有关二重积分的计算与应用的本科毕业论文

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学号：201021140309

本 科 生 毕 业 论 文

论 文 题 目： 二重积分的计算与应用研究

作 者： 甘 泉

院 系： 数理学院

专 业： 数学与应用数学

班 级： 201003

指 导 教 师： 刘 春 潮

2014 年 5 月 8 日

NO．：201021140309 Huanggang Normal University

Topic Author College Specialty

Class Tutor

Thesis Graduates

Double Integral Calculation and Its Application

GAN Quan

College of Mathematics and Physics

Mathematics and Applied Mathematics 201003 LIU Chunchao

May 8th,2014

：：：：

：：

郑重声明

本人所呈交的毕业论文（设计）是本人在指导教师 刘春潮 的指导下独立研究并完成的． 除了文中特别加以标注引用的内容外，没有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权行为，本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担．

特此郑重声明！

指导老师（手写签名）： 论文作者（手写签名）：

2014年5月8日

摘 要

二重积分在现实中有着广泛的应用，二重积分可用于求解空间立体体积和曲面面积。在物理力学中，二重积分也有着不可代替的作用。

本文给出二重积分的概念及基本性质，在此基础上总结了二重积分的七种比较常见的计算方法与计算技巧：利用直接坐标系计算、利用变量特换法计算、利用极坐标系计算、利用函数的奇偶性和区域对称性计算、利用格林公式计算、利用轮换法计算、利用二重积分的几何意义计算，还研究了一些二重积分在物理力学、计算空间立体体积、计算曲面面积、计算曲线积分和曲面积分等方面的应用问题。

关键词：二重积分；计算方法；计算技巧；应用

I

Abstract

The double integral is widely used in practice, the double integral can be used to

solve the three-dimensional volume and surface area. In mechanics, the double integral also has an irreplaceable role.

This paper gives the concept and nature of the double integral, on the basis of summing up the seven common calculation method of double integral and calculation skills:using direct coordinate system to calculate, using variable replacement method to calculate, using the polar coordinate to calculate, using function and regional symmetry to calculate, using the parity of green formula to calculate, using the method of rotation to calculate, using the geometric meaning of double integral to calculate, also studies on some practical problems about the double integral such as physical mechanics, calculation of three-dimensional volume, surface area calculation, the calculation of curvilinear integral and surface integral.

Key words: double integral；computational methods；computational skills；application

II

目 录

第1章 绪论 ................................................................................................................. 1

1.1选题背景 ........................................................................................................... 1 1.2选题意义 ........................................................................................................... 1 1.3研究现状 ........................................................................................................... 1 1.4研究思路 ........................................................................................................... 2 第2章 二重积分的基本计算方法 ............................................................................. 3

2.1 二重积分的定义与性质 .................................................................................. 3 2.2利用直角坐标系计算二重积分 ....................................................................... 4 2.3利用变量替换法计算二重积分 ....................................................................... 6 2.4利用极坐标系计算二重积分 ........................................................................... 7 第3章 特殊二重积分的计算技巧 ........................................................................... 10

3.1利用函数奇偶性与区域对称性计算 ............................................................. 10 3.2利用格林公式计算 ......................................................................................... 12 3.3利用轮换法计算 ............................................................................................. 12 3.4利用二重积分的几何意义计算 ................................................................... 133 第4章 二重积分的应用 ........................................................................................... 13

4.1计算曲面的面积 ............................................................................................. 14

4.1.1曲面由显函数给出的情形 ................................................................... 14 4.1.2曲面由参数方程给出的情形 ............................................................... 14

4.2计算平面薄片的重心 .................................................................................... 15

4.3计算平面薄片的转动惯量 ............................................................................. 16 4.4计算平面薄片对质点的引力 ......................................................................... 17 4.5计算空间立体体积 ......................................................................................... 17

III

4.6计算曲线积分 ................................................................................................. 18 4.7计算曲面积分 ................................................................................................. 18 第5章 结束语 ........................................................................................................... 20 致 谢............................................................................................................................ 21 参考文献 ..................................................................................................................... 22

IV

二重积分的计算与应用研究

I??x2dx?e?ydy.

0x112 由于函数e?y的原函数无法用初等函数形式表示，因此改用另一种顺序的累次积分，则有I??dy?x2e?ydx?001y22113?y2yedy.由分部积分法，即可算得： ?0311I??.

63e 许多常见的区域都可以分解成为有限个除边界外无公共内点的x型区域或

y型区域.因而解决了x型区域或y型区域上二重积分的计算问题，那么一般区

域上二重积分的计算问题也就得到了解决.

例3 计算二重积分?d??，其中D为由直线y?2x，x?2y及x?y?3所围的

D三角形区域.

