(t)表示。若输入为单位阶跃信号ε(t)时，系统产生的零状态响应则称为系统的单位阶跃响应，记为g(t)，如下图所示。

系统的单位冲激响应h(t)包含了系统的固有特性，它是由系统本身的结构及参数所决定的，与系统的输入无关。我们只要知道了系统的冲激响应，即可求得系统在不同激励下产生的响应。因此，求解系统的冲激响应h(t)对我们进行连续系统的分析具有非常重要的意义。

在MATLAB中有专门用于求解连续系统冲激响应和阶跃响应， 并绘制其时域波形的函数impulse( ) 和step( )。如果系统输入为f(t)，冲激响应为h(t)，系统的零状态响应为y(t)，则有：y(t)?h(t)?f(t)。

若已知系统的输入信号及初始状态，我们便可以用微分方程的经典时域求解方法，求出系统的响应。但是对于高阶系统，手工计算这一问题的过程非常困难和繁琐。

在MATLAB中，应用lsim( )函数很容易就能对上述微分方程所描述的系统的响应进行仿真，求出系统在任意激励信号作用下的响应。lsim( )函数不仅能够求出连续系统在指定的任意时间范围内系统响应的数值解，而且还能同时绘制出系统响应的时域波形图。 以上各函数的调用格式如下： ⑴ impulse( ) 函数

函数impulse( )将绘制出由向量a和b所表示的连续系统在指定时间范围内的单位冲激响应h(t)的时域波形图，并能求出指定时间范围内冲激响应的数值解。

? impulse(b,a) 以默认方式绘出由向量a和b所定义的连续系统的冲激响应的时域波形。

? impulse(b,a ,t0) 绘出由向量a和b所定义的连续系统在0 ~ t0时间范围内冲激响应的时域波形。 ? impulse(b,a,t1:p:t2) 绘出由向量a和b所定义的连续系统在t1 ~ t2时间范围内，并且以时间间隔p均匀取样的冲激响应的时域波形。

? y=impulse(b,a,t1:p:t2) 只求出由向量a和b所定义的连续系统在t1 ~ t2时间范围内，并且以时间间隔p均匀取样的冲激响应的数值解，但不绘出其相应波形。

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⑵ step( ) 函数

函数step( )将绘制出由向量a和b所表示的连续系统的阶跃响应，在指定的时间范围内的波形图，并且求出数值解。和impulse( )函数一样，step( )也有如下四种调用格式：

step( b,a) step(b,a,t0) step(b,a,t1:p:t2) y=step(b,a,t1:p:t2)

上述调用格式的功能和impulse( )函数完全相同，所不同只是所绘制（求解）的是系统的阶跃响应g(t)，而不是冲激响应h(t)。 ⑶ lsim( )函数

根据系统有无初始状态，lsim( )函数有如下两种调用格式：

①系统无初态时，调用lsim( )函数可求出系统的零状态响应，其格式如下：

? lsim(b,a,x,t) 绘出由向量a和b所定义的连续系统在输入为x和t所定义的信号时，系统零状态响应的时域仿真波形，且时间范围与输入信号相同。其中x和t是表示输入信号的行向量，t为表示输入信号时间范围的向量，x则是输入信号对应于向量t所定义的时间点上的取样值。

? y=lsim(b,a,x,t) 与前面的impulse 和step函数类似，该调用格式并不绘制出系统的零状态响应曲线，而只是求出与向量t定义的时间范围相一致的系统零状态响应的数值解。 ②系统有初始状态时，调用lsim( )函数可求出系统的全响应，格式如下：

? lsim(A,B,C,D,e,t,X0) 绘出由系数矩阵A,B,C,D所定义的连续时间系统在输入为e和t所定义的信号时，系统输出函数的全响应的时域仿真波形。t为表示输入信号时间范围的向量，e则是输入信号e(t)对应于向量t所定义的时间点上的取样值，X0表示系统状态变量X=[x1,x2,…..xn]'在t=0时刻的初值。 ? [Y,X]= lsim(A,B,C,D,e,t,X0) 不绘出全响应波形，而只是求出与向量t定义的时间范围相一致的系统输出向量Y的全响应以及状态变量X的数值解。

