2014年四川省绵阳市中考数学试卷及解析

2014年四川省绵阳市中考数学试卷

一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分） 1．（3分）（2016?阜新）2的相反数是（ ） A．﹣2 B．﹣ C．

D．2

2．（3分）（2014?绵阳）下列四个图案中，属于中心对称图形的是（ ）

A．

2

2

B．

2

C．

2

3

D．

2

3．（3分）（2014?绵阳）下列计算正确的是（ ） A．a?a=a B．a÷a=a C．a+a=a D．a﹣a=a 4．（3分）（2014?绵阳）若代数式A．x＜

B．x≤

C．x＞

有意义，则x的取值范围是（ ） D．x≥

5．（3分）（2014?绵阳）一儿童行走在如图所示的地板上，当他随意停下时，最终停在地板上阴影部分的概率是（ ）

A．

B．

C．

D．

6．（3分）（2014?绵阳）如图所示的正三棱柱，它的主视图是（ ）

A． B． C． D．

7．（3分）（2014?绵阳）线段EF是由线段PQ平移得到的，点P（﹣1，4）的对应点为E（4，7），则点Q（﹣3，1）的对应点F的坐标为（ ） A．（﹣8，﹣2） B．（﹣2，﹣2） C．（2，4） D．（﹣6，﹣1） 8．（3分）（2014?绵阳）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为（ ）

第1页（共24页）

A．40海里 B．40海里 C．80海里 D．40海里 9．（3分）（2014?绵阳）下列命题中正确的是（ ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形

C．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形

D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 10．（3分）（2014?绵阳）某商品的标价比成本价高m%，根据市场需要，该商品需降价n%出售，为了不亏本，n应满足（ ） A．n≤m

B．n≤

C．n≤

D．n≤

11．（3分）（2014?绵阳）在边长为正整数的△ABC中，AB=AC，且AB边上的中线CD将△ABC的周长分为1：2的两部分，则△ABC面积的最小值为（ ） A．

B．

C．

D．

12．（3分）（2014?绵阳）如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上一点，OQ⊥BC于点Q，过点B作半圆O的切线，交OQ的延长线于点P，PA交半圆O于R，则下列等式中正确的是（ ）

A．

=

B．

=

C．

=

D．

=

二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）

13．（4分）（2014?绵阳）2= ． 14．（4分）（2014?绵阳）“五一”小长假，以生态休闲为特色的绵阳近郊游倍受青睐．假期三天，我市主要景区景点人气火爆，据市旅游局统计，本次小长假共实现旅游收入5610万元，将这一数据用科学记数法表示为 元． 15．（4分）（2014?绵阳）如图，l∥m，等边△ABC的顶点A在直线m上，则∠α= ．

﹣2

第2页（共24页）

16．（4分）（2014?绵阳）如图，⊙O的半径为1cm，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则图中阴影部分面积为 cm．（结果保留π）

2

17．（4分）（2014?绵阳）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF=45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为 ．

18．（4分）（2014?绵阳）将边长为1的正方形纸片按图1所示方法进行对折，记第1次对折后得到的图形面积为S1，第2次对折后得到的图形面积为S2，…，第n次对折后得到的图形面积为Sn，请根据图2化简，S1+S2+S3+…+S2014= ．

三、解答题（共7小题，满分90分） 19．（16分）（2014?绵阳）（1）计算：（2014﹣

）+|3﹣

0

|﹣；

（2）化简：（1﹣）÷（﹣2）

20．（12分）（2014?绵阳）四川省“单独两孩”政策于2014年3月20日正式开始实施，该政策的实施可能给我们的生活带来一些变化，绵阳市人口计生部门抽样调查了部分市民（每个参与调查的市民必须且只能在以下6种变化中选择一项），并将调查结果绘制成如下统计图： B C D E F 种类 A 有利于延缓导致提升家增大社会基缓解男女促进人口与社会、资变化 社会老龄化人口庭抗风本公共服务比例不平源、环境的协调可持现象 暴增 险能力 的压力 衡现象 续发展 第3页（共24页）

