MATLAB 函数解优化问题

MATLAB 函数在优化问题中的应用

§1 线性规划模型

一、线性规划课题：

实例1：生产计划问题

假设某厂计划生产甲、乙两种产品，现库存主要材料有A类3600公斤，B类2000公斤，C类3000公斤。每件甲产品需用材料A类9公斤，B类4公斤，C类3公斤。每件乙产品，需用材料A类4公斤，B类5公斤，C类10公斤。甲单位产品的利润70元，乙单位产品的利润120元。问如何安排生产，才能使该厂所获的利润最大。

建立数学模型：

设x1、x2分别为生产甲、乙产品的件数。f为该厂所获总润。 max f=70x1+120x2 s.t 9x1+4x2≤3600 4x1+5x2≤2000 3x1+10x2≤3000 x1,x2≥0 实例2：投资问题

某公司有一批资金用于4个工程项目的投资，其投资各项目时所得的净收益(投入资金锪百分比)如下表：

工程项目收益表

工程项目 收益(%) 由于某种原因，决定用于项目A的投资不大于其他各项投资之和而用于项目B和C的投资要大于项目D的投资。试确定全文该公司收益最大的投资分配方案。

建立数学模型：

15 10 8 12 A B C D 设x1、 x2 、x3 、x4分别代表用于项目A、B、C、D的投资百分数。 max f=0.15x1+0.1x2+0.08 x3+0.12 x4 s.t x1-x2- x3- x4≤0 x2+ x3- x4≥0 x1+x2+x3+ x4=1 xj≥0 j=1,2,3,4 实例3：运输问题

有A、B、C三个食品加工厂，负责供给甲、乙、丙、丁四个市场。三个厂每天生产食品箱数上限如下表：

工厂 生产数 四个市场每天的需求量如下表：

市场 需求量 从各厂运到各市场的运输费(元/每箱)由下表给出：

收 点 发 点 甲 乙 市 场 丙 丁 甲 20 乙 35 丙 33 丁 34 A 60 B 40 C 50 工 厂 A B C 2 1 3 1 3 4 3 2 1 2 1 1 求在基本满足供需平衡的约束条件下使总运输费用最小。 建立数学模型：

设ai j为由工厂i运到市场j的费用，xi j 是由工厂i运到市场j的箱数。bi是工厂i的产量，dj是市场j的需求量。

[endif]-->

s.t

x i j≥0

当我们用MATLAB软件作优化问题时，所有求maxf 的问题化为求min(-f )来作。约束g i (x)≥0，化为 –g i≤0来作。

上述实例去掉实际背景，归结出规划问题：目标函数和约束条件都是变量x的线性函数。 形如： (1) min f T X s.t A X≤b

Aeq X =beq lb≤X≤ub

其中X为n维未知向量，f T=[f1,f2,…fn]为目标函数系数向量，小于等于约束系数矩阵A为m×n矩阵，b为其右端m维列向量，Aeq为等式约束系数矩阵，beq为等式约束右端常数列向量。lb,ub为自变量取值上界与下界约束的n维常数向量。

二．线性规划问题求最优解函数：

调用格式： x=linprog(f,A,b) x=linprog(f,A,b,Aeq,beq) x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) [x,fval]=linprog(…)

[x, fval, exitflag]=linprog(…) [x, fval, exitflag, output]=linprog(…) [x, fval, exitflag, output, lambda]=linprog(…) 说明：x=linprog(f,A,b)返回值x为最优解向量。

x=linprog(f,A,b,Aeq,beq) 作有等式约束的问题。若没有不等式约束，则令A=[ ]、b=[ ] 。

x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) 中lb ,ub为变量x的下界和上界，x0为初值点，options为指定优化参数进行最小化。 Options的参数描述：