解：当把D看作x区域时，相应的

????xx D1??(x,y)0?x?1,?y?2x?，D2??(x,y)1?x?2,?y?3?x?.

22???? 所以??d????d????d???dx?xdy??dx?xdy

DD1D2021212xx ??(2x?)dx??(3?x?)dx

012212x23?x32?23?32?1? ??x???3x?x??.

4?12 ?4?0?2.3利用变量替换法计算二重积分

当被积函数较为复杂，这时可以考虑利用变量变换化被积函数为简单函数，原积分区域相应的转化为新的积分区域，进而利用公式进行计算[7].

引理 设变换T:x?(u,v)，y?y(u,v)将uv平面上由按段光滑封闭曲线所围的闭区域?，一对一地映成xy平面上的闭区域D，函数x(u,v)，y(u,v)在?内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式J(u,v)?区域D的面积u(D)???J(u,v)dudv.

D?(x,y)?0，(u,v)??，则?(u,v)[第 6 页 共 22 页]

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,y)在有界闭区域D上可积， 定理5 设f(x变换T:x?x(u,v)，y?y(u,v)将

uv平面由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域?一对一地映成xy平面上的闭区域

D，函数x(u,v)，y(u,v)在?内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式

J(u,v)??(x,y)?0，(u,v)??则??f(x,y)dxdy???f?x(u,v),y(u,v)?J(u,v)dudv. ?(u,v)D?x?yx?y例4 求??eDdxdy，其中D是由x?0，y?0，x?y?1所围区域.

1v?x?y，解：为了简化被积函数，令u?x?y，为此作变换 T:x?(u?v)，

211y?(v?u)，则J(u,v)?212?212?1?0，在变换T的作用下， 122u??eDx?yx?yv11111e?e?1?1vdxdy???e?dudv??dv?edu??v(e?e)dv?.

0?v02224?uv 例5 求抛物线y2?mx，y2?nx和直线y??x，y??x所围成区域D的面积

u(D)(0?m?n，0????).

解：D的面积u(D)???dxdy.为了简化积分区域，作变换x?Duu，. y?2vv 它把xy平面上的区域D对应到uv平面上的矩形区域??[m,n]?[?,?].

12 由于J(u,v)?v1v?2uv3?u?0，(u,v)??，

4uv?2v?dvn(n2?m2)(?3??3)u 所以?(D)???d????4dudv??4??udu?. 33?vmv6??D?2.4利用极坐标系计算二重积分

当积分区域是圆域或圆域的一部分，或者被积函数的形式为f(x2?y2)时，采

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二重积分的计算与应用研究

?x?rcos?,0???2?往往能达到简化积分区域或被用极坐标变换T:?0?r???，

y?rsin?,?积函数的目的.此时，变换T的函数行列式为J(r,?)?cos?sin??rsin??r.

rcos?应用极坐标替换将直角坐标系中的二重积分化为极坐标系中的二重积分，能简化二重积分的计算，二重积分的极坐标替换是

??f(x,y)dxdy???f(rcos?,rsin?)rdrd?.

DD下面介绍二重积分在极坐标系下如何化为累次积分计算.

（1） 若原点0?D且xy平面上射线??常数与D的边界至多交于两点，则

?可表示成r1(?)?r?r2(?)，?????，

于是有??f(x,y)dxdy??d??D?r2(?)?r1(?)f(rcos?,rsin?)rdr.

类似地，若xy平面上的圆r?常数与D的边界至多交于两点，则?必可表示为

?1(r)????2(r)，r1?r?r2，所以??f(x,y)dxdy??rdr?Dr1r2?2(r)?1(r)f(rcos?,rsin?)d?.

（2）若原点为D的内点，D的边界的极坐标方程为r?r(?)，则?可表示成

0?r?r(?)，0???2?，所以??f(x,y)dxdy??d??D02?r(?)0f(rcos?,rsin?)rdr.

（3）若原点0在D的边界上，则?为0?r?r(?)，?????， 于是有??f(x,y)dxdy??d??D?r(?)?0f(rcos?,rsin?)rdr.

例6 计算I???e?xD2?y2dxdy，其中D为区域x2?y2?1.

解 ：如果用直角坐标系来计算，这个积分却无法求出，现采用极坐标， 此时D表示为0?r?1，0???2?，故有 I???eD?r2rdrd???d??re002?1?r21212?dr???d??e?rd(?r2)??(1?e?1).

020[第 8 页 共 22 页]

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例7 计算I???Dd?1?x2?y2，其中D为圆域：x2?y2?1.

解：由于原点为D的内点，故有

??Dd?1?x?y22??d??02?1r1?r20dr??2?0??1?r2?0d???12?0d??2?.