根据统计图，回答下列问题：

（1）参与调查的市民一共有 人；

（2）参与调查的市民中选择C的人数是 人； （3）∠α= ； （4）请补全条形统计图． 21．（12分）（2014?绵阳）绵州大剧院举行专场音乐会，成人票每张20元，学生票每张5元，暑假期间，为了丰富广大师生的业余文化生活，影剧院制定了两种优惠方案，方案1：购买一张成人票赠送一张学生票；方案2：按总价的90%付款，某校有4名老师与若干名（不少于4人）学生听音乐会． （1）设学生人数为x（人），付款总金额为y（元），分别建立两种优惠方案中y与x的函数关系式；

（2）请计算并确定出最节省费用的购票方案．

22．（12分）（2014?绵阳）如图，已知反比例函数y=（k＞0）的图象经过点A（1，m），过点A作AB⊥y轴于点B，且△AOB的面积为1． （1）求m，k的值；

（2）若一次函数y=nx+2（n≠0）的图象与反比例函数y=的图象有两个不同的公共点，求实数n的取值范围．

23．（12分）（2014?绵阳）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，且满足

=

，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于D点，交AF的延长线于E点．

（1）求证：AE⊥DE；

（2）若tan∠CBA=，AE=3，求AF的长．

第4页（共24页）

24．（12分）（2014?绵阳）如图1，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，把矩形沿直线AC折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE． （1）求证：△DEC≌△EDA； （2）求DF的值；

（3）如图2，若P为线段EC上一动点，过点P作△AEC的内接矩形，使其顶点Q落在线段AE上，定点M、N落在线段AC上，当线段PE的长为何值时，矩形PQMN的面积最大？并求出其最大值．

25．（14分）（2014?绵阳）如图，抛物线y=ax+bx+c（a≠0）的图象过点M（﹣2，

2

），

顶点坐标为N（﹣1，），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P为抛物线对称轴上的动点，当△PBC为等腰三角形时，求点P的坐标；

（3）在直线AC上是否存在一点Q，使△QBM的周长最小？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

第5页（共24页）

2014年四川省绵阳市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分） 1．（3分）（2016?阜新）2的相反数是（ ） A．﹣2 B．﹣ C．

D．2

【分析】利用相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而得出答案． 【解答】解：2的相反数是﹣2． 故选：A．

【点评】此题主要考查了相反数的概念，正确把握定义是解题关键． 2．（3分）（2014?绵阳）下列四个图案中，属于中心对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

【分析】根据中心对称的概念和各图形的特点即可求解． 【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误； B、不是中心对称图形，故本选项错误； C、不是中心对称图形，故本选项错误； D、是中心对称图形，故本选项正确． 故选：D．

【点评】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 3．（3分）（2014?绵阳）下列计算正确的是（ ）

222232

A．a?a=a B．a÷a=a C．a+a=a D．a﹣a=a

【分析】根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法的知识求解即可求得答案．

23

【解答】解：A、aa=a，故A选项错误；

2

B、a÷a=a，故B选项正确；

23

C、a+a=a，不是同类项不能计算，故C选项错误；

2

D、a﹣a=a，不是同类项不能计算，故D选项错误； 故选：B．

【点评】本题主要考查合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法的知识，熟记法则是解题的关键．

4．（3分）（2014?绵阳）若代数式A．x＜

B．x≤

C．x＞

有意义，则x的取值范围是（ ） D．x≥

【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解． 【解答】解：由题意得，3x﹣1≥0，

第6页（共24页）

解得x≥．

故选：D．

【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数． 5．（3分）（2014?绵阳）一儿童行走在如图所示的地板上，当他随意停下时，最终停在地板上阴影部分的概率是（ ）

A．

B．

C．

D．

【分析】根据几何概率的求法：最终停留在黑色的方砖上的概率就是黑色区域的面积与总面积的比值．

【解答】解：观察这个图可知：黑色区域（3块）的面积占总面积（9块）的，故其概率为．

故选：A．

【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 6．（3分）（2014?绵阳）如图所示的正三棱柱，它的主视图是（ ）

A． B． C． D．

【分析】根据主视图是从物体正面看所得到的图形求解． 【解答】解：从几何体的正面看所得到的形状是矩形． 故选：B．

【点评】本题考查了几何体的三视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中． 7．（3分）（2014?绵阳）线段EF是由线段PQ平移得到的，点P（﹣1，4）的对应点为E（4，7），则点Q（﹣3，1）的对应点F的坐标为（ ） A．（﹣8，﹣2） B．（﹣2，﹣2） C．（2，4） D．（﹣6，﹣1）