Display 显示水平。 选择’off’ 不显示输出；选择’iter’显示每一 步迭代过程的输出；选择’final’ 显示最终结果。

MaxFunEvals 函数评价的最大允许次数 Maxiter 最大允许迭代次数 TolX x处的终止容限

[x,fval]=linprog(…) 左端 fval 返回解x处的目标函数值。

[x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(f,A,b, Aeq,beq,lb,ub,x0) 的输出部分：

exitflag 描述函数计算的退出条件：若为正值，表示目标函数收敛于解x处；若为负值，表示目标函数不收敛；若为零值，表示已经达到函数评价或迭代的最大次数。

output 返回优化信息：output.iterations表示迭代次数；output.algorithm表示所采用的算法；outprt.funcCount表示函数评价次数。

lambda 返回x处的拉格朗日乘子。它有以下属性： lambda.lower-lambda的下界； lambda.upper-lambda的上界； lambda.ineqlin-lambda的线性不等式； lambda.eqlin-lambda的线性等式。

三． 举例

例1：求解线性规划问题： max f=2x1+5x2

s.t

先将目标函数转化成最小值问题：min(-f)=- 2x1-5x2 程序： f=[-2 -5]; A=[1 0;0 1;1 2]; b=[4;3;8];

[x,fval]=linprog(f,A,b) f=fval*(-1) 结果： x = 2 3

fval = -19.0000

maxf = 19

例2：minf=5x1-x2+2x3+3x4-8x5

s.t –2x1+x2-x3+x4-3x5≤6 2x1+x2-x3+4x4+x5≤7 0≤xj≤15 j=1,2,3,4,5 程序：

f=[5 -1 2 3 -8];

A=[-2 1 -1 1 -3;2 1 -1 4 1]; b=[6;7]; lb=[0 0 0 0 0]; ub=[15 15 15 15 15];

[x,fval]=linprog(f,A,b,[],[],lb,ub) 结果：x = 0.0000 0.0000 8.0000 0.0000 15.0000

minf =

-104

例3：求解线性规划问题：

minf=5x1+x2+2x3+3x4+x5

s.t –2x1+x2-x3+x4-3x5≤1

2x1+3x2-x3+2x4+x5≤-2 0≤xj≤1 j=1,2,3,4,5 程序：

f=[5 1 2 3 1];

A=[-2 1 -1 1 -3;2 3 -1 2 1]; b=[1;-2]; lb=[0 0 0 0 0]; ub=[1 1 1 1 1];

[x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(f,A,b,[],[],lb,ub) 运行结果：

Exiting: One or more of the residuals, duality gap, or total relative error has grown 100000 times greater than its minimum value so far: the primal appears to be infeasible (and the dual unbounded). (The dual residual < TolFun=1.00e-008.)

x = 0.0000 0.0000 1.1987 0.0000 0.0000

fval = 2.3975

exitflag = -1

output =

iterations: 7 cgiterations: 0 algorithm: 'lipsol'

lambda =

ineqlin: [2x1 double] eqlin: [0x1 double] upper: [5x1 double] lower: [5x1 double]

显示的信息表明该问题无可行解。所给出的是对约束破坏最小的解。 例4：求解实例1的生产计划问题 建立数学模型：

设x1、x2分别为生产甲、乙产品的件数。f为该厂所获总润。 max f=70x1+120x2 s.t 9x1+4x2≤3600 4x1+5x2≤2000 3x1+10x2≤3000 x1,x2≥0

将其转换为标准形式：

min f=-70x1-120x2 s.t 9x1+4x2≤3600 4x1+5x2≤2000 3x1+10x2≤3000 x1,x2≥0

程序： f=[-70 -120]; A=[9 4 ;4 5;3 10 ]; b=[3600;2000;3000]; lb=[0 0]; ub=[];