与极坐标相类似，我们也可以作下面的广义极坐标变换：

?x?arcos?,T:?0?r???，0???2?，

y?brsin?,?acos?bsin??arsin??abr[8].

brcos?并计算得J(r,?)?x2y2z2 例8 求椭球体2?2?2?1的体积.

abc 解：由对称性，椭球体的体积V是第一卦限部分体积的8倍，这一部分是以

??x2y2x2?z?c1?2?2为曲顶，D??(x,y)0?y?b1?2,0?x?a??为底的曲顶柱体，

aba????x2y2所以V?8??c1?2?2dxdy.应用广义极坐标变换，由于z?c1?r2，因此

abD?V?8?202d??c1?rabrdr?8abc?2d??r1?rdr?201?0104?abc. 3

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二重积分的计算与应用研究

第3章 特殊二重积分的计算技巧

3.1利用函数奇偶性与区域对称性计算

（1）设区域D关于y轴对称，若函数f(x)关于x是奇函数，因为函数f(x)关于x是奇函数，即关于原点对称，所以有f(?x,y)??f(x,y)，则??f(x,y)dxdy?0；

D若函数f(x)关于x是偶函数，因为函数f(x)关于x是偶函数，即关于y轴对称，所以有f(?x,y)?f(x,y)，则??f(x,y)dxdy?2??f(x,y)dxdy （其中D1是区域D

DD1位于y轴右侧的部分）.

（2）设区域D关于x轴对称，若函数f(x)关于y是奇函数，因为函数f(x)关于y是奇函数，即关于原点对称，所以有f(x,?y)??f(x,y)，则??f(x,y)dxdy?0；

D若函数f(x)关于y是偶函数，因为函数f(x)关于y是偶函数，即关于x轴对称，所以有f(x,?y)?f(x,y)，则??f(x,y)dxdy?2??f(x,y)dxdy（其中D1是区域D

DD1位于x轴上侧的部分）.

（3）设区域D关于x轴和y轴都对称，同时f(x)也是关于x,y对称的，因为区域D关于x轴和y轴对称，f(x)也是关于x,y对称，所以有f(?x,y)?f(x,y)，

f(x,?y)?f(x,y)，则有??f(x,y)dxdy?4??f(x,y)dxdy（其中D1是区域D位于

DD1第一象限中的部分）. 下面仅证明（1），类似可以证明（2），由（1）和（2）可得（3）.

证明：由条件知，?(x,y)?D1，则(?x,y)?D2，其中D1,D2分别是y轴右侧，左侧的部分.从而??f(x,y)dxdy???f(x,y)dxdy???f(x,y)dxdy，令u??x，v?y则

DD1D2J??10??1，J?1. 01,y)关于x是奇函数，即f(?x,y)??f(x,y)时，有 当f(x??f(x,y)dxdy???f(?x,y)Jdxdy????f(x,y)dxdy

D1D2D2[第 10 页 共 22 页]

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故??f(x,y)dxdy?0.

D,y)关于x是偶函数，即f(?x,y)?f(x,y)时，有 当f(x??f(x,y)dxdy???f(?x,y)Jdxdy???f(x,y)dxdy

D1D2D2故??f(x,y)dxdy?2??f(x,y)dxdy.

DD1 例9 计算双纽线(x2?y2)2?2a2(x2?y2)所围成的面积.

解：采用极坐标变换x?rcos?，y?rsin?，双纽线的极坐标方程是

r2?2a2cos2?.因为双纽线关于x轴和y轴对称，于是，双纽线所围成区域D的

面积A是第一象限内那部分区域面积的四倍. 第一象限那部分区域是:0?r?a2cos2?(0????4于是A???dxdy?4?0d??0Da2cos2??4)，

?rdr?4a2?40cos2?d??2a2.

例10 计算I????x?y?dxdy，其中D: x2?y2?1.

D 解法1：x?0，y?0时，D分为四个区域，即D在一，二，三，四象限的部分依次记为D1,D2,D3,D4.

I???(x?y)dxdy???(?x?y)dxdy???(?x?y)dxdy???(x?y)dxdyD1D2D3D4??dx?011?x20(x?y)dy??dx??101?x20(?x?y)dy??dx??100?1?x(?x?y)dy??dx?2010?1?x2(x?y)dy83利用极坐标计算这个二重积分 解法2：（利用奇偶对称性） ? 由于积分区域D关于x轴和y轴对称，而被积函数关于x和y是偶函数.因此有

18?4?2(co?s?sin?)d??. I?4??(x?y)dxd?y4?2d??(rco?s?rsin?)rdr03003D11??[第 11 页 共 22 页]

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3.2利用格林公式计算

定理6 若函数P(x,y)，Q(x,y)在闭区域D上连续，且有连续的一阶偏导数，则有??(D?Q?P?)d???Pdx?Qdy，这里L为区域D的边界曲线，并取正方向.

