第三讲 线面、面面垂直的判定与性质

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第三讲 线面、面面垂直 线面、 的判定与性质

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确定点的射影位置有以下几种方法： 确定点的射影位置有以下几种方法：① 斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线 在平面的射影上； 在平面的射影上； ② 如果一个角所在的平面外一点到角的两边距 离相等， 离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角 的平分线上； 的平分线上； 如果一条直线与一个角的两边的夹角相等， 如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那 么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分 线上； 线上； ③两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个 两个平面相互垂直， 平面上的射影一定落在这两个平面的交线上； 平面上的射影一定落在这两个平面的交线上；

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利用某些特殊三棱锥的有关性质， 利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定 顶点在底面上的射影的位置： 顶点在底面上的射影的位置：a.如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那 如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等， 如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等 么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心； 么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心； b. 如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面 所成的角相等， 所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是 底面三角形的内心(或旁心 或旁心); 底面三角形的内心 或旁心 ； c. 如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直，那么 如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直， 顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心； 顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心；

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例题是两条异面直线， 【例1】 ⑴设a,b是两条异面直线，在下列命 】 , 是两条异面直线 题中正确的是( 题中正确的是( C ) A.有且仅有一条直线与 ，b都垂直； B.有一 有且仅有一条直线与a, 都垂直 都垂直； 有且仅有一条直线与 有一 个平面与a, 都垂直 都垂直； 个平面与 ，b都垂直； C.过直线 有且仅有一个平面与 平行；D.过空 过直线a有且仅有一个平面与 平行； 过空 过直线 有且仅有一个平面与b平行 间中任一点必可作一条直线与a, 都相交 都相交. 间中任一点必可作一条直线与 ，b都相交 是直线,α,β是平面，给出下列命题 是平面， ⑵已知m,l是直线 已知 是直线 是平面 给出下列命题: A.若l垂直于 内的两条相交直线，则l⊥α; B. 垂直于α内的两条相交直线 若 垂直于 内的两条相交直线， ⊥ ; 平行于α, 平行于 内的所有直线； 平行于α内的所有直线 若l平行于 ，则l平行于 内的所有直线； 平行于 C.四面体中最多可以有四个面是直角三角形 四面体中最多可以有四个面是直

角三角形; 四面体中最多可以有四个面是直角三角形 D.若m α且l⊥β, 且α∥β则m⊥l 若 且⊥ , ∥ 则 ⊥ 。 其中正确命题的是 A C D

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是平面α ⑶α,β是两个不同的平面，m ,n是平面α及β之 α,β是两个不同的平面， 是两个不同的平面 外两条不同的直线，给出四个论断： 外两条不同的直线，给出四个论断： n⊥α; (A)m∥n (B)m∥β (C)α⊥β (D)n⊥α; 以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论， 以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，

ABD 写出你认为正确的一个命题_______ 写出你认为正确的一个命题_______ C或ACD B

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ABCD—A 【例1】如图，在棱长为a 的正方体ABCD A1B1C1D1 如图，在棱长为a 的正方体ABCD 分别为D AB的中点 的中点。 中，E、F分别为D1C1与AB的中点。 与截面A ECF所成的角 所成的角； ①求A1B1与截面A1ECF所成的角； 求点B到截面A ECF的距离 的距离. ②求点B到截面A1ECF的距离.

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如图PA 平面ABCD 四边形ABCD PA⊥ ABCD, ABCD是矩 例2:如图PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩 PA=AD=a, 分别是AB AB、 形，PA=AD=a,AB= 3a ,M、N分别是AB、 PC的中点 的中点， 求证：MN 平面PCD; :MN⊥ PC的中点，(1)求证：MN⊥平面PCD; 求点A 到平面PCB PCB的距离 AC与平面 与平面PDC ( 2 ) 求点 A 到平面 PCB 的距离 ； ( 3 ) 求 AC 与平面 PDC 所成角的正弦值( 求平面PCD与平面ABCD PCD与平面 所成角的正弦值(4)求平面PCD与平面ABCD

所成二面角的大小； 所成二面角的大小；求点到面的距离的常用 P 方法( )直接法( 方法(1)直接法(一般 先作点到线的距离， 先作点到线的距离，再 证明所作的点到线的距 离就是点到面的距离) 离就是点到面的距离) (2)利用等体积法求点 A ) 到面的距离 E D N H C B

M

也是求斜线与平面所成角的 方法

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例3.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ΔABC是 如图， 在直三棱柱ABC底面ΔABC是 ABC ΔABC ABC=90 直 角 三 角 形 ， ∠ ABC=900 , 2AB=BC=BB1=a , 且 截面ABC 与截面A A1C∩AC1=D , BC1∩B1C=E , 截面 ABC1 与截面 A1B1C 交 DE。 于DE。 平面BB (1)A1B1⊥平面BB1C1C; (2)求证：A1C⊥BC1; 求证： (3)求证：DE⊥平面BB1C1C。 求证：DE⊥平面BB 平面