显然，函数lsim( )对系统响应进行仿真的效果取决于向量t的时间间隔的密集程度，t的取样时间间隔越小则响应曲线越光滑，仿真效果也越好。 说明：

（1）当系统有初始状态时，若使用lsim( )函数求系统的全响应，就要使用系统的状态空间描述法，即首先要根据系统给定的方式，写出描述系统的状态方程和输出方程。假如系统原来给定的是微分方程或系统函数，则可用相变量法或对角线变量等方法写出系统的状态方程和输出方程。其转换原理如前面实验四所述。 （2）显然利用lsim( )函数不仅可以分析单输入单输出系统，还可以分析复杂的多输入多输出系统。 例题1： 若某连续系统的输入为e(t)，输出为r(t)，系统的微分方程为：

y''(t)?5y'(t)?6y(t)?3f'(t)?2f(t)

①求该系统的单位冲激响应h(t)及其单位阶跃响应g(t)。 ②若f(t)?e?2t?(t) 求出系统的零状态响应y(t)

分析： ① 求冲激响应及阶跃响应的MATLAB程序：

a=[1 5 6];b=[3 2]; subplot(2,1,1), impulse(b,a,4) subplot(2,1,2), step(b,a,4)

运行结果如右：

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② 求零状态响应的MATLAB程序：

a=[1 5 6];b=[3 2];

p1=0.01; %定义取样时间间隔为0.01 t1=0:p1:5; %定义时间范围 x1=exp(-2*t1); %定义输入信号

lsim(b,a,x1,t1), %对取样间隔为0.01时系统响应进行仿真 hold on; %保持图形窗口以便能在同一窗口中绘制多条曲线 p2=0.5; %定义取样间隔为0.5 t2=0:p2:5; %定义时间范围 x2=exp(-2*t2); %定义输入信号

lsim(b,a,x2,t2), hold off %对取样间隔为0.5时系统响应进行仿真并解除保持

运行结果如下：

例题2 已知一个过阻尼二阶系统的状态方程和输出方程分别为：

?01??0?x'(t)??X(t)?f(t) ， r(t)=[0 1]X(t) 。 ?????2?3??2??4t若系统初始状态为X(0)=[4 -5]T ， 求系统在f(t)?3e?(t)作用下的全响应。

求全响应程序如下：

A=[0 1 ; -2 -3] ;B=[0 2]';C=[0 1];D=[0]; X0=[4 -5]'; %定义系统初始状态 t=0: 0.01:10;

E=[3*exp(-4*t).*ones(size(t))]'; %定义系统激励信号 [r , x]=lsim(A,B,C,D,E,t,X0); %求出系统全响应的数值解 plot(t,r) %绘制系统全响应波形 运行结果如右。 2.离散时间系统

LTI离散系统中，其输入和输出的关系由差分方程描述：

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?ay(k?i)??bii?0nj?0mnmjf(k?j) （前向差分方程） f(k?n?j) （后向差分方程）

?ay(k?i)??bii?0j?0j当系统的输入为单位序列δ(k)时产生的零状态响应称为系统的单位函数响应，用h(k)表示。当输入为 ε(k)时产生的零状态响应称为系统的单位阶跃应，记为：g(k)，如下图所示。

如果系统输入为e(k)，冲激响应为h(k)，系统的零状态响应为y(k)，则有：y(k)?h(k)?f(k)。与连续系统的单位冲激响应h(t)相类似，离散系统的单位函数响应h(k)也包含了系统的固有特性，与输入序列无关。我们只要知道了系统的单位函数响应，即可求得系统在不同激励信号作用下产生的响应。因此，求解系统的单位函数响应h(k)对我们进行离散系统的分析也同样具有非常重要的意义。