[x,fval,exitflag]=linprog(f,A,b,[],[],lb,ub) maxf=-fval 结果： x = 200.0000 240.0000

fval =

-4.2800e+004

exitflag = 1 maxf =

4.2800e+004

例5：求解实例2 建立数学模型：

max f=0.15x1+0.1x2+0.08 x3+0.12 x4 s.t x1-x2- x3- x4≤0 x2+ x3- x4≥0 x1+x2+x3+ x4=1

xj≥0 j=1,2,3,4 将其转换为标准形式：

min z=-0.15x1-0.1x2-0.08 x3-0.12 x4 s.t x1-x2- x3- x4≤0 -x2- x3+ x4≤0 x1+x2+x3+ x4=1

xj≥0 j=1,2,3,4

程序： f = [-0.15;-0.1;-0.08;-0.12];

A = [1 -1 -1 -1

0 -1 -1 1];

b = [0; 0]; Aeq=[1 1 1 1]; beq=[1]; lb = zeros(4,1);

[x,fval,exitflag] = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb) f=-fval 结果：x = 0.5000 0.2500 0.0000 0.2500

fval =

-0.1300

exitflag =

1

f =

0.1300

即4个项目的投资百分数分别为50%，25%，0, 25%时可使该公司获得最大的收益，其最大收益可到达13%。过程正常收敛。

例6：求解实例3 建立数学模型：

设ai j为由工厂i运到市场j的费用，xi j 是由工厂i运到市场j的箱数。bi是工厂i的产量，dj是市场j的需求量。

[endif]-->

b= ( 60 40 50 )T d= ( 20 35 33 34 )T

s.t

x i j≥0

程序： A=[2 1 3 2;1 3 2 1;3 4 1 1]; f=A(:);

B=[ 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1]; D=[1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0

§2 非线性规划模型

一．非线性规划课题

实例1 表面积为36平方米的最大长方体体积。 建立数学模型：

设x、y、z分别为长方体的三个棱长，f为长方体体积。

max f = x y (36-2 x y)/2 (x+y) 实例2 投资决策问题

某公司准备用5000万元用于A、B两个项目的投资，设x1、x2分别表示配给项目A、B的投资。预计项目A、B的年收益分别为20%和16%。同时，投资后总的风险损失将随着总投资和单位投资的增加而增加，已知总的风险损失为2x12+x22+(x1+x2)2.问应如何分配资金，才能使期望的收益最大，同时使风险损失为最小。

建立数学模型：

max f=20x1+16x2-λ[2x12+x22+(x1+x2)2] s.t x1+x2≤5000 x 1≥0,x2≥0

目标函数中的λ≥0是权重系数。

由以上实例去掉实际背景，其目标函数与约束条件至少有一处是非线性的，称其为非线性问题。

非线性规划问题可分为无约束问题和有约束问题。实例1为无约束问题，实例2为有约束问题。

二．无约束非线性规划问题：

求解无约束最优化问题的方法主要有两类：直接搜索法(Search method)和梯度法(Gradient method).

1．fminunc函数

调用格式： x=fminunc(fun,x0) x=fminunc(fun,x0,options) x=fminunc(fun,x0,options,P1,P2) [x,fval]=fminunc(…) [x,fval, exitflag]=fminunc(…) [x,fval, exitflag,output]=fminunc(…)

[x,fval, exitflag,output,grad]=fminunc(…) [x,fval, exitflag,output,grad,hessian]=fminunc(…)

说明：fun为需最小化的目标函数，x0为给定的搜索的初始点。options指定优化参数。 返回的x为最优解向量；fval为x处的目标函数值；exitflag描述函数的输出条件；output返回优化信息；grad返回目标函数在x处的梯度。Hessian返回在x处目标函数的Hessian矩阵信息。

例1 ： 求 程序：编辑ff1.m文件 function f=ff1(x)

f=8*x(1)-4*x(2) +x(1)^2+3*x(2)^2; 通过绘图确定一个初始点： [x,y]=meshgrid(-10:.5:10); z= 8*x-4*y +x.^2+3*y.^2; surf(x,y,z)

--[endif]-->

选初始点：x0=(0,0) x0=[0,0];