【分析】首先根据P点的对应点为E可得点的坐标的变化规律，则点Q的坐标的变化规律与P点的坐标的变化规律相同即可．

【解答】解：∵点P（﹣1，4）的对应点为E（4，7），

第7页（共24页）

∴E点是P点横坐标+5，纵坐标+3得到的，

∴点Q（﹣3，1）的对应点F坐标为（﹣3+5，1+3）， 即（2，4）． 故选：C．

【点评】此题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，关键是掌握把一个图形平移后，各点的变化规律都相同． 8．（3分）（2014?绵阳）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为（ ）

A．40海里 B．40海里 C．80海里 D．40海里

【分析】过点P作垂直于AB的辅助线PC，利三角函数解三角形，即可得出答案． 【解答】解：过点P作PC⊥AB于点C，

由题意可得出：∠A=30°，∠B=45°，AP=80海里， 故CP=AP=40（海里）， 则PB=故选：A．

=40

（海里）．

【点评】此题主要考查了方向角问题以及锐角三角函数关系等知识，得出各角度数是解题关键． 9．（3分）（2014?绵阳）下列命题中正确的是（ ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形

C．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形

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D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形

【分析】根据根据矩形、菱形、正方形和平行四边形的判定方法对各选项进行判断． 【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，所以A选项错误； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以B选项错误；

C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以C选项正确； D、一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，所以D选项错误． 故选：C．

【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理． 10．（3分）（2014?绵阳）某商品的标价比成本价高m%，根据市场需要，该商品需降价n%出售，为了不亏本，n应满足（ ） A．n≤m

B．n≤

C．n≤

D．n≤

【分析】根据最大的降价率即是保证售价大于等于成本价，进而得出不等式即可． 【解答】解：设成本为a元，由题意可得：a（1+m%）（1﹣n%）﹣a≥0， 则（1+m%）（1﹣n%）﹣1≥0， 去括号得：1﹣n%+m%﹣整理得：100n+mn≤100m， 故n≤

．

﹣1≥0，

故选：B．

【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用，得出正确的不等关系是解题关键． 11．（3分）（2014?绵阳）在边长为正整数的△ABC中，AB=AC，且AB边上的中线CD将△ABC的周长分为1：2的两部分，则△ABC面积的最小值为（ ） A．

B．

C．

D．

【分析】设这个等腰三角形的腰为x，底为y，分为的两部分边长分别为n和2n，再根据题意列出关于x、n、y的方程组，用n表示出x、y的值，由三角形的三边关系舍去不符合条件的x、y的值，由n是正整数求出△ABC面积的最小值即可．

【解答】解：设这个等腰三角形的腰为x，底为y，分为的两部分边长分别为n和2n，得

或，

解得或，

∵2×＜（此时不能构成三角形，舍去）

第9页（共24页）

∴取，其中n是3的倍数

∴三角形的面积S△=××

=

n，对于S△=

取最小．

2

n=

2

n，

2

当n＞0时，S△随着n的增大而增大，故当n=3时，S△=

故选：C．

【点评】本题考查的是三角形的面积及三角形的三边关系，根据题意列出关于x、n、y的方程组是解答此题的关键． 12．（3分）（2014?绵阳）如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上一点，OQ⊥BC于点Q，过点B作半圆O的切线，交OQ的延长线于点P，PA交半圆O于R，则下列等式中正确的是（ ）

A．

=

B．

=

C．

=

D．

=

，也就有

，可得△OAQ

【分析】（1）连接AQ，易证△OQB∽△OBP，得到

∽OPA，从而有∠OAQ=∠APO．易证∠CAP=∠APO，从而有∠CAP=∠OAQ，则有∠CAQ=∠BAP，从而可证△ACQ∽△ABP，可得（2）由△OBP∽△OQB得（3）连接OR，易得（4）由