MATLAB中为用户提供了专门用于求解离散系统单位函数响应， 并绘制其时域波形的函数impz( )。同样也提供了求离散系统响应的专用函数filter( )，该函数能求出由差分方程所描述的离散系统在指定时间范围内的输入序列作用时，产生的响应序列的数值解。当系统初值不为零时，可以使用dlsim( )函数求出离散系统的全响应，其调用方法与前面连续系统的lsim( )函数相似。另外，求解离散系统阶跃响应可以通过如下两种方法实现：一种是直接调用专用函数dstep( ),其调用方法与求解连续系统阶跃响应的专用函数step( )的调用方法相似；另一种方法是利用求解离散系统零状态响应的专用函数filter( )，只要将其中的激励信号看成是单位阶跃信号ε(k)即可。 函数的调用格式分别如下： ⑴ impz( )函数

? impz(b,a) 以默认方式绘出由向量a和b所定义的离散系统单位函数响应的时域波形。 ? impz(b,a,n) 绘出由向量a和b所定义的离散系统在0 ~ n （n必须为整数）的离散时间范围内单位函数响应的时域波形。

? impz(b,a,n1:n2) 绘出由向量a和b所定义的离散系统在n1 ~ n2 （n1、n2必须为整数）的离散时间范围内单位函数响应的时域波形。

? y=impz(b,a,n1:n2) 求出由向量a和b所定义的离散系统在n1 ~ n2 （n1、n2必须为整数）的离散时间范围内单位函数响应的数值解，但不绘出波形。 ⑵ filter( ) 函数

? filter(b,a,x) 其中a和b与前面相同，x是包含输入序列非零样值点的的行向量。此命令将求出系统在与x的取样时间点相同的输出序列样值。

例题：已知描述离散系统的差分方程为：y(k)?0.25y(k?1)?0.5y(k?2)?f(k)?f(k?1)，且已知系统输入序列为f(k)?(12)k?(k)，

① 求出系统的单位函数响应h(k)在-3 ~10离散时间范围内响应波形。

② 求出系统零状态响应在0 ~15区间上的样值；并画出输入序列的时域波形以及系统零状态响应的波形 分析：①求系统的单位函数响应的MATLAB程序：

a=[1,-0.25,0.5]; b=[1,1,0];

impz(b,a,-3:10), title('单位响应') %绘出单位函数响应在-3 ~10区间上的波形

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运行结果如图a。

②求零状态响应的MATLAB程序：

a=[1,-0.25,0.5];b=[1,1,0]

k=0:15; %定义输入序列取值范围 x=(1/2).^k; %定义输入序列表达式 y=filter(b,a,x) %求解零状态响应样值 subplot(2,1,1),stem(k,x) %绘制输入序列的波形 title('输入序列')

subplot(2,1,2),stem(k,y) %绘制零状态响应的波形 title('输出序列')

运行结果如下：

y =

Columns 1 through 10

1.0000 1.7500 0.6875 -0.3281 -0.2383 0.1982 0.2156 -0.0218 -0.1015 -0.0086 Columns 11 through 16

0.0515 0.0187 -0.0204 -0.0141 0.0069 0.0088

图a. ①运行结果 图b. ②运行结果

三、 实验内容

1. 已知描述系统的微分方程和激励信号e(t) 分别如下，试用解析方法求系统的单位冲激响应h(t)和零状态响应r(t)，并用MATLAB绘出系统单位冲激响应和系统零状态响应的波形，验证结果是否相同。

?t①y''(t)?4y'(t)?4y(t)?f'(t)?3f(t)；f(t)?e?(t)

②y''(t)?2y'(t)?26y(t)?f'(t)；f(t)??(t)

?2t③y''(t)?4y'(t)?3y(t)?f(t)；f(t)?e?(t)

④如下图所示的电路中，已知R1?R2?R3?4(?)，L1?L2?1(H)，且两电感上初始电流分别为如果以电阻R3上电压y(t)作为系统输出，请求出系统在激励f(t)?12?(t)i1(0)?2(A),i2(0)?0(A)，（v）作用下的全响应。

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2. 请用MATLAB分别求出下列差分方程所描述的离散系统，在0~20时间范围内的单位函数响应、阶跃响应和系统零状态响应的数值解，并绘出其波形。另外，请将理论值与MATLAB仿真结果在对应点上的值作比较，并说出两者的区别和产生误差的原因。

① y(k)?2y(k?1)?y(k?2)?f(k)；f(k)?14?(k)