[x,fval,exitflag]=fminunc(@ff1,x0) 结果：x =

-4.0000 0.6667 fval =

-17.3333 exitflag = 1 例2：

程序：编辑ff2.m文件： function f=ff2(x)

f=4*x(1)^2+5*x(1)*x(2)+2*x(2)^2; 取初始点：x0=(1,1)

x0=[1,1];

[x,fval,exitflag]=fminunc(@ff2,x0) 结果： x = 1.0e-007 * -0.1721 0.1896

fval =

2.7239e-016

exitflag =

1

例3：将上例用提供的梯度g最小化函数进行优化计算。 修改M文件为：

function [f,g]=ff3(x)

f=4*x(1)^2+5*x(1)*x(2)+2*x(2)^2; if nargut >1

g(1)=8*x(1)+5*x(2); g(2)=5*x(1)+4*x(2); end

通过下面将优化选项结构options.GradObj设置为’on’来得到梯度值。 options=optimset(‘Gradobj’,’on’); x0=[1,1];

[x,fval,exitflag]=fminunc(@ff3,x0,options) 结果： x =

1.0e-015 * -0.2220 -0.2220

fval =

5.4234e-031

exitflag =

1

2． minsearch函数

调用格式： x=fminsearch(fun,x0) x=fminsearch(fun,x0,options) x=fminsearch(fun,x0,options,P1,P2) [x,fval]=fminsearch(…) [x,fval, exitflag]=fminsearch(…) [x,fval, exitflag,output]=fminsearch(…)

[x,fval, exitflag,output,grad]=fminsearch(…) [x,fval, exitflag,output,grad,hessian]=fminsearch(…)

说明：参数及返回变量同上一函数。对求解二次以上的问题，fminsearch函数比fminunc函数有效。

3． 多元非线性最小二乘问题：

非线线性最小二乘问题的数学模型为：

其中L为常数。

调用格式： x=lsqnonlin(fun,x0) x=lsqnonlin(fun,x0,lb,ub)

x=lsqnonlin(fun,x0,options)

x=lsqnonlin(fun,x0,options,P1,P2)

[x,resnorm]=lsqnonlin(…)

[x,resnorm, residual,exitflag]=lsqnonlin(…)

[x,resnorm, residual , exitflag,output]=lsqnonlin(…)

[x,resnorm, residual,exitflag, output,lambda]=lsqnonlin(…)

[x,resnorm, r esidual,exitflag, output,lambda,jacobian]=lsqnonlin(…)

说明：x返回解向量；resnorm返回x处残差的平方范数值：sum(fun(x).^2)；residual返回x处的残差值fun(x)；lambda返回包含x处拉格朗日乘子的结构参数；jacobian返回解x处的fun函数的雅可比矩阵。

lsqnonlin默认时选择大型优化算法。Lsqnonlin通过将options.LargeScale设置为’off’来作中型优化算法。其采用一维搜索法。

例4．求 minf=4(x2-x1)2+(x2-4)2 ，选择初始点x0(1,1) 程序：

f ='4*(x(2)-x(1))^2+(x(2)-4)^2' [x,reshorm]=lsqnonlin(f,[1,1]) 结果： x =

3.9896 3.9912

reshorm =

5.0037e-009

例5：求

求解：先编辑ff5.m文件： function f=ff5(x) k=1:10;

f=2+2*k-exp(k*x(1))-exp(k*x(2)); 然后作程序：x0=[0.2,0.3];

[x,resnorm]=lsqnonlin(@ff5,x0)

选择初始点，x0(0.2,0.3)

结果 ： x =

0.2578 0.2578

resnorm =

124.3622

二． 有约束非线性规划问题：

数学模型： min F(x)

s.t Gi (x) ≤0 i=1,…,m Gj (x) =0 j=m+1,…,n xl≤x≤xu

其中：F(x)为多元实值函数，G(x)为向量值函数，

在有约束非线性规划问题中，通常要将该问题转换为更简单的子问题，这些子问题可以求并作为迭代过程的基础。其基于K-T方程解的方法。它的K-T方程可表达为：

方程第一行描述了目标函数和约束条件在解处梯度的取消。由于梯度取消，需要用拉格朗日乘子λi来平衡目标函数与约束梯度间大小的差异。

调用格式: x=fmincon(f,x0,A,b)

x=fmincon(f,x0,A,b,Aeq,beq) x=fmincon(f,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub) x=fmincon(f,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon) x=fmincon(f,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options) [x,fval]=fmincon(…)