=，

，即=2，得到

，所以A正确． ，由AQ≠OP得

，故B不正确．

，由AB≠AP得

，

，故C不正确．

及AC=2OQ，AB=2OB，OB=OR可得

故D不正确． 【解答】解：（1）连接AQ，如图1，

∵BP与半圆O切于点B，AB是半圆O的直径， ∴∠ABP=∠ACB=90°． ∵OQ⊥BC， ∴∠OQB=90°．

∴∠OQB=∠OBP=90°． 又∵∠BOQ=∠POB， ∴△OQB∽△OBP．

第10页（共24页）

∴．

∵OA=OB， ∴

．

又∵∠AOQ=∠POA， ∴△OAQ∽△OPA． ∴∠OAQ=∠APO． ∵∠OQB=∠ACB=90°， ∴AC∥OP．

∴∠CAP=∠APO． ∴∠CAP=∠OAQ． ∴∠CAQ=∠BAP． ∵∠ACQ=∠ABP=90°， ∴△ACQ∽△ABP． ∴

．

故A正确． （2）如图1，

∵△OBP∽△OQB， ∴． ∴

．

∵AQ≠OP， ∴

．

故C不正确．

（3）连接OR，如图2所示．∵OQ⊥BC， ∴BQ=CQ． ∵AO=BO， ∴OQ=AC． ∵OR=AB． ∴=，=2．

∴≠

． ∴

． 故B不正确． （4）如图2，

第11页（共24页）

∵，

且AC=2OQ，AB=2OB，OB=OR， ∴

．

∵AB≠AP， ∴

．

故D不正确． 故选：A．

【点评】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、垂径定理、三角形的中位线等知识，综合性较强，有一定的难度．

二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分） 13．（4分）（2014?绵阳）2=．

【分析】根据负整数指数幂的运算法则直接进行计算即可． 【解答】解：2=故答案为：．

【点评】本题主要考查负整数指数幂，幂的负整数指数运算，先把底数化成其倒数，然后将负整数指数幂当成正的进行计算． 14．（4分）（2014?绵阳）“五一”小长假，以生态休闲为特色的绵阳近郊游倍受青睐．假期三天，我市主要景区景点人气火爆，据市旅游局统计，本次小长假共实现旅游收入5610万元，将这一数据用科学记数法表示为5.61×10元．

7

﹣2

﹣2

=．

第12页（共24页）

【分析】科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

7

【解答】解：将5610万元用科学记数法表示为：5.61×10．

7

故答案为：5.61×10．

n

【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 15．（4分）（2014?绵阳）如图，l∥m，等边△ABC的顶点A在直线m上，则∠α=20°．

n

【分析】延长CB交直线m于D，根据两直线平行，内错角相等解答即可，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠α． 【解答】解：如图，延长CB交直线m于D， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=60°， ∵l∥m， ∴∠1=40°．

∴∠α=∠ABC﹣∠1=60°﹣40°=20°． 故答案为：20°．

【点评】本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质，熟记性质并作辅助线是解题的关键，也是本题的难点． 16．（4分）（2014?绵阳）如图，⊙O的半径为1cm，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则图中阴影部分面积为

cm．（结果保留π）

2

【分析】根据图形分析可得求图中阴影部分面积实为求扇形部分面积，将原图阴影部分面积转化为扇形面积求解即可．

【解答】解：如图所示：连接BO，CO，

第13页（共24页）

∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，

∴AB=BC=CO=1，∠ABC=120°，△OBC是等边三角形， ∴CO∥AB，

在△COW和△ABW中

，

∴△COW≌△ABW（AAS）， ∴图中阴影部分面积为：S扇形OBC=故答案为：

．

=

．

【点评】此题主要考查了正多边形和圆以及扇形面积求法，得出阴影部分面积=S扇形OBC是解题关键． 17．（4分）（2014?绵阳）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF=45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为2．

【分析】根据旋转的性质得出∠EAF′=45°，进而得出△FAE≌△EAF′，即可得出EF+EC+FC=FC+CE+EF′=FC+BC+BF′=4，得出正方形边长即可． 【解答】解：将△DAF绕点A顺时针旋转90度到△BAF′位置， 由题意可得出：△DAF≌△BAF′， ∴DF=BF′，∠DAF=∠BAF′， ∴∠EAF′=45°，