L?x?y格林公式沟通了沿闭曲线的积分与二重积分之间的联系. 例11 计算??eD?y2dxdy，其中D是以O(0,0)，A(1,1)，B(0,1)为顶点的三角形

闭区域.

解：令P?0，Q?xe?y，则

22?Q?P??e?y，应用格林公式有 ?x?y

?ye??dxdy?D211?y2?y2?x2?1xedy?xedy?xedx?(1?e). ???02OA?AB?BOOA3.3利用轮换法计算

当积分区域关于直线y?x对称时，有些二重积分可用轮换坐标的方法来简化计算.轮换坐标是换元法的一种特殊形式，即将x，y互换.将x，y 更换顺序后，相当于将坐标轴重新命名，积分区域没有发生变化，则被积函数作相应变换后，积分值不变.

x2y2 例12 求I???(2?2)dxdy，其中D为区域x2?y2?R2.

abD 解：积分区域关于直线y?x对称，根据轮换坐标对称性，将x，y互换，则

x2y2y2x2(2?2)dxdy???(2?2)dxdy??ababDD?1111?x2y2y2x2I????(2?2)dxdy???(2?2)dxdy??(2?2)??(x2?y2)dxdy

2?DababD?2abDR1112??R4112(?). ?(2?2)?d??rrdr?02ab04a2b2[第 12 页 共 22 页]

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3.4利用二重积分的几何意义计算

二重积分的几何意义是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的

取正，在xoy平面下方的取负[15].

例13 计算二重积分??a2?x2?y2d?，其中D:x2?y2?a2.

D 解：投影区域为圆域D:x2?y2?a2.被积函数为半球面z?a2?x2?y2.

142 由二重积分的几何意义得??a2?x2?y2d????a3??a3.

233D

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第4章 二重积分的应用

4.1计算曲面的面积

4.1.1曲面由显函数给出的情形

1.1设曲面方程为z?f(x,y)，在xoy面上的投影区域为D，设小区域d，??D点(x,y)?d?，T为S上过M(x,y,f(x,y))的切平面以d?边界为准线，母线平行于

z轴的小柱面，截曲面S为dS；截切平面T为dA，则有dA?dS．

?d?为dA在xoy面上的投影，?d??dA?cosr，

?cosr?11?fx2?fy2， ?dA?1?fx2?fy2d?曲面S的面积元素，

所以A???1?fx2?fy2d?.

D 曲面面积公式为：A???1?(Dxy?z2?z2)?()dxdy ?x?y同理可得

1.2设曲面的方程为：x?g(y,z) 曲面面积公式为：A???1?(Dyz?x2?x2)?()dydz ?y?z 1.3设曲面的方程为：y?h(z,x) 曲面面积公式为：A?Dzx??1?(?y2?y)?()2dzdx ?z?x4.1.2曲面由参数方程给出的情形

若曲面的方程是用参数给出 ，其中(u,v)??，?为封闭可求积的有界区域，假定函数x，y和z为在域?内连续可微分的函数，则对于曲面的面积有公式

S???EG?F2dudv

?222222其中E?xu，F?xuxv?yuyv?zuzv，G?xv． ?yu?zu?yv?zv 例14 求锥面z?x2?y2被柱面z2?2x所截部分的曲面面积．

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yD：x2?y2?2x，而 解：曲面在xo平面上的投影区域

?z??xxx?y22，

?z??yyx?y22 ，

则S???1?(D?z2?z2)?()dxdy?2??dxdy?2?． ?x?yD 例15 求球面上两条纬线和两条经线之间的曲面的面积．

解：球面的参数方程为x?Rcos?cos?，y?Rcos?sin?，z?Rsin?． 其中R为球的半径.本题是求当?1????2，?1????2时的球面部分面积．由

222于E?x??y??z??R2，F?0，G?R2cos2?， 故EG?F2?R2cos?．

于是，所求的面积为

2， S??d??R2co?ssin??(?2??1)(s?in?sin?)R21?2?2?1?1其中?1及?2为经线的经度，?1及?2为纬线的纬度．

4.2计算平面薄片的重心

y 设xo平面上有n个质点，它们分别位于(x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn)处，

质量分别为m1,m2,?,mn，则该质点系的重心的坐标为

miyiMxi??1?n? x?，y?． MM?mi?mii?1Myi?1ni?1?mixinnyD，在点(x,y)处的面密度为?(x,y)， 设有一平面薄片，占有xo面上的闭区域

假定?(x,y)在D上连续，则平面薄片的重心坐标为

x???x?(x,y)d?D???(x,y)d?D，y???y?(x,y)d?D???(x,y)d?D．

当薄片是均匀的，即面密度是常量，重心成为形心，则

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