[x, fval, exitflag]=fmincon(…) [x, fval, exitflag, output]=fmincon(…)

[x, fval, exitflag, output, lambda]=fmincon(…)

说明：x=fmincon(f,x0,A,b)返回值x为最优解向量。其中：x0为初始点。A,b为不等式约束的系数矩阵和右端列向量。

x=fmincon(f,x0,A,b,Aeq,beq) 作有等式约束的问题。若没有不等式约束，则令A=[ ]、b=[ ] 。

x=fmincon(f, x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub, nonlcon ,options) 中lb ,ub为变量x的下界和上界；nonlcon=@fun,由M文件fun.m给定非线性不等式约束c (x) ≤0和等式约束g(x)=0；options为指定优化参数进行最小化。

例6：求解：min 100(x2-x12 )2+(1-x1)2 s.t x1≤2;

x2≤2

程序：首先建立ff6.m文件：

function f=ff6(x)

f=100*(x(2)-x(2)^2)^2+(1-x(1))^2;

然后在工作空间键入程序：

x0=[1.1,1.1]; A=[1 0;0 1]; b=[2;2];

[x,fval]=fmincon(@ff6,x0,A,b) 结果： x = 1.0000 1.0000

fval =

3.1936e-011

例7：求解：

首先建立目标函数文件ff7.m文件： function f=ff7(x) f=-x(1)*x(2)*x(3)

然后将约束条件改写成如下不等式： -x1-2x2-2x3≤0 x1+2x2+2x3≤72 在工作空间键入程序： A=[-1 –2 –2;1 2 2]; b=[0;72]; x0=[10;10;10];

[x,fval]=fmincon(@ff71,x0,A,b) 结果： x = 24.0000 12.0000 12.0000

fval =

-3456

例8求解：minf=ex1(6x12+3x22+2x1x2+4x2+1) s.t x1x2-x1-x2+1≤0 -2x1x2-5≤0

程序：首先建立目标函数文件ff8.m文件： function f=ff8(x)

f=exp(x(1))*(6*x(1)^2+3*x(2)^2+2*x(1)*x(2)+4*x(2)+1); 再建立非线性的约束条件文件：ff8g.m

function [c,g]=ff8g(x) c(1)=x(1)*x(2)-x(1)-x(2)+1； c(2)=-2*x(1)*x(2)-5；

g=[];

然后在工作空间键入程序： x0=[1,1];

nonlcon=@ff8g

[x, fval] =fmincon(@ff8,x0,[],[],[],[],[],[], nonlcon) 结果： x =

-2.5000 1.0000

fval = 3.3244

exitflag = 1

当有等式约束时，要放在矩阵g的位置，如上例中加等式约束： x(1)+2*x(1)=0

程序：首先建立 fun1.m文件： function[c,g]=ff8g1(x) c(1)=x(1)*x(2)-x(1)-x(2)+1； c(2)=-2*x(1)*x(2)-5； g(1)=x(1)+2*x(2); 然后在工作空间键入程序： x0=[-1,1]; nonlcon=@ff8g1;

[x, fval,exitflag] =fmincon(@ff8,x0,[],[],[],[],[],[], nonlcon) 结果： x =

-2.2361 1.1180

fval =

3.6576

exitflag =

1

§3 二次规划模型

数学模型：

其中H为二次型矩阵，A、Aeq分别为不等式约束与等式约束系数矩阵，f,b,beq,lb,ub,x为向量。

求解二次规划问题函数为quadprog( ) 调用格式： X= quadprog(H,f,A,b) X= quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq) X= quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) X= quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) X= quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) [x,fval]= quadprog(…) [x,fval,exitflag]= quadprog(…) [x,fval,exitflag,output]= quadprog(…) [x,fval,exitflag,output,lambda]= quadprog(…)