在△FAE和△EAF′中

，

∴△FAE≌△EAF′（SAS）， ∴EF=EF′，

∵△ECF的周长为4，

∴EF+EC+FC=FC+CE+EF′=FC+BC+BF′=DF+FC+BC=4，

第14页（共24页）

∴2BC=4， ∴BC=2．

故答案为：2．

【点评】此题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△FAE≌△EAF′是解题关键． 18．（4分）（2014?绵阳）将边长为1的正方形纸片按图1所示方法进行对折，记第1次对折后得到的图形面积为S1，第2次对折后得到的图形面积为S2，…，第n次对折后得到的图形面积为Sn，请根据图2化简，S1+S2+S3+…+S2014=1﹣

．

【分析】观察图形的变化发现每次折叠后的面积与正方形的关系，从而写出面积和的通项公式．

【解答】解：观察发现S1+S2+S3+…+S2014=+++…+故答案为：1﹣

．

=1﹣

，

【点评】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形的变化，并找到图形的变化规律．

三、解答题（共7小题，满分90分） 19．（16分）（2014?绵阳）（1）计算：（2014﹣

）+|3﹣

0

|﹣；

（2）化简：（1﹣）÷（﹣2）

【分析】（1）根据零指数幂和分母有理化得到原式=1+2﹣3﹣2，然后合并即可； （2）先把前面括号内通分，再把分子分母因式分解和除法运算化为乘法运算，然后约分即可．

【解答】解：（1）原式=1+2﹣3﹣2 =﹣2；

第15页（共24页）

（2）原式=÷

=?

=．

【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂和分式的混合运算． 20．（12分）（2014?绵阳）四川省“单独两孩”政策于2014年3月20日正式开始实施，该政策的实施可能给我们的生活带来一些变化，绵阳市人口计生部门抽样调查了部分市民（每个参与调查的市民必须且只能在以下6种变化中选择一项），并将调查结果绘制成如下统计图： B C D E F 种类 A 有利于延缓导致提升家增大社会基缓解男女促进人口与社会、资变化 社会老龄化人口庭抗风本公共服务比例不平源、环境的协调可持现象 暴增 险能力 的压力 衡现象 续发展

根据统计图，回答下列问题：

（1）参与调查的市民一共有2000人；

（2）参与调查的市民中选择C的人数是400人； （3）∠α=54°；

（4）请补全条形统计图． 【分析】（1）根据A类的有700人，所占的比例是35%，据此即可求得总人数； （2）利用总人数乘以对应的比例即可求解； （3）利用360°乘以对应的比例即可求解；

（4）利用总人数乘以对应的比例求得D类的人数，然后根据（1）即可作出统计图． 【解答】解：（1）参与调查的市民一共有：700÷35%=2000（人）；

（2）参与调查的市民中选择C的人数是：2000×（1﹣35%﹣5%﹣10%﹣15%﹣15%）=400（人）；

（3）∠α=360°×15%=54°；

（4）D的人数：2000×10%=200（人）．

第16页（共24页）

【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据． 21．（12分）（2014?绵阳）绵州大剧院举行专场音乐会，成人票每张20元，学生票每张5元，暑假期间，为了丰富广大师生的业余文化生活，影剧院制定了两种优惠方案，方案1：购买一张成人票赠送一张学生票；方案2：按总价的90%付款，某校有4名老师与若干名（不少于4人）学生听音乐会． （1）设学生人数为x（人），付款总金额为y（元），分别建立两种优惠方案中y与x的函数关系式；

（2）请计算并确定出最节省费用的购票方案． 【分析】（1）首先根据优惠方案①：付款总金额=购买成人票金额+除去4人后的学生票金额；

优惠方案②：付款总金额=（购买成人票金额+购买学生票金额）×打折率，列出y关于x的函数关系式，

（2）根据（1）的函数关系式求出当两种方案付款总金额相等时，购买的票数．再就三种情况讨论． 【解答】解：（1）按优惠方案①可得 y1=20×4+（x﹣4）×5=5x+60（x≥4）， 按优惠方案②可得

y2=（5x+20×4）×90%=4.5x+72（x≥4）；

（2）因为y1﹣y2=0.5x﹣12（x≥4），

①当y1﹣y2=0时，得0.5x﹣12=0，解得x=24， ∴当购买24张票时，两种优惠方案付款一样多． ②当y1﹣y2＜0时，得0.5x﹣12＜0，解得x＜24， ∴4≤x＜24时，y1＜y2，优惠方案①付款较少． ③当y1﹣y2＞0时，得0.5x﹣12＞0，解得x＞24， 当x＞24时，y1＞y2，优惠方案②付款较少． 【点评】本题根据实际问题考查了一次函数的运用．解决本题的关键是根据题意正确列出两种方案的解析式，进而计算出临界点x的取值，再进一步讨论．