思维点拨： 思维点拨：选择恰当 方法证明线面垂直。

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【例4】已知正三棱柱 】已知正三棱柱ABC—A1B1C1,若过面对角线 AB1与另一面对角线 1平行的平面交上底面 1B1C1的 与另一面对角线BC 平行的平面交上底面A 一边A 于点D. 一边 1C1于点 的位置， (1)确定 的位置，并证明

你的结论； )确定D的位置 并证明你的结论； (2)证明：平面 1D⊥平面 1D; )证明：平面AB ⊥平面AA ; 求平面AB 与平面 与平面AB (3)若AB∶AA1= 2 ,求平面 1D与平面 1A1所 ) ∶ C1 成角的大小. 成角的大小A1 B1

C A B

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1.如图， ABE, 的正方形， 1.如图， ⊥平面 ABE, 如图 AD⊥ AD 四边形 ABCD 是边长为 2D 的正方形， AE=BE, 上的点， BF⊥ ACE. AE=BE,F 为 CE 上的点，且 BF⊥平面 ACE. (1)求证 求证： BCE; (1)求证： AE ⊥ 平面 BCE; (2)求点 (2)求点 E 到平面 ABCD 的距离 (2)求 所成角的正弦值. (2)求直线 DA 与平面 ACE 所成角的正弦值.A

C

F B

E 2.已.知直三棱柱 已 知直三棱柱 知直三棱柱ABC-A1B1C1中， ∠ACB=900,CB=1,CA= 3 ,AA1= 6 ,M是侧棱 C 是侧棱 1 CC1的中点，( )求证：AM⊥BA1;( )求点 的中点，( ,(1)求证： ;(2) ⊥ C到平面 到平面ABM的距离 到平面 的距离 A1 M

B1

C A B

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如图： 的底面ABCD是正方形， 是正方形， 例5.如图：已知四棱锥 如图 已知四棱锥S-ABCD的底面 的底面 是正方形 SA ⊥底面 底面ABCD, , (1)求证：BD⊥SC;(2)设SA=4,AB=2,求点 到平面 求证： ⊥ 求点A到平面 求证 设 求点 到平面SBD 的距离 S

A B C

D

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在正方体ABCD ABCD—A 例6:如图 ，在正方体ABCD A1B1C1D1 中，M 的中点，AC交BD于点 于点O 求证： O⊥平面 为CC1的中点，AC交BD于点O,求证：A1O⊥平面 MBD 。

利用勾股定理 利用勾股定理 得到线线垂直

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练习:已知 ⊥⊙ 所在的平面， 是 的的直径， 练习 已知PA⊥⊙ 所在的平面，AB是⊙O的的直径， 已知 ⊥⊙O所在的平面 的的直径 C是⊙O上异于 ，B的任意一点，过A作AE⊥PC于点 上异于A, 的任意一点 的任意一点， 是 上异于 作 ⊥ 于点 E,求证：AE⊥平面 ，求证： ⊥平面PBC; ;

P

E A C

O B

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练习. 如图， 为直角梯形， 练习 . 如图 ， ABCD 为直角梯形 ， ∠ DAB=∠ABC= , 90 0 PA⊥ 平面 ABCD , PA=a 。 ( 1 ) 求 AB=BC=a, AD=2 平面ABCD AB=BC=a , AD=2a , PA⊥平面 ABCD, PA=a。 PC⊥CD。 求点B到直线PC的距离。 PC的距离 证：PC⊥CD。(2)求点B到直线PC的距离。

P132 反馈练习1 反馈练习

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【作业】 作业】

1.△ABC 的三边长分别为 3、4、5,P 为面 ABC 外一 △ 、 、 , 点，它到三边的距离都等于 2, P 到面 ABC 的距离 ，则 是________. .2.在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中，B1C1=A1C1,A1B⊥ 在直三棱柱 — ⊥ AC1,求证：A1B⊥B1C. 求证： ⊥D 11 已知： 3.已知：正方体 ABCD-A1BC1D1 , AA1=2 ,E 已知

C1

的中点. (Ⅰ 求证： 1 (Ⅱ 为棱 CC1的中点. Ⅰ) 求证：BD1 ⊥ AE ; Ⅱ)1 求证： 求证：AC // 平面 BDE ; Ⅲ) ( 求三棱锥 A-BDE

A 1

B 1 D

E

C B

的体积. 的体积.

A

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