说明：输入参数中，x0为初始点；若无等式约束或无不等式约束，就将相应的矩阵和向量设置为空；options为指定优化参数。输出参数中，x是返回最优解；fval是返回解所对应的目标函数值；exitflag是描述搜索是否收敛；output是返回包含优化信息的结构。Lambda是返回解x入包含拉格朗日乘子的参数。

例1：求解：二次规划问题

min f(x)= x1-3x2+3x12+4x22-2x1x2 s.t 2x1+x2≤2 -x1+4x2≤3

程序： f=[1;-3] H=[6 -2;-2 8] A=[2 1;-1 4] b=[2;3]

[X,fval,exitflag]=quadprog(H,f,A,b) 结果： X = -0.0455 0.3636

fval =

-0.5682

exitflag =

1

例2：求解：二次规划问题

min +x12+2x22-2x1x2-4x1-12x2 s.t x1+x2≤2 -x1+2x2≤2

2x1+x2≤3 0≤x1, 0≤x2

程序： H=[2 -2;-2 4]; f=[-4;-12]; A=[1 1;-1 2;2 1]; b=[2;2;3]; lb=zeros(2,1);

[x,fval,exitflag]=quadprog(H,f,A,b,[],[],lb)

weight=[20,12]; x0=[2,2]

A=[1 0; 0 1;-1 -1];

b=[5 6 -7]; lb=zeros(2,1);

[x,fval,attainfactor,exitflag]=fgoalattain(@ff12,x0,goal,weight,A,b,[],[],lb,[])

结果： x =

2.9167 4.0833

fval =

26.2500 15.7500

attainfactor =

0.3125

exitflag = 1

例3：某工厂生产两种产品甲和乙，已知生产甲产品100公斤需6个工时，生产乙产品100公斤需8个工时。假定每日可用的工时数为48工时。这两种产品每100公斤均可获利500元。乙产品较受欢迎，且若有个老顾客要求每日供应他乙种产品500公斤，问应如何安排生产计划？

建立数学模型：

设生产甲、乙两种产品的数量分别为x和x(以公斤计)，要使生产计划比较合理，应考虑用工时尽量少，获利尽量大，

其用多目标规划描述这： min f1=6x1+8x2

max f2=100(x1+x2) max f3=x2

s.t 6x1+8x2≤48 x2≥5 x1 ,x2≥0 将其标准化为： min f1=6x1+8x2

min - f2=-100(x1+x2) min - f3=-x2 s.t 6x1+8x2≤48 -x2≤-5 x1 ,x2≥0

程序：首先编辑目标函数M文件ff13.m function f=ff13(x) f(1)=6*x(1)+8*x(2);

f(2)= -100*(x(1) +x(2)); f(3)=-x(2); 按给定目标取：

goal=[48 -1000 -5]; weight=[48 -1000 -5]; x0=[2 2]; A=[6 8; 0 -1];

b=[48 -5]; lb=zeros(2,1);

[x,fval,attainfactor,exitflag]=fgoalattain(@ff13,x0,goal,weight,A,b,[],[],lb,[]) 结果： x =

1.3333 5.0000 fval =

48.0000 -633.3333 -5.0000

attainfactor =

1.6338e-008

exitflag =

1

即生产计划为每日生产甲产品133.33公斤，生产乙产品500公斤。

§5 最大最小化模型

基本思想：在对策论中，我们常遇到这样的问题：在最不利的条件下，寻求最有利的策略。在实际问题中也有许多求最大值的最小化问题。例如急救中心选址问题就是要规划其到所有地点最大距离的最小值。在投资规划中要确定最大风险的最低限度等等。为此，对每个x∈R,我们先求诸目标值fi(x)的最大值，然后再求这些最大值中的最小值。