22．（12分）（2014?绵阳）如图，已知反比例函数y=（k＞0）的图象经过点A（1，m），过点A作AB⊥y轴于点B，且△AOB的面积为1． （1）求m，k的值；

第17页（共24页）

（2）若一次函数y=nx+2（n≠0）的图象与反比例函数y=的图象有两个不同的公共点，求实数n的取值范围．

【分析】（1）根据三角形的面积公式即可求得m的值；

（2）若一次函数y=nx+2（n≠0）的图象与反比例函数y=的图象有两个不同的公共点，则方程=nx+2有两个不同的解，利用根的判别式即可求解． 【解答】解：（1）由已知得：S△AOB=×1×m=1， 解得：m=2，

把A（1，2）代入反比例函数解析式得：k=2；

（2）由（1）知反比例函数解析式是y=，

由题意得：有两个不同的解，即=nx+2有两个不同的解，

2

方程去分母，得：nx+2x﹣2=0， 则△=4+8n＞0， 解得：n＞﹣且n≠0．

【点评】本题综合考查反比例函数与方程组的相关知识点．先由点的坐标求函数解析式，然后解由解析式组成的方程组求出交点的坐标，体现了数形结合的思想． 23．（12分）（2014?绵阳）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，且满足

=

，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于D点，交AF的延长线于E点．

（1）求证：AE⊥DE；

（2）若tan∠CBA=，AE=3，求AF的长．

第18页（共24页）

【分析】（1）首先连接OC，由OC=OA，=，易证得OC∥AE，又由DE切⊙O于点C，

易证得AE⊥DE；

（2）由AB是⊙O的直径，可得△ABC是直角三角形，易得△AEC为直角三角形，根据AE=3求得AC的长，然后连接OF，可得△OAF为等边三角形，知AF=OA=中，利用已知条件求得答案． 【解答】（1）证明：连接OC， ∵OC=OA，

∴∠BAC=∠OCA， ∵

=

，

，在△ACB

∴∠BAC=∠EAC，

∴∠EAC=∠OCA， ∴OC∥AE，

∵DE切⊙O于点C， ∴OC⊥DE， ∴AE⊥DE；

（2）解：∵AB是⊙O的直径， ∴△ABC是直角三角形， ∵tan∠CBA=， ∴∠CBA=60°，

∴∠BAC=∠EAC=30°，

∵△AEC为直角三角形，AE=3， ∴AC=2， 连接OF，

∵OF=OA，∠OAF=∠BAC+∠EAC=60°， ∴△OAF为等边三角形， ∴AF=OA=AB， 在Rt△ACB中，AC=2∴BC=2， ∴AB=4， ∴AF=2．

，tan∠CBA=

，

【点评】此题考查了切线的性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质以及圆周角定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．

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24．（12分）（2014?绵阳）如图1，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，把矩形沿直线AC折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE． （1）求证：△DEC≌△EDA； （2）求DF的值；

（3）如图2，若P为线段EC上一动点，过点P作△AEC的内接矩形，使其顶点Q落在线段AE上，定点M、N落在线段AC上，当线段PE的长为何值时，矩形PQMN的面积最大？并求出其最大值．