② y(k?2)?0.7y(k?1)?0.1y(k)?7f(k?2)?2f(k?1)；f(k)??(k)

1③ y(k)?5；f(k)??(k) 6y(k?1)?6y(k?2)?f(k)?f(k?2)④一带通滤波器可由下列差分方程描述：y(k)?0.81y(k?2)?f(k)?f(k?2)， 其中f(k)为系统输入， y(k)为系统输出。请求出当激励为f(k)??10?10cos(kn/2)?10cos(kn)??(k)（选取适当的n值）时滤波器的稳态输出。

四、 预习要求

1.熟悉系统响应的求解方法

2.了解MATLAB语言中关于系统分析的各个函数如：impulse、step、lsim、impz、filter等函数的调用方法：

五、实验报告要求

1.理论上计算出系统的单位冲激响应/单位函数响应、阶跃响应、零状态响应、全响应的表达式，并写出解题过程。

2.记录仿真结果（包括数据和波形）。 3.写出程序清单。 4.实验总结（收获及体会）

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实验三 连续时间信号的频域分析

一、 实验目的

1．熟悉傅里叶变换的性质 2．熟悉常见信号的傅里叶变换

3．了解傅里叶变换的MATLAB实现方法

二、 实验原理

傅里叶变换是信号分析 的最重要的内容之一。从已知信号f(t)求出相应的频谱函数F(j?)的数学表示为：

F(j?)?????f(t)e?j?tdt

f(t)的傅里叶变换存在的充分条件是f(t)在无限区间内绝对可积，即f(t)满足下式：

?能进行傅里叶变换。

???f(t)dt??

但上式并非傅里叶变换存在的必要条件。在引入广义函数概念之后，使一些不满足绝对可积条件的函数也

1 傅里叶反变换的定义为：f(t)?2?????F(j?)ej?td?。

在这一部分的学习中，大家都体会到了这种数学运算的麻烦。在MATLAB语言中有专门对信号进行正反傅里叶变换的语句，使得傅里叶变换很容易在MATLAB中实现。在MATLAB中实现傅里叶变换的方法有两种，一种是利用MATLAB中的Symbolic Math Toolbox提供的专用函数直接求解函数的傅里叶变换和傅里叶反变换，另一种是傅里叶变换的数值计算实现法。下面分别介绍这两种实现方法的原理。 1.直接调用专用函数法

①在MATLAB中实现傅里叶变换的函数为：

? F=fourier( f ) 对f(t)进行傅里叶变换，其结果为F(w) ? F=fourier(f,v) 对f(t)进行傅里叶变换，其结果为F(v) ? F=fourier( f,u,v ) 对f(u)进行傅里叶变换，其结果为F(v) ②傅里叶反变换

? f=ifourier( F ) 对F(w)进行傅里叶反变换，其结果为f(x) ? f=ifourier(F,U) 对F(w)进行傅里叶反变换，其结果为f(u) ? f=ifourier( F,v,u ) 对F(v)进行傅里叶反变换，其结果为f(u)

由于MATLAB中函数类型非常丰富，要想了解函数的意义和用法，可以用mhelp命令。如在命令窗口键入：mhelp fourier回车，则会得到fourier的意义和用法。 注意：

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（1）在调用函数fourier( )及ifourier( )之前，要用syms命令对所有需要用到的变量（如t,u,v,w）等进行说明，即要将这些变量说明成符号变量。对fourier( )中的f及ifourier( )中的F也要用符号定义符sym将其说明为符号表达式。

（2）采用fourier( )及fourier( )得到的返回函数，仍然为符号表达式。在对其作图时要用ezplot( )函数，而不能用plot()函数。

（3）fourier( )及fourier( )函数的应用有很多局限性，如果在返回函数中含有δ(ω)等函数，则ezplot( )函数也无法作出图来。另外，在用fourier( )函数对某些信号进行变换时，其返回函数如果包含一些不能直接表达的式子，则此时当然也就无法作图了。这是fourier( )函数的一个局限。另一个局限是在很多场合，尽管原时间信号f(t)是连续的，但却不能表示成符号表达式，此时只能应用下面介绍的数值计算法来进行傅氏变换了，当然，大多数情况下，用数值计算法所求的频谱函数只是一种近似值。 例① 求门函数f(t)??(t?1)??(t?1)的傅里叶变换，并画出幅度频谱图 MATLAB程序如下：

syms t w %定义两个符号变量t,w Gt=sym('Heaviside(t+1)-Heaviside(t-1)'); %产生门宽为2的门函数 Fw=fourier(Gt,t,w); %对门函数作傅氏变换求F(jw)