最大最小化问题的数学模型：

求解最大最小化问题的函数为 fmininax 调用格式： x=fminimax(F,x0,) x=fminimax(F,x0,,A,b) x=fminimax(F,x0,,A,b,Aeq,beq) x=fminimax(F,x0,,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

x=fminimax(F,x0,,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon) x=fminimax(F,x0,,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)

x=fminimax(F,x0,,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options,P1,P2) [x,fval]=fminimax(…) [x,fval,maxfval]=fminimax(…)

[x,fval,maxfval,exitflag,output]=fminimax(…) [x,fval,maxfval,exitflag,output,lambda]=fminimax(…)

说明：F为目标函数；x0为初值； A、b为线性不等式约束的矩阵与向量；Aeq、beq为等式约束的矩阵与向量；lb、ub为变量x的上、下界向量；nonlcon为定义非线性不等式约束函数c(x)和等式约束函数ceq(x)；options中设置优化参数。

x返回最优解；fval返回解x处的目标函数值；maxfval返回解x处的最大函数值；exitflag描述计算的退出条件；output返回包含优化信息的输出参数；lambda返回包含拉格朗日乘子的参数。

例1 求解下列最大最小值问题：

首先编辑M文件ff14.m

function f=ff14(x)

f(1)=3*x(1)^2+2*x(2)^2-12*x(1)+35; f(2)=5*x(1)*x(2)-4*x(2)+7; f(3)=x(1)^2+6*x(2);

f(4)=4*x(1)^2+9*x(2)^2-12*x(1)*x(2)+20; 取初值x0=(1,1)调用优化函数 x0=[1 1];

[x,fval]=fminimax(@ff14,x0) 结果：x =

1.7637 0.5317

fval =

23.7331 9.5621 6.3010 23.7331 例2：选址问题

设某城市有某种物品的10个需求点，第i个需求点Pi的坐标为(ai,bi),道路网与坐标轴平行，彼此正交。现打算建一个该物品的供应中心，且由于受到城市某些条件的限制，该供应中心只能设在x界于[5,8]，y界于[5.8]的范围之内。问该中心应建在何处为好?

P点的坐标为：

ai 1 4 3 5 9 2 16 0 27 10 18

bi 2 0 18 8 11 4 5 8 9

建立数学模型：

设供应中心的位置为(x,y)，要求它到最远需求点的距离尽可能小，此处采用沿道路行走计算距离，可知每个用户点Pi到该中心的距离为 |x-ai|+|y-bi|，于是有：

编程：首先编辑M文件：ff15.m function f = ff15(x) a=[1 4 3 5 9 12 6 20 17 8];

b=[2 10 8 18 1 4 5 10 8 9]; f(1) = abs(x(1)-a(1))+abs(x(2)-b(1)); f(2) = abs(x(1)-a(2))+abs(x(2)-b(2)); f(3) = abs(x(1)-a(3))+abs(x(2)-b(3)); f(4) = abs(x(1)-a(4))+abs(x(2)-b(4)); f(5) = abs(x(1)-a(5))+abs(x(2)-b(5)); f(6) = abs(x(1)-a(6))+abs(x(2)-b(6)); f(7) = abs(x(1)-a(7))+abs(x(2)-b(7)); f(8) = abs(x(1)-a(8))+abs(x(2)-b(8)); f(9) = abs(x(1)-a(9))+abs(x(2)-b(9)); f(10) = abs(x(1)-a(10))+abs(x(2)-b(10)); 然后 用以下程序计算 ： x0 = [6; 6];

AA=[-1 0

1 0 0 -1 0 1]; bb=[-5;8;-5;8];

[x,fval] = fminimax(@ff15,x0,AA,bb) 结果： x =

8 8 fval =

13 6 5 13 8 8 5 14 9 1

即：在坐标为(8,8)处设置供应中心可以使该点到各需求点的最大距离最小，最小的最大距离为14单位。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/o8qr.html