【分析】（1）由矩形和翻折的性质可知AD=CE，DC=EA，根据“SSS”可求得△DEC≌△EDA； （2）根据勾股定理即可求得．

（3）由矩形PQMN的性质得PQ∥CA，所以=

，从而求得PQ，由PN∥EG，得出

，求得PN，然后根据矩形的面积公式求得解析式，即可求得．

【解答】（1）证明：由矩形和翻折的性质可知：AD=CE，DC=EA， 在△ADE与△CED中，

∴△DEC≌△EDA（SSS）；

（2）解：如图1，

∵∠ACD=∠BAC，∠BAC=∠CAE， ∴∠ACD=∠CAE， ∴AF=CF，

设DF=x，则AF=CF=4﹣x，

222

在Rt△ADF中，AD+DF=AF，

222即3+x=（4﹣x）， 解得：x=， 即DF=．

（3）解：如图2，由矩形PQMN的性质得PQ∥CA ∴

=5

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又∵CE=3，AC=

设PE=x（0＜x＜3），则，即PQ=

过E作EG⊥AC于G，则PN∥EG， ∴

=

，

又∵在Rt△AEC中，EG?AC=AE?CE，解得EG=∴

=

，即PN=（3﹣x），

设矩形PQMN的面积为S， 则S=PQ?PN=﹣x+4x=﹣

2

+3（0＜x＜3）

所以当x=，即PE=时，矩形PQMN的面积最大，最大面积为3．

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，平行线分线段成比例定理．

25．（14分）（2014?绵阳）如图，抛物线y=ax+bx+c（a≠0）的图象过点M（﹣2，顶点坐标为N（﹣1，

），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．

2

），

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P为抛物线对称轴上的动点，当△PBC为等腰三角形时，求点P的坐标；

（3）在直线AC上是否存在一点Q，使△QBM的周长最小？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）先由抛物线的顶点坐标为N（﹣1，再将M（﹣2，的解析式；

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），可设其解析式为y=a（x+1）+

2

，

）代入，得=a（﹣2+1）+

2

，解方程求出a的值即可得到抛物线

（2）先求出抛物线y=﹣据勾股定理得到BC=

x﹣

=2

2

x+与x轴交点A、B，与y轴交点C的坐标，再根

．设P（﹣1，m），当△PBC为等腰三角形时分三种

情况进行讨论：①CP=CB；②BP=BC；③PB=PC；

（3）先由勾股定理的逆定理得出BC⊥AC，连结BC并延长至B′，使B′C=BC，连结B′M，交直线AC于点Q，由轴对称的性质可知此时△QBM的周长最小，由B（﹣3，0），C（0，），根据中点坐标公式求出B′（3，2），再运用待定系数法求出直线MB′的解析式为

y=x+，直线AC的解析式为y=﹣x+，然后解方程组，即可

求出Q点的坐标．

【解答】解：（1）由抛物线顶点坐标为N（﹣1，将M（﹣2，解得a=﹣

）代入，得，

x﹣

2

），可设其解析式为y=a（x+1）+，

2

，

=a（﹣2+1）+

2

故所求抛物线的解析式为y=﹣

（2）∵y=﹣

x﹣

2

x+；

x+，

∴x=0时，y=， ∴C（0，）． y=0时，﹣

x﹣

2

x+=0，

解得x=1或x=﹣3， ∴A（1，0），B（﹣3，0）， ∴BC=

设P（﹣1，m）， 当CP=CB时，有CP=当BP=BC时，有BP=当PB=PC时，

=

=2=2

，解得m=

±

； ；

=2

．

，解得m=±2

，解得m=0，

+

），（﹣1，

﹣

），（﹣

综上，当△PBC为等腰三角形时，点P的坐标为（﹣1，1，2），（﹣1，﹣2），（﹣1，0）；

（3）由（2）知BC=2，AC=2，AB=4，

222

所以BC+AC=AB，即BC⊥AC．

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连结BC并延长至B′，使B′C=BC，连结B′M，交直线AC于点Q， ∵B、B′关于直线AC对称， ∴QB=QB′，

∴QB+QM=QB′+QM=MB′， 所以此时△QBM的周长最小． 由B（﹣3，0），C（0，），易得B′（3，2）． 设直线MB′的解析式为y=kx+n， 将M（﹣2，），B′（3，2）代入，

得，解得，

即直线MB′的解析式为y=x+． x+

．

同理可求得直线AC的解析式为y=﹣

由，解得，即Q（﹣，）．

所以在直线AC上存在一点Q（﹣，），使△QBM的周长最小．

【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，等腰三角形的性质，轴对称的性质，中点坐标公式，两函数交点坐标的求法等知识，运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．

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2016年9月8日

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