FFw=maple('convert',Fw,'piecewise'); %数据类型转换，转为分段函数，此处可以去掉 FFP=abs(FFw); %求振幅频谱| F(jw)| ezplot(FFP,[-10*pi 10*pi]);grid; %绘制函数图形，并加网格 axis([-10*pi 10*pi 0 2.2]) %限定坐标轴范围

运行结果：Fw= exp(i*w)*(pi*Dirac(w)-i/w)-exp(-i*w)*(pi*Dirac(w)-i/w)

% Dirac(w)为δ(ω)，即傅立叶变换结果中含有奇异函数，故绘图前需作函数类型转换 FFw= -i*exp(i*w)/w+i*exp(-i*w)/w % FFw为复数

FFP= abs(-i*exp(i*w)/w+i*exp(-i*w)/w) %求FFw的模值

例② 求函数F(j?)?1的傅里叶反变换f(t) 21?? MATLAB程序如下：

syms t w %定义两个符号变量t,w Fw=sym('1/(1+w^2)'); %定义频谱函数F(jw)

ft=ifourier(Fw,w,t); %对频谱函数F(jw)进行傅氏反变换

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运行结果： ft =

1/2*exp(-t)*Heaviside(t)+1/2*exp(t)*Heaviside(-t)

2、傅里叶变换的数值计算实现法

严格说来，如果不使用symbolic工具箱，是不能分析连续时间信号的。采用数值计算方法实现连续时间信号的傅里叶变换，实质上只是借助于MATLAB的强大数值计算功能，特别是其强大的矩阵运算能力而进行的一种近似计算。傅里叶变换的数值计算实现法的原理如下：

对于连续时间信号f(t)，其傅里叶变换为：

?F(j?)?????f(t)e?j?tdt?lim??0n????f(n?)e?j?n??

其中η为取样间隔，如果f(t)是时限信号，或者当|t|大于某个给定值时，f(t)的值已经衰减得很厉害，可以近似地看成是时限信号，则上式中的n取值就是有限的，假定为N，有： F(j?)??N?1n?0?f(n?)e?j?n?

若对频率变量ω进行取样，得：

F(k)?F(j?k)???f(n?)e?j?kn?n?0N?10?k?M

通常取：?k??0Mk?2?k，其中?0是要取的频率范围，或信号的频带宽度。采用MATLAB实现上式M??j?kn?时，其要点是要生成f(t)的N个样本值f(n?)的向量，以及向量e结果即完成上式的傅里叶变换的数值计算。

，两向量的内积（即两矩阵的乘积），

注意：时间取样间隔η的确定，其依据是η必须小于奈奎斯特（Nyquist）取样间隔。如果f(t)不是严格的带限信号，则可以根据实际计算的精度要求来确定一个适当的频率?0为信号的带宽。

例③ 用数值计算法实现上面门函数f(t)??(t?1)??(t?1)的傅里叶变换，并画出幅度频谱图. 分析： 该信号的频谱为F(j?)?2Sa(?)，其第一个过零点频率为π，一般将此频率认为是信号的带宽。但考虑到F(j?)的形状（为抽样函数），假如将精度提高到该值的50倍，即取?0?50?B?50?，则据此确定的Nyquist取样间隔为：??11??0.02。 2F02??02?MATLAB程序如下：

R=0.02; %取样间隔η=0.02

t=-2:R:2; % t为从-2到2，间隔为0.02的行向量,有201个样本点

ft=[zeros(1,50),ones(1,101),zeros(1,50)]; % 产生f(t)的样值矩阵（即f(t)的样本值组成的行向量） W1=10*pi; %取要计算的频率范围

M=500; k=0:M; w=k*W1/M; %频域采样数为M, w为频率正半轴的采样点 Fw=ft*exp(-j*t'*w)*R; %求傅氏变换F(jw) FRw=abs(Fw); %取振幅

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W=[-fliplr(w),w(2:501)] ; %由信号双边频谱的偶对称性，利用fliplr(w)形成负半轴的

点，% w(2:501)为正半轴的点，函数fliplr(w)对矩阵w行向量作180度反转

FW=[fliplr(FRw),FRw(2:501)]; %形成对应于2M+1个频率点的值 Subplot(2,1,1) ; plot(t,ft) ;grid; %画出原时间函数f(t)的波形，并加网格 xlabel('t') ; ylabel('f(t)'); %坐标轴标注 title('f(t)=u(t+1)-u(t-1)'); %文本标注

subplot(2,1,2) ; plot(W,FW) ;grid on; %画出振幅频谱的波形,并加网格 xlabel ('W') ; ylabel ('F(W)'); %坐标轴标注 title('f(t)的振幅频谱图'); %文本标注

运行结果如下：

三、 实验内容

1.编程实现求下列信号的幅度频谱

(1) 求出f1(t)??(2t?1)??(2t?1)的频谱函数F1(jω)，请将它与上面门宽为2的门函数

f(t)??(t?1)??(t?1)的频谱进行比较，观察两者的特点，说明两者的关系。 ?1?|t|(2) 三角脉冲 f2(t)???0|t|?1 |t|?1(3) 单边指数信号f3(t)?e?t?(t) (4) 高斯信号f3(t)?e?t

2.利用ifourier( ) 函数求下列频谱函数的傅氏反变换

22?(j?)2?5j??8(1)F(j?)??j (2) F(j?)? 216??2(j?)?6j??5四、预习要求

1. 熟悉常见信号的频谱；

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附录六 信号与系统分析常用函数

1.传递函数描述法

MATLAB中使用tf命令来建立传递函数。 语法：

G=tf(num,den)

%由传递函数分子分母得出

说明：num为分子向量，num=[b1,b2,…,bm,bm+1]；den为分母向量，den=[a1,a2,…,an-1,an]。

2.零极点描述法

MATLAB中使用zpk命令可以来实现由零极点得到传递函数模型。 语法：

G=zpk(z,p,k)

%由零点、极点和增益获得

说明：z为零点列向量；p为极点列向量；k为增益。 部分分式法是将传递函数表示成部分分式或留数形式：

G(s)?r1rr?2???n?k(s) s?p1s?p2s?pn线性系统模型转换函数表

函数 tf2ss tf2zp ss2tf 调用格式 [a,b,c,d]=tf2ss(num,den) [z,p,k]=tf2zp(num,den) 功能 传递函数转换为状态空间 传递函数转换为零极点描述 [num,den]=ss2tf(a,b,c,d,iu) 状态空间转换为传递函数 状态空间转换为零极点描述 零极点描述转换为状态空间 零极点描述转换为传递函数 ss2zp [z,p,k]=ss2zp(a,b,c,d,iu) zp2ss [a,b,c,d]=zp2ss(z,p,k) zp2tf [num,den]=zp2tf(z,p,k)

3.零输入响应分析

1. 连续系统的零输入响应

MATLAB中使用initial命令来计算和显示连续系统的零输入响应。

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语法：

initial(G,x0, Ts)

%绘制系统的零输入响应曲线

initial(G1,G2,…,x0, Ts) %绘制系统多个系统的零输入响应曲线 [y,t,x]=initial(G,x0, Ts) %得出零输入响应、时间和状态变量响应

说明：G为系统模型，必须是状态空间模型；x0是初始条件；Ts为时间点，如果是标量则为终止时间，如果是数组，则为计算的时刻，可省略；y为输出响应；t为时间向量，可省略；x为状态变量响应，可省略。

2. 离散系统的零输入响应

离散系统的零输入响应使用dinitial命令实现。 语法：

dinitial(a,b,c,d,x0) y= dinitial (a,b,c,d,x0)

%绘制离散系统零输入响应 %得出离散系统的零输入响应 %得出离散系统n点的零输入响应

[y,x,n]= dinitial (a,b,c,d,x0)

说明：a、b、c、d为状态空间的系数矩阵；x0为初始条件；y为输出响应；t为时间向量；x为状态变量响应；n为点数。

3 连续系统的脉冲响应

连续系统的脉冲响应由impluse命令来得出。 语法：

impulse(G, Ts)

%绘制系统的脉冲响应曲线

[y,t,x]=impulse(G, Ts) %得出脉冲响应

说明：G为系统模型，可以是传递函数、状态方程、零极点增益的形式；y为时间响应；t为时间向量；x为状态变量响应，t和x可省略；Ts为时间点可省略。

4. 离散系统的脉冲响应

离散系统的脉冲响应使用dimpulse命令实现。 语法：

dimpluse(a,b,c,d,iu)

%绘制离散系统脉冲响应曲线

[y,x]=dimpluse(a,b,c,d,iu,n) %得出n点离散系统的脉冲响应

%由传递函数得出n点离散系统的脉冲响应

[y,x]=dimpluse(num,den,iu,n)

说明：iu为第几个输入信号；n为要计算脉冲响应的点数；y的列数与n对应；x为状态变量，可省略。 5. 连续阶跃响应

阶跃响应可以用step命令来实现。 语法：

step(G, Ts)

%绘制系统的阶跃响应曲线

[y,t,x]=step(G, Ts) %得出阶跃响应

说明：参数设置与impulse命令相同。 6. 离散系统的阶跃响应

离散系统阶跃响应使用dstep命令来实现，语法规则与dimpluse相同。 7. 连续系统的任意输入响应

连续系统对任意输入的响应用lsim命令来实现。 语法：

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lsim(G,U,Ts)

%绘制系统的任意响应曲线

%绘制多个系统任意响应曲线

lsim(G1,G2,…U,Ts) [y,t,x]=lsim(G,U,Ts)

%得出任意响应

说明：U为输入序列，每一列对应一个输入；Ts为时间点，U的行数和Ts相对应；参数t和x可省略。 8. 离散系统的任意输入响应

离散系统的任意输入响应用dlsim命令来实现。 语法： dlsim(a,b,c,d,U)

%绘制离散系统的任意响应曲线 %得出离散系统任意响应和状态变量响应

[y,x]=dlsim(num,den,U) [y,x]=dlsim(a,b,c,d,U)

%得出离散系统响应和状态变量响应

说明：U为任意序列输入信号。

4. 极点和零点

1. pole命令计算极点 语法：

p=pole(G)

说明：当系统有重极点时，计算结果不一定准确。 (2) tzero命令计算零点和增益 语法：

z=tzero(G)

%得出连续和离散系统的零点 %获得零点和零极点增益

[z,gain]=tzero(G)

说明：对于单输入单输出系统， tzero命令也用来计算零极点增益。

5.系统频域特性

频域特性由下式求出：

Gw=polyval(num,j*w)./polyval(den,j*w) mag=abs(Gw) pha=angle(Gw)

%幅频特性 %相频特性

说明：j为虚部变量。 1. bode图

bode图是对数幅频和对数相频特性曲线。 语法：

bode(G,w)

%绘制bode图

[mag,pha]=bode(G,w) [mag,pha,w]=bode(G)

%得出w对应的幅值和相角 %得出幅值、相角和频率

说明：G为系统模型，w为频率向量，mag为系统的幅值，pha为系统的相角。 2. nyquist曲线

nyquist曲线是幅相频率特性曲线，使用nyquist命令绘制和计算。 语法：

nyquist (G,w)

%绘制nyquist曲线

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nyquist (G1,G2,…w)

%绘制多条nyquist曲线

[Re,Im]= nyquist (G,w) [Re,Im,w]= nyquist (G)

%由w得出对应的实部和虚部 %得出实部、虚部和频率

说明：G为系统模型；w为频率向量，也可以用{wmin,wmax}表示频率的范围；Re为频率特性的实部，Im为频率特性的虚